有限元第七章材料非線性問(wèn)題的有限元

第七章材料非線性問(wèn)題的有限元法7.1引言前面各章所講述的問(wèn)題，都屬于線性變形體系。所謂線性變形體系是指位移與載荷呈線性關(guān)系的體系，而且當(dāng)載荷全部撤除后，體系將完全恢復(fù)原始狀態(tài)。這種體系也稱為線性彈性體系，它需滿足以下條件：〔1〕材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系滿足虎克定律：〔2〕位移是微小的；〔3〕所有約束均為理想約束。在分析線性彈性體系時(shí)，可以按照體系變形前的幾何位置和形狀建立平衡方程，并且可以應(yīng)用疊加原理。根據(jù)這種理論建立起來(lái)的方程是線性的，對(duì)于小應(yīng)變和小位移的情形這種分析是適用的。實(shí)際結(jié)構(gòu)的位移與載荷可以不呈線性關(guān)系，這樣的體系稱為非線性變形體系。如果體系的非線性是由于材料應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系的非線性引起的，那么稱為材料非線性，如材料的彈塑性性質(zhì)、松馳、徐變等。如果結(jié)構(gòu)的變位使體系的受力發(fā)生了顯著的變化，以至不能采用線性體系的分析方法時(shí)就稱為幾何非線性，如結(jié)構(gòu)的大變形、大撓度的問(wèn)題等。還有一類(lèi)非線性問(wèn)題是邊界條件非線性，或狀態(tài)非線性，如各種接觸問(wèn)題等。但本書(shū)只討論前兩類(lèi)非線性問(wèn)題的有限元解法，即材料非線性和幾何非線性問(wèn)題的有限元解法，對(duì)接觸問(wèn)題的有限元解法，讀者可參考其它書(shū)籍。材料非線性問(wèn)題的處理相比照擬簡(jiǎn)單，通常不必修改整個(gè)問(wèn)題的表達(dá)式，而只需將應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系線性化，求解一系列的線性問(wèn)題，并通過(guò)某種校正方法，最終將材料特性調(diào)整到滿足給定的木構(gòu)關(guān)系，從而獲得了問(wèn)題的解。對(duì)于幾何非線性問(wèn)題，那就需要對(duì)公式進(jìn)行根本的修改，這個(gè)問(wèn)題將在后面詳細(xì)討論，不過(guò)應(yīng)該指出，用于求解材料非線性問(wèn)題的根本迭代方法也同樣適用于幾何非線性問(wèn)題的求解。事實(shí)上，有些工程結(jié)構(gòu)問(wèn)題同時(shí)具有這兩類(lèi)非線性性質(zhì)，它們可以統(tǒng)一地加以處理。本章將首先介紹用有限元方法處理非線問(wèn)題的一般方法，然后討論這些方法在非線性彈性、彈塑性和蠕變問(wèn)題中的應(yīng)用。在介紹彈塑性問(wèn)題的處理方法前，為便于討論，需扼要表達(dá)一下Mises屈服準(zhǔn)那么和Prandtl-Reuss塑性流動(dòng)理論，并據(jù)此寫(xiě)出彈塑性矩陣表達(dá)式。最后對(duì)平面剛架的極限分析做了簡(jiǎn)要介紹。7.2非線性問(wèn)題的一般處理方法非線性問(wèn)題用有限元法離散化應(yīng)得到如下形式的一組代數(shù)方法：或?qū)懗伞?.1〕其中。雖然線性方程組直接求解并無(wú)困難，但對(duì)于方程組〔7.1〕，單元?jiǎng)傋兙仃囀菃卧?jié)點(diǎn)位移向量的函數(shù)，直接求解就行不通。然而，下面介紹的非線性方程組的各種解法，仍以反復(fù)地求解線性方程組去獲得滿足一定精度要求的非線性方程組的解答。7.2.1直接迭代法對(duì)于方程〔7.1〕〔7.2〕最簡(jiǎn)單的求解方法是直接迭代法。開(kāi)始求解時(shí)先假定一組初始值代入上式的中，可求得改良了的一次近似值式中重復(fù)上述過(guò)程，將迭代格式寫(xiě)成迭代一直進(jìn)行到誤差的某種范數(shù)小于預(yù)先規(guī)定的容許值er，即滿足那么停止。可以看出，該法的每一次迭代都需形成一次系數(shù)矩陣，并求解一次線性代數(shù)方程組。這里還隱含著一個(gè)假定，系數(shù)矩陣可以表示成的顯函數(shù)，因此該法只適用于與變形歷史無(wú)關(guān)的非線性問(wèn)題，例如非線性彈性問(wèn)題及可利用形變理論分析的彈塑性問(wèn)題。而對(duì)于依賴于變形歷史的非線性問(wèn)題，直接迭代法是不適用的，例如加載路徑不斷變化或涉及卸載及反復(fù)加載等必須利用增量理論分析的彈塑性問(wèn)題。圖7.1顯示了單變量問(wèn)題中這種迭代過(guò)程收斂和發(fā)散的可能性。通常，如曲線是凹的，那么迭代發(fā)散。圖7.1直接迭代法7.2.2Newton-Raphson方法〔簡(jiǎn)稱N－R方法〕假設(shè)已獲得方程〔7.1〕的第n次近似解，為了求得改良的近似解，可利用僅保存線性項(xiàng)的Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)式 〔7.3〕那么有〔7.4〕前式中為切線矩陣，即〔7.5〕于是從式〔7.3〕可以得到式〔7.4〕中的 〔7.6〕重復(fù)上述迭代過(guò)程，直至到達(dá)所要求的精度。Newton-Raphson方法的迭代過(guò)程示于圖7.2中，通常迭代過(guò)程是收斂的。但當(dāng)所選取的初始值偏離真實(shí)解較大時(shí)，正如圖7.2〔b〕所表示的那樣，發(fā)散也是可能的。圖7.2Newton-Raphson迭代法由式〔7.3〕看出，該法在每項(xiàng)迭代中必須重新形成一個(gè)系數(shù)陣并求解一次線性代數(shù)方程組。應(yīng)該指出，如果原始的離散化方程組是通過(guò)變分原理導(dǎo)出的，那么切線剛度矩陣總是對(duì)稱的，而利用直接迭代法，系數(shù)矩陣的這種對(duì)稱性不一定能保持。7.2.3修正的Newton-Raphson方法〔簡(jiǎn)稱修正的N－R法〕為克服Newton-Raphson方法中每次迭代都需形成一次系數(shù)矩陣和求解一次方程組的缺點(diǎn)，通常切線矩陣總是采用它的初始值，即令〔7.7〕因此式〔7.6〕現(xiàn)在變成〔7.8〕這樣，每次迭代求解的是系數(shù)矩陣相同的方程組。對(duì)于這種系數(shù)矩陣不變的線性方程組，如果我們?cè)诘拈_(kāi)始就將求逆或分解，那么以后每次迭代只須進(jìn)行一次回代過(guò)程。因而每次迭代的計(jì)算工作量大大地減小了，但收斂速度卻變得較慢。不過(guò)從總的效果看，還是合算的。圖7.3表示了這種方法的迭代過(guò)程。一種改良方案是在迭代假設(shè)干次后就將切線矩陣修正一次，修正到當(dāng)前的值，這一改良方案有時(shí)是非常有效的。圖7.3修正的Newton-Raphson迭代法7.2.4增量法為了便于理解，假定方程〔7.1〕式表達(dá)的是結(jié)構(gòu)應(yīng)力分析問(wèn)題，其中代表結(jié)構(gòu)的位移，代表結(jié)構(gòu)的載荷。所謂增量法首先將載荷分為假設(shè)干步：……，相應(yīng)的位移也分為假設(shè)干步：……。每二步之間的增長(zhǎng)量稱為增量。增量解法的一般做法是假設(shè)第m步載荷和相應(yīng)的位移為，而后讓載荷增加為，再求解。如果每步載荷增量足夠小，那么解的收斂性是可以保證的。同時(shí)，可以得到加裁過(guò)程的中間結(jié)果。為了說(shuō)明這一方法，可將式〔7.1〕改寫(xiě)成〔7.9〕其中是描述載荷變化的參數(shù)。將上式對(duì)入求導(dǎo)，得到由此得出〔7.10〕式中仍為切線矩陣。有多種方法可用來(lái)求典型常微分方程〔7.10〕的解。其中最簡(jiǎn)單的是Euler法，它可表達(dá)成〔7.11〕其中下標(biāo)指示增量加載的次數(shù)，即或在實(shí)際的數(shù)值計(jì)算中，由于并不用式〔7.9〕，而是用其增量形式〔7.10〕，所以解常會(huì)發(fā)生漂移現(xiàn)象。為了克服這一缺點(diǎn)，可將N-R法或修正的N-R法用于每一增量步。如采用N-R法，那么對(duì)于的m+1次增量步，和N-R法的第n+1次迭代表達(dá)式可寫(xiě)成〔7.13〕式中是時(shí)第n次改良的切線矩陣。由上式解出，那么〔7.14〕開(kāi)始迭代時(shí)，取，然后連續(xù)地進(jìn)行迭代，直至方程〔7.9〕在時(shí)能夠在規(guī)定誤差范圍內(nèi)被滿足。由式〔7.13〕可以看出，當(dāng)采用N-R法進(jìn)行迭代時(shí)，每次迭代都需重新形成，并求解一次代數(shù)方程組，致使計(jì)算工作量很大。因此通常采用修正的N-R法，這時(shí)式〔7.13〕中的應(yīng)代之為〔7.15〕如果每一增量步采用N-R法進(jìn)行一次迭代，由式〔7.13〕那么有〔7.16〕且假定在前一增量步結(jié)束時(shí)支配方程〔7.9〕是精確滿足的，即那么有〔7.17〕這實(shí)際上就就是Euler法，即式〔7.11〕。不過(guò)采用式〔7.16〕時(shí)，能將前一步支配方程的誤差在本次增量步中加以校正，這是帶自校正的增量法。采用此法解方程時(shí)，解的漂移不嚴(yán)重。本節(jié)所討論的上述算法是目前用于求解離散的非線性方程組的常用算法。由于用有限元分析非線性問(wèn)題計(jì)算工作量很大，且有時(shí)收斂很慢甚至?xí)?dǎo)致解的發(fā)散，因而引起許多計(jì)算工作者的關(guān)注。一些加速收斂的措施和方法，好的修正計(jì)算方案已相繼提出。讀者如有需要可查閱有關(guān)文獻(xiàn)。在以上介紹的各種解法中，很難說(shuō)哪一種算法最好。因?yàn)樵谀撤N情況下最經(jīng)濟(jì)有效的方法，在另一種情況下那么不然，甚至解收斂很慢或不收斂。不過(guò)，要為一個(gè)通用程序編入一種解法時(shí)，增量法是合宜的。因?yàn)橹灰x擇足夠小的增量步，解總是收斂的，如可能，還可在每一增量步中采用N-R法或修正的N-R法，使計(jì)算結(jié)果滿足一定的要求。7.3非線性彈性力學(xué)問(wèn)題如果我們只考慮小變形，那么平衡方程在整個(gè)求解域內(nèi)可寫(xiě)成〔7.18〕上式中的積分運(yùn)算實(shí)際上應(yīng)逐個(gè)單元進(jìn)行，并按單元集成法把它們對(duì)節(jié)點(diǎn)的平衡的奉獻(xiàn)進(jìn)行疊加。右端節(jié)點(diǎn)力向量也由單元集成法形成。幾何關(guān)系可寫(xiě)成〔7.19〕但此時(shí)物理關(guān)系是非線性的，一般可寫(xiě)成〔7.20〕由式〔7.18〕至〔7.20〕可以導(dǎo)出與非線性方程組〔7.1〕相同的表達(dá)式因而上節(jié)中所討論的各種解法，原那么上都可在此應(yīng)用。根據(jù)非線性彈性力學(xué)問(wèn)題中非線性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系的不同表達(dá)方式，可以產(chǎn)生以下幾種求解方案。直接迭代法如果材料的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系能表達(dá)成于是由式〔7.19〕可將應(yīng)力寫(xiě)成將上式代入式〔7.18〕后，得〔7.21〕其中用迭代法求解方程〔7.21〕時(shí)，總是首先取，然后求出，由求出位移的第一次近似值。重復(fù)這一過(guò)程，迭代格式為〔7.22〕切線剛度法〔即N-R法〕如果材料的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系能表示成增量關(guān)系〔7.23〕式中為切線彈性矩陣，可將式〔7.18〕改寫(xiě)為〔7.24〕將對(duì)求導(dǎo)，注意到關(guān)系式〔7.23〕，那么有〔7.25〕式中〔7.26〕是切線剛度矩陣。在N-R法迭代中，可首先取，由式〔7.19〕求得，再由式〔7.23〕確定。將代入式〔7.26〕求出，并由式〔7.24〕求出，由。解出，于是得到位移的第一次近似值為。重復(fù)上述過(guò)程，可將迭代公式表示為〔7.27〕式中〔7.28〕我們知道，式〔7.28〕右端的第一項(xiàng)為哪一項(xiàng)與相等價(jià)的節(jié)點(diǎn)載荷，因而可理解為結(jié)構(gòu)上的不平衡節(jié)點(diǎn)載荷向量，每迭代一次相當(dāng)于對(duì)不平衡節(jié)點(diǎn)載荷作一次矯正。初應(yīng)力法初應(yīng)力法實(shí)質(zhì)上是修正的N-R法的具體應(yīng)用。如果材料的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系可以表示成〔7.29〕即應(yīng)力分量能由給定的應(yīng)變分量確定，我們就可以用具有初應(yīng)力的線彈性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系〔7.30〕去代替上式。其中[D]采用非線性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系式在時(shí)的切線彈性矩陣。這就是說(shuō)，可用調(diào)整初應(yīng)力值的方法，使在給定應(yīng)變下，用式〔7.30〕算得的應(yīng)力與用式〔7.21〕算出的結(jié)果相同。于是有〔7.31〕其中。在一維情況下初應(yīng)力的定義見(jiàn)圖7.4圖7.4初應(yīng)力法如令〔7.32〕為結(jié)構(gòu)的起始切線剛度矩陣，那么將式〔7.30〕代入〔7.18〕，得〔7.33〕式中〔7.34〕為與初應(yīng)力等價(jià)的節(jié)點(diǎn)載荷。根據(jù)式〔7.33〕，可以采用如下迭代步驟：首先由下式計(jì)算第一次近似位移由求出，用式〔7.31〕求出初應(yīng)力由式〔7.34〕求出用對(duì)位移進(jìn)行一次矯正于是位移的第二次近似值是繼續(xù)進(jìn)行這種矯正，直至收斂。由此可見(jiàn)，用初應(yīng)力法迭代時(shí)，每一步都是根據(jù)真實(shí)應(yīng)力與彈性應(yīng)力之差決定初應(yīng)力的，并從而決定不平衡的節(jié)點(diǎn)載荷，依次進(jìn)行一次調(diào)整，使位移進(jìn)一步逼近真實(shí)值。初應(yīng)力法迭代過(guò)程在單向應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力變化示于圖7.5中。圖7.5初應(yīng)變法對(duì)于某些問(wèn)題，例如蠕變問(wèn)題，其應(yīng)變由應(yīng)力值決定(7.35)這時(shí)，上式可用具有初應(yīng)變的線彈性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系〔7.36〕來(lái)代替，即調(diào)整初應(yīng)變值，使在給定應(yīng)力下，用式〔7.36〕求得的應(yīng)變與用式〔7.35〕求得的結(jié)果一樣。于是有〔7.37〕式中。在單向應(yīng)力的情況下初應(yīng)變的定義見(jiàn)圖7.6。圖7.6將式〔7.36〕代入〔7.18〕，那么有〔7.38〕其中〔7.39〕為與初應(yīng)變等價(jià)的節(jié)點(diǎn)載荷。見(jiàn)式〔7.32〕。根據(jù)式〔7.37〕，可以采用與初應(yīng)力法類(lèi)似的迭代過(guò)程。先計(jì)算位移的第一次近似值由計(jì)算應(yīng)力，由式〔7.37〕確定初應(yīng)變，再由式〔7.39〕計(jì)算{R}1，然后用求出，對(duì)位移進(jìn)行一次矯正重復(fù)上述過(guò)程，直到收斂?？梢?jiàn)，初應(yīng)變法的每一步迭代是根據(jù)真實(shí)應(yīng)變與彈性應(yīng)變之差，去對(duì)位移進(jìn)行調(diào)整的。在單向應(yīng)力狀態(tài)下初應(yīng)變迭代過(guò)程示于圖7.7中。圖7.77.4彈塑性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系在彈塑性小變形情況下，彈性力學(xué)中的平衡方程和幾何關(guān)系仍然成立，但描寫(xiě)應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系的物理方程卻是非線性的。材料的塑性性質(zhì)對(duì)于大多數(shù)金屬材料，單向拉伸試驗(yàn)的應(yīng)力——應(yīng)變曲線如圖7.8所示。當(dāng)應(yīng)力小于屈服極限時(shí)，應(yīng)力和應(yīng)變呈線彈性關(guān)系〔一般假定比例極限與屈服極限重合〕；而應(yīng)力到達(dá)屈服極限后，應(yīng)力一應(yīng)變顯示出非線性關(guān)系。圖7.8〔a〕所示為應(yīng)變硬化材料，圖7.8(b)所示為理想彈塑性材料。由實(shí)驗(yàn)知，對(duì)于硬化材料，應(yīng)力超過(guò)屈服極限時(shí)，要增加應(yīng)變，應(yīng)力也需增加。而對(duì)于理想彈塑性材料，應(yīng)力到達(dá)時(shí)，材料那么發(fā)生流動(dòng)變形。然而無(wú)論哪種情況，當(dāng)應(yīng)力到達(dá)后，卸載都是彈性的，卸載路經(jīng)沿直線ＢＣ，其斜率大致與初始加載路徑ＯＡ相同。完全卸去載荷后，試件會(huì)留下剩余變形ＯＣ。因此，彈塑性材料當(dāng)應(yīng)力到達(dá)或超出時(shí)，應(yīng)力一應(yīng)變之間并無(wú)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即應(yīng)變不僅決定于當(dāng)時(shí)的應(yīng)力，而且還與整個(gè)加載的歷史有關(guān)。這是與上節(jié)討論的非線性彈性材料的區(qū)別所在。還應(yīng)當(dāng)指出，材料進(jìn)入塑性后，經(jīng)卸載再加載時(shí)，應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系沿CBD變化。對(duì)于硬化材料顯然屈服應(yīng)力提高了。材料進(jìn)入塑性后，經(jīng)卸載并反向加載，材料會(huì)再次屈服，對(duì)于各向同性材料，再次屈服的應(yīng)力的絕對(duì)值大體上與開(kāi)始卸載時(shí)的應(yīng)力相等。(a)(b)圖7.8Mises屈服準(zhǔn)那么Mises屈服準(zhǔn)那么假定，材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變能到達(dá)單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變能時(shí)，材料就開(kāi)始屈服。于是，Mises屈服條件可寫(xiě)成式中為主應(yīng)力，是單向拉伸屈服極限。如果定義等效應(yīng)力那么Mises屈服條件為〔7.40〕在一般應(yīng)力狀態(tài)下，等效應(yīng)力可表示成引進(jìn)應(yīng)力偏量〔7.41〕式中是平均應(yīng)力，那么等效應(yīng)力可用應(yīng)力偏量表示為〔7.42〕假設(shè)記那么可將等效應(yīng)力簡(jiǎn)潔地表示成〔7.43〕對(duì)于大多數(shù)金屬材料，實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明，Mises準(zhǔn)那么能較好符合實(shí)際情況。因此，下面將結(jié)合Mises準(zhǔn)那么來(lái)討論。首先，討論復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)化規(guī)律。假定材料進(jìn)入屈服后，載荷按小增量方式逐步加載，在一個(gè)載荷增量作用下應(yīng)力和應(yīng)變都會(huì)增加一微小的增量和。此時(shí)總應(yīng)變?cè)隽靠煞殖蓮椥缘暮退苄缘膬删植俊?.44〕彈性應(yīng)變?cè)隽吭谛遁d后可完全恢復(fù)，而塑性應(yīng)變?cè)隽吭谛遁d后那么不能恢復(fù)，如圖7.9所示。圖7.9與等效應(yīng)力對(duì)應(yīng)，定義等效應(yīng)變〔7.45〕對(duì)于單向拉伸，于是等效應(yīng)變恰等于拉伸應(yīng)變。對(duì)應(yīng)于塑性應(yīng)變?cè)隽康牡刃?yīng)變稱為塑性等效應(yīng)變?cè)隽浚涀?。由于塑性變形的泊桑比，于是?7.46)注意到塑性變形中的體積應(yīng)變等于零，上式還可表達(dá)成〔7.47〕假設(shè)記〔7.48〕那么等效塑性應(yīng)變?cè)隽靠筛膶?xiě)成〔7.49〕對(duì)于一般應(yīng)力狀態(tài)，實(shí)驗(yàn)資料證明了如下的應(yīng)變強(qiáng)化規(guī)律：材料進(jìn)入屈服以后進(jìn)行卸載或局部卸載然后再加載，其新的屈服應(yīng)力值僅與卸載前的等效塑性應(yīng)變總量有關(guān)。這就是說(shuō)，只有當(dāng)?shù)刃?yīng)力適合〔7.50〕時(shí)，重新屈服才會(huì)發(fā)生。這里的函數(shù)H反映了新的屈服應(yīng)力對(duì)等效塑性應(yīng)變總量的依賴關(guān)系。由于單向拉伸時(shí)，就是拉伸應(yīng)力，就是拉伸塑性應(yīng)變?cè)隽?，所以式?.50〕中的函數(shù)關(guān)系可以通過(guò)單向拉伸的和之間的關(guān)系來(lái)確定，如圖7.10所示。式〔7.50〕反映了屈服和強(qiáng)化之間的關(guān)系，稱為等向強(qiáng)化材料的Mises準(zhǔn)那么。圖7.10Prandtl-Reuss塑性流動(dòng)理論如果將等向強(qiáng)化Mises準(zhǔn)那么的式〔7.50〕寫(xiě)成〔7.51〕那么F可以看成n維應(yīng)力空間的一個(gè)曲面，稱為屈服面。屈服面的位置決定于當(dāng)時(shí)材料中的等效塑性應(yīng)變總量。對(duì)于金屬一類(lèi)的材料，理論和實(shí)驗(yàn)的廣泛研究說(shuō)明，塑性應(yīng)變?cè)隽亢颓嬷g存在如下關(guān)系〔7.52〕其中是一個(gè)待定的比例常數(shù)。上式可以解釋為塑性應(yīng)變?cè)隽俊跋蛄俊贝怪庇趎維應(yīng)力空間的屈服面，如圖7.11所示。因此，式〔7.52〕稱為法向流動(dòng)法那么。圖7.11現(xiàn)在來(lái)決定式〔7.52〕中的常數(shù)。為此先計(jì)算。由式〔7.42〕，并注意到，就有將上式代入〔7.52〕，并注意到式〔7.48〕，得上式等號(hào)兩邊的模應(yīng)相等，于是有由式〔7.49〕和〔7.43〕，從上式可得出由于在加載時(shí)應(yīng)取正值，于是有這樣，向流動(dòng)法那么最終化為〔7.53〕應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系如前所述，當(dāng)應(yīng)力產(chǎn)生一無(wú)限小增量時(shí)，總應(yīng)變?cè)隽靠煞纸獬蓮椥缘暮退苄缘膬删植?，即彈性?yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力增量是線性關(guān)系，可寫(xiě)成〔7.54〕式中[D]e是彈性矩陣。用前乘上式的兩邊，得如果將強(qiáng)化材料的Mises準(zhǔn)那么〔7.50〕寫(xiě)成微分的形式(7.55)并利用式〔7.53〕，那么上式可化為由此可得到等效塑性應(yīng)變?cè)隽亢涂倯?yīng)變?cè)隽康年P(guān)系式將式〔7.53〕代入〔7.54〕，并應(yīng)用上式，得到記〔7.56〕〔7.57〕于是得到增量形式的彈塑性應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系〔7.58〕通常稱為彈塑性矩陣。順便指出，對(duì)于理想彈塑性材料，上述應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系〔7.58〕仍可應(yīng)用，不過(guò)此時(shí)取。彈塑性矩陣表達(dá)式上節(jié)已導(dǎo)出了彈塑性矩陣的一般表達(dá)式，為便于應(yīng)用。下面對(duì)三維空間問(wèn)題，軸對(duì)稱問(wèn)題和平面問(wèn)題分別寫(xiě)出它的顯式。1．三維空間問(wèn)題的彈塑性矩陣?yán)每臻g問(wèn)題的彈性矩陣表達(dá)式〔1.7〕，并注意到，容易看出=其中G為剪切模量。于是注意到由式〔7.56〕容易得(7.59)將式〔1.7〕和〔7.59〕代入式〔7.57〕，得到空間問(wèn)題的彈塑性矩陣為〔7.60〕式中〔7.61〕2．軸對(duì)稱問(wèn)題的彈塑性矩陣我們記在式〔7.60〕中劃去最后二行二列，可以得到軸對(duì)稱問(wèn)題的彈塑性矩陣〔7.62〕式中仍由式〔7.61〕決定，但等效應(yīng)力為3．平面問(wèn)題的彈塑性矩陣對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，應(yīng)力增量和應(yīng)變?cè)隽糠謩e為等效應(yīng)力為由此從而應(yīng)用平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性矩陣〔2.6〕式，有將上兩式代入〔7.56〕，得〔7.63〕式中〔7.64〕由式〔7.57〕，經(jīng)整理，將平面應(yīng)力問(wèn)題的彈塑性矩寫(xiě)成〔7.65〕其中〔7.66〕而Q的表達(dá)式〔7.64〕可改寫(xiě)為對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，材料進(jìn)入塑性后，，等效應(yīng)力可寫(xiě)成這時(shí)的彈塑性矩陣可直接由式〔7.65〕得出，只要將近其中E換成換成。7.4.6切線模量的計(jì)算上節(jié)導(dǎo)出了幾種情況下的彈塑性矩陣，它們的表達(dá)式中都含有切線模量，它是表示材料硬化性能的參數(shù)。由式〔7.55〕，微分形式的Mises屈服準(zhǔn)那么給出，由此可以看出是等效應(yīng)力相對(duì)于塑性等效應(yīng)變的變化率。它必須通過(guò)單向拉伸試驗(yàn)所給出的應(yīng)力一應(yīng)變由曲線來(lái)確定。下面推導(dǎo)的計(jì)算公式。設(shè)單向拉伸試驗(yàn)時(shí)，材料進(jìn)入塑性后的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系以某種函數(shù)的形式給出，如圖7.12所示?！?.67〕圖7.12由于單向拉伸試驗(yàn)給出的是全應(yīng)變，為了建立與塑性應(yīng)變之間的關(guān)系，必須將它分解為彈性局部與塑性局部之和，且彈性局部服從虎光定律，故有將其代入按試驗(yàn)曲線給定的函數(shù)關(guān)系式上式兩邊取微分，那么有式中代表應(yīng)力一應(yīng)變曲線在點(diǎn)的斜率。上式經(jīng)整理可得對(duì)于單向拉伸，顯然即，故正是對(duì)應(yīng)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的，代入上式那么可得到〔7.68〕這就是計(jì)算的公式。的計(jì)算步驟是，首先求出等效應(yīng)變，然后在給定材料的應(yīng)力一應(yīng)變曲線上求得該點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲線斜率，最后代入式〔7.68〕就可求得。這里有幾種情況應(yīng)該注意，一種情況是，在彈性范圍內(nèi)不能計(jì)算的值，因此時(shí)它沒(méi)有塑性變形，故應(yīng)取值，在編寫(xiě)程序時(shí)，可根據(jù)計(jì)算機(jī)的情況取一個(gè)適當(dāng)大的數(shù)即可表示。另一種情況是，對(duì)理想彈塑性材料，當(dāng)材料進(jìn)入屈服時(shí)，由，此時(shí)可由式〔7.68〕知，應(yīng)取O值。最后，如果材料硬化程度不劇烈，即材料的應(yīng)力一應(yīng)變曲線較平緩時(shí)，那么可考慮用以下的近似公式計(jì)算：〔7.69〕求出后，就可以利用節(jié)的有關(guān)公式，計(jì)算不同情況下的彈塑性矩陣。7.5彈塑性問(wèn)題的求解方法彈塑性問(wèn)題的有限元求解方法完全是在線彈性問(wèn)題有限元求解方法的根底上開(kāi)展起來(lái)的，所以本章前面各章所介紹的線彈性問(wèn)題有限元公式仍然適用。只是在塑性區(qū)內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變不再成線性關(guān)系，必須采用應(yīng)力微分和應(yīng)變微分的關(guān)系式〔7.58〕，由于式〔7.58〕右端的系數(shù)矩陣與當(dāng)時(shí)的應(yīng)力水平有關(guān)，所以這個(gè)關(guān)系是非線性的。用有限單元法求解彈塑性問(wèn)題，也是用適當(dāng)?shù)姆椒▽?wèn)題線性化，然后用一系列的線性解去逼近一個(gè)非線性問(wèn)題的解。而每一個(gè)線性解的求解方法和過(guò)程和線彈性問(wèn)題的處理非常類(lèi)似。為到達(dá)線性化的目的，可以采用增量法〔或稱增量加載法〕。一般的做法是按比例施加載荷，將結(jié)構(gòu)的彈性極限載荷作為第一個(gè)增量，其余的載荷再分成假設(shè)干等分。如果實(shí)際載荷不是按比例施加的，可根據(jù)實(shí)際情況確定載荷增量。當(dāng)材料進(jìn)入塑性后，只要載荷增量適當(dāng)?shù)匦。墒健?.58〕，應(yīng)力增量和應(yīng)變?cè)隽康年P(guān)系可近似地表示成〔7.70〕且可認(rèn)為僅與加載前的應(yīng)力水平有關(guān)，而與應(yīng)力和應(yīng)變的增量無(wú)關(guān)。這樣式〔7.70〕就可視為線性的。增量切線剛度法首先，可以進(jìn)行一次線彈性的分析，得到彈性極限載荷下結(jié)構(gòu)的位移，應(yīng)變和應(yīng)力，分別記為，和，在此根底上將載荷分為n個(gè)增量，并相繼作用于結(jié)構(gòu)。作用載荷增量時(shí)，對(duì)于應(yīng)力處于彈性狀態(tài)的單元，單元?jiǎng)偠汝囉?7.71)計(jì)算。而對(duì)于進(jìn)入塑性的單元，單元?jiǎng)偠汝囉?7.72)計(jì)算。中的應(yīng)力取增量加載前的應(yīng)力。結(jié)構(gòu)總剛度矩陣的形成與前幾章所介紹的線彈性問(wèn)題方法完全相同，也是利用單元定位向量，直接由單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行集成，由此求解可得到，從而求出和，這樣第一次增量加載后的位移，應(yīng)變和應(yīng)力是在加載第k次載荷增量后，可通過(guò)求解〔7.73〕得到，進(jìn)而得重復(fù)上述過(guò)程，直至第n個(gè)載荷增量。最后的位移、應(yīng)變和應(yīng)力就是彈塑性分析的結(jié)果。增量切線剛度法，由于每個(gè)載荷增量步都需要重新計(jì)算一次剛度矩陣，所以這個(gè)方法也稱為變剛度法。增量切線剛度法在實(shí)施過(guò)程中，隨著不斷地增量加載，解會(huì)越來(lái)越偏離真實(shí)解，即出現(xiàn)所謂解的漂移現(xiàn)象。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因除了應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系用增量形式代替微分形式外，還來(lái)自過(guò)渡單元的不準(zhǔn)確的剛度矩陣的計(jì)算。必要時(shí)可以用下面介紹的方法加以校正。結(jié)構(gòu)在逐步加載過(guò)程中，塑性是不斷擴(kuò)展的。有一些單元在某一增量載荷步前處于彈性區(qū)內(nèi)，而在該增量載荷步后可能進(jìn)入塑性區(qū)，這些單元稱為過(guò)渡單元。對(duì)于過(guò)渡單元，其剛度矩陣如果簡(jiǎn)單地按式〔7.71〕或〔7.72〕計(jì)算都會(huì)帶來(lái)較大誤差。通常在計(jì)算其剛度矩陣時(shí)，應(yīng)該用下述帶權(quán)平均彈塑性矩陣。如用表示過(guò)渡單元到達(dá)屈服時(shí)所需的等效應(yīng)變?cè)隽?，而用表示該單元下次增量加載所引起的等效應(yīng)變?cè)隽?，如圖7.13所示，記圖7.13顯然，對(duì)過(guò)渡單元有。定義加權(quán)平均彈塑性矩陣那么對(duì)過(guò)渡單元應(yīng)按下式計(jì)算剛度矩陣〔7.74〕如果采用數(shù)值積分計(jì)算，那么在過(guò)渡的積分點(diǎn)上應(yīng)作上述考慮。通常對(duì)的估計(jì)，開(kāi)始往往不夠精確。一般第一次估計(jì)是根據(jù)上次增量載荷的結(jié)果推出，然后用解算的結(jié)果來(lái)修改，經(jīng)過(guò)二三次的迭代就可得到比擬精確的結(jié)果。應(yīng)該指出的是，上述用迭代處理和校正過(guò)渡單元?jiǎng)偠染仃嚨挠?jì)算，雖然提高了求解的精度，但在迭代中卻付出了成倍的計(jì)算時(shí)間。下面介紹另一種較好的求解方案。上述增量切線剛度法，對(duì)每一增量加載步，被求解的線性代數(shù)方程組〔7.73〕可以作如下的變動(dòng)：〔7.75〕式中是本次增量加載后結(jié)構(gòu)中承受的總載荷向量。而右端最后一項(xiàng)積分是前一增量加載步末與結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力等價(jià)的結(jié)點(diǎn)載荷。很顯然，這是我們?cè)?.2節(jié)中所提到的帶自校正的增量法的方程。由于這一方程能對(duì)以前的載荷不平衡作一校正，使求解結(jié)果具有較好的精度。因每次增量載荷步，方程〔7.75〕都具有“自校正”的作用，有人建議可以不去考慮上述過(guò)渡單元的迭代計(jì)算。實(shí)踐證明，帶自校正的增量切線剛度法〔或稱一階自校正法〕是一種較好的求解方案。初應(yīng)力法對(duì)于彈塑性問(wèn)題，增量形式的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系可以定義為而其中由式〔7.56〕計(jì)算。對(duì)某單元開(kāi)始進(jìn)入塑性以后的每次加載，用增量代替微分〔7.76〕位移增量應(yīng)滿足的平衡方程是〔7.77〕由于式〔7.76〕第一式中的系數(shù)陣為彈性矩陣，式〔7.77〕中的剛度矩陣就是彈性計(jì)算中的剛度矩陣。而是與初應(yīng)力等值的節(jié)點(diǎn)載荷，它是不平衡的矯正載荷?？梢钥闯?，式〔7.77〕中的矯正載荷決定于應(yīng)變?cè)隽?，而在求解前是未知的，因此?duì)每個(gè)增量載荷步，一個(gè)迭代過(guò)程是必須的，以便同時(shí)求出位移增量和應(yīng)變?cè)隽?。第k次增量載荷的迭代公式是〔7.78〕第一次迭代是在下作純彈性計(jì)算。以后的迭代是根據(jù)前次迭代求出的和加載前的應(yīng)力水平計(jì)算，然后按式計(jì)算。逐次進(jìn)行迭代，直至收斂。值得注意的是，對(duì)于過(guò)渡單元，初應(yīng)力的計(jì)算不應(yīng)計(jì)及總應(yīng)變?cè)隽恐性谶M(jìn)入屈服之前的局部〔參看圖7.13〕，即矯正載荷應(yīng)用下式計(jì)算〔7.79〕初應(yīng)變法對(duì)于彈塑性問(wèn)題，增量形式的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系可定義為〔7.80〕而由式〔7.53〕和〔7.55〕，有〔7.81〕用增量代替微分，將式〔7.80〕和〔7.81〕線性化〔7.82〕此時(shí)位移增量應(yīng)滿足的平衡方程為(7.83)式中仍為彈性計(jì)算中的剛度矩陣，而〔7.84〕是與初應(yīng)變等價(jià)的節(jié)點(diǎn)載荷，或稱為矯正載荷。由于矯正載荷與應(yīng)力增量有關(guān)，而本身又是待確定的量，因此求解方程組〔7.83〕必須采用迭代方法。第k次增量載荷步的迭代公式為〔7.85〕每一次加載時(shí)，首先取作一次彈性計(jì)算，以后的迭代用上次迭代的結(jié)果和加載前的應(yīng)力水平計(jì)算，逐次進(jìn)行迭代，直至收斂。方法的比擬1．增量切線剛度法是在每次增量加載中用調(diào)整剛度矩陣的方法求非線性問(wèn)題的近似解的。初應(yīng)力法實(shí)質(zhì)上是在每一增量步上確立結(jié)構(gòu)中彈塑性的應(yīng)力值和彈性解應(yīng)力值之差，并不斷按彈性方式重新分配這個(gè)差值，以恢復(fù)平衡。而初應(yīng)變法那么是不斷調(diào)整初應(yīng)變的過(guò)程。2．增量切線剛度法由于在每次增量加載中都形成一次剛度矩陣，并求解一次，故計(jì)算時(shí)間一般比初應(yīng)力法和初應(yīng)變法長(zhǎng)。因初應(yīng)力法和初應(yīng)變法在迭代中應(yīng)用的是彈性剛度矩陣，如果求解一開(kāi)始就將剛度矩陣進(jìn)行三角分解，那么在每次迭代中只需進(jìn)行右端項(xiàng)的約化和回代，計(jì)算時(shí)間較節(jié)省。3．可以證明，對(duì)一般強(qiáng)化材料，初應(yīng)力法的迭代過(guò)程總是收斂的，而對(duì)初應(yīng)變法，收斂的充分條件是。對(duì)理想塑性材料，初應(yīng)力法和初應(yīng)變法的迭代過(guò)程都是發(fā)散的。4．如果要為一個(gè)通用程序配置一個(gè)求解方案的話，建議采用帶校正的增量切線剛度法。通常該方法能得到較好的求解精度。如果將增量切線剛度法與初應(yīng)力法相結(jié)合，那么效果更好。算例——帶孔平板的拉伸問(wèn)題承受單向拉伸的開(kāi)孔板