易錯拔尖：相交線（解析版）

易錯拔尖：相交線（解析版）易錯點易錯點1：對頂角概念理解出錯1．（2021春?寧德期末）下列命題是真命題的有幾個？（）①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③若兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角；④若兩個角不是對頂角，則這兩個角不相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個思路引領：根據(jù)題目中的說法可以判斷各個命題是否為真命題，從而可以解答本題．解：對頂角相等，故①是真命題，相等的角不一定是對頂角，如兩直線平行，同位角相等，而這兩個同位角不是對頂角，故②是假命題，因為對頂角相等，所以兩個角不相等，則這兩個角一定不是對頂角，故③是真命題，若兩個角不是對頂角，則這兩個角可能相等，如兩直線平行，同位角相等，則這兩個同位角不是對頂角，故④是假命題，故選：B．總結提升：本題考查命題和定理，解答本題的關鍵是明確題意，可以判斷題目中的命題是否為真命題．誤點警示：對頂角必須滿足具有公共邊，兩個角的兩邊互為反向延長線，這兩個條件只滿足其中一個條件是不能判定這兩個角是對頂角的，在平時作業(yè)過程中，如果兩個角只滿足對頂角的一個特征，不少同學就誤認為這兩個角是對頂角．易錯點2：鄰補角與補角區(qū)分不清2．如圖，點O是直線AB上的任意一點，OC，OD，OE是過點O的三條射線，若∠AOD＝∠COE＝90°，則下列說法：①與∠AOC互為鄰補角的角只有一個；②與∠AOC互為補角的角只有一個；③與∠AOC互為鄰補角的角有兩個；④與∠AOC互為補角的角有兩個．其中正確的是（）A．②③ B．①② C．③④ D．①④解析：由圖可知，∠AOC只有一個鄰補角∠BOC，①正確③錯誤；∵∠AOD=∠COE=90°∴∠AOE+∠EOD=∠COD+∠EOD∴∠AOE=∠COD.又∵∠AOE+∠BOC=∠COD+∠EOD=90°所以∠BOC=∠EOD.∴與∠AOC互為補角的角有兩個，分別為∠BOC和∠EOD，②錯誤④正確；故選D誤點警示：鄰補角既包含數(shù)量關系，又包含位置關系，補角僅包含數(shù)量關系，本題容易因?qū)︵徰a角和補角區(qū)分不清而出錯。拔尖角度角度1利用鄰補角及對頂角的性質(zhì)求角1．如圖所示，直線AB、CD、EF兩兩相交，若∠1＝30°，∠2＝60°，則∠3＝，∠4＝，∠5＝，∠6＝．思路引領：根據(jù)對頂角相等可求∠3，∠4，根據(jù)鄰補角互補可求∠5，∠6，從而求解．解：∵∠1＝30°，∠2＝60°，∴∠3＝30°，∠4＝60°，∠5＝180°﹣30°＝150°，∠6＝180°﹣60°＝120°．故答案為：30°，60°，150°，120°．總結提升：此題考查了對頂角、鄰補角，對頂角的性質(zhì)：對頂角相等．鄰補角的性質(zhì)：鄰補角互補，即和為180°．2．（2021春?祥云縣期末）如圖，直線AB、CD、EF相交于點O．（1）寫出∠COE的鄰補角；（2）分別寫出∠COE和∠BOE的對頂角；（3）如果∠BOD＝60°，∠BOF＝90°，求∠AOF和∠FOC的度數(shù)．思路引領：（1）根據(jù)鄰補角的概念即可解答；（2）根據(jù)對頂角的概念即可解答；（3）因為∠BOF＝90°，所以AB⊥EF，由此可得∠AOF，再根據(jù)對頂角的概念可得∠FOC的度數(shù)．解：（1）∠COE的鄰補角為∠COF和∠EOD；（2）∠COE和∠BOE的對頂角分別為∠DOF和∠AOF；（3）∵∠BOF＝90°，∴AB⊥EF∴∠AOF＝90°，又∵∠AOC＝∠BOD＝60°∴∠FOC＝∠AOF+∠AOC＝90°+60°＝150°．總結提升：本題考查的主要內(nèi)容是鄰補角和對頂角的概念，以及角的和差計算，掌握鄰補角和對頂角的概念是解題的關鍵．角度2利用鄰補角的性質(zhì)求折疊中的角（折疊法）3．（2021秋?成都期末）直線AB與直線CD相交于點O，∠AOD＝90°，射線OF在∠BOD內(nèi)部．（1）如圖1，射線OE在∠AOD內(nèi)部，若∠DOE＝∠BOF＝40°，請比較∠AOE和∠DOF的大小，并說明理由；（2）如圖2，小亮將∠BOF沿射線OH折疊，使OF與OD重合，OB落在∠AOD的內(nèi)部為OG．小亮提出了以下問題，請你解決：①∠BOG等于∠COF嗎？請說明理由；②現(xiàn)有一條射線OM在∠AOD內(nèi)部，若∠BOF＝50°，∠MOG＝15°，請求出∠MOH的度數(shù)．思路引領：（1）因為∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，所以∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，則∠AOE＝∠DOF；（2）①因為∠BOD＝90°，所以∠BOF+∠DOF＝90°，由折疊可知，∠BOF＝∠GOD，所以∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，因為COB＝90°，所以∠COB＝∠GOF，則∠BOG＝∠COF；②因為∠BOF＝50°，所以∠DOF＝40°，由折疊可知，OH平分∠DOF，所以∠DOH＝∠FOH＝20°，因為∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，所以∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．解：（1）∠AOE＝∠DOF，理由如下：∵∠AOD＝90°，∠DOE＝∠BOF＝40°，∴∠AOE＝50°，∠DOF＝50°，∴∠AOE＝∠DOF；（2）①∠BOG＝∠COF，理由如下：∵∠BOD＝90°，∴∠BOF+∠DOF＝90°，∵∠BOF沿射線OH折疊得到∠GOD，∴∠BOF＝∠GOD，∴∠GOD+∠DOF＝90°，即∠GOF＝90°，∵∠COB＝90°，∴∠COB＝∠GOF，∴∠COB+∠BOF＝∠GOF+∠BOF，∴∠BOG＝∠COF；②∵∠BOF＝50°，∴∠DOF＝40°∵沿射線OH折疊，OF與OD重合，∴OH平分∠DOF，∴∠DOH＝∠FOH＝20°，∵∠GOD＝∠BOF＝50°且∠MOG＝15°，∴∠MOH＝85°或∠MOH＝55°．總結提升：本題考查了垂線、角平分線的定義、對頂角、鄰補角，解決本題的關鍵是掌握角平分線定義．4．如圖，AB，CD，EF相交于點O，如果∠AOC＝65°，∠DOF＝50°．（1）求∠BOE的度數(shù)．（2）通過計算∠AOF，∠AOC的度數(shù)，你發(fā)現(xiàn)射線OA有什么特殊性嗎？思路引領：（1）根據(jù)對頂角相等可得∠BOD＝∠AOC＝65°，∠COE＝∠DOF＝50°，再根據(jù)題意解答即可；（2）由（1）的結論解答即可．解：（1）∵∠AOC＝65°，∠DOF＝50°，∴∠AOC＝∠BOD＝65°，∠COE＝∠DOF＝50°，∴∠BOE+∠AOF＝360﹣65°×2﹣50°×2＝130°，又∵∠BOE＝∠AOF，∴∠BOE=12×130（2）射線OA平分∠COF，理由如下：由（1）得，∠AOF＝65°，∴∠AOC＝∠AOF，∴射線OA平分∠COF．總結提升：此題主要考查了鄰補角、對頂角，以及角平分線，關鍵是掌握鄰補角互補，對頂角相等．角度3利用鄰補角及對頂角的性質(zhì)探究角的變化5．如圖，直線AB、CD交于點O，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）∠AOC＝50°，求∠DOF與∠DOE的度數(shù)，并計算∠EOF的度數(shù)；（2）當∠AOC的度數(shù)變化時，∠EOF的度數(shù)是否變化？若不變，求其值；若變化，說明理由．思路引領：（1）根據(jù)對頂角、鄰補角，可得∠BOD、∠AOD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠DOF與∠DOE的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得∠DOF與∠DOE的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得答案．解：（1）由對頂角相等，得∠BOD＝∠AOC＝50°，由OF平分∠BOD，得∠DOF=12∠BOD=12由鄰補角互補，得∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣50°＝130°，由OE平分∠AOD，得∠DOE=12∠AOD=12由角的和差，得∠EOF＝∠DOF+∠DOE＝25°+65°＝90°；（2）∠AOC的度數(shù)變化時，∠EOF的度數(shù)沒有變化，理由：由OF平分∠BOD，得∠DOF=12∠由OE平分∠AOD，得∠DOE=12∠由角的和差，得∠EOF＝∠DOF+∠DOE=12∠BOD+=12（∠AOD+∠=12∠AOB＝總結提升：本題考查了對頂角、鄰補角，利用了對頂角的性質(zhì)，鄰補角的定義，角平分線的性質(zhì)，角的和差．角度4利用鄰補角及對頂角的定義進行計數(shù)（基本圖形法）6．（1）觀察圖①，圖中共有條直線，對對頂角，對鄰補角．（2）觀察圖②，圖中共有條直線，對對頂角，對鄰補角．（3）觀察圖③，圖中共有條直線，對對頂角，對鄰補角．（4）若有n條不同直線相交于一點，則可以形成對對頂角，對鄰補角．思路引領：（1）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義得到2×1＝2對對頂角，4對鄰補角；（2）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義得到3×2＝6對對頂角，12對鄰補角；（3）根據(jù)對頂角、鄰補角的定義得到4×3＝12對對頂角，24對鄰補角；（4）根據(jù)前面的規(guī)律得到：有n條不同直線相交于一點，可以得到n（n﹣1）對對頂角，2n（n﹣1）對鄰補角．解：（1）圖①中共有2條直線，2對對頂角，4對鄰補角；（2）圖②中共有3條直線，6對對頂角，12對鄰補角；（3）圖③中共有4條直線，12對對頂角，24對鄰補角．（4）若有n條不同直線相交于一點，則可以形成n（n﹣1）對對頂角，2n（n﹣1）對鄰補角．總結提升：本題考查了對頂角、鄰補角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，具有這種位置關系的兩個角，互為對頂角；只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長線，具有這種關系的兩個角，互為鄰補角．角度5方程思想的運用7．（2021春?撫遠市期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE，∠AOD：∠BOE＝7：1，求∠AOF的度數(shù)．思路引領：設∠AOD＝7x°，則∠BOE＝x°，由角平分線的定義可求解x值，進而可求解∠COE的度數(shù)，由角平分線的定義可得∠COF的度數(shù)，再根據(jù)∠A