立體幾何專題：距離和角

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上立體幾何專題：距離和角求“二面角”與“點(diǎn)到平面的距離”問題一直是高考命題的熱點(diǎn)，而這兩方面的題目又是很多學(xué)生感到頭痛的。事實(shí)上，這兩類問題有著較強(qiáng)的相關(guān)性，下面給出這兩類問題的一個“統(tǒng)一”求解公式，讓你一招通解兩類問題，定理：如下圖，若銳二面角的大小為，點(diǎn)A為平面內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)A到二面角棱CD的距離為，點(diǎn)A到平面的距離AH=d，則有。說明：中含有3個參數(shù)，已知其中任意2個可求第3個值。其中是指二面角的大小，d表示點(diǎn)A到平面的距離，m表示點(diǎn)A到二面角棱CD的距離。值得指出的是：可用來求解點(diǎn)到平面的距離，也可用于求解相關(guān)的二面角大小問題。其優(yōu)點(diǎn)在于應(yīng)用它并不強(qiáng)求作出經(jīng)過點(diǎn)A

2、的二面角的平面角ABH，而只需已知點(diǎn)A到二面角棱的距離，與二面角大小，即可求解點(diǎn)A到平面的距離，或已知兩種“距離”即可求二面角的大小。這樣便省去了許多作圖過程與幾何邏輯論證，簡縮了解題過程。還要注意，當(dāng)已知點(diǎn)A到平面的距離d與點(diǎn)A到二面角棱CD的距離m求解二面角的大小時(shí)，若所求二面角為銳二面角，則有；若所求二面角為鈍二面角，則下面舉例說明該公式在解題中的應(yīng)用。例1. （2004年全國卷I理科20題）如下圖，已知四棱錐P-ABCD，PBAD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。（1）求點(diǎn)P到平面ABCD的距離；（2）求面

3、APB與面CPB所成二面角的大小。分析：如上圖，作PO平面ABCD，垂足為O，即PO為點(diǎn)P到平面ABCD距離。第（1）問要求解距離PO，只需求出點(diǎn)P到二面角P-AD-O的棱AD的距離，及二面角P-AD-O的大小即可。第（2）問要求解二面角A-PB-C的大小，只需求出點(diǎn)C到二面角A-PB-C棱PB的距離及點(diǎn)C到半平面APB的距離即可。解：（1）如上圖，取AD的中點(diǎn)E，連結(jié)PE。由題意，PEAD，即。又二面角P-AD-O與二面角P-AD-B互補(bǔ)，所以二面角P-AD-O的大小為60°，即。于是由公式知：點(diǎn)P到平面ABCD的距離為。（2）設(shè)所求二面角A-PB-C的大小為，點(diǎn)C到平面PAB的距

4、離為d。連接BE，則BEAD（三垂線定理），AD平面PEB，因?yàn)锳DBC，所以BC平面PEB，BCPB，即點(diǎn)C到二面角棱PB的距離為2，即m=2。又因?yàn)镻E=BE=，PEB=120°，所以在PEB中，由余弦定理可求得PB=3。取PB的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，因?yàn)镻A=AB=2，則AFPB，所以，即。又易求得，點(diǎn)P到平面ABC的距離：。根據(jù)等體積法，有，即，所以，代入公式。又由于面PBC面PEB，所以所求二面角A-PB-C為鈍二面角，所以點(diǎn)評：對于這個高考試題，許多考生反映第（2）問求解困難，失分較為嚴(yán)重。究其原因有二：一是不能正確地作出二面角的平面角；二是在求二面角的平面角時(shí)存在計(jì)算障礙。

5、利用公式求解，省去了許多繁難的作圖過程與邏輯論證，其優(yōu)勢顯而易見。例2. 已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離。分析：欲求點(diǎn)B到平面GEF的距離，直接求解較困難。為此我們令平面GEF作為某二面角的一個半平面，當(dāng)然二面角的另一個半平面即為平面BEF，為此我們只需找到該二面角的平面角及點(diǎn)B到二面角棱EF的距離即可。解：如下圖，過B作BPEF，交EF的延長線于P，連結(jié)AC交EF于H，連結(jié)GH，易證GHC就是二面角G-EF-C的平面角。又，這就是點(diǎn)B到二面角C-EF-G棱EF的距離因?yàn)镚C=2，所以，GH=，在

6、RtGCH中，于是由得所求點(diǎn)B到平面GEF的距離：。例3. 已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，ABC=90°，BC=2，且AA1A1C，AA1=A1C。求頂點(diǎn)C與側(cè)面A1ABB1的距離。分析：如下圖所示，解答好本題的關(guān)鍵是找到底面ABC的垂線A1D，找到了底面的垂線A1D，就可根據(jù)三垂線定理，作出側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的平面角A1DE，求出二面角A1-AB-C的平面角大小，就可依據(jù)公式找到點(diǎn)D到平面A1ABB1的距離d，進(jìn)而根據(jù)D為AC中點(diǎn)，也就不難求出點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離。解：如上圖，在側(cè)面A1ACC1內(nèi)，作A1DAC，垂足為D，因?yàn)锳A1=A1C，所以D為AC的中點(diǎn)。又因?yàn)锳A1A1C，A1D=AD=。因?yàn)閭?cè)面A1ACC1底面ABC，其交線為AC，所以A1D面ABC。過D作DEAB，垂足為E，連接A1E，則由A1D面ABC，得A1EAB（三垂線定理），所以A1ED為側(cè)面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角。由已知，ABBC，得EDBC，又D是AC的中點(diǎn)，BC=2，所以DE=1，故A1ED=60°。于是由公式知，點(diǎn)D到側(cè)面A1ABB1的距離。又點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，故而點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離為點(diǎn)D到側(cè)面A1ABB1距離的2倍，于是知點(diǎn)C到側(cè)面A1ABB1的距離為。點(diǎn)評：本例先