專題2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【九大題型】（舉一反三）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（原卷版）

專題2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【九大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不含參的一元二次不等式的解法】 1【題型2含參的一元二次不等式的解法】 2【題型3解簡(jiǎn)單的分式不等式】 3【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 3【題型5一元二次不等式恒成立問題】 4【題型6一元二次不等式有解問題】 4【題型7一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】 5【題型8二次函數(shù)的零點(diǎn)問題】 7【題型9三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用】 7【知識(shí)點(diǎn)1一元二次不等式】1．一元二次不等式一般地，我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均為常數(shù)，a≠0.2．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對(duì)不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；②計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式；③求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；②若求對(duì)應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對(duì)判別式Δ進(jìn)行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對(duì)兩根的大小進(jìn)行討論．【題型1不含參的一元二次不等式的解法】【例1】（2023春·天津紅橋·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）一元二次不等式x-1x+2>0的解集為（

）A．-∞,-2∪C．-∞,-1∪【變式1-1】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式x2<4xA．x0<x<4C．x0<x<2【變式1-2】（2022秋·高一單元測(cè)試）若集合A=x|x2+2xA．xB．xC．RD．{x|-3<【變式1-3】（2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式x2-5A．{x|2<{C．{x|x>3} D【題型2含參的一元二次不等式的解法】【例2】（2022秋·湖南益陽·高一?？计谥校┤?<m<1，則不等式x-A．x1m<C．xx>m【變式2-1】（2022秋·廣東佛山·高一校考階段練習(xí)）不等式x2-2A．xa<x<aC．xa<x<【變式2-2】（2022秋·安徽·高一校聯(lián)考期中）對(duì)于給定實(shí)數(shù)a，不等式ax-1xA．x-1<xC．xx>-1 D【變式2-3】（2022秋·湖北武漢·高一校聯(lián)考期中）關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{A．{x∣-2<xC．{x∣x>2或x<-1}【題型3解簡(jiǎn)單的分式不等式】【例3】（2022秋·高一校考課時(shí)練習(xí)）不等式1-xx≥0A．x|0≤x≤1C．x∣x≤0或x≥1 D【變式3-1】（2022秋·四川成都·高一校考期中）不等式x-3xA．xx<2或x≥3C．xx≤2或x≥3【變式3-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）不等式x+1x-A．-1,-12C．-1,-12【變式3-3】（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知a>0,b>0，則不等式-A．x<-1a或x>1C．-1a<x<0或0<【題型4由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若不等式x2-a+1xA．[－4，3] B．[－4，2]C．[－1，3] D．[－2，2]【變式4-1】（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知不等式x2+ax+4<0的解集為空集，則實(shí)數(shù)A．a(chǎn)a≤-4或a≥4C．a(chǎn)a<-4或a>4【變式4-2】（2023秋·湖南郴州·高一統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次不等式x2-3x+2<0的解集為{A．3 B．4 C．5 D．6【變式4-3】（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高一期末）若關(guān)于x的不等式x2-(m+3)x+3A．5<m≤6 B．5≤m≤6 C．【題型5一元二次不等式恒成立問題】【例5】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高二統(tǒng)考期末）若不等式mx2+mx-4<2xA．-2,2 B．-10,2 C．-∞【變式5-1】（2023秋·遼寧·高三?？计谀┤魧?duì)任意的x∈(0,+∞),x2A．(-2,2) B．(2,+∞) C．(-∞【變式5-2】（2023·全國·高一假期作業(yè)）若不等式x2-2x+5≥A．-1,4 B．C．-∞,-1∪【變式5-3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若對(duì)于任意x∈[m,m+1]，都有xA．(-23,0)C．[-23,0]【題型6一元二次不等式有解問題】【例6】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2-4x-A．a(chǎn)a≥-2 B．a(chǎn)a≤-2 C．【變式6-1】（2023春·湖南長(zhǎng)沙·高一校考期中）若?x∈0,4，使得不等式x2-A．a(chǎn)>-1 B．a(chǎn)>1 C．a(chǎn)>8【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若存在實(shí)數(shù)x，使得mx2-m-A．-∞,2 BC．-∞,2【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2-6x+11-a<0A．-2,+∞ B．3,+∞ C．6,+【題型7一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）某旅店有200張床位．若每張床位一晚上的租金為50元，則可全部租出；若將出租收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)每晚提高10x元（x為正整數(shù)），則租出的床位會(huì)相應(yīng)減少10x張．若要使該旅店某晚的收入超過【變式7-1】（2022秋·北京·高一校考階段練習(xí)）如圖所示，已知邊長(zhǎng)為8m的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE=4m，CD=6m.為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形塊BNPM，使點(diǎn)(1)設(shè)MP=x?m，矩形BNPM的面積為S?m2(2)要使矩形BNPM的面積不小于42m2，試求x【變式7-2】（2022秋·江蘇連云港·高一?？茧A段練習(xí)）汽車在行駛中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析事故的一個(gè)重要因素．在一個(gè)限速50km/h的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對(duì)，同時(shí)剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場(chǎng)勘查測(cè)得甲車的剎車距離小于12m，乙車的剎車距離略超過10m，又知甲、乙兩種車的剎車距離s（單位：m）與車速x（單位：km/h）之間分別有如下關(guān)系：s甲=0.01x【變式7-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某汽車廠上年度生產(chǎn)汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價(jià)為12萬元/輛，年銷售量為10000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品質(zhì)量，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為（0<x<1），則出廠價(jià)相應(yīng)地提高比例為，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為，已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)-投入成本）×年銷售量．（1）寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)與投入成本增加的比例的關(guān)系式；（2）為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系】1．二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．【注】：(1)二次函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(2)一元二次方程的根是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點(diǎn)．2．二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系△>0△=0△<0y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象ax2+bx+c=0

(a>0)的根有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根

x1,x2（x1<x2）有兩個(gè)相等

的實(shí)數(shù)根

沒有實(shí)數(shù)根ax2+bx+c>0

(a>0)的解集或Rax2+bx+c<0

(a>0)的解集{x|x1<x<x2}【注】：(1)對(duì)于一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為正且存在兩個(gè)根的情況下，其解集的常用口訣是：大于取兩邊，小于取中間．(2)對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a<0)的不等式，可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，再對(duì)照上述情況求解．【題型8二次函數(shù)的零點(diǎn)問題】【例8】（2022秋·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的函數(shù)y=x2-mx+m的兩個(gè)零點(diǎn)均在區(qū)間[1,3]【變式8-1】（2022秋·江蘇鹽城·高一?？茧A段練習(xí)）已知不等式ax2+bx+1>0的解集為x-2<x【變式8-2】（2023春·安徽馬鞍山·高一校考開學(xué)考試）已知函數(shù)y=-x2+bx+c只有一個(gè)零點(diǎn)，不等式-A．-4 B．-3 C．-2【變式8-3】（2022秋·江蘇南京·高一階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x－2－1013y－12－6－20－2則下列結(jié)論正確的是（

）A．a(chǎn)>0 B．該二次函數(shù)的零點(diǎn)為C．關(guān)于x的不等式ax2+bx+【題型9三個(gè)“二次”關(guān)系的應(yīng)用】【例9】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=ax2+A．-2,1 B．-∞,-2∪1,+∞ C．【變式9-1】（2022·全國·高一專題練習(xí)）二次方程