三角函數的概念圖像及性質

關于三角函數的概念圖像及性質三角函數三角不等式三角方程三角式五點做圖象“代表”+kT一角二名三結構和差倍半是變角基本誘導是變名輔助升降變結構三角概述2.解三角形：正余弦定理知三有三1.四個三：第2頁,共38頁，2024年2月25日，星期天三角式運算公式總述1.公式：2.作用：①同角關系②異角關系一角二名三結構……第3頁,共38頁，2024年2月25日，星期天三角式的定義和差化積同角基本關系異角加法公式平方關系倒數關系商數關系降冪升冪萬能半角世上本無路走的人多了便有了路三角運算公式關聯圖一角二名三結構和差倍半是變角基本誘導是變名輔助升降變結構作用倍角輔助角積化和差誘導第4頁,共38頁，2024年2月25日，星期天2.誘導(歸約)公式三角式的運算公式分論1.同角基本關系式4.倍角公式3.和角及差角(加法)公式6.輔助角公式5.升冪及降冪公式①萬能公式②三倍角公式③和差化積與積化和差公式……7.其他公式異角第5頁,共38頁，2024年2月25日，星期天1、同角基本關系式①平方關系③倒數關系②商數關系(1)公式：sinxcosxtanxcotxsecxcscx1注：記憶圖①平方關系：陰影三角形…②商數關系：邊上左右鄰居…③倒數關系：對角線……第6頁,共38頁，2024年2月25日，星期天1、同角基本關系式(1).公式：……(2).作用：變名變結構注：經典題型：同角兩弦的和差商積可互化.即“知一有n”橋梁：第7頁,共38頁，2024年2月25日，星期天2、誘導(歸約)公式周期性公式奇偶性公式補角公式余角公式分公式總公式(1).公式：(2).作用：②分公式①總公式變角變名符號看象限奇變偶不變周期性奇偶性補角公式余角公式……第8頁,共38頁，2024年2月25日，星期天（1）周期性公式2、誘導公式——分公式（共9組）函數y=Acos(ωx+φ)的最小正周期

注：函數y=Asin(ωx+φ)的最小正周期函數y=Atan(ωx+φ)的最小正周期第9頁,共38頁，2024年2月25日，星期天（2）奇偶性公式注：正弦函數y=sinx是奇函數余弦函數y=cosx是偶函數正切函數y=tanx是奇函數2、誘導公式——分公式（共9組）第10頁,共38頁，2024年2月25日，星期天（3）補角公式同名互補正弦等同名互補其他反（4）余角公式互余異名值相等第11頁,共38頁，2024年2月25日，星期天(1)公式：(2)作用：變角變名變結構3.和角與差角公式(加法公式)第12頁,共38頁，2024年2月25日，星期天4.倍角公式(2)作用：(1)公式：變角變名變結構（兩弦式）（正弦式）（余弦式）第13頁,共38頁，2024年2月25日，星期天降冪公式(1)公式：(2)作用：降冪倍角注：余弦倍角1變6同＋異－三個2升冪公式(2)作用：(1)公式：升冪半角②①②③①第14頁,共38頁，2024年2月25日，星期天（兩弦式）（正弦式）（余弦式）②①④⑥⑤③注1.余弦倍角1變6同+異-三個2（降冪公式）（升冪公式）注2.降冪公式兩端同時開方，即得半角公式第15頁,共38頁，2024年2月25日，星期天6.輔助角公式注1.使用前提是同角少式多角成和諧注2.a，b的確定方法：注3.輔助角φ的確定方法：（其中，Φ與點(a,b)同象限）Φ與點(b,a)同象限）（其中，（1）（2）②a,b分別是sin□與cos□的系數①asin□與bcos□之間是“+”連接方法甚多憑愛好坐標定義是基礎數形結合兩限制注釋說明一般角OφX(a,b)注.與正相反是余弦縱橫相反+變-第16頁,共38頁，2024年2月25日，星期天①萬能公式倍角公式正切式勾股定理來記憶證明技巧數式換三角代數可互換注1.記憶設，則①②③22t1-t21+t2此記憶方法乃代數換元法，體現了三角式與代數式可代換注2.萬能公式的證明：三角變換的技巧——數式互換第17頁,共38頁，2024年2月25日，星期天③積化和差公式加法公式聯反用同名余弦異名正第18頁,共38頁，2024年2月25日，星期天④和差化積公式和差化積如何用必須同名是前提換角展開即可得和差半來再和差注：第19頁,共38頁，2024年2月25日，星期天⑤半角公式降冪開方即半角半角象限定符號第20頁,共38頁，2024年2月25日，星期天

“平方差公式”三倍角公式第21頁,共38頁，2024年2月25日，星期天一、三角函數的概念三、三角函數的性質④凸凹性①周期性③對稱性②單調性⑤漸近性(1)奇偶性(2)對稱中心(3)對稱軸1.定義域2.值域①范圍②最值③極值④零點⑤正負值§47三角函數的概念、圖像及性質二、三角函數的圖像3.性質第22頁,共38頁，2024年2月25日，星期天1.一般的，函數y=sinx叫做正余函數2.一般的，函數y=cosx叫做余弦函數3.一般的，函數y=tanx叫做正切函數有圖就有一切一、三角函數的概念二、三角函數的圖像“代表”+kT第23頁,共38頁，2024年2月25日，星期天1.y=sinx的圖像及常用的3個代表研究單調性用此代表較佳研究正負值用此代表較佳第24頁,共38頁，2024年2月25日，星期天2.y=cosx的圖像及常用的3個代表研究單調性用此代表較佳研究正負值用此代表較佳第25頁,共38頁，2024年2月25日，星期天3.y=tanx的圖象第26頁,共38頁，2024年2月25日，星期天4.y=cotx的圖象第27頁,共38頁，2024年2月25日，星期天[-1,1][-1,1]偶函數奇函數奇函數平衡點平衡點及間斷點平衡點過最值點過最值點定義域值域周期性凸凹性漸近性對稱性單調性奇偶性點對稱軸對稱……………………第28頁,共38頁，2024年2月25日，星期天(1)函數y=sinx|cotx|的圖像的大致是A.B.C.D.【C】第29頁,共38頁，2024年2月25日，星期天(2)函數y=|tanx|的最小正周期是__________單調減區(qū)間是____________________對稱軸是____________________析：有圖就有一切第30頁,共38頁，2024年2月25日，星期天函數y=2x－tanx在上的圖像大致是(3)《精練案》P：47Ex5A.B.C.D.析：奇偶性；以點代線；……【D】第31頁,共38頁，2024年2月25日，星期天【A】(4)(2002年北京春考)函數y=2sinx的單調增區(qū)間是A.B.C.D.第32頁,共38頁，2024年2月25日，星期天(5)當x∈時,求函數y=3-sinx-2cos2x的值域析：因,故又因y=3-sinx-2cos2x=2sin2x-sinx+1

故第33頁,共38頁，2024年2月25日，星期天(6)已知函數y=sinx的定義域為[a,b],值域為則b-a的值不可能是析：因值域不含最大值1,故定義域的長度b-a小于周期2π如圖，不妨在周期區(qū)間內討論故即選【A】第34頁,共38頁，2024年2月25日，星期天(7)若函數f(x)=sinx+3|sinx|,且g(x)=

f(x)－

k在(0,2π)上如圖，故k∈(2,4)析：因f(x)=4sinx－2sinx(0＜x≤π)(π＜x＜2π)42有2個零點，則k的取值范圍值是________引申：函數g(x)的零點個數與k的關系是……第35頁,共38頁，2024年2月25日，星期天最大值為M，最小值為m，則M+m=____(8)(2012年新課標)設函數的暗考奇偶性：令,易得g(x)的為奇函數故g(x)的最大值為M-1，最小值為m-1從而(M-1)+(m-1)=0即M+m=2因第36頁,共38頁，2024年2月25日，星期天作業(yè)：1.當x∈時,求函數y=3-cosx-2sin2x的值域2.(2007年全國Ⅰ)函數一個單調增區(qū)間是的A.B.C.D.3.下列說