高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題(及答案)

高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題(及答案)

高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題及答案第I卷（選擇題）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，則C=（）。A。2π/3B。π/3C。πD。3π/4改寫：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下條件p的充要條件。A。充要條件B。充分不必要條件C。必要不充分條件D。既非充分也非必要條件改寫：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要條件。答案：B3.已知等比數(shù)列{an}中，a2a10=6a6，等差數(shù)列{bn}中，b4+b6=a6，則數(shù)列{bn}的前9項(xiàng)和為（）。A。9B。27C。54D。72改寫：已知等比數(shù)列{an}和等差數(shù)列{bn}的一些條件，求{bn}的前9項(xiàng)和。答案：C4.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n+2n，則數(shù)列{a1}的前n項(xiàng)和為（）。A。n^2/(n-1)B。n(n+1)/(2n+1)C。3(2n+3)/(2n+1)D。3(n+1)/(n-1)改寫：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n+2n，求數(shù)列{a1}的前n項(xiàng)和。答案：B5.設(shè)2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，則z=x+y的最小值為（）。A。10B。8C。5D。2改寫：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。答案：C6.對(duì)于曲線C：x^2/4+y^2/k^2=1，給出下面四個(gè)命題：①曲線C不可能表示橢圓；②“14”的必要不充分條件；④“曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”是“1<k<5”的充要條件。其中真命題的個(gè)數(shù)為（）。A。0個(gè)B。1個(gè)C。2個(gè)D。3個(gè)改寫：對(duì)于曲線C：x^2/4+y^2/k^2=1，判斷下列命題的真假，并統(tǒng)計(jì)真命題的個(gè)數(shù)。答案：C7.對(duì)于曲線C：x^2+y^2=1與直線y=k(x+3)交于點(diǎn)A,B，則三角形ABM的周長(zhǎng)為（）。A。4B。8C。12D。16改寫：對(duì)于曲線C：x^2+y^2=1與直線y=k(x+3)交于點(diǎn)A,B，求三角形ABM的周長(zhǎng)。答案：B8.已知點(diǎn)M(3,0)，橢圓4x^2+y^2=4和雙曲線x^2-y^2=1的公共焦點(diǎn)為F1、F2，且點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cos∠F1PF2等于（）。A。11/13B。6/23C。3/95D。4/39改寫：已知點(diǎn)M(3,0)，橢圓4x^2+y^2=4和雙曲線x^2-y^2=1的公共焦點(diǎn)為F1、F2，且點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，求cos∠F1PF2的值。答案：B9.點(diǎn)A是拋物線x=4y的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)B為拋物線的焦點(diǎn)，P在拋物線上且滿足PA=mPB，當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）。A。2+√5B。5+√12+1C。2√5D。5改寫：已知點(diǎn)A、B和一條拋物線，以及一些條件，求雙曲線的離心率。答案：BC。5+1D.22.2y^2/x^2-2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)，若3PF1=4PF2，則ΔPF1F2=11.21.設(shè)點(diǎn)F1，F(xiàn)2是雙曲線x^2/9-y^2/4=1的焦點(diǎn)，且它們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)交于點(diǎn)M，且∠F1MF2=90度，若橢圓的離心率e=3，則雙曲線的離心率e1的取值為935/2224.二、填空題13.已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=4，則11/(a+1)+14/(b+3)的最小值為1.14.在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且滿足條件b+c-a=1，bc=1，cosBcosC=-1/8，則△XXX的周長(zhǎng)為4.15.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=2，an+1=2Sn+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2^(n-1)。16.已知F1為橢圓5x^2+9y^2=45的左焦點(diǎn)，P為橢圓上半部分上任意一點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一點(diǎn)，則|PF1|+|PA|的最小值為2.三、解答題17.（1）C=π/3；（2）S=√3.18.（Ⅰ）an=3^(n-1)/2.（Ⅱ）c=2/3.19.當(dāng)n≥2時(shí)，S_n>1.20.拋物線C的方程為y=2(x-1)^2-2.2．已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，離心率為$e$，橢圓C和拋物線$y=x$交于M,N兩點(diǎn)，且直線MN恰好通過橢圓C的右焦點(diǎn)。1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；2）經(jīng)過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l和橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且$OA=2BP$，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的斜率．解析】1）由題意可知，橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為$F_1(-ae,0)$和$F_2(ae,0)$，其中$ae>b$。因?yàn)橹本€MN恰好通過橢圓C的右焦點(diǎn)$F_2$，所以直線MN的斜率為$k=\frac{e}{\sqrt{a^2-b^2}}$。又因?yàn)橹本€MN過點(diǎn)$(1,1)$，所以可以列出方程$y-1=k(x-1)$。將橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程代入得到：frac{x^2}{a^2}+\frac{(k(x-1)+1)^2}{b^2}=1$$化簡(jiǎn)后得到：b^2-a^2k^2)x^2-2a^2x+a^2(b^2-k^2)=0$$由于MN與橢圓C交于兩點(diǎn)，所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即判別式$\Delta>0$。解得：a^2=\frac{b^2}{1-e^2}$$將$a^2$代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程得到：frac{x^2}{\frac{b^2}{1-e^2}}+\frac{y^2}{b^2}=1$$即：frac{x^2}{b^2(1-e^2)}+\frac{y^2}{b^2}=1$$2）因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以可以設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為$(x,\sqrt{b^2-\frac{b^2}{1-e^2}x^2})$。又因?yàn)?OA=2BP$，所以可以列出方程：sqrt{x^2+\left(\sqrt{b^2-\frac{b^2}{1-e^2}x^2}\right)^2}=2\sqrt{\left(x+ae\right)^2+\left(\sqrt{b^2-\frac{b^2}{1-e^2}x^2}\right)^2}$$化簡(jiǎn)后得到：x=\frac{ae}{1-e^2}$$將$x$代入橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到$y=\pmb\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}=\pm\frac{be}{\sqrt{1-e^2}}$。因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以$y$取正值，即$y=\frac{be}{\sqrt{1-e^2}}$。由于經(jīng)過橢圓C右焦點(diǎn)的直線l和橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為$(ae,\frac{be}{\sqrt{1-e^2}})$，點(diǎn)B的坐標(biāo)為$(-ae,\frac{be}{\sqrt{1-e^2}})$。因此，直線l的斜率為：k=\frac{\frac{be}{\sqrt{1-e^2}}-0}{ae-(-ae)}=\frac{be}{a\sqrt{1-e^2}}$$答案：（1）$\frac{x^2}{b^2(1-e^2)}+\frac{y^2}{b^2}=1$；（2）$k=\frac{be}{a\sqrt{1-e^2}}$。解析】由題意可得：frac{2}{3}\sqrt{n}a_{n}+\frac{1}{2}\sqrt{n+1}a_{n+1}=\frac{3}{2}\sqrt{n+1}a_{n+1}$$移項(xiàng)化XXX：a_{n+1}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{n}{n+1}}a_n$$因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：a_n=a_1\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}\sqrt{\frac{1}{n}}$$考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)求和法。5.C解析】由題意可得：frac{x^2}{2}+y^2+z^2-xy-2yz-2xz=0$$將式子變形得：frac{x^2}{2}+(y-x)^2+(z-x)^2=0$$因?yàn)槠椒巾?xiàng)都是非負(fù)的，所以有：frac{x^2}{2}=0,\y-x=0,\z-x=0$$解得：x=y=z=0$$因此，原點(diǎn)是唯一的解，選C。6.B解析】首先將不等式組表示的平面區(qū)域畫出來，如圖所示。因?yàn)?z=x+y$表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由圖知，當(dāng)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的連線與直線$3x+y-10$垂直時(shí)，$z=x+y$取得最小值。因此，最小值為$z_{\text{min}}=2^2+(3\sqrt{2})^2=22$，選B。考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題。7.B解析】由橢圓的方程可知，$a=4$，$b=1$，因此$c=\sqrt{a^2-b^2}=3$。根據(jù)題意可得：frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1$$因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在$x$軸上，所以雙曲線的方程為：frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$$將$k$代入雙曲線的方程中，得到：frac{x^2}{16}-\frac{(kx-10)^2}{81}=1$$化XXX：81x^2-16(kx-10)^2=1296$$展開得：16k^2x^2-320kx+1156=0$$根據(jù)判別式可得：320^2-4\cdot16\cdot1156\cdotk^2\geq0$$化XXX：k^2\leq\frac{25}{144}$$因此，$-\frac{5}{12}\leqk\leq\frac{5}{12}$，選B?？键c(diǎn)：圓錐曲線的共同特征。8.B解析】由橢圓的方程可知，$a=4$，$b=1$，因此$c=\sqrt{a^2-b^2}=3$。點(diǎn)$M$為橢圓的右交點(diǎn)，直線$y=k(x+3)$過左焦點(diǎn)$F_1(-3,0)$。將直線$y=k(x+3)$代入橢圓的方程中，得到：frac{(kx+3)^2}{16}+k^2(x+3)^2=1$$化XXX：k^2x^2+6kx+4=0$$根據(jù)題意可知，$k>0$，因此解得：x_1=-\frac{2}{3k},\quadx_2=-2k$$因?yàn)辄c(diǎn)$M$為橢圓的右交點(diǎn)，所以$x_1<x_2$，即$-\frac{2}{3k}<-2k$。解得$k<\frac{\sqrt{13}}{6}$。根據(jù)橢圓的定義可知，$\triangleABM$的周長(zhǎng)為$4a=8$，因此$AB=4$。因?yàn)辄c(diǎn)$M$在直線$y=k(x+3)$上，所以$M$的坐標(biāo)為$(x_2,kx_2+3)$。因此，$BM=\sqrt{(x_2+3)^2+k^2x_2^2}=\sqrt{13}$。根據(jù)題意可知，$AM=2BM$，因此$AM=2\sqrt{13}$。因此，$AB+AM=4+2\sqrt{13}$，選B?？键c(diǎn)：橢圓定義及方程性質(zhì)。9.B解析】不妨設(shè)$P$是雙曲線右支與橢圓交點(diǎn)，$F_1$、$F_2$分別是左右焦點(diǎn)。在橢圓中，由定義知$PF_1+PF_2=2a=8$，在雙曲線中$PF_1-PF_2=2\sqrt{a^2+b^2}=6$，解得$PF_1=6+3$，$PF_2=6-3$。因此，$F_1F_2=4$。由余弦定理得：cos\angleF_1PF_2=\frac{PF_1^2+PF_2^2-F_1F_2^2}{2\cdotPF_1\cdotPF_2}=\frac{18-16}{2\cdot3\cdot1}=\frac{1}{3}$$因此，$\angleF_1PF_2=\arccos\frac{1}{3}$，選B。考點(diǎn)：1.雙曲線的定義；2.橢圓的定義。思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是雙曲線的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，橢圓的定義及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，涉及三角形中的余弦定理，屬于中檔題。解決問題時(shí)首先根據(jù)橢圓與雙曲線的定義寫出$PF_1+PF_2=2a=8$和$PF_1-PF_2=2\sqrt{a^2+b^2}=6$，解出$PF_1=6+3$，$PF_2=6-3$，$F_1F_2=4$后，運(yùn)用余弦定理求夾角的余弦值即可。10.A解析】將不等式兩邊平方，得到：x+1)^2+(y-1)^2+(z+1)^2\leq1$$因?yàn)槠椒巾?xiàng)都是非負(fù)的，所以有：x+1=0,\y-1=0,\z+1=0$$解得：x=-1,\y=1,\z=-1$$因此，唯一的解為$(-1,1,-1)$，選A?？键c(diǎn)：不等式的平方形式。11．設(shè)直線PA的傾斜角為α，則sinα=$\frac{1}{m}$，當(dāng)m取得最大值時(shí)，sinα最小，此時(shí)直線PA與拋物線相切，設(shè)直線PA的方程為y=kx-1，代入x=4y，可得x=4（kx-1），即x-4kx+4=0，解得k=±1，因此P（2，1），于是雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為PA-PB=2（2-1），即2.因此，雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$。12．由橢圓與雙曲線的定義，知道$|MF_1|+|MF_2|=2a$，$|MF_1|-|MF_2|=2a_1$，所以$|MF_1|=a+a_1$，$|MF_2|=a-a_1$。因?yàn)?\angleF_1MF_2=90^{\circ}$，所以$|MF_1|+|MF_2|=4c$，即$a+a_1=2c$，即$\frac{a+a_1}{2c}=1$，因?yàn)?e=\frac{c}{a}$，所以$e_1=\frac{a_1}{a}=\frac{a+a_1-2c}{a}=1-\frac{2c}{a}=1-\frac{2}{\sqrt{5}}$。13．$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+3}\geq\frac{1}{2}$，即$\frac{b+3}{a+1}+\frac{a+1}{b+3}+2\geq4$。由均值不等式，得$\frac{b+3}{a+1}+\frac{a+1}{b+3}\geq2\sqrt{\frac{(b+3)(a+1)}{(a+1)(b+3)}}=2$，當(dāng)且僅當(dāng)$a=3,b=1$時(shí)取等號(hào)。因此，原式的最小值為2.14.在三角形ABC中，已知$b+c-a=bc=1$。根據(jù)基本不等式，有$b^2+c^2-a^2\geq2bc=2$，所以$\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\leq-1$。但是$\cosA$的值范圍是$[-1,1]$，所以不存在這樣的三角形。15.數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n+1$（$n\geq1$）?？梢酝ㄟ^遞推關(guān)系得到$a_n=5\times3^{n-2}$（$n\geq2$），當(dāng)$n=1$時(shí)，不滿足題意。16.設(shè)橢圓的中心為$O$，則$O$的坐標(biāo)為$(\frac{9}{5},0)$，長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為$6$，短軸長(zhǎng)度為$2$。設(shè)點(diǎn)$P$的坐標(biāo)為$(x,y)$，則$\frac{(x-\frac{9}{5})^2}{3^2}+\frac{y^2}{1^2}=1$。點(diǎn)$F$的坐標(biāo)為$(\frac{9}{5},\frac{1}{\sqrt{5}})$。根據(jù)$PF+PA\geq2a$，可得$PA+PF\geq6-2$，即$PA+PF\geq4$。17.(1)根據(jù)正弦定理，有$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}$。又因?yàn)?\sinC=\sin(180^\circ-A-B)=\sin(A+B)$，所以$\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sin(A+B)}$。代入已知條件，可得$\frac{a}{\sinA}=\frac{1}{\sinB\cosB}$。根據(jù)兩角和的正弦公式，有$\sin(A+B)=\sinA\cosB+\cosA\sinB$，代入$\sinC=\sin(A+B)$，可得$\frac{a}{\sinC}=\frac{2\sinB\cosB}{\cosA-\cos(A+2B)}$。化簡(jiǎn)可得$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。代入已知條件，可得$\cosB=-\frac{1}{2}$，所以$\angleB=\frac{2\pi}{3}$。2)根據(jù)三角形面積公式，有$S=\frac{1}{2}ab\sinC$。代入已知條件，可得$S=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$。根據(jù)余弦定理，有$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$。代入已知條件，可得$c^2=13$。所以$S=\frac{13\sqrt{3}}{4}$。1）f(x)=-3x^2-3x+182）-33）k<215解析：（1）將f(x)化為標(biāo)準(zhǔn)的二次函數(shù)形式，即f(x)=-3(x+2)^2+24，由此可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,24)，因?yàn)閍<0，所以這是一個(gè)開口向下的拋物線。因此，函數(shù)的最大值為24，當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時(shí)取到。2）由于-3<0，所以-3是一個(gè)負(fù)數(shù)。3）k<215表示k的取值范圍是負(fù)無窮到215之間的所有實(shí)數(shù)。試題解析：（1）根據(jù)雙曲線的定義，有$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，代入點(diǎn)W$(a,0)$，解得$b=\sqrt{3}a$，因此雙曲線的方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{3a^2}=1$。2）設(shè)點(diǎn)O$(0,0)$，點(diǎn)A$(a,0)$，點(diǎn)B$(0,\sqrt{3}a)$，則$\overrightarrow{OA}=(a,0)$，$\overrightarrow{OB}=(0,\sqrt{3}a)$。由向量的數(shù)量積公式，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=a\cdot0+0\cdot\sqrt{3}a=0$，因此OA$\perp$OB。根據(jù)基本不等式，有$|\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}|\leq|\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OB}|$，即$|\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}|\leqa\cdot\sqrt{3}a=3a^2$。因此，OA$\cdot$OB的最小值為3a2，當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$同向時(shí)取到，即點(diǎn)A