人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上三角形的外角

11-6三角形的外角人教八上

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)，認(rèn)識(shí)三角形的外角：

4.知道三角形的外角的性質(zhì)；

工能利用三角形的外角性質(zhì)解決實(shí)際問題.

二、知識(shí)回顧1.三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于多少度？

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

2.在△ABC'中，

(1)NC=90°,NA=30°,則/B=60。；

(2)NA=50。，NB=/C,則/B=65°.

三、新知講解1.三角形的外角

三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.

A

A

BCD

三角形有六個(gè)外角，其中同一頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角是對(duì)頂角.

2.三角形外角的性質(zhì)1

性質(zhì)1：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.

符號(hào)語言：在aABC中，ZACD=ZA+ZB.

圖示：

「

BCD

★性質(zhì)2：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

符號(hào)語言：在AABC中，ZACD>ZA,ZACD>ZB.

圖示：

一

BCD

3.三角形的外角和定理

定理：三角形的三個(gè)外角和等于360。.

符號(hào)語言：在AABC中，Zl,Z2,N3是外角，則/l+N2+/3=360。.

扣一掃，南驚喜哦/

1.利用三角形的外角性質(zhì)求解

【例1】（2014?河北）如圖，平面上直線a,b分別過線段OK兩端點(diǎn)（數(shù)據(jù)如圖），則a,b相交所

A.20°B.30°C.70°D.80°

總結(jié)：利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可求出其中一個(gè)內(nèi)角的度數(shù).

【例2】（2015?重慶模擬）將一副直角三角板如圖放置，使含30。角的三角板的短直角邊和含45。角

的三角板的一條直角邊重合，則/I的度數(shù)為（）

總結(jié):

回躇回i.在計(jì)算有關(guān)三角板組成的夾角時(shí)，首先要弄清楚兩個(gè)三角板中的特殊角，在組合圖形中標(biāo)示出這

些條件，然后充分利用鄰補(bǔ)角、余角以及三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答.

2.在計(jì)算時(shí)應(yīng)注意同一個(gè)角的多種身份，從而得到角之間的關(guān)系.

【例3】（2014春?北塘區(qū)期中）如圖，則x+y=

RA

總結(jié)：

1.在幾何計(jì)算題中，依據(jù)題設(shè)和相關(guān)的幾何圖形的性質(zhì)列出方程求解的思想方法叫做方程思想；

2.求角的度數(shù)常常要想到“三角形的內(nèi)角和是180。”“平角等于180°三角形外角和等于360°”

“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”等性質(zhì).

練1.（2014?楚雄州一模）如圖，Z\ABC中，CD是/ACB的平分線，ZA=70°,ZACB=60°,那么

練2.（2014?博野縣模擬）將一副三角板如圖放置，且兩條直角邊重疊，則N1的度數(shù)是（）

:紂

A.30°B.45°C.70°D.75°

練3.（2013?海口模擬）如圖，在RtaADB中，ZD=90°,C為AD上一點(diǎn)，NACB=6x,則x值可

以是（）

B

2.利用三角形的外角性質(zhì)證明

【例4】（2013秋?藁城市校級(jí)月考）如圖，已知一個(gè)凹四邊形，求證：Z1+Z2+Z3=Z4.

總結(jié)：

I.對(duì)于三角形外角性質(zhì)的證明，如果是文字?jǐn)⑹鲂悦}，要注意證明格式，寫出已知、求證，然后

寫出證明推理步驟.

2.證明過程中要熟記“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”的性質(zhì).

3.適當(dāng)作輔助線是解題的關(guān)鍵.

練4.（2013春?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，E是AABC的邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn),

D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上.試證明

五、課后小測(cè)

一、選擇題

1.（2015?岳池縣模擬）如圖，已知NA=33。，/B=75。，點(diǎn)C在直線AD上，則/BCD為（）

A.147°B.108°C.105°D.以上答案都不對(duì)

2.（2014秋?杭州期末）如圖，一副分別含有30。和45。角的直角三角板拼成如下圖，其中NC=90。,

ZB=45°,ZE=30°,則/BFD的度數(shù)是（）

E

A.15°B.25°C.30°D.10°

3.（2013秋?江西期末）一個(gè)三角形三個(gè)外角之比為4：2：3,這個(gè)三角形一定是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形

二、填空題

4.（2014秋?嘉峪關(guān)校級(jí)期中）如圖，已知AABC為直角三角形，ZB=90,若沿圖中虛線剪去/B,

則N1+N2等于度.

5.（2014春?吉安期末）如圖,BD是4ABC的角平分線,DE〃BC,交AB于點(diǎn)E,ZA=45°,ZBDC=60°,

則NBDE=度.

6.（2014秋?公安縣期中）如圖，/1=/2=30。，Z3=Z4,ZA=80°,則x=度，y=度.

三、解答題

7.如圖，為了對(duì)農(nóng)田進(jìn)行灌溉，在小河一邊修了兩條水渠AB和CD.設(shè)計(jì)要求這兩條水渠成45。

角.請(qǐng)你利用本章所學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)方案（不渡河）來檢驗(yàn)一下這兩條水渠是否符合要求，并說

明根據(jù)的理由.

8.（2014春?鄭州校級(jí)月考）如圖，NACD是aABC的一個(gè)外角，NABC和/ACD的平分線BE、

CE交于一點(diǎn)E,試說明NA=2NE.

9.（2012?湘潭模擬）證明：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和.

典例探究答案:

【例1】（2014?河北）如圖，平面上直線a,b分別過線段OK兩端點(diǎn)（數(shù)據(jù)如圖），則a,b

D.80°

分析：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

解答：解：a,b相交所成的銳角=100。-70。=30。.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)

確捕捉圖中信息是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2015?重慶模擬）將一副直角三角板如圖放置，使含30。角的三角板的短直角邊和

含45。角的三角板的一條直角邊重合，則N1的度數(shù)為（）

分析：根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出N2=45。，再根據(jù)對(duì)頂角相等求出N3=N2=45。，然后根據(jù)三

角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和計(jì)算即可.

Z2=90°-45。=45。（直角三角形兩銳角互余）,

N3=N2=45°,

，Nl=N3+30°=45°+30°=75°.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

的和是解答此題的關(guān)鍵.

【例3】(2014春?北塘區(qū)期中)如圖，則x+v=110°.

分析：方法一：根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式求出x,再根據(jù)

平角等于180。求出y,然后相加即可得解；

方法二：直接根據(jù)平角等于180。列式整理即可得解.

解答：解：方法一：根據(jù)題意,x+10°+x=x+70°,

解得x=60°,

y=180°-(x+70°)=180°-(60°+70°)=180°-130°=50°,

...x+y=60°+50°=110°；

方法二：x+70°+y=180°,

.*.x+y=180°-70°=110°.

故答案為：110°.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的和是解題的關(guān)鍵.

練1.(2014?楚雄州一模)如圖，AABC中，CD是/ACB的平分線，NA=70。，ZACB=60°,

那么/BDC=()

分析：根據(jù)角平分線的定義求出NACD,再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)

內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解.

解答：解：；CD是/ACB的平分線，

ZACD=^ZACB=^x60°=30°,

22

.?./BDC=NACD+NA=300+70°=100°.

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，角平分線的定

義，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

練2.解：如圖，

Z2=90°-45°=45°,

/3=N2=45°,

所以，Nl=N3+30°E5°+30°=75°.

故選D.

練3.（2013??？谀M）如圖，在Rt^ADB中，ZD=90°,C為AD上一點(diǎn)，NACB=6x,

則x值可以是（）

B

分析：根據(jù)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角可得NACB>90。，再根據(jù)N

ACB是鈍角小于180。列式，然后求解即可.

解答：解：根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，ZACB=6x>90°,

解得x>15。，

ZACB是鈍角,

.".6x<180°,

.".x<30°,

/.15o<x<30°,

縱觀各選項(xiàng)，只有20。符合.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外角性質(zhì)，要注意NACB小于180。的暗含條件.

【例4】（2013秋?藁城市校級(jí)月考）如圖，已知一個(gè)凹四邊形，求證：Z1+Z2+Z3=Z4.

分析：延長(zhǎng)BD交AC于E,然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列

式證明即可.

證明：如圖，延長(zhǎng)BD交AC于E,

則N5=Nl+/2,

所以,N4=N3+N5=N3+N1+N2,

故，Z1+Z2+Z3=Z4.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，作輔助線利用

三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

練4.（2013春?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，E是AABC的邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB

上一點(diǎn)，D點(diǎn)在BC的延長(zhǎng)線上.試證明N1CN2.

分析：由三角形的外角性質(zhì)知N2=NABC+NBAC,ZBAC=Z1+ZAEF,從而得證.

解答：證明：VZ2=ZABC+ZBAC,

AZ2>ZBAC,

VZBAC=Z1+ZAEF,

AZBAOZ1,

AZKZ2.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)三角形外角性質(zhì)的理解和掌握，此題難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

課后小測(cè)答案:

一、選擇題

1.（2015?岳池縣模擬）如圖，己知NA=33。，NB=75。，點(diǎn)C在直線AD上，則/BCD為

()

A.147°B.108°C.105°D.以上答案都不對(duì)

解：；NBCD是AABC的外角,NA=33。，ZB=75°,

ZBCD=ZA+ZB=33o+75°=108°.

故選：B.

2.（2014秋?杭州期末）如圖，一副分別含有30。和45。角的兩個(gè)直角三角板，拼成如圖，其

中NC=90。，ZB=45°,ZE=30°,則NBFD的度數(shù)是（）

A.15°B.25°C.30°D.10°

解：VZC=90°,NE=30°,

ZCDE=90°-30°=60°,

由三角形的外角性質(zhì)得，ZCDE=ZB+ZBFD,

.\60O=45°+ZBFD,

解得NBFD=15。.

故選A.

3.（2013秋?江西期末）一個(gè)三角形三個(gè)外角之比為4：2：3,這個(gè)三角形一定是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.等腰三角形

分析：根據(jù)三角形的外角和等于360。分別求出三個(gè)外角，然后求出最大的內(nèi)角，再進(jìn)行判

斷即可.

解答：解：設(shè)三角形三個(gè)外角分別為4k、2k、3k,

由題意得，4k+2k+3k=360°,

解得k=40。，

這三個(gè)外角分別為160。，80°,120°,

三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為20。，100。，60°,

，這個(gè)三角形一定是鈍角三角形.

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外角性質(zhì)，利用外角和等于360。求出三個(gè)外角的度數(shù)是解題的

關(guān)鍵.

二、填空題

4.（2014秋?嘉峪關(guān)校級(jí)期中）如圖，已知AABC為直角三角形，ZB=90,若沿圖中虛線

解：’.?△ABC為直角三角形，ZB=90,

Z1=90°+ZBNM,Z2=90°+ZBMN,

，N1+N2=27O°.

故答案為:270.

BV

5.（2014春?吉安期末）如圖，BD是4ABC的角平分線，DE〃BC,交AB于點(diǎn)E,NA=45。,

ZBDC=60°,則NBDE=15度.

解：?；NA=45。，ZBDC=60°,

，ZABD=ZBDC-ZA=15°.

VBD是AABC的角平分線，