2020年新高考全國1數(shù)學(xué)高考真題變式題11-16題-（解析版）

2020年新高考全國1數(shù)學(xué)高考真題變式題1176

題

原題11

1.已知a>0,b>0,且。+6=1,則()

A.a2+b2>-B.r-b>-

22

C.log2a+log2b>-2D.4a+\[b<y/2

變式題1基礎(chǔ)

2.已知正數(shù)。、b滿足a+力=1,則下列說法正確的是（）.

A."的最小值是:B.2"+4"的最小值是20

O

C.!的最小值是4夜D.片+助2的最小值是:

變式題2基礎(chǔ)

3.下列選項(xiàng)正確的是（）

A.若awO,則。+工的最小值為4

a

B.若XER,則，/+2+,2+2的最小值為2

C.若ab<0,則2+f的最大值為-2

ab

D.若正實(shí)數(shù)蒼'滿足x+2y=l,則2+，的最小值為8

%y

變式題3鞏固

4.設(shè)a>0,6>0,a-\-b=1,則下列說法正確的是（）

412

A.2+：的最小值為9B.4+2〃的最小值為彳

ab3

C.6+揚(yáng)沒有最小值D.后+揚(yáng)沒有最大值

變式題4鞏固

5.已知正數(shù)a,b滿足2a+6=l,貝！I（

A.ab的最大值為:B.4aZ+）2的最小值為:

o

12

C.上+：的最小值為4D.浦+二的最小值為2

abab

變式題5鞏固

6.下列函數(shù)的最小值為2的有（）

f—+2

A.y=x2-2x+2,xe[0,8]B.

y二

x-1

111

c.y=——H------------,xe

4x2l-2x

變式題6提升

7.已知〃>0,&>0,下列命題中正確的是()

A.若a+b=2,貝（|lga+lgZ?KO

B.ab-a-2b=0f則a+2b29

C.若a+b=2,則?+J-—

bab22

D.若-+---,貝！1°6+0+6214+6指

<2+1b+23

變式題7提升

8.已知尤>0,y>0且3x+2y=10,則下列結(jié)論正確的是()

A.砂的最大值為&B.技+肉的最大值為2逐

32S1no

C.一+二的最小值為彳D.,2的最大值為；不

Xy2713

原題12

9.信息燧是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1,2,,n,且

P(X=i)=Pl>0(Z=l,2,...,n)，Xp,=1,定義X的信息嫡〃(X)=-J>jog2P()

i=li=l

A.若〃=1,則H(X)=0

B.若幾=2,則H(X)隨著Pi的增大而增大

C.若己=工。=1,2,,〃)，則H(X)隨著"的增大而增大

n

D.若n=2m,隨機(jī)變量V所有可能的取值為1.2,,m，且PC=j)=%+八—(產(chǎn)1,2,,根)，

則H(X)<H(Y)

變式題1基礎(chǔ)

10.為了更好地支持“中小型企業(yè)”的發(fā)展，某市決定對部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免,

現(xiàn)調(diào)查了當(dāng)?shù)氐?00家中小型企業(yè)年收入情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布

直方圖，則下面結(jié)論正確的是

試卷第2頁，共10頁

年收入（萬元）

A.樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為18

B.如果規(guī)定年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅政策，估計(jì)有30%的當(dāng)?shù)刂?/p>

小型企業(yè)能享受到減免稅政策

C.樣本的中位數(shù)小于350萬元

D.可估計(jì)當(dāng)?shù)氐闹行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)超過400萬元（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點(diǎn)值為代表

變式題2基礎(chǔ)

11.端午節(jié)，又稱端陽節(jié)、龍舟節(jié)、天中節(jié)等，與春節(jié)、清明節(jié)、中秋節(jié)并稱為中國四

大傳統(tǒng)節(jié)日.扒龍舟與食粽是端午節(jié)的兩大禮俗，這兩大禮俗在中國自古傳承，至今不

輟.在一個(gè)袋中裝有大小一樣的6個(gè)豆沙粽，4個(gè)咸肉粽，現(xiàn)從中任取4個(gè)粽子，設(shè)取

出的4個(gè)粽子中咸肉粽的個(gè)數(shù)為X,則下列結(jié)論正確的是（）

3

A.P（X=2）=yB.隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布

19

C.隨機(jī)變量X服從超幾何分布D.P（1<X<4）=—

變式題3鞏固

12.算盤是我國古代一項(xiàng)偉大的發(fā)明，是一類重要的計(jì)算工具.下圖是一把算盤的初始

狀態(tài)，自右向左，分別表示個(gè)位、十位、百位、千位……，上面一粒珠子（簡稱上珠）代表5,

下面一粒珠子（簡稱下珠）代表1,五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大小.例如，個(gè)位

撥動(dòng)一粒上珠、十位撥動(dòng)一粒下珠至梁上，表示數(shù)字15.現(xiàn)將算盤的個(gè)位、十位、百位、千

位分別隨機(jī)撥動(dòng)一粒珠子至梁上，設(shè)事件A="表示的四位數(shù)能被3整除"，8="表示的

四位數(shù)能被5整除"，貝”（）

檔7

卻一上珠

梁IHAM，"

mJ州愕州卅下珠

31113

A.P（A）=-B.P（B）=-C.P（AuB）=—D.P（AB）=—

831616

變式題4鞏固

13.根據(jù)中國古代重要的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》記載，我國古代諸侯的等級自低到高分

為：男、子、伯、侯、公五個(gè)等級，現(xiàn)有每個(gè)級別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地

全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級別每高一級就多分機(jī)處（機(jī)為正整數(shù)）,

按這種分法，下列結(jié)論正確的是（）

A.為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是:

B.為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是:

C.為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1

D.為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是!

變式題5鞏固

14.“雙11”購物節(jié)中，某電商對顧客實(shí)行購物優(yōu)惠活動(dòng)，規(guī)定一次購物付款總額滿一定

額度，可以給與優(yōu)惠：（1）如果購物總額不超過50元，則不給予優(yōu)惠；（2）如果購物

總額超過50元但不超過100元，可以使用一張5元優(yōu)惠券；（3）如果購物總額超過100

元但不超過300元，則按標(biāo)價(jià)給予9折優(yōu)惠；（4）如果購物總額超過300元，其中300元

內(nèi)的按第（3）條給予優(yōu)惠，超過300元的部分給予8折優(yōu)惠.某人購買了部分商品，則

下列說法正確的是（）

A.如果購物總額為78元，則應(yīng)付款為73元

B.如果購物總額為228元，則應(yīng)付款為205.2元

C.如果購物總額為368元，則應(yīng)付款為294.4元

D.如果購物時(shí)一次性全部付款442.8元，則購物總額為516元

變式題6提升

15.十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人,

用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字。和1,對于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中

就表不為1,2表水為10,3表本為11,7表小為111,即〃￡N+,

試卷第4頁，共10頁

iw

n=a0-2+a1-2+L+ak_1-12^+ak,其中％=1,q=0或l（i=1,2,L,%）,記/⑺為上

述表示中0的個(gè)數(shù)，如/（2）=1,"7）=0.則下列說法中正確的是（）.

A./（12）<7（18）

B./（2*—2）—/（2'—l）=l（JtwN+#22）

C.（（2%）=/（2-+2）（%eN+）

D.1至I]127這些自然數(shù)的二進(jìn)制表示中/（〃）=2的自然數(shù)有35個(gè)

原題13

16.斜率為73的直線過拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A,2兩點(diǎn),則|AB卜

變式題1基礎(chǔ)

17.過點(diǎn)尸（2,2）且斜率為T的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則|到+|冏=

變式題2基礎(chǔ)

18.直線/：y=2x-4過拋物線C：V=2px的焦點(diǎn)尸，與C交于48倆點(diǎn)，則|他|=

變式題3鞏固

19.已知拋物線：y1=2px{p>Q）,焦點(diǎn)為F,若A8在拋物線上且在第一象限，

|AF|=2,|BF|=4,|A5|=3,求直線AB的斜率為.

變式題4鞏固

20.已知廠為拋物線V=4gx的焦點(diǎn)，過點(diǎn)廠的直線交拋物線于A,8兩點(diǎn)，若

UU1UUUL,,

AF=3FB，貝NABU

變式題5鞏固

21.拋物線/=6x的焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)尸的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)為A,B,若48中

點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,則|9|=.

變式題6提升

22.過拋物線￡：丁=工的焦點(diǎn)/任作兩條互相垂直的直線心12,分別與拋物線E交于

A,B兩點(diǎn)和C,。兩點(diǎn)，則|AB|+4|CD|的最小值為.

變式題7提升

22

23.已知拋物線C：X2=-2py（。＞0）的焦點(diǎn)尸與二+上=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過焦

84

點(diǎn)尸的直線與C交于A,2兩不同點(diǎn)，拋物線C在A,B兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)M,且

M的橫坐標(biāo)為4,則弦長.

原題14

24.將數(shù)列｛2w-l｝與｛3仆2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛即｝,則｛0?｝的前n項(xiàng)和為

變式題1基礎(chǔ)

25.將數(shù)列｛4〃-1｝與｛3〃+2｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛%｝,則｛%｝的前〃項(xiàng)和

為.

變式題2基礎(chǔ)

26.正整數(shù)數(shù)列｛%｝滿足。“=3〃+2,也｝滿足勿=5〃+3,neN.在M=｛1,2,…,2018｝

中兩數(shù)列的公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

變式題3鞏固

27.已知數(shù)列｛%｝,也｝的前w項(xiàng)和分別為S“，T?,且S“=2/+3〃，2Tn=3b?-3,若

兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)按原順序構(gòu)成數(shù)列｛c“｝,若g＜2020,則n的最大值為.

變式題4鞏固

28.將數(shù)列｛2'｝與｛2〃｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛?！埃?則｛4｝的前10項(xiàng)和為

（用數(shù)字作答）.

變式題5鞏固

29.將數(shù)列｛2〃-1｝與｛/｝的公共項(xiàng)按照從小到大的順序排列得到一個(gè)新數(shù)列｛4｝,則

新數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為.

變式題6提升

30.由數(shù)列｛4｝和也｝的公共項(xiàng)組成的數(shù)列記為k｝,已知%=3〃-2,3=2",若匕｝

為遞增數(shù)列，且。3=b,n=at＞則m+t=.

原題15

31.某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示.O為圓孔及輪廓

圓弧A8所在圓的圓心,4是圓弧AB與直線AG的切點(diǎn),2是圓弧與直線BC的切點(diǎn)，

試卷第6頁，共10頁

3

四邊形。EFG為矩形，BC±DG,垂足為C,tan/OOC=w，BH//DG,EF=12cm,DE=2

cm,A到直線。E和亦的距離均為7cm,圓孔半徑為1cm,則圖中陰影部分的面積為

________cm2.

變式題1基礎(chǔ)

32.如圖是2021年9月17日13：34神舟十二號(hào)返回艙（圖中。接近地面的場景.傘面

是表面積為1200m2的半球面（不含底面圓），傘頂B與返回艙底端C的距離為半球半徑

的5倍，直線8C與水平地面垂直于。，。和觀測點(diǎn)A在同一水平線上.在A測得點(diǎn)8的

仰角/（ZMB=30。，且的視角NBAC滿足sin則此時(shí)返回艙底端離

2V247

地面距離CO=.（兀=3.14,sin/ACB=~^,計(jì)算過程中，球半徑四舍

,247

五入保留整數(shù)，長度單位：m）.

變式題2基礎(chǔ)

33.一艘漁船航行到A處看燈塔8在A的北偏東75。，距離為2面海里，燈塔C在A的

北偏西45。，距離為3五海里，該船由A沿正北方向繼續(xù)航行到。處時(shí)再看燈塔8在

其南偏東45。方向，則CD=海里.

變式題3鞏固

34.某海輪以60海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測得海面上油井尸在南偏東60。方向，

向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測得油井尸在南偏東30。方向，海輪改為北偏東60。的航

向再行駛40分鐘到達(dá)C點(diǎn)，則P,C間的距離為海里.

變式題4鞏固

35.已知在東西方向上有N兩座小山，山頂各有一座發(fā)射塔A、B,塔頂A、8的

海拔高度分別為AM=100m和BN=200m,一測量車在小山M的正南方向的點(diǎn)P處測

得發(fā)射塔頂A的仰角為30。，該測量車向北偏西60。方向行駛了100gm后到達(dá)點(diǎn)。，在

點(diǎn)。處測得發(fā)射塔頂8處的仰角為6,且=經(jīng)測量tan6=2,求兩發(fā)射塔頂A,

8之間的距離

變式題5鞏固

36.如圖，隔河看兩目標(biāo)A與3,但不能到達(dá)，在岸邊先選取相距6km的C,。兩點(diǎn)，

同時(shí)，測得/ACB=75。，ZBCD=45°,NAZ）C=30。，ZADB=45°（A,B,C,。在同一

平面內(nèi)），則AB=km..

AB

---f

變式題6提升

37.如圖，游客從景點(diǎn)A下山至C有兩種路徑：一種是從A沿直線步行到C,另一種是

先從A乘纜車到3,然后從3沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A下山，甲沿AC

勻速步行，速度為50米/分鐘.在甲出發(fā)2分鐘后，乙從A乘纜車到8,在8處停留1

分鐘后，再從3勻速步行到C.已知纜車從A到3要8分鐘，AC長為1260米，若

cosA=”，sin2=笑.為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，則乙步行

的速度V（米/分鐘）的取值范圍是.

變式題7提升

38.某城市的市民文體活動(dòng)中心有一塊扇形的綠地403（如圖），已知扇形403的圓

心角為60。，所在圓的半徑為80米，現(xiàn)要在半徑。4,08以及AB上分別取一點(diǎn)尸，Q，

R,修建3條觀光小道P。QR,RP,將扇形綠地劃分為4個(gè)區(qū)域，并在這4個(gè)區(qū)域

內(nèi)分別栽種不同的花草，以供市民觀賞.若觀光小道每米的造價(jià)為200元，那么修建3

條觀光小道的最低總造價(jià)為萬元.

試卷第8頁，共10頁

A

原題16

39.已知直四棱柱ABCM'GQ的棱長均為2,ZBAD=60°.以2為球心，斯為半

徑的球面與側(cè)面BCCiBi的交線長為.

變式題1基礎(chǔ)

40.已知球。的表面積為8萬，則過球。一條半徑的中點(diǎn)，且與該半徑垂直的截面圓的

面積為.

變式題2基礎(chǔ)

41.一長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上.平面。把該長方體分成了體積相等的

兩部分，則平面。被這個(gè)球截得的截面面積為.

變式題3鞏固

42.已知圓柱底面圓心分別為02,圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面、圓柱

側(cè)面均相切，過直線QU的平面截圓柱得到四邊形A3C。，其面積為12,若尸為圓柱

底面圓弧CZ）的中點(diǎn)，則平面R鉆與球。的交線長為.

變式題4鞏固

43.直四棱柱ABCD-4B|GA的所有棱長均為2,440=60。，以，為球心石為半徑

的球面與直四棱柱ABCD-A耳GR的側(cè)面3C￡Bi的交線長為.

變式題5鞏固

44.正三棱錐尸—ABC中，0PA=AB=4也，點(diǎn)E在棱上，且PE=3E4,已知點(diǎn)

P、A、B、C都在球。的表面上，過點(diǎn)E作球。的截面則a截球。所得截面面積的

最小值為.

變式題6提升

45.在正三棱錐P-A3C中，側(cè)棱且側(cè)棱以、PB、PC兩兩互相垂直，以A為

球心，2為半徑的球面與正三棱錐的表面相交，則交線的長度之和為.

變式題7提升

46.已知正方體A8CZ)-A與G2的棱長為2,以頂點(diǎn)A為球心，生巨為半徑作一個(gè)球,

3

則球面與正方體的表面相交所得到的各段曲線的長度之和等于.

試卷第10頁，共10頁

了學(xué)科司病組幼

參考答案：

1.ABD

【分析】根據(jù)。+6=1,結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.

【詳解】對于A,/+Z?2=a?+(1—a)?=2a?—2a+l=,

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

2

對于B,a-b=2.a-l>-l,所以2"">2T=1，故B正確；

2

對于C,log2a+log2b=log2ab<log2=log2；=—2,

當(dāng)且僅當(dāng)。=6=1時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；

2

對于D,因?yàn)?&+揚(yáng))=1+2^/ab<\+a+b=2,

所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；

故選：ABD

【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,

側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

2.BD

【分析】利用基本不等式的性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】因?yàn)檎龜?shù)。、b滿足。+?=1,

對選項(xiàng)A,a.264(“+2史」,所以必4，

448

當(dāng)且僅當(dāng)。=?,即。=1,時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤.

24

對選項(xiàng)B,20>0,4h>0,

所以2"+型>2也"+2b=2.72，

當(dāng)且僅當(dāng)2"=4J即。=L，6=工時(shí)取等號(hào)，故B正確.

24

對選項(xiàng)c,-+-=(?+2/7)|-+-|=3+-+—>3+2A/2,

abyab)ba

當(dāng)且僅當(dāng):=竺，即0=收-1,》=上變時(shí)取等號(hào).

ba2

答案第1頁，共30頁

所以工+J的最小值是3+2a，故C錯(cuò)誤.

ab

對選項(xiàng)D,因?yàn)椋╝+26）2=。2+4。人+462=1,即”6=1-（/：462）,

由①知：ab<^,所以匕（T上也<L解得"+4/2：,

84-82

當(dāng)且僅當(dāng)。=[,6=]時(shí)取等號(hào)，所以4+44的最小值是故D正確.

242

故選：BD

3.CD

【分析】A選項(xiàng)，分"<0與a>0時(shí)，利用基本不等式求解；B選項(xiàng)通過使用基本不等式，

一正二定三相等，發(fā)現(xiàn)等號(hào)不成立；C選項(xiàng)，先判斷出2<0,￡<0,再基本不等式進(jìn)行求

解；D選項(xiàng)，1的妙用，使用基本不等式進(jìn)行求解

【詳解】當(dāng)々<0時(shí)，a+—=-\-a--\<-lf\-a\--\=-2,當(dāng)且僅當(dāng)一〃=一，，即〃二一1時(shí)

aVa）\\a）a

取等號(hào)，則〃+,有最大值為一2,當(dāng)〃>0時(shí)，a+—>2.a--=2,當(dāng)且僅當(dāng)即〃=1

aa\aa

時(shí)取等號(hào)，則〃+工的最小值為2,故A錯(cuò)誤；

a

因?yàn)?77i22，所以春有+7322卜丘?7￡二2,等號(hào)成立

的條件是，1+2=后力,即/+2=1,方程無解，在這里不能使用基本不等式，B錯(cuò)誤；

h（1

ab<0,a,b異號(hào),故2<0,~<0,使用基本不等式，

ab

-+<-2=-2,當(dāng)且僅當(dāng)一2=即時(shí)取等號(hào)，則。+:的

abyabJ\a\bJabab

最大值為-2,C正確；

正實(shí)數(shù)%>滿足％+2y=1,則2+!=[2+工]（%+2丁）=2+&+土+224+2=8,當(dāng)

xyQ"\xy

且僅當(dāng)土=土，即x=2y=：時(shí)取等號(hào)，則冬+工的最小值為8,D正確.

xy2xy

故選：CD

4.ABC

答案第2頁，共30頁

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【分析】根據(jù)均值不等式及等號(hào)成立的條件可判斷ACD,消元后利用二次函數(shù)判斷B.

41414ba21

【詳解】-+-=（-+-）（4?+/,）=4+—+-+1>9,當(dāng)且僅當(dāng)a=26=；,6時(shí)等號(hào)成立,

ababab33

故A正確；

2

由〃+Z?=l可矢口人=1一〃,且所以/+2k=/+2（1一。）2=3/一4〃+2,當(dāng)〃=§時(shí)，

4+2〃有最小值耳，故B正確；

（&+G）=a+b+2y[ab<2（a+/?）=2,0<4a+-Jb<V2,當(dāng)〃=b=：時(shí)取等號(hào)，

，夜+班有最大值無最小值，故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：ABC

5.AB

1

【分析】由2a+6=l利用基本不等式求油的最大值，再求M+-r的最小值，由

ab

1?12

上+：=（上+分（2a+6）利用基本不等式求其最小值，再求4a2+〃的最小值.

abab

【詳解】???a,6為正實(shí)數(shù)，

/.2a+b>2>j2a-b,當(dāng)且僅當(dāng)2a=6時(shí)等號(hào)成立，又2a+3=l,

當(dāng)且僅當(dāng)a=g,b時(shí)等號(hào)成立，

842

二?次?的最大值為:，A對，

8

ab422,ab=1時(shí)取等號(hào)，因?yàn)閍bW,

ab8

"+々>2淇最小值不是2,D錯(cuò)，

ab

2

由基本不等式可得（2〃+加2=4〃2+b+Aab<84+2廿,當(dāng)且僅當(dāng)2a=b時(shí)等號(hào)成立，

又2a+6=1,

4a2+&2>1,當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b時(shí)等號(hào)成立，

242

.??41+尸的最小值為B對，

*.*2。+人=1,

-+-=（2a+ft）（-+-）=2+—+-+2>4+2.1—--=8,當(dāng)且僅當(dāng)4=[，》=工時(shí)等號(hào)

ababba\ba42

成立，

答案第3頁，共30頁

1：2的最小值為8,C錯(cuò)，

ab

故選：AB.

6.BCD

【分析】對于選項(xiàng)A：結(jié)合已知條件利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求解；對于BCD：結(jié)合已知條

件利用基本不等式求最值即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A：因?yàn)閥=Y-2x+2=（x-iy+1,xe[0,8],

所以由二次函數(shù)性質(zhì)可知，y=/_2x+2在[0,1）上單調(diào)遞減，在[1,+8]上單調(diào)遞增，

故當(dāng)尤=1時(shí)，y=/_2x+2有最小值1,故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)閤e（l,4],所以

￡-2尤+2(1)2+1

U-D--=2,

12_oV-u9

當(dāng)且僅當(dāng)X-1=—；時(shí)，即x=2時(shí)，r/有最小值2,故B正確;

對于選項(xiàng)C：因?yàn)閤e（0,]）,所以2—4x>0,

/4Y+2—4x

又因?yàn)镴4x(2-4x”--------------=1,即4x(2-4x)41,

當(dāng)且僅當(dāng)4x=2-4x時(shí)，即x=：時(shí)，不等式取等號(hào),

進(jìn)而戶而占『2’即當(dāng)時(shí)’+；.，的最小值為2,故C正確;

對于選項(xiàng)D：由基本不等式可知，y=g2+1+22,

當(dāng)且僅當(dāng)+1=,即x=0時(shí)，y=jH+]+_有最小值2,故D正確.

故選：BCD.

7.ACD

【分析】利用已知的等式，將其進(jìn)行變形，利用基本不等式對選項(xiàng)逐一分析判斷即可.

【詳解】對于A,因?yàn)閍>0,b>0,所以2=〃+Z?..2?F,故她」，

當(dāng)且僅〃=人時(shí)取等號(hào)，此時(shí)lg〃+lg/?=lg（必）,，lgl=0,故選項(xiàng)A正確；

對于B,因?yàn)槌?一〃一2〃=0,所以必=a+2A.,當(dāng)且僅當(dāng)a=2Z?時(shí)取等號(hào)，

答案第4頁，共30頁

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所以/次.8而，解得成.8,則a+出.8,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;

對于C,因?yàn)椤?/?=2,

所以。?1?（。+41_5alb=2但a=@

bab2b4ab24b4aV4b4a2

當(dāng)且僅當(dāng)6=J%=匕5時(shí)取等號(hào)，故選項(xiàng)C正確；

2

對于D,因?yàn)楣?上=2，所以成=。+沙+7,所以。=竺?,

a+1b+23b-1

因?yàn)椤?gt;0,b>0,所以Z?>1,

所以。/?+。+人=2。+3/?+7=^^+36+7=33—1）+5+14..2南+14=6#+14,

b-1b-1

當(dāng)且僅當(dāng)6="+1時(shí)取等號(hào)，故仍+°+6..14+6",故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

8.BC

【分析】利用基本不等式直接判斷A；利用基本不等式求得（逐+而『的最大值可判斷B；

利用基本不等式“1”的代換可判斷C；利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D；

【詳角星】x>0,y>。且3尤+2y=10,.,.0<x<g,0<y<5

.______95

對于A,利用基本不等式得10=3x+2y之2）3%義2y，化簡得孫“不，

當(dāng)且僅當(dāng)3x=2y,即％=5=5W時(shí)，等號(hào)成立，所以孫的最大值25為故A錯(cuò)誤；

326

對于B,^y/3x+yf2y^=3x+2y+2^6xy=10+2^6xy<10+10=20,

當(dāng)且僅當(dāng)3尤=2y,即x=（y=|時(shí)，等號(hào)成立，所以技+后的最大值為2石，故B正

確；

32=gx（3尤+2y）+工1如+如‘6%6y5

對于C,—+—X9++4^T3+2

%y10Iy%2

當(dāng)且僅當(dāng)空="，即x=y=2時(shí)，等號(hào)成立，所以之+2的最小值為：，故C正確;

yxxy2

對于D,…[3”=生千^（。<”5）

利用二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)0<y<=時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)=<y<5時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增,

答案第5頁，共30頁

13x1—|-40x—+100（,13x（5）2-40x5+100225

「八U3j13100-，+2）<_LJ------------=一,

:.lx^+y]=---------------------=——1/max99

\一/min913

故D錯(cuò)誤；

故選：BC

9.AC

【分析】對于A選項(xiàng)，求得H（X）,由此判斷出A選項(xiàng)；對于B選項(xiàng)，利用特殊值法進(jìn)行

排除；對于C選項(xiàng)，計(jì)算出“（X）,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項(xiàng)；對于D選項(xiàng)，

計(jì)算出H（X）,H（Y）,利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項(xiàng).

【詳解】對于A選項(xiàng)，若〃=1,貝i]i=l,p1=l,所以H（X）=-（lxlog21）=0,所以A選項(xiàng)

正確.

對于B選項(xiàng)，若〃=2,則i=l,2,p2=l-P1,

所以H(X)=_[p/log20+(l_R>log2(l_R)],

當(dāng)月=；時(shí)，H（X）=-Q-log2l+1.log21^

HX="1010

當(dāng)Pl=土?xí)r，（）^1-g2|+1-g21^>

兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

對于C選項(xiàng)，若Pj=1（7=1,2,，篦）,則

n

//（x）=-|--log,-|x?=-log2-=log2/z,

\nnJn

則”（X）隨著〃的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.

對于D選項(xiàng)，若〃=2m,隨機(jī)變量Y的所有可能的取值為1.2,,m，且P（Y=j）=Pj+p2m+1_y.

(J=1,2,-,m).

2ffz27n1

"(X)=P,」log?P,=￡P(guān),」1加—

i=li=lPi

i1i1i1i1

=Pl」0g2—+P2」°g2—++Plm-\'1°§2----+P2m」°g2---.

PlPlPlm-XPim

]

"(J7)=(Pl+P2m).l°g2—+(22+72%1).l0g2-----++(P/+Pm+l)」Og2

Pl+PimPl+P2m-1Pm+Pm+\

11111111

=A-l°g2-------+必,lOg2---------++l°g2---------+。2,Jl°g2-------由于

+

A+P2mPl+Pln,-XPl+Pzm-lPlP2m

答案第6頁，共30頁

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/HL1uluana?wcom

/、11,1,1

口>0(7=1,2,,2m),所以一>---------,所以l°g2—>10§2---------------)

7+

'PiPi+P2m+l-iPiPiPlm+l-i

,1,1

所以B?log?—>A-l°g2--------------，

PiPi+Pim+l-i

所以H(x)>"(y),所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC

【點(diǎn)睛】本小題主要考查對新定義“信息嫡”的理解和運(yùn)用，考查分析、思考和解決問題的能

力，涉及對數(shù)運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運(yùn)用，屬于難題.

10.AB

【解析】由題意和圖形及頻率分布直方圖的相關(guān)公式計(jì)算頻率、中位數(shù)、平均數(shù)即可，

【詳解】由圖可得100x(0.001+0.002+0.0026x2+。+0.0004)=1=。=0.0014

樣本在區(qū)間［500,700］內(nèi)的頻數(shù)為100x(0.0014+0.0004)xl00=18,故A正確；

年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)頻率為100x(0.001+0.002)=0.3,故B正確；

100x(0.001+0.002+0.0026)=0.56>0.5則中位數(shù)在［300,400］之間，設(shè)為尤則

(%-300)x0.0026=0,2x?377>350,故C不正確；

年收入的平均數(shù)超過

150x0.1+250x0.2+350x0.26+450x0.26+550x0.14+650x0.04=376<400,故D不正確

故選：AB

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.謹(jǐn)記頻率分布直方圖的相關(guān)公式：

(1)直方圖中各小長方形的面積之和為1；

(2)直方圖中縱軸表示：頻率/組距，故每組樣本的頻率為組距乘以頻率/組距，即矩形的面積；

(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率乘以總數(shù).

2.頻率分布直方圖中數(shù)字特征的計(jì)算：

(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；

(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；

(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長方形的面積乘以小長

方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

11.ACD

【分析】根據(jù)X服從超幾何分布可判斷BC選項(xiàng)的正誤，利用超幾何分布的概率公式可判斷

AD選項(xiàng)的正誤.

答案第7頁，共30頁

【詳解】由題意知，隨機(jī)變量X服從超幾何分布，故B錯(cuò)誤，C正確;

r2c2

pP（X=3）?4

P（X=2）=,

C10'C1035

34IQ

所以P（l<X<4）=P（X=2）+P（X=3）=]+^=^,故AD正確.

故選：ACD.

12.ACD

【分析】只撥動(dòng)一粒珠子至梁上，因此數(shù)字只表示1或5,由此可得四位數(shù)的個(gè)數(shù)，能被3

整除，只能是2個(gè)1和2個(gè)5,求出四位數(shù)的個(gè)數(shù)后可得概率，而被5整除，只要個(gè)位數(shù)字

是5即可.由此計(jì)數(shù)后可計(jì)算出概率，判斷各選項(xiàng).

【詳解】只撥動(dòng)一粒珠子至梁上，因此數(shù)字只表示1或5,四位數(shù)的個(gè)數(shù)是2"=16,能被3

整除的數(shù)字1和5各出現(xiàn)2個(gè),因此滿足條件的四位數(shù)和個(gè)數(shù)是C：=6,所以P(A)=^=|,

168

Q1

能被5帶除的四位數(shù)個(gè)數(shù)為2?=8,P(8)=2=：,能被15帶除的是能被3整除的四位數(shù)

162

的個(gè)數(shù)是5,因此滿足這個(gè)條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)是C；=3,概率為/48)=弓，

16

31311

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=-+

o2lolo

故選：ACD.

13.ACD

【分析】由題意可知，五位諸侯分得的領(lǐng)地成等差數(shù)列｛%｝,利用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式得

到｛%｝的首項(xiàng)和公差，再分類討論分別求出每種情況中男、子、伯、侯、公五個(gè)等級分到的

領(lǐng)地?cái)?shù)，再利用概率對四個(gè)選項(xiàng)逐一分析，即可得正確選項(xiàng).

【詳解】由題意可知，五位諸侯分得的領(lǐng)地成等差數(shù)列｛%｝,設(shè)其前〃項(xiàng)和為5,，

則5%+丁加=50,得片=10-2加.因?yàn)椋ィ瑑?yōu)均為正整數(shù)，所以有如下幾種情況：

E=8[a,=6伉=4伉=2

,,1c，?",共4種情況，每種情況各位諸侯分到領(lǐng)地的處數(shù)如下表

\m=\[m=2\m=5=4

所列：

男子伯侯公

答案第8頁，共30頁

了學(xué)木加包皤劇

MRHMIluluancom

4=8m=l89101112

%=6，m=268101214

4=4,m=347101316

。1=2，m=426101418

一3

由表中數(shù)據(jù)可知：為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是】；故選項(xiàng)A正確；

為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是?=1；故選項(xiàng)B不正確；

為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是：=1；故選項(xiàng)c正確；

為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是。，故選項(xiàng)D正確；

4

故選：ACD.

14.ABD

【解析】根據(jù)優(yōu)惠規(guī)則計(jì)算應(yīng)付款項(xiàng)，判斷各選項(xiàng).

【詳解】購物總額為78元，則應(yīng)付款為78-5=73元，A正確；

購物總額為228元，貝U應(yīng)付款為228x0.9=205.2元，B正確；

購物總額為368元，貝U應(yīng)付款為300x0.9+68x0.8=324.4元，C錯(cuò)誤；

購物時(shí)一次性全部付款442.8元，則包含購物總額300元應(yīng)付的270元，還有172.8元對應(yīng)

購物額度為左2=216,因此購物總額為300+216=516元，D正確.

0.0

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，在求解應(yīng)付款時(shí)，如果購物總額大于300元，計(jì)算時(shí)需先計(jì)

算300元應(yīng)付270元，多于300元的乘以0.8,這才是正確結(jié)論，不能全部乘以0.8.

15.ABD

【分析】根據(jù)二進(jìn)制計(jì)數(shù)法逐個(gè)分析選項(xiàng)即可.

【詳解】對于選項(xiàng)A：

V12=1X23+1X22+0X21+0,二12表示為1100,/(12)=2,

答案第9頁，共30頁

V18=1X24+0X23+0X22+1X