北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊教案（2020年九月）

第一章整式的乘除

1.1同底數(shù)基的乘法

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.經(jīng)歷探索同底數(shù)幕乘法運算性質(zhì)過程，進(jìn)一步體會幕的意義.

2.了解同底數(shù)塞乘法的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題

二、學(xué)習(xí)重點：同底數(shù)器的乘法運算法則的推導(dǎo)過程以及相關(guān)計算

三、學(xué)習(xí)難點：對同底數(shù)募的乘法公式的理解和正確應(yīng)用

四、學(xué)習(xí)設(shè)計

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

預(yù)習(xí)書p2-4

(-)學(xué)習(xí)過程

1.試試看：(1)下面請同學(xué)們根據(jù)乘方的意義做下面一組題：

①②==

③a3.a4==a()

⑵根據(jù)上面的規(guī)律，請以幕的形式直接寫出下列各題的結(jié)果:

2.猜一猜：當(dāng)m,n為正整數(shù)時候，

即anran=(m、n都是正整數(shù))

3.同底數(shù)基的乘法法則：同底數(shù)基相乘

運算形式：(同底、乘法)運算方法：(底不變、指加法)

當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)幕相乘時，也具有這一性質(zhì)，用公式表示為am-an-ap=

am+n+p(m、n、p都是正整數(shù))

練習(xí)1.下面的計算是否正確？如果錯,請在旁邊訂正

(1).a3*a4=al2(2).m*m4=m4(3).a2*b3=ab5(4).x5+x5=2xl0

(5).3c4*2c2=5c6(6).x2*xn=x2n(7).2m*2n=2m*n(8).b4?b4

?b4=3b4

2.填空：(1)x5?()=x8(2)a?()=a6

(3)x?x3()=x7(4)xm?()=x3m

(5)x5?x()=x3ex7=x()ex6=x*x()(6)an+lea()=a2n+l=a*a(

例1.計算

(1)(x+y)3?(x+y)4(2)

(3)(4)(m是正整數(shù))

變式訓(xùn)練.計算

(1)(2)(3).

(4)(5)(a-b)(b-a)4(6)

(n是正整數(shù))

拓展.1、填空

(1)8=2x,則x=

(2)8X4=2x,則x=

(3)3X27X9=3x,則x=

2、已知am=2,an=3,求的值3、

4、已知的值。5、已知的值。

回顧小結(jié)

1.同底數(shù)基相乘法則要注重理解“同底、相乘、不變、相加”這八個字.

2.解題時要注意a的指數(shù)是L

3.解題時，是什么運算就應(yīng)用什么法則.同底數(shù)基相乘，就應(yīng)用同底數(shù)器的乘法法則；整

式加減就要合并同類項，不能混淆.

4.-a2的底數(shù)a,不是-a.計算-a2?a2的結(jié)果是-(a2?a2)=-a4,而不是(-a)2+2=a4.

5.若底數(shù)是多項式時，要把底數(shù)看成一個整體進(jìn)行計算[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K]

1.2幕的乘方與積的乘方(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能說出基的乘方與積的乘方的運算法則.

2.能正確地運用基的乘方與積的乘方法則進(jìn)行塞的有關(guān)運算.

二、學(xué)習(xí)重點：會進(jìn)行幕的乘方的運算。

三、學(xué)習(xí)難點：募的乘方法則的總結(jié)及運用。

四、學(xué)習(xí)設(shè)計：

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書5?6頁

(2)回顧：

計算(1)(x+y)2,(x+y)3(2)x2?x2?x+x4?x

(3)(0.75a)3?(—a)4(4)x3?xn-1—xn-2?x

4

(二)學(xué)習(xí)過程：

一、1、探索練習(xí)：

(6/表示個相乘.

a3表示個相乘.

(a2)3表示個相乘.

在這個練習(xí)中，要引學(xué)習(xí)生觀察，推測(6/與(aT的底數(shù)、指數(shù)。并用

乘方的概念解答問題。

(62)4=XXX

=(根據(jù)?-2"=小)

(33)5=XXXX

=(根據(jù)a--am=a")

6!表示個相乘.

(a2)?XX

=(根據(jù)a"-am=a"m)

(am)2=__X_

(根據(jù)a"?a"=a")

(a"')"=X*…XX

=(根據(jù)a--am=a"ra)

即(a01.)。=(其中m、n都是正整數(shù))

通過上面的探索活動，發(fā)現(xiàn)了什么？

事的乘方，底數(shù)(指數(shù)

2、例題精講

類型一募的乘方的計算

例1計算

⑴(5')3⑵一(才)3⑶[(—"T(4)[(a+8)2「

隨堂練習(xí)

]_

(1)(a4)3+"；(2)[(-5)叮％(3)E-(a+6),]3

類型二哥的乘方公式的逆用

例1已知a*=2,a,=3,求/+，；ax+3y

隨堂練習(xí)

(1)已知a"=2,H=3,求a"”

(2)如果9*=3川，求X的值

隨堂練習(xí)

己知：8嘆43=2”,求“

類型三事的乘方與同底數(shù)塞的乘法的綜合應(yīng)用

例1計算下列各題

225

(1)(a)-a⑵(一a)'?a

(3)x?x?x'+(—x)'+(—%)2(4)(a—6)2(Z>—a)

3、當(dāng)堂測評

填空題：

(1)(m2)5=_________；—E(——產(chǎn)]2=__________；[—(a+b)2]3=__________

2

(2)[-(-x)5]2?(-x2)3=；(xm)3,(-x3)2=.

(3)(-a)3,(aH)5,(a1")5—；-(x-y)2,(y-x>=.

(4)X*(x3)(----)=(x6)'——>.

(5)於必"+|)=()m+1.若產(chǎn)"=3,則聲"=.

(6)已知2*=勿,2y=n,求8"+”的值(用以、"表示).

判斷題

(1)a'aJZa'o()

(2)(s3)=x6()

(3)(—3)2?(—3)—3)6=—即()

(4)x3+y=(x+y)3()

(5)[(m—n)；']'—[(m—n)2]6=0()

4、拓展：

1、計算5(P3)4?(—p2)3+2[(—p)2]4?(—p5)2

2若

、(x2)n=x8,貝Um=.

若

33

、[(X)m]2=x12,貝|Jm=o

4若

、Xm.*2m=2,求的值。

5、若a2n=3,求（a3n），的值。

6、已知am=2,an=3,求a2m+3n的值.

回顧小結(jié)：1.幕的乘方（m）"=（m、n都是正整數(shù)）.

2.語言敘述：_______________

3.累的乘方的運算及綜合運用。

1.2塞的乘方與積的乘方（2）

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能說出事的乘方與積的乘方的運算法則.

2.能正確地運用幕的乘方與積的乘方法則進(jìn)行幕的有關(guān)運算

二、學(xué)習(xí)重點：積的乘方的運算。

三、學(xué)習(xí)難點：正確區(qū)別基的乘方與積的乘方的異同。

四、學(xué)習(xí)設(shè)計：

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書7?8頁

(2)回顧：

1、計算下列各式：

⑴x5-X2=(2)X6-X6=⑶X6+x6=

⑷-X-X3-X5=(5)(-X)，(-X)3=⑹.尤2+X-X4=

⑺((-(馬(a2)3-a5=

x)'=----------8)5=(9)

(10)_(加3)3?(機(jī)2)4=----------------(11)(丁")3=----------

2、下列各式正確的是()

/_5\3_八823623s?24

(A)(a'(B)a"-a—a(0x+x~x(D)x-x—x

(二)學(xué)習(xí)過程：

探索練習(xí)：

]、計算：23*53=-----------------*-------------------=----------------=(-X—)3

2、計算：28x58=----------4-------------------=----------------=(-”—,

3、計算：2,2x5'2=-----------X------------------=--------------=(—X—)12

從上面的計算中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

4、猜一猜填空：⑴(3x5)4=3-5(一)⑵(3x5)",=3J6一)

(3)你能推出它的結(jié)果嗎？

結(jié)論：

例題精講

類型一積的乘方的計算

例1計算

(1)(2b2)5；(2)(-4xy2)2(3)一(一gab產(chǎn)

(4)E-2(a-b)3]s.

隨堂練習(xí)

2Q

(1)(3/)6(2)(~x3y)2(3)(-yxy2)2(4)[—3(〃一加].

類型二募的乘方、積的乘方、同底數(shù)毫相乘、整式的加減混合運算

例2計算

(1)L-(-x)512?(-x2)3(2)(C“T)2(c2d)”

(3)(x+y)3(2x+2y)2(3x+3y)2(4)(—3a3)2?a3+(—a)2,a7—(5o3)3

隨堂練習(xí)

(1)(a2n')2?(a"’2)3(2)(-X4)2-2(X2)3?x?x+(-3x)3?x5

(3)[3+6)2]3.[3+6)3]4

類型三逆用積的乘方法則

例1計算(1)82M4X0.1252004；(2)(-8)2005X0.125W，.

隨堂練習(xí)

20032002

02520X240-3-(-)+-

32

類型四積的乘方在生活中的應(yīng)用

4

例1地球可以近似的看做是球體，如果用I/J分別代表球的體積和半徑，那么V=-"孔

3

地球的半徑約為6xl()3千米，它的體積大約是多少立方千米？

隨堂練習(xí)

(1)一個正方體棱長是3X102mm,它的體積是多少mm?

(2)如果太陽也可以看作是球體，它的半徑是地球的1。2倍，那么太陽的體積約是多少立

方千米呢？”

當(dāng)堂測評

一、判斷題

1.(xy)3="3()2.(2xy)3=6Vy3()3.(-3a3)2=9?6()

4.(―^)3=—x(.)5.(a46)4=a'"6()

33

二、填空題

1--(f)3=，(一丁)2=.2.(-J孫2)2=.

3.81/嚴(yán)=(A.4.(x3)2?.5.(/)。=(〃”尸(〃、x是正整

數(shù))，則％=?

6.(-0.25)"X4"=.(-0.125)M0X8201=

4、拓展：

(1)已知n為正整數(shù)，且、2"=4.求(3x3〃)2_13(x2)2n的值.

(2)已知x"=5,y"=3,求(xy)2n的值

(3)若m為正整數(shù)，且x2m=3,求(3x3m)2-13(x2)2m的值.

回顧小結(jié)：

1.積的乘方(ab)"=(〃為正整數(shù))

2.語言敘述：______________________________________

3.積的乘方的推廣(abc)"="是正整數(shù)).

1.3同底數(shù)嘉的除法

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

了解同底數(shù)幕的除法的運算性質(zhì)，并能解決一些實際問題

二、學(xué)習(xí)重點：會進(jìn)行同底數(shù)幕的除法運算。

三、學(xué)習(xí)難點：同底數(shù)幕的除法法則的總結(jié)及運用

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書p9-13

(2)思考：0指數(shù)哥和負(fù)指數(shù)塞有沒有限制條件？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)：

1.(1)28X28=(2)52X53=(3)1O2X1O5=(4)a3?a3=

2.(1)2164-28=(2)55+53=(3)107H-105=(4)a6.4-a3=

學(xué)習(xí)過程

上述運算能否發(fā)現(xiàn)商與除數(shù)、被除數(shù)有什么關(guān)系？

得出：同底數(shù)基相除，?底數(shù),指數(shù).

即：am4-an=(。。0,m,n都是正整數(shù)，并且m>n)

練習(xí)：

(1)(X)+a=(2)(―x)+(-x)-(3)y"+y11

(4)h2"'+2-j-Z?2=(5)(x—+(x—y)6=(6)(-ab)5-r(ab)

2_

(7)(加一九尸+(〃一根尸=(8)-y3m-3yn,+'

提問：在公式中要求m,n都是正整數(shù)，并且m>n,但如果m=n或m<n呢？

計算：32+321034-103am4-am(aWO)

Q2nm

32H-32=—=1034-103==a"'^am=—=(aWO)

3am

324-32=3()=3，)1034-103=10(5=10(>am4-am=a(>=a()(a

WO)

于是規(guī)定：a0=l(aWO)即：任何非0的數(shù)的。次事都等于1

最終結(jié)論：同底數(shù)幕相除：ain**n(aWO,m、n都是正整數(shù)，且m2n)

想一想：loooono",(16=2"

1000=10()8=2()

100=10()4=2()

10=10()2=2()

，猜一猜：1=10(),1二2()

0.1=10()-=2()

2

0.01=10()-=2()

4

0.001=10()-=2()

8

負(fù)整數(shù)指數(shù)塞的意義:ap=—(a。()，p為正整數(shù))或ap=(-)p(<7W0,

apa

P為正整數(shù))

例1用小數(shù)或分?jǐn)?shù)分別表示下列各數(shù)：

(I)IO_3=(2)7°x8_2=

(3)1.6x10^=______________________

練習(xí)：

1.下列計算中有無錯誤，有的請改正

a2=a5(2)〃%+a=cc'

(3)(—。)5+(一。)3=一。2(4)3°=3

2.若(2。-3加°=1成立，則a為滿足什么條件?3.若(2x-5)°無意義，求x的值

7

4.若10,=」,10>'=49,則IO?”等于？5.若3*=。,3>=〃，求的32廠，的

4

值

6.用小數(shù)或分?jǐn)?shù)表示下列各數(shù):

(2)3==(3)4;=

(4)(I)=(5)4.2x10-3=(6)°.25-=

7.⑴若2，=*,貝Ik=(2)若(一2)'=(—2)；(一2『貝壯=

(4)若6]=3則"=

(3)0.0000003=3X10;則》=

拓展：

8.計算：(-3產(chǎn)+；［27x(-3產(chǎn)］(n為正整數(shù))9.已知(x—I)*=1,求整數(shù)x的值。

回顧小結(jié)：同底數(shù)基相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。

1.4整式的乘法(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解并掌握單項式的乘法法則，能夠熟練地進(jìn)行單項式的乘法計算

二、學(xué)習(xí)重點：單項式乘法法則及其應(yīng)用

三、學(xué)習(xí)難點：理解運算法則及其探索過程

(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書pl4-15

(2)思考：單項式與單項式相乘可細(xì)化為幾個步驟？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)：

1.下列單項式各是幾次單項式？它們的系數(shù)各是什么？

8x；-2a2bc；xy；-t2；5yvt4；-10xy2z3.

次數(shù)：

系數(shù)：

2.下列代數(shù)式中，哪些是單項式？哪些不是？

134ab221

v-2x；ab；1+x；---；-y；6x2--x+7.

%5

3.(1)(―a5)5=(2)(—a2b/=

(3)(―2a)2(—3a2)3=(4)(—yn)2yn_1==

(二)學(xué)習(xí)過程：

整式包括單項式和多項式，從這節(jié)課起我們研究整式的乘法，先學(xué)習(xí)單項式乘以單項式

例1.利用乘法交換律、結(jié)合律以及前面所學(xué)的幕的運算性質(zhì)，計算下列單項式乘以單

項式:

(1)2x2y?3xy2(2)4a2x5?(-3a3bx)

解：原式=()()()解：原式=()()()()

單項式乘以單項式的乘法法則：單項式相乘，把它的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一

個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式

注意：法則實際分為三點：

(1)①系數(shù)相乘一一有理數(shù)的乘法；此時應(yīng)先確定結(jié)果的符號，再把系數(shù)的絕對值相乘

②相同字母相乘一一同底數(shù)基的乘法；(容易將系數(shù)相乘與相同字母指數(shù)相加混

淆)

③只在一個單項式中含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式，不能丟掉這個

因式.

(2)不論幾個單項式相乘，都可以用這個法則.

⑶單項式相乘的結(jié)果仍是單項式.

例1計算:

(1)(-5a2b3)(-3a尸(2)(2x)3(-5x2y)=

(3)[/y?一=(4)(-3ab).(-a2c)2?6ab(c2)3=

注意：先做乘方，再做單項式相乘.

練習(xí)：1.判斷：新I課赫I第IT網(wǎng)

單項式乘以單項式，結(jié)果一定是單項式()

兩個單項式相乘，積的系數(shù)是兩個單項式系數(shù)的積()

兩個單項式相乘，積的次數(shù)是兩個單項式次數(shù)的積()

兩個單項式相乘，每一個因式所含的字母都在結(jié)果里出現(xiàn)()

2.計算：

⑴(2"2).(；孫)(2)(-2/〃)?(一3。)

⑶(4x10)5x(5x10,(4)(一3.%2).(_/〃)5

23I

(5)(一一a2bc3)-(--c5)-(-ab2c)(6)0.4x2y-(—xy)2-(-2x)3-xy3

343

拓展：

3.已知am=2,an=3,^(a3rn+n)2的值4.求證：52?32"10-306-2能被13整除

5.若&m+'bn+2).(a2n-*.h)=a5b\求機(jī)+〃的值。

回顧小結(jié)：單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)、相同字母的哥分別相乘，其余字母連

同他的指數(shù)不變，作為積的因式。

1.4整式的乘法(2)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

經(jīng)歷探索整式的乘法運算法則的過程，會進(jìn)行簡單的整式的乘法運算

二、學(xué)習(xí)重點：整式的乘法運算

三、學(xué)習(xí)難點：推測整式乘法的運算法則

(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書pl6-17

(2)思考：單項式與多項式相乘最容易出錯的是哪點？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè):

(1)-m2m2—(2)(jcy)3?(xy)2=

(3)2(ab-3)=(4)(2xy2)?3yx=

(5)(—2a3b)(—6ab6c)=(6)—3(ab2c+2bc—c)=

(二)學(xué)習(xí)過程：

1.我們本單元學(xué)習(xí)整式的乘法，整式包括什么？

2.什么是多項式？怎么理解多項式的項數(shù)和次數(shù)？

整式乘法除了我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的單項式乘以單項式外，還應(yīng)該有單項式乘以多項式，今

天將學(xué)習(xí)單項式與多項式相乘

做一做：

如圖所示，公園中有一塊長mx米、寬y米的空地，根據(jù)需要

在兩邊各留下寬為a米、b米的兩條小路，其余部分種植花草，

求種植花草部分的面積.

(1)你是怎樣列式表示種植花草部分的面積的?是否有不同的

表示方法？其中包含了什么運算？

方法一：可以先表示出種植花草部分的長與寬，由此得到種植花草部分面積為

方法二.：可以用總面積減去兩條小路的面積，得到種植花草部分面積為.

由上面的探索，我們得到了_________________________________

上面等式從左到右運用了乘法分配律，將單項式乘以多項式轉(zhuǎn)化為單項式乘以單項式

單項式與多項式相乘：就是根據(jù)分配律用單項式去乘多項式的每一項再把所得的積相加

例1計算：

(1)(一12盯2-10/y+21y3)(_6孫3)(2)(-2a2)-(ab+b2)-5a(a2b-ab2)

練習(xí)：1.判斷題：

⑴3a3?5a3=15a3()

(2)Gab-lab=42ab()

⑶3/乂？/-2/)=6/-6/()

(4)—x2(2y2—xy)=-2xy2—x3y()

2.計算題：

1

2

Q+⑵Vji)

6-(3)2a(-2oZ?+—cih~)

⑷-3x(-y-xyz)⑸Sx4-y-xyZ+x?)(6)2制Mb-鏟加c)

3233n

(7)(x)-2x[x-x(2x2-1)[(8)x(Zx^-Sx^+l)

拓展：

3.已知有理數(shù)a、b、c滿足|a—b—3|+(b+1)2+|c—1|=0,(-3ab),(a2c—6b2c)

值。

4.已知：2x?(xn+2)=2xn+1-4,求x的值。

5.若a?(3an—2am+4ak)=3a9—2a6+4a4,求一3k?(n3mk+2km2)的值。

回顧小結(jié)：單項式和多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式去多乘多項式的每一項，再把所

得的積相加。

1.4整式的乘法(3)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解多項式乘法的法則，并會進(jìn)行多項式乘法的運算

二、學(xué)習(xí)重點：多項式乘法的運算

三、學(xué)習(xí)難點：探索多項式乘法的法則，注意多項式乘法的運算中“漏項”、“符號”的問

題

(一)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書pl8-19

(2)思考：如何避免“漏項”？

(3.)預(yù)習(xí)作業(yè)：

3,,

(1)(-3孫*=(2)(--x3y)2=

(3)(—2x107)4=(4)(-%)?(-X)2=

(5)-a~?(-a)6=(6)一(/)5=

(7)(-?2)3-a5=(8)

(一2/加3.(一蘇兒)2=

(9)—2x(2%—-3x—1)(10)(--x+-y--)(-6Ay)

(-)學(xué)習(xí)過程：

如圖，計算此長方形的面積有幾種方法？如何計算？

方法1：S=_________________________________

方法2：S=_________________________________

方法3：S=_________________________________m

方法4：S=_________________________________

由此得至lj：(m+b)(a+n)==

運用乘法分配律進(jìn)行解釋，請將其中的一個多項式看作一個整體，再運用單項式與多項式

相乘的方法進(jìn)行計算

(把(a+n)看作一個整體)

(m+b)(a+n)=

多項式與多項式相乘：先用一個乘以另一個多項式的，再把所得的積

例1計算：(1)(1一x)(0.6-x)⑵(2x+y)(x—y)

⑶(X-2)，)2(4)(-2%-5)2

注意：(1)用一個多項式的每一項依次去乘另一個多項式的每一項，不要漏乘，在沒有合

并同類項之前，兩個多項式相乘展開后的項數(shù)應(yīng)是原來兩個多項式項數(shù)之積。

(2)多項式里的每一項都包含前面的符號，兩項相乘時先判斷積的符號，再寫成代數(shù)

.和形式。

(3)展開后若有同類項必須合并，化成最簡形式。

例2計算：

(l)(x+2)(y+3)—(x+l)(y_2)(2)ci~(tz+1)"—2(?！?)(<7+2)

練習(xí)：

(3)(y-；)(y+g)

(1)(x+2)(%+3)(2)(Q-4)(。+1)

(4)(-2x+1)-(5)(—3x+y)(—3九一y)(6)(x-2)(x2+2x)+(x+2)(x~-2x)

1.(x-5)(x+20)=x1+irix+n則m=,n=_

2.(x4-?)(x+Z?)=x2-kx-\-ab,則k的值為()

(A)a+b(B)—a—b(C)a—b(D)b—a

3.已知(2x-〃)(5x+2)=lOx?-6x+。則a=b=

拓展：

4.在V+〃x+8與——3x+q的積中不含/與1項，求p、q的值

回顧小結(jié)：多項式和多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把

所得的積相加。

1.5平方差公式(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

會推導(dǎo)平方差公式，并能運用公式進(jìn)行簡單的計算

二、學(xué)習(xí)重點：掌握平方差公式的特點，能熟練運用公式

三、學(xué)習(xí)難點：理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活應(yīng)用平方差公式

四、學(xué)習(xí)設(shè)計

(一)、預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

1、預(yù)習(xí)書p20-21

2、思考：能運用平方差公式的多項式相乘有什么特點？

3、預(yù)習(xí)作業(yè)：

(1)(x+2)(x—2)(2)(m+3)(m-3)(3)(-x+y)(-x-y)

(4)(l+3a)(1-3a)(5)(x+5))Xx-5y)(6)(2x+l)(2x-l)

(二)、學(xué)習(xí)過程

以上習(xí)題都是求兩數(shù)和與兩數(shù)差的積，大家應(yīng)該不難發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律.用公式可以表示為:

[a+b\a-b)=-我們稱它為平方差公式

平方差公式的推導(dǎo)

(a+b)(a-b)=(多項式乘法法則)=(合并同類項)

即：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差

平方差公式結(jié)構(gòu)特征：

①左邊是兩個二一項式相乘，這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數(shù)；

②右邊是乘式中兩項的平方差。即用相同項的平方減去相反項的平方

例1計算：

⑴(一2%+3)(3+2%)(2)(3/7+2。)(2。-3b)⑶(一4〃-1)(-4。+1)

變式訓(xùn)練：1、用平方差公式計算:

(1)(-x--y)(-x+-y)；(2)(一2加2-7)(7-2m2)；

2323-

2.（2008?金華）如果x+y=-4,x-y=8,那么代數(shù)式——產(chǎn)的值為

注意：（1）公式的字母a、Z?可以表示數(shù)，也可以表示單項式、多項式;

（2）要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運用平方差公式

例2.下列各式都能用平方差公式嗎？

(1)(a+Z?Xa-c)(2)(x+yl-y+x)(3)(-m-n\tn+n)

(4)(一Q+3)(-Q-3)(5)(Q+3)(—Q—3)(6)(—Q—3)(Q—3)

(7)(2Q+3〃)(2Q-3〃)(8)(-2Q+3/?)(2Q-3〃)

(9)(—2〃+3b)(—2ci+3b)(10)(—2a—3h)(2ci—3Z?)

(11)(cib—3%X--ab)

能否用平方差公式，最好的判斷方法是：兩個多項式中：兩項相等，兩項互為相反數(shù)

在平方差這個結(jié)果中誰作被減數(shù)，誰作減數(shù)，你還有什么辦法確定？

相等數(shù)的平方減去相反數(shù)的平方

變式訓(xùn)練：1、判斷

（1）（2a+h\2b-a）-4-a2-b~（）（2）f-^x+lY^x-]j=^-x2-1（）

-22

⑶(3x-y)(_3x+y)=9/)(4)(-2x-yX2x+y)=4x-y)

(5)(a+2)(a—3)=o--6()⑹(x+3Xy-3)=個一9)

2、填空：

（1）（2x+3y）（2x-3y）=(2)(4a-1、)=16/-1

拓展：

1、計算：(1)(a+Z?+c)~—(a—0+c)~(2)%4—(2x2+—1)一(x—2)(x+2)(x2+4)

2.先化簡再求值(％+引&一苗(/+丁)的值，其中x=5,y=2

3.(1)若x?->2=12,x+y=6,貝k-y=

(2)已知(24+2/7+1)(2〃+2人-1)=63,則。+。=

回顧小結(jié)：熟記平方差公式，會用平方差公式進(jìn)行運算。

1.5平方差公式(2)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.進(jìn)一步使學(xué)生掌握平方差公式，讓學(xué)生理解公式數(shù)學(xué)表達(dá)式與文字表達(dá)式在應(yīng)用上的差

異

二、學(xué)習(xí)重點：公式的應(yīng)用及推廣

三、學(xué)習(xí)難點：公式的應(yīng)用及推廣

四、學(xué)習(xí)設(shè)計

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(二)預(yù)習(xí)書p21-22

(三)思考：如何確定平方差公式中哪個是多項式中的和哪個是多項式的差？

(四)預(yù)習(xí)作業(yè)：

你能用簡便方法計算下列各題嗎？

(1)103x97(2)998x1002(3)59.8x60.2

(4)(X+3)(X-3)(X2+9)

學(xué)習(xí)設(shè)計:

1、做一做：如圖，邊長為4的大正方形中有一個邊長為〃b的小正方形。

(1)請表示圖中陰影部分的面積：S=

(2)小穎將陰影部分拼成了一個長方形，這個長方形的長和寬分別是

多少？

你能表示出它的面積嗎？新諛林第,網(wǎng)

長=寬=s=

(3)比較1,2的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎？

進(jìn)一步利用幾何圖形的面積相等驗證了平方差公式

平方差公式中的。、b可以是單項式，也可以是多項式，在平方時，應(yīng)把單項式或多項

式加括號；學(xué)會靈活運用平方差公式。有些式子表面上不能應(yīng)用公式，但通過適當(dāng)變形實質(zhì)

上能應(yīng)用公式.自如：(x+y-z)(x-y-z)中相等的項有和；相反的項

有，因此(x+y—z)(x—y—z)=[()+y][()-><]=()2-()2

形如這類的多項式相乘仍然能用平方差公式

例1.計算

(1)(x+y—z)(x+y+z)(2)(a-b+c)(a+b—c)

學(xué)海無涯

(1)題中可利用整體思想，把尤+y看作一個整體，則此題中相同項是(x+y),相反項是

一z和z；

(2)題中的每個因式都可利用加法結(jié)合律改變形式，則。是相同項，相反項是-b+C和

b-c

變式訓(xùn)練：計算：新深標(biāo)第-網(wǎng)

(1)—(a+〃)(Q—Z?)J[(c—a)(c+a)+(/?—c)(c+Z?)]；(2)

(Q+Z?+c)~—(a—b+c)~

方法小結(jié)我們在做恒等變形時，一定要仔細(xì)觀察：一是觀察式子的結(jié)構(gòu)特征，二是觀察數(shù)

量特征，看是否符合公式或是滿足某種規(guī)律，同時逆用公式可使運算簡便。

2、知識回顧：添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；團(tuán)如果括

號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號

例21.在等號右邊的括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻棧?/p>

(1)。+/7—C=Q+()(2)ci—b+c=a—()

(3)ct'~b~c=ci~~()(4)a+b+c=Q—()

2.下列哪些多項式相乘可以用平方差公式？若可以，請用平方差公式解出

(1)(a+Z?+c)(a—Z?+c)(2)(a-h-c)(a+Z?-c)

(3)(a-b+c\a-b-c)(4)(a+2b+2c)(a+2b-2c)

變式訓(xùn)練:

1、(2+l)(22+l)(24+l)(28+l)+l2、(22+42++1002)-(l2+32++992)

3、觀察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-l

(x-l)(x2+x+l)=x3-1

(x-l)(x3+x2+x+l)=x4-1

根據(jù)前面的規(guī)律可得：

(x-l)(xn+-++X+1)=

18

學(xué)海無涯

回顧小結(jié)：1.什么是平方差公式？一般兩個二項式相乘的積應(yīng)是幾項式?

2.平方差公式中字母〃可以是那些形式？

3.怎樣判斷一個多項式的乘法問題是否可以用平方差公式？

1.6完全平方公式(2)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會運用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù).的簡便運算

二、學(xué)習(xí)重點：運用完全平方公式進(jìn)行一些數(shù)的簡便運算

三、學(xué)習(xí)難點：靈活運用平方差和完全平方公式進(jìn)行整式的簡便運算

四、學(xué)習(xí)設(shè)計

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書p26-27

(2)思考:如何更簡單迅捷地進(jìn)行各種乘法公式的運算？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)：1.利用完全平方公式計算

(1)982(2)2032(3)1022(4)1972

2.計算：

(1)0+3)2-*2(2)("+1)2-(曲一1)2

(-)學(xué)習(xí)過程

平方差公式和完全平方公.式的逆運用

由(a+—份=a?—b2反之-b2=(a+h\a-b)

(a±Z?)2-cr+2ah+h2反之a(chǎn)2±2ah+b2=(a±/?)2

1、填空.：

(1)?2-4=(a+2)()(2)25-X2=(5-X)()(3)〃，_/=()()

(4)X2-64=()()(5)4療—49=(2加一7)()

(6)a4—m4-(a2+m2)()—(a2+m2)()()

(7)若x?+4x+%=(x+2尸,則k=^

(8)若/+丘+9是完全平方式，貝心=

例］計算：1.(a+1)2-(?2-2a+4)2.(2xy-l)2-(2xy+1)2

現(xiàn)在我們從幾何角度去解釋完全平方公式：

從圖(1)中.可以看出大正方形的邊長是a+b,

它是由兩個小正方形和兩個矩形組成，回所

困⑴

學(xué)海無涯

以

大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和.

貝Ijs==____________________

即：_____________________________

如圖(2)中，大正方形的邊長是a,它的面積是；矩形DCGE與矩形BCHF是全等圖

形，長都是—，寬都是—，所以它們的面積都是;正方形HCGM的邊長是b,其

面積就是—；正方形AFME的邊長是,所以它的面積是.從圖中可以看

出正方形AEMF的.面積等于正方形ABCD的面積減去兩個矩形DCGE和BCHF的面積再加上

正方形HCGM的面積.回也就是：(a-b)2=.這也正好符合完全平方公式.

例2.計算：

(1)(x-y-3)2(2)(a+b+c)2

變式訓(xùn)練：

(1)(a+b-3產(chǎn)(2)(x-y+2)(x+y—2)

(3)(6!—b—3)(<z—/?+3)(4)(x+5)2-(x-2)(x-3)

(5)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)(6)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)

拓展：1、(1)已知x+y=4,孫=2,則(x-y)\

(2)已知(a+A)?=7,(a-"J?=3,求/+〃=,ah—

(3)不論a、Z?為任意有理數(shù)，〃+/72-4。+給+7的值總是()

A.負(fù)數(shù)B.零C.正數(shù)D.不小于2

2、(1)已知X?—3x+1=0,求-I.....-和X，H——的值。

X2X4

(2)已知。一。=3,＞一。=一1,求。2+62+c?-a8一方c-ca的值。

(3).已知％-+廠—2孫一6x+6y+9=0,求x—y的值

20

學(xué)海無涯

回顧小結(jié)

1.完全平方公式的使用：在做題過程中一定要注意符號問題和正確認(rèn)識a、b表示的意

義，它們可以是數(shù)、也可以是單項式，還可以是多項式，所以要記得添括號。

2.解題技巧：在解題之前應(yīng)注意觀察思考，選擇不同的方法會.有不同的效果，要學(xué)

會優(yōu)化選擇。

1.6完全平方公式(1)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.會推導(dǎo)完全平方公式，并能運用公式進(jìn)行簡單的計算

2.了解完全平方公式的幾何背景

二、學(xué)習(xí)重點：會用完全平方公式進(jìn)行運算

三、學(xué)習(xí)難點：理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征并能靈活應(yīng)用公式進(jìn)行計算

四、學(xué)習(xí)設(shè)計

(-)預(yù)習(xí)準(zhǔn)備

(1)預(yù)習(xí)書p23-26

(2)思考：和的平方等于平方的和嗎？

(3)預(yù)習(xí)作業(yè)：

(1)(3a—2h)(3a+2b)=(2)(3tz-2b)(3a-2b)—=

(3)(p+l)2=(p+l)(p+1)=(4)(m+2尸=

(5)(p-l)2=(p-l)(p-l)=(6)0_2)2=

(7)(a+b)2—(8)(a—b)2=

(-)學(xué)習(xí)過程

觀察預(yù)習(xí)作業(yè)中(3)(4)題，結(jié)果中都有兩個數(shù)的平方和，而2〃=2廖1,4加=22,

恰好是兩個數(shù)乘積的二倍.(3)、(4)與(5)、(6)比較只有一次項有符號之差，(7)、(8)

更具有一般性，我認(rèn)為它可以做公式用.

因此我們得到完全平方公式：

兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的，加(或減)它們的積的倍.

公式表示為：3+=(a-6)2=

口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央(加減看前方，同號加異號減)

例L應(yīng)用完全平方公式計算：

(1)(4根+〃)~(2)(y—/(3)(-a—b)~(4)(―2x+y>

變式訓(xùn)練：

1.糾錯練習(xí).指出下列各式中的錯誤，并加以改正：

(1)(2a—1)"=2cr—2a+1(2)(2a+1)"——467"+1(3)

(―6/—1)~=—ci~—2a—1

21

學(xué)海無涯

2.下列各式中哪些可以運用完全平方公式計算,把它計算出來

(1)+(2)(a-b^b-a)

(3)(ah—3%X_+ah)(4)(-m-n\m+n)

分析：完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同：(a±b)2=a2±2ab+b2(a+bXa-b)=a2-b2

結(jié)果不同：完全平方公式的結(jié)果是三項，平方差公式的結(jié)果是兩項

3.計算：

(1)(-1-2%)2(2)(-2x+l)2

(3)(-2m-n^2m+n⑷L1+41L-4

3232

例2.計算:

1,1,

(1)(x+2y)(x-2y)(x2-4y2)(2)(-a-3b)\-a+3b)2；

(3)(2x-3y+4)(2x+3y-4).

方法小結(jié)(1)當(dāng)兩個因式相同時寫成完全平方的形式；(2)先逆用積的乘方法則，再

用乘法公式進(jìn)行計算；(3)把相同的結(jié)合在一起，互為相反數(shù)的結(jié)合在一起，可構(gòu)成平方

差公式。

變式議練2.計算：

(1)(4x2-/)[(2x+y)2+(2x-y)2]；(2)(x—y)2(x+y)2(/+),2)2

(3)(尤+y-z)(x-y+z)。

11

拓展：1.已知XH-3,則0H-=

XX

11

2.(2008?成都)己知y=—1,那么3左20一2到+3；/0—2