2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 向量的減法運(yùn)算 學(xué)案

6.2.2向量的減法運(yùn)算學(xué)習(xí)任務(wù)1．能通過向量的加法運(yùn)算抽象出向量的減法運(yùn)算．(數(shù)學(xué)抽象)2．理解相反向量的概念，了解向量加法與減法的關(guān)系．(邏輯推理)3．掌握向量的減法運(yùn)算，并理解其幾何意義．(直觀想象)一架飛機(jī)由A地→B地，再由B地→A地．問題：飛機(jī)的兩次位移分別是什么？它們之間有什么關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)1相反向量(1)定義：與向量a長(zhǎng)度____，方向____的向量，叫做a的相反向量，記作________．(2)性質(zhì)：①－(－a)＝__．②對(duì)于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．③若a，b互為相反向量，則a＝_____，b＝－a，a＋b＝______．知識(shí)點(diǎn)2向量的減法定義求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，a－b＝a＋______，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的________作法已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA＝a，OB＝b，則_________＝a－幾何意義如果把兩個(gè)向量a，b的起點(diǎn)放在一起，則a－b可以表示為從向量b的____指向向量a的____的向量在什么條件下，|a－b|＝|a|＋|b|?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)相反向量就是方向相反的向量． ()(2)向量AB與BA是相反向量． ()(3)零向量的相反向量仍是零向量． ()2．如圖，在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，用a，b表示向量AC，BD，則AC＝________，BD＝類型1向量減法的幾何意義【例1】如圖所示，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求作兩個(gè)向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進(jìn)行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點(diǎn)重合，則差向量為連接兩個(gè)向量的終點(diǎn)，指向被減向量的終點(diǎn)的向量．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．向量MN可以寫成：①M(fèi)O+ON；②MO-ON；③其中正確的是________(填序號(hào))．類型2向量減法的運(yùn)算【例2】化簡(jiǎn)下列各向量的表達(dá)式：(1)AB+(2)(AB-CD)－(AC(3)(AC+BO+OA)－[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________向量加減法化簡(jiǎn)的兩種形式(1)首尾相連且為和；(2)起點(diǎn)相同且為差．解題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)注意逆向應(yīng)用．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．化簡(jiǎn)下列向量的表達(dá)式：(1)OM-(2)(AD-BM)＋(BC_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3向量加減法的綜合應(yīng)用【例3】已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，M是斜邊AB的中點(diǎn)，CM＝a，CA＝b．求證：(1)|a－b|＝|a|．(2)|a＋(a－b)|＝|b|．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________解決此類問題要搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成三角形的三個(gè)向量之間的關(guān)系，確定已知向量與待證向量的轉(zhuǎn)化渠道．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．(1)已知O為四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，且向量OA，OB，OC，OD滿足OA+(2)如圖，已知一點(diǎn)O到平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的向量分別為a，b，c，則向量OD＝________．(用a，b，c表示)．1．在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，則AD-AC等于(A．CBB．BCC．CDD．DC2．化簡(jiǎn)OP-QP+PSA．QP B．OQC．SP D．SQ3．(多選)非零向量m與n是相反向量，下列正確的是()A．m＝n B．m＝－nC．|m|＝|n| D．方向相反4．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．向量減法的實(shí)質(zhì)是什么？2．在用三角形法則作向量減法時(shí)，要注意什么？3．以?ABCD的兩鄰邊AB，AD分別表示向量AB＝a，AD＝b，則兩條對(duì)角線表示的向量如何表示？4．對(duì)于任意的向量a，b，|a|－|b|與|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？6.2.2向量的減法運(yùn)算[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)1(1)相等相反－a(2)a－b0知識(shí)點(diǎn)2(－b)相反向量BA終點(diǎn)終點(diǎn)思考提示：當(dāng)a，b至少有一者為0或a，b非零且反向時(shí)成立．課前自主體驗(yàn)1．(1)×(2)√(3)√2．a(chǎn)＋bb－a[由向量加法的平行四邊形法則，及向量減法的運(yùn)算法則可知AC＝a＋b，BD＝b－a．][關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：法一：(幾何意義法)如圖①所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b，再作OC＝c，則CB＝a＋b－c．法二：(定義法)如圖②所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b，再作BC＝－c，連接OC，則OC＝a＋b－c．跟進(jìn)訓(xùn)練1．①④[①M(fèi)O+ON＝MN；②MO-ON＝－OM-ON＝－(OM+ON)≠M(fèi)N；③OM例2解：(1)AB+BC-AD＝(2)法一：加法法則原式＝AB＝(AB+BD)－(＝AD-AD＝法二：減法法則(利用相反向量)原式＝AB＝(AB-AC)＋(DC-DB)＝法三：減法法則(創(chuàng)造同一起點(diǎn))原式＝AB＝(OB-OA)－(OD-OC)－(＝OB-OA-(3)(AC+BO+＝(AC+BA)－(OC-OB)＝跟進(jìn)訓(xùn)練2．解：(1)OM-ON+MP-NA＝(2)(AD-BM)＋(BC-MC)＝AD+MB+BC+CM＝例3證明：在等腰直角三角形ABC中，由M是斜邊AB的中點(diǎn)，得|CM|＝|AM|，|CA|＝|CB|．(1)在△ACM中，AM＝CM-CA＝a于是由|AM|＝|CM|，得|a－b|＝|a|．(2)在△MCB中，MB＝AM＝a－b，所以CB＝MB-MC＝a－b＋a＝a＋(a－從而由|CB|＝|CA|，得|a＋(a－b)|＝|b|．跟進(jìn)訓(xùn)練3．(1)平行四邊形(2)a－b＋c[(1)∵OA+OC＝∴OA-OD＝OB-OC，∴∴|DA|＝|CB|，且DA∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．(2)在△AOD中，AD＝OD-OA＝OD－在△BOC中，BC＝OC-OB＝c又在?ABCD中，AD＝BC，故OD－a＝c－b，即OD＝a－b＋c．][學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)]1．C[在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，則由兩個(gè)向量的減法的幾何意義可得AD-AC＝2．B[原式＝(OP+PQ)＋(PS+SP)＝OQ＋3．BCD[由條件可知，當(dāng)m≠0且n≠0時(shí)，B，C，D項(xiàng)都成立，故選BCD．]4．02[若a，b為相反向量，則a＋b＝0，∴|a＋b|＝0．又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵