第四章-線性方程組習(xí)題及答案

第四章線性方程組1．設(shè)齊次方程組有非零解，求及其通解.解：因為此方程組有非零解，故系數(shù)矩陣的行列式為零.所以，，即（1）當(dāng)時，對此方程組的系數(shù)矩陣進行行變換原方程組等價于,即.取，得為方程組的基礎(chǔ)解系.則方程組的通解為.（2）當(dāng)時，原方程組等價于取，得為方程組的基礎(chǔ)解系.故通解為.2．解齊次方程組（1）（2）（3）（4）（1）解：對此線性方程組的系數(shù)矩陣進行初等行變換原方程組等價于即取，得為原方程組的基礎(chǔ)解系.故通解為.（2）解：對線性方程組的系數(shù)矩陣進行初等行變換故，所以此方程組只有零解,即.（3）解：對線性方程組的系數(shù)矩陣進行初等行變換原方程組等價于取得為方程組的基礎(chǔ)解系.所以，原方程組的通解為.（4）解：對方程組的系數(shù)矩陣進行初等行變換，原方程組等價于即取得為方程組的基礎(chǔ)解系.故通解為.3．解非齊次方程組（1）（2）（3）（1）解：對此方程組的增廣矩陣進行初等行變換因為所以，此方程組無解.（2）解：對此方程組的增廣矩陣進行初等行變換原方程組等價于此方程組對應(yīng)的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為此方程組的特解為故方程組的通解為.（3）解：對此方程組的增廣矩陣進行初等行變換原方程組等價于即此方程組對應(yīng)導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為特解為故通解為.4．求解非齊次方程組（1）（2）（1）解：對此非齊次線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換①當(dāng)，或時，方程組無解;②當(dāng)且，方程組有無窮多解;此時方程組等價于即取得對應(yīng)的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，，，為特解.故通解為，.（2）解：對方程組的增廣矩陣進行初等行變換①當(dāng)時，方程組無解.②當(dāng)，時，方程組有無窮多解.此時，原方程組等價于即則，為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為方程組的一個特解，故通解為.③，時，方程組有無窮多解此時，原方程組等價于即則為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系,為方程組的一個特解.故方程組的通解為.5．討論方程組的解，并求解解：線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式為令，則或（1）時.線性方程組的增廣矩陣為因為所以，此時方程組無解;（2）當(dāng)時,方程組等價于，為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系,為方程組的一個特解.故通解為.（3）當(dāng)且時，方程組有唯一解.，，.6．設(shè)，其中是的轉(zhuǎn)置，求解方程.解：將代入下式得由得又所以即對線性方程組的增廣矩陣進行初等行變換方程組等價于，即，為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系.為方程組的一個特解.故通解為.7．已知向量組與向量組具有相同的秩，且可由線性表示，求的值.解：因為可以由線性表示所以，有解.即因為所以故又因為所以.8．設(shè)向量組討論取可值時，不能由線性表示.取何值時，可由唯一線性表示.取何值時，可由線性表示，且有無窮多種表示形式.解：是否能由線性表示，也即是非齊次線性方程組是否有解.（1）當(dāng)時，，則有無窮多解.也即可由線性表示，并且有無窮多表示方法.;（2）時，，故方程組無解，也即不能由線性表示;（3）時，，則方程組有唯一解.即可由唯一線性表示..9．設(shè)四階方陣的秩為2，且，其中求非齊次方程組的通解.解：因為，故非齊次線性方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含有2個向量又，為對應(yīng)導(dǎo)出組的2個線性無關(guān)的解向量，即是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系是的一個解.故的通解為.10．已知方程組（I）的通解為設(shè)方程組（II）為問方程組（I）、（II）是否有非零公共解，若有，求其所有公共解.解：由題意，（I）的通解為將的表達式代入方程組（II）得即所以（I）和（II）有公共解，并且公共解為.11．設(shè)四元齊次方程組（I）為且已知另一四元齊次方程組（II）的一個基礎(chǔ)解系為，，（1）求方程組（I）的一個基礎(chǔ)解系（2）當(dāng)為何值時，方程組（I）與（II）有非零公共解？在有非零公共解時，求出全部非零公共解.解：（1）方程組（I）顯然，系數(shù)矩陣的秩為2.對（I）的系數(shù)陣進行初等行變換故方程組（I）與等價取得為（I）的一個基礎(chǔ)解系.（2）若（I）、（II）有非零公共解，即存在不全為0的數(shù)，使（*）即有非零解故.所以時，方程組有非零解此時即所以為（*）的基礎(chǔ)解系.將表示式代入（*）得（I）、（II）的全部解為（為不同時為0的常數(shù)）.12．設(shè)，求一秩為2的矩陣，使解：先求的基礎(chǔ)解系故齊次線性方程組等價于得為的一個基礎(chǔ)解系令，并且.13．設(shè)，方程組的一個基礎(chǔ)解系為，求方程組的通解.解：將題中所求通解的線性方程組記為由題意兩邊取轉(zhuǎn)置故的每一列為的解向量.又的基礎(chǔ)解系含有個向量，所以，，則的行向量組線性無關(guān).又，所以，的行向量組為的基礎(chǔ)解系.14．已知4階方陣，其中線性無關(guān)，，如果，求線性方程組的通解.解：因為線性無關(guān)，又,則.所以，的基礎(chǔ)解系只含有1個向量.又所以故為的一個基礎(chǔ)解系.又則所以為的一個特解故的通解為.15．設(shè)的行向量組是某個齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.證明的行向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系存在可逆陣，使.解：設(shè)的行向量組是的基礎(chǔ)解系，若的行向量組也是的基礎(chǔ)解系,則的行向量組與的行向量組等價故存在可逆陣，使得,所以，.反之，若存在可逆陣，使得則，故的行向量組與的行向量組等價.又因為的行向量組是的基礎(chǔ)解系.所以，的行向量組也是的基礎(chǔ)解系.16.設(shè)的解都是的解，則與同解.證：必要性.若與同解，則與具有相同的解空間,即故,所以.充分性.設(shè)是的基礎(chǔ)解系，，因為的解都是的解.所以，是的個線性無關(guān)的解向量.又，所以，的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為因此，為的一個基礎(chǔ)解系.故與同解.17．設(shè)為陣，為陣，證明與同解證：必要性.因為與同解，所以，與有相同的解空間,即因此,故.充分性.設(shè)是的解，.則.所以，的解都是的解.設(shè)是的基礎(chǔ)解系，，則也是的線性無關(guān)解向量.并且，的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為所以為的基礎(chǔ)解系，故與同解.18．設(shè)為陣，為陣，證明有解證：必要性.為陣，為陣，，則為陣令，因為所以故即矩陣的列向量組可以由的列向量組線性表示所以充分性.若，又由有所以故有解.設(shè)解分別為即有解.19．設(shè)為陣，為陣，則與同解證：若與同解，則與同解.又的解一定是的解.由題16，同理，故.反之，若.因為，的解都是的解.所以，由題16，與同解.又因為的解都是的解，所以與同解，故，與同解.20．設(shè)，其中，若，則有解.證：因為所以，故有解.21．設(shè)為陣，，若有解，則.又當(dāng)時，有解.證：（1）因為為陣，所以.故又為陣，故.（2）若，有解，則所以.反之，若.故即所以有解.22．若方陣的行列式為，則的伴隨陣各行成比例.證：因為，所以.（1）若，則.故的行向量組的秩為1，不妨設(shè)第一行為行向量的極大無關(guān)組，則剩余行向量均可以由線性表示，故各行成比例.（2）若，則，即，顯然各行成比例.23．設(shè)，則方程組的任意兩解成比例.證：因為為陣，所以，的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為.設(shè)為的一個基礎(chǔ)解系.則任意解.所以，任意兩解成比例.24．設(shè)，且，則不可逆.證：由于故.所以，是的解.即齊次線性方程組有非零解，故.25．設(shè)為實矩陣，若對任意維非零列向量，均有，則證：反證，若則有非零解設(shè)是的一個非零解，則此與對任意，矛盾.26．設(shè)為（實）反對稱陣，為對角元全大于0的對角陣，則，且還有證：（1）反證，若則有非零解，設(shè)為進而因為為反對稱陣，所以故但所，此為矛盾所以,.（2）令假設(shè).因為，.由介值定理存在使得為對角元全大于的對角陣.但由第（1）步矛盾.故.27．求出平面上點位于一條直線上的充要條件.證：設(shè)點所共直線為，則關(guān)于的方程組有解，從而矩陣與的秩相等，故，反之，若（1）若，則此點共線.（2）否則，，但故，從而與的秩相等.方程組（未知量為）有解，于是點共線，故平面上點共線的充要條件是即.28．求出平面內(nèi)條直線共點的充分必要條件.證：若平面內(nèi)條直線共點，則線性方程組有解，故矩陣與的秩相等.反之，若矩陣與秩相等，則線性方程組有解，即條直線共點.故條直線共點的充要條件是矩陣與的秩相等.29．設(shè)是維實向量，且線性無關(guān)，已知是線性方程組的非零解向量，試判斷向量組，的線性相關(guān)性.解：設(shè)有一組數(shù)使得成立，因為是線性方程組的解，且，故有即于是，由得，但，故.從而由于向量組線性無關(guān)，所以有因此，向量組線性無關(guān).30．已知向量，是方程組的三個解.求該方程組的通解.解：由已知有是相應(yīng)的齊次方程組的兩個線性無關(guān)解.所以，系數(shù)矩陣的秩，（因為）.又系數(shù)矩陣有二階子式所以，系數(shù)矩陣的秩.于是，系數(shù)矩陣的秩為2.故齊次方程組的基礎(chǔ)解系包含2個向量，即是齊次方程組的基礎(chǔ)解系.因此，該方程組的通解為.31．設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，向量不是的解，試證向量組線性無關(guān).證：設(shè)有一組得得（1）由于是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，向量不是的解，所以不能表為的線性組合，所以因此（1）式變?yōu)橛捎诰€性無關(guān)，所以，進而，故向量組線性無關(guān).32．已知齊次方程組（I）的解都滿足方程，求和方程組（I）的通解.解：（I）的解都滿足的充要條件