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安徽省淮北市相山區(qū)師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)2024屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線(xiàn)過(guò)的上頂點(diǎn),且與橢圓相交于另一點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為,若,是坐標(biāo)原點(diǎn),則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.已知數(shù)列滿(mǎn)足:)若正整數(shù)使得成立,則()A.16 B.17 C.18 D.193.設(shè),集合,則()A. B. C. D.4.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.5.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于,兩點(diǎn)(設(shè)點(diǎn)位于第一象限),過(guò)點(diǎn),分別作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn),垂足分別為點(diǎn),,拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交軸于點(diǎn),若,則直線(xiàn)的斜率為A.1 B. C. D.6.方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么滿(mǎn)足()A. B. C. D.7.“中國(guó)剩余定理”又稱(chēng)“孫子定理”,最早可見(jiàn)于中國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題,叫做“物不知數(shù)”,原文如下:今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二.問(wèn)物幾何?現(xiàn)有這樣一個(gè)相關(guān)的問(wèn)題:將1到2020這2020個(gè)自然數(shù)中被5除余3且被7除余2的數(shù)按照從小到大的順序排成一列,構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,則該數(shù)列各項(xiàng)之和為()A.56383 B.57171 C.59189 D.612428.tan570°=()A. B.- C. D.9.已知分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)是其一條漸近線(xiàn)上一點(diǎn),且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),若的面積為,則雙曲線(xiàn)的離心率為()A. B. C. D.10.已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則()A. B. C. D.11.已知函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.12.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線(xiàn),所成角的余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),記為的前n項(xiàng)和,若,,則________.14.已知集合,,則_____________.15.已知平面向量,,滿(mǎn)足||=1,||=2,,的夾角等于,且()?()=0,則||的取值范圍是_____.16.設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列,其前項(xiàng)和為,已知,,若對(duì)任意都有成立,則的值為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的菱形,,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知關(guān)于的不等式解集為().(1)求正數(shù)的值;(2)設(shè),且,求證:.19.(12分)某校共有學(xué)生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間(單位:小時(shí)).(1)應(yīng)抽查男生與女生各多少人?(2)根據(jù)收集100人的樣本數(shù)據(jù),得到學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間的頻率分布表:時(shí)間(小時(shí))[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數(shù)據(jù)中有38名男學(xué)生平均每周課外體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí),請(qǐng)完成每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別的列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān)”?男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)總計(jì)附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87920.(12分)己知,,.(1)求證:;(2)若,求證:.21.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當(dāng)時(shí),求在的切線(xiàn)方程;(2)求證:的極大值恒大于0.22.(10分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點(diǎn)E,F(xiàn)是線(xiàn)段PC中點(diǎn),G為線(xiàn)段EC中點(diǎn).Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
求得點(diǎn)的坐標(biāo),由,得出,利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的坐標(biāo),代入橢圓的方程,可得出關(guān)于、、的齊次等式,進(jìn)而可求得橢圓的離心率.【詳解】由題意可得、.由,得,則,即.而,所以,所以點(diǎn).因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,則,整理可得,所以,所以.即橢圓的離心率為故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的求解,解答的關(guān)鍵就是要得出、、的齊次等式,充分利用點(diǎn)在橢圓上這一條件,圍繞求點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、B【解析】
計(jì)算,故,解得答案.【詳解】當(dāng)時(shí),,即,且.故,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的相關(guān)計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.3、B【解析】
先化簡(jiǎn)集合A,再求.【詳解】由得:,所以,因此,故答案為B【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和運(yùn)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和計(jì)算推理能力.4、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類(lèi),屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)拋物線(xiàn)定義,可得,,又,所以,所以,設(shè),則,則,所以,所以直線(xiàn)的斜率.故選C.6、D【解析】
由題設(shè)中所給的定義,方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解:由題意方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”,對(duì)于函數(shù),由于,,設(shè),該函數(shù)在為增函數(shù),,,在上有零點(diǎn),故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為,那么故選:.【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)新定義的題,理解定義,分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵,本題考查了推理判斷的能力,屬于基礎(chǔ)題..7、C【解析】
根據(jù)“被5除余3且被7除余2的正整數(shù)”,可得這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列,然后根據(jù)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式,可得結(jié)果.【詳解】被5除余3且被7除余2的正整數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為23,公差為的等差數(shù)列,記數(shù)列則令,解得.故該數(shù)列各項(xiàng)之和為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的應(yīng)用,屬基礎(chǔ)題。8、A【解析】
直接利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】tan570°=tan(360°+210°)=tan210°=tan(180°+30°)=tan30°=.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,主要考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)題意,設(shè)點(diǎn)在第一象限,求出此坐標(biāo),再利用三角形的面積即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,設(shè)點(diǎn)在第一象限,雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為,所以,,又以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,即,解得,,所以,,即,即,所以,雙曲線(xiàn)的離心率為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線(xiàn)的離心率,解決本題的關(guān)鍵在于求出與的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
由已知可得,根據(jù)二倍角公式即可求解.【詳解】角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的正半軸重合,終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義、二倍角公式,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以.【詳解】在上單調(diào)遞增,且,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),利用單調(diào)性比大小等知識(shí),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.12、D【解析】
連接,,因?yàn)?,所以為異面直線(xiàn)與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因?yàn)椋詾楫惷嬷本€(xiàn)與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線(xiàn),所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線(xiàn)的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、127【解析】
已知條件化簡(jiǎn)可化為,等式兩邊同時(shí)除以,則有,通過(guò)求解方程可解得,即證得數(shù)列為等比數(shù)列,根據(jù)已知即可解得所求.【詳解】由..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)遞推公式證明數(shù)列為等比數(shù)列,考查了等比的求和公式,考查學(xué)生分析問(wèn)題的能力,難度較易.14、【解析】
由集合和集合求出交集即可.【詳解】解:集合,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
計(jì)算得到||,||cosα﹣1,解得cosα,根據(jù)三角函數(shù)的有界性計(jì)算范圍得到答案.【詳解】由()?()=0可得()?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1,α為與的夾角.再由2?1+4+2×1×2cos7可得||,∴||cosα﹣1,解得cosα.∵0≤α≤π,∴﹣1≤cosα≤1,∴1,即||+1≤0,解得||,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量模的范圍,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力,利用三角函數(shù)的有界性是解題的關(guān)鍵.16、【解析】
由已知條件得出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組,解出這兩個(gè)量,計(jì)算出,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對(duì)應(yīng)的值,即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由,解得,.所以,當(dāng)時(shí),取得最大值,對(duì)任意都有成立,則為數(shù)列的最大值,因此,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的計(jì)算,一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)取的中點(diǎn),連接,通過(guò)證明,即可證得;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】(1)證明:取的中點(diǎn),連接.是的中點(diǎn),,又,四邊形是平行四邊形.,又平面平面,平面.(2),,同理可得:,又平面.連接,設(shè),則,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面的法向量為,則,則,?。本€(xiàn)與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查證明線(xiàn)面平行,求線(xiàn)面角的大小,關(guān)鍵在于熟練掌握線(xiàn)面平行的證明方法,法向量法求線(xiàn)面角的基本方法,根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算.18、(1)1;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
(1)將不等式化為,求解得出,根據(jù)解集確定正數(shù)的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì),得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求絕對(duì)值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1)男生人數(shù)為人,女生人數(shù)55人.(2)列聯(lián)表答案見(jiàn)解析,有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).【解析】
(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據(jù)題意結(jié)合頻率分布表,先求出二聯(lián)表中數(shù)值,再結(jié)合公式計(jì)算,利用表格數(shù)據(jù)對(duì)比判斷即可【詳解】(1)因?yàn)槟猩藬?shù):女生人數(shù)=900:1100=9:11,所以男生人數(shù)為,女生人數(shù)100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學(xué)生每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的人數(shù)為:(1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05)×100=75人,每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)的女生人數(shù)為37人,聯(lián)表如下:男生女生總計(jì)每周平均體育鍛煉時(shí)間不超過(guò)2小時(shí)71825每周平均體育鍛煉時(shí)間超過(guò)2小時(shí)383775總計(jì)4555100因?yàn)?.892>3.841,所以有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育鍛煉時(shí)間與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,獨(dú)立性檢驗(yàn),熟記公式,正確計(jì)算是關(guān)鍵,屬于中檔題.20、(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)采用分析法論證,要證,分式化整式為,再利用立方和公式轉(zhuǎn)化為,再作差提取公因式論證.(2)由基本不等式得,再用不等式的基本性質(zhì)論證.【詳解】(1)要證,即證,即證,即證,即證,即證,該式顯然成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,故.(2)由基本不等式得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.將上面四式相加,可得,即.【點(diǎn)睛】本題考查證明不等式的方法、基本不等式,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題..21、(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】
(1)求導(dǎo),代入,求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線(xiàn)方程;(2)分類(lèi)討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),,,則在的切線(xiàn)方程為;(2)證明:令,解得或,①當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)無(wú)極值;②當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴;③當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程
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