人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)三角形章末重難點(diǎn)題型試卷

專題01三角形章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】

考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性

考點(diǎn)2判斷三角形的高

三角形

考點(diǎn)7三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用考點(diǎn)3三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用

考點(diǎn)8利用互余關(guān)系倒角考點(diǎn)4多邊形的相關(guān)概念

K典為分沂U

【考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性】

【方法點(diǎn)撥】理解穩(wěn)定性：“只要三角形三條邊的長(zhǎng)度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定，三角

形的這種性質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.這就是說，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動(dòng)、拉不動(dòng)”的問題，其實(shí)

質(zhì)應(yīng)是“三角形邊長(zhǎng)確定，其形狀和大小就確定了”.

［例1）（2019春?永泰縣期中）如圖小方做了一個(gè)方形框架，發(fā)現(xiàn)很容易變形，請(qǐng)你幫他選擇一個(gè)最好的

加固方案（）

【變式1-2］（2018秋?桐梓縣校級(jí)期中）圖中的五角星是用螺栓將兩端打有孔的5根木條連接而構(gòu)成的，它

的形狀不穩(wěn)定.如果用在圖中木條交叉點(diǎn)打孔加裝螺栓的辦法來達(dá)到使其形狀穩(wěn)定的目的，且所加螺栓

盡可能少，那么需要添加螺栓（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【變式1-3】（2019秋?安陸市期中）我們都有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，要想使多邊形（三角形除外）木架不變形至

少再釘上若干根木條，如圖所示，四邊形至少再釘上一根；五邊形至少再釘上兩根；六邊形至少再釘上

三根；…，按照此規(guī)律，十二邊形至少再釘上（）

A.11根B.10根C.9根D.8根

【考點(diǎn)2判斷三角形的高】

【方法點(diǎn)撥】三角形任意一邊上的高必須滿足：（1）過該邊所對(duì)的頂點(diǎn)；（2）垂足必須在該邊或在該邊的延長(zhǎng)

線上.

【例2】（2019春?海州區(qū)期中）如圖，△ABC中的邊BC上的高是（）

A.AFB.DBC.CFD.BE

【變式2-1］（2019春?大豐區(qū)期中）要求畫△ABC的邊AB上的高，下列畫法中，正確的是（）

B

【變式2-2】（2019春?蘇州期中）如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是這個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)

三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【變式2-3]（2018春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，8。是△ABC的高，EF//AC,EF交BD于G,下列說法正

確的有（）

①BG是aEB尸的高；②8是△8GC的高；③OG是△AGC的高；④AO是△ABG的高.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)3三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】掌握三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊是解題關(guān)鍵.

【例3】（2019春?福州期末）用一根長(zhǎng)為10?！ǖ睦K子圍成一個(gè)三角形，若所圍成的三角形中一邊的長(zhǎng)為

2cm,且另外兩邊長(zhǎng)的值均為整數(shù)，則這樣的圍法有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【變式3-1]（2019秋?銀海區(qū)期末）a,b,c為△ABC的三邊，fLf§J|a+6+c|-\a-b-c\-\a-b+c\-\a+b-c|,

結(jié)果是（）

A.0B.2a+2b+2cC.4^D.2b-2c

【變式3-2]（2019春?秦淮區(qū)期末）已知一個(gè)三角形中兩條邊的長(zhǎng)分別是a、b,且。>匕，那么這個(gè)三角形

的周長(zhǎng)L的取值范圍是（）

A.3b<L<3aB.2a<L<2（a+b）

C.a+2h<L<2a+hD.3a-b<L<3a+b

【變式3-3]（2019?孝感模擬）如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框（形狀不限），不計(jì)

螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7,且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整.若調(diào)整木條的夾

角時(shí)不破壞此木框，則任意兩個(gè)螺絲間的距離的最大值為（）

5

【考點(diǎn)4多邊形的相關(guān)概念】

【方法點(diǎn)撥】了解凸多邊形的定義，掌握多邊形對(duì)角線與所分成三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：從n（n23）邊形的

一個(gè)頂點(diǎn)可以作出（n-3）條對(duì)角線.將多邊形分成（n-2）個(gè)三角形.

【例4】（2019春?道里區(qū)期末）下列選項(xiàng)中的圖形，不是凸多邊形的是（）

【變式4-1］（2019秋?德州校級(jí)月考）要使一個(gè)五邊形具有穩(wěn)定性，則需至少添加（）條對(duì)角線.

A.IB.2C.3D.4

【變式4-2］（2018秋?南城縣期末）從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把

一個(gè)七邊形分割成（）個(gè)三角形.

A.6B.5C.8D.7

【變式4-3X2018秋?綿陽期中）一個(gè)多邊形截去一角后，變成一個(gè)八邊形則這個(gè)多邊形原來的邊數(shù)是（）

A.8或9B.7或8C.7或8或9D.8或9或10

【考點(diǎn)5多邊形內(nèi)角和與外角和的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】（1）掌握多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式：（n-2）X180°（n23的整數(shù)），多邊形的外角和等于360。

特別注意：與邊數(shù)無關(guān).

【例5】（2019春?吳江區(qū)期中）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，并且它的一個(gè)外角與一個(gè)內(nèi)角的比為1：3,

則這個(gè)多邊形為（）

A.三角形B.四邊形C.六邊形D.八邊形

【變式5-1］（2018秋?桐梓縣校級(jí)期中）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)12米后向左轉(zhuǎn)36°,再沿直

線前進(jìn)12米，又向左轉(zhuǎn)36°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地4點(diǎn)時(shí)，一共走了（）米.

A.100B.120C.140D.60

【變式5-2］（2019春?江都區(qū)期中）如圖，五邊形ABCOE中，AB//CD,ZKN2、N3分別是NBAE、Z

AED.N匹C的外角，則N1+N2+/3等于（）

AB

2

A.180°B.90°C.210°D.270°

【變式5-3］（2019春?江陰市期中）如圖,在六邊形ABCCEF中，ZA+ZB+ZE+ZF=a,CP、OP分別平

分/BCD、NCQE,則NP的度數(shù)是（)

180°-laC.laD.3600-豈

2222

【考點(diǎn)6三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】三角形內(nèi)角和等于180°.

【例6】（2019春?石景山區(qū)期末）如圖，BO平分/ABC.ZABD^ZADB.

（1）求證：AD//BC；

（2）若BOLCO,ZBAD=a,求NDC8的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

【變式6-1］（2018秋?包河區(qū)期末）如圖，△ABC中，ZACB>90°,AE平分/BAC,A￡?_LBC交BC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

（1）若NB=30°,ZACB=100°,求NE4O的度數(shù)；

（2）若NB=a,NACB=0,試用含a、0的式子表示NEAO,則NE4D=.（直接寫出結(jié)論即可）

BD

【變式6-2](2019春?福州期末)如圖，在△ABC中，NABC的平分線交AC于點(diǎn)。.作/BOE=NA8D

交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：ED//BC；

(2)點(diǎn)M為射線AC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)4重合)連接8M,/ABM的平分線交射線即于點(diǎn)N.若NMBC

=L/NBC,ZBED=\05°,求的度數(shù).

2

【變式6-3](2018秋?豐城市期末)已知將一塊直角三角板。EF放置在△ABC上，使得該三角板的兩條直

角邊DE,。尸恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B、C.

(1)ZDBC+ZDCB=度;

(2)過點(diǎn)A作直線直線MN〃QE,若NACQ=20°,試求NC4M的大小.

【考點(diǎn)7三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

1例7](2019春?寶應(yīng)縣期中)如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,/A=34°,△ABC的外角NCBO

的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求NCBE的度數(shù)；

(2)過點(diǎn)。作。尸〃BE,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡求N尸的度數(shù).

cz//

ABD

【變式7-17］（2018春?岱岳區(qū)期中）如圖，ZVIBC中，NA=30°,ZB=62°,CE平分NACB,CDLAB

【變式7-2］（2018春?商水縣期末）如圖，NBAD=NCBE=NACF,ZFDE=64°,NOEF=43°,求^

ABC各內(nèi)角的度數(shù).

【變式7-3］（2019春?南開區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AO是高，ZDAC=10°,AE是/BAC外角

的平分線，平分/ABC交AE于點(diǎn)凡若/A8C=46°,求/A尸8的度數(shù).

【考點(diǎn)8利用互余關(guān)系倒角】

【方法點(diǎn)撥】直角三角形兩銳角互余，通常利用這一結(jié)論進(jìn)行倒角.

【例8】（2019春?蓮湖區(qū)期中）如圖，在△ACB中，ZACB=90°,CQ_LAB于。.

（1）求證：NACD=NB：

（2）若A/平分NC4B分別交C￡＞、BC于E、F,求證：NCEF=/CFE.

【變式8-1](2011春?越城區(qū)校級(jí)期中)如圖，△ABC中，49是BC邊上的高線，8E是一條角平分線，它

們相交于點(diǎn)尸，已知/“￡>=125°,求的度數(shù).

【變式8-2】在△ABC中，NACB=90°,E是8c邊上的一點(diǎn)，過C作垂足為凡過點(diǎn)8作BO

±BC,交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡>,若N￡>=65°,求/EAC的度數(shù).

【變式8-3](1)如圖①，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,CD±AB,垂足為。，NACO與有什么關(guān)系？

為什么？

(2)如圖②，在RtZ\A8C中，/C=90°,D、E分別在AC,AB±,且NAZ)E=/8,判斷△ADE的

形狀是什么？為什么？

(3)如圖③，在RtZVIBC和RtZ\￡>BE中，ZC=90°,ZE=90°,AB1.BD,*C,B,E在同一直

專題01三角形章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】

K皂宙巧點(diǎn)11

考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性

考點(diǎn)2判斷三角形的高

考點(diǎn)3三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用

考點(diǎn)4多邊形的相關(guān)概念

K共列分沂】

【考點(diǎn)1三角形的穩(wěn)定性】

【方法點(diǎn)撥】理解穩(wěn)定性：“只要三角形三條邊的長(zhǎng)度固定，這個(gè)三角形的形狀和大小也就完全確定，三角

形的這種性質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.這就是說，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動(dòng)、拉不動(dòng)”的問題，其實(shí)

質(zhì)應(yīng)是“三角形邊長(zhǎng)確定，其形狀和大小就確定了”.

【例1】（2019春?永泰縣期中）如圖小方做了一個(gè)方形框架，發(fā)現(xiàn)很容易變形，請(qǐng)你幫他選擇一個(gè)最好的

加固方案（）

fflHS用

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答.

【答案】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可得C是最好的加固方案.

故選：C.

【方法總結(jié)】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能

唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性.

【變式1-11（2019秋?西陵區(qū)校級(jí)期中）將幾根木條用釘子釘成如圖的模型，其中在同一平面內(nèi)不具有穩(wěn)定

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性進(jìn)行解答.

【答案】解：根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性可得A、8、。都具有穩(wěn)定性，C未曾構(gòu)成三角形，因此不穩(wěn)定，

故選：C.

【方法總結(jié)】此題主要考查了三角形的穩(wěn)定性，是需要識(shí)記的內(nèi)容.

【變式1-2］（2018秋?桐梓縣校級(jí)期中）圖中的五角星是用螺栓將兩端打有孔的5根木條連接而構(gòu)成的，它

的形狀不穩(wěn)定.如果用在圖中木條交叉點(diǎn)打孔加裝螺栓的辦法來達(dá)到使其形狀穩(wěn)定的目的，且所加螺栓

盡可能少，那么需要添加螺栓（）

【思路點(diǎn)撥】用木條交叉點(diǎn)打孔加裝螺栓的辦法來達(dá)到使其形狀穩(wěn)定的H的，可用三角形的穩(wěn)定性解釋.

【答案】解：如圖：A點(diǎn)加上螺栓后，

根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，原不穩(wěn)定的五角星中具有了穩(wěn)定的各邊.

【方法總結(jié)】本題考查三角形穩(wěn)定性的實(shí)際應(yīng)用.三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如鋼

架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，往往通過連接輔助線轉(zhuǎn)化為三角形而獲得.

【變式1-3］（2019秋?安陸市期中）我們都有這樣的生活經(jīng)驗(yàn)，要想使多邊形（三角形除外）木架不變形至

少再釘上若干根木條，如圖所示，四邊形至少再釘上一根；五邊形至少再釘上兩根；六邊形至少再釘上

三根；…，按照此規(guī)律，十二邊形至少再釘上（）

A.11根B.10根C.9根D.8根

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)分成三角形個(gè)數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系，需要的木條數(shù)等于過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的條

數(shù)，由此得出答案即可.

【答案】解：過〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作（〃-3）條對(duì)?角線，把多邊形分成（?-2）個(gè)三角形，

所以，要使一個(gè)十二邊形木架不變形，至少需要12-3=9根木條固定.

故選：C.

【方法總結(jié)】此題考查了圖形的變化規(guī)律，考慮把多邊形分成三角形是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)2判斷三角形的高】

【方法點(diǎn)撥】三角形任意一邊上的高必須滿足：（1）過該邊所對(duì)的頂點(diǎn)；（2）垂足必須在該邊或在該邊的延長(zhǎng)

線上.

【例2】（2019春嗨州區(qū)期中）如圖，AABC中的邊BC上的高是（）

A.AFB.DBC.CFD.BE

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形高的定義即可解答.

【答案】解：△ABC中的邊BC上的高是AF,

故選：A.

【方法總結(jié)】本題考查了三角形的角平分線、中線和高：過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)引對(duì)邊的垂線，這個(gè)點(diǎn)與

垂足的連線段叫二角形的高.

【變式2-1］（2019春?大豐區(qū)期中）要求畫△A8C的邊AB上的高，下列畫法中，正確的是（）

【思路點(diǎn)撥】作哪一條邊上的高，即從所對(duì)的頂點(diǎn)向這條邊或者條邊的延長(zhǎng)線作垂線即可.

【答案】解：過點(diǎn)C作A8邊的垂線，正確的是C.

故選：C.

【方法總結(jié)】本題是一道作圖題，考查了三角形的角平分線、高、中線，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握.

【變式2-2］（2019春?蘇州期中）如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是這個(gè)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)

三角形是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可直接得出結(jié)論.

【答案】解：???直角三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，

若三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是直角三角形；

故選：B.

【方法總結(jié)】本題考查的是三角形高的性質(zhì)，熟知直角三角形的三條高的交點(diǎn)恰好是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)

是解答此題的關(guān)鍵.

【變式2-3］（2018春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，8。是△ABC的高，EF//AC,EF交BD于G,下列說法正

確的有（）

①BG是△E8尸的高；②8是△8GC的高；③。G是△AGC的高；④AO是△ABG的高.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的高的定義以及平行線的性質(zhì)，即可解答.

【答案】解：是△A8C的高，

...NAOB=/CO8=90°,

'：EF//AC,

.?.NEG8=NA￡>B=90°,

.?.8G是△E8F的高，①正確：

,：ZCDB=90Q,

...C￡>是△BGC的高，②正確；

,:NADG=NCDG=90°,

；.OG是aAGC的高，③正確；

\'ZADB=90a,

是△A8G的高，④正確.

故選：D.

【方法總結(jié)】本題考查了三角形的高的定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間

的線段叫做三角形的高，理解定義是關(guān)鍵.也考查了平行線的性質(zhì).

【考點(diǎn)3三角形邊角關(guān)系的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】掌握三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊是解題關(guān)鍵.

【例3】（2019春?福州期末）用一根長(zhǎng)為10的的繩子圍成一個(gè)三角形，若所圍成的三角形中一邊的長(zhǎng)為

2cm,且另外兩邊長(zhǎng)的值均為整數(shù)，則這樣的圍法有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，根據(jù)周長(zhǎng)是10厘米，可知最長(zhǎng)的邊要小于5厘米，進(jìn)

而得出三條邊的情況.

【答案】解：???三角形中一邊的長(zhǎng)為2cm,且另外兩邊長(zhǎng)的值均為整數(shù)，

三條邊分別是2c〃?、4cm4cm.

故選:A.

【方法總結(jié)】本題主要考查了學(xué)生根據(jù)三角形三條邊之間的關(guān)系解決問題的能力.在運(yùn)用三角形三邊關(guān)

系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三

條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形.

【變式3-1]（2019秋?銀海區(qū)期末）a,b,c為AABC的三邊,化簡(jiǎn)|a+加■『-|a-9-dTa-b+c\-\a+b-c|,

結(jié)果是（）

A.0B.2a+2h+2cC.4aD.2b-2c

【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)：三角形兩邊之和大于第三邊，去掉絕對(duì)值號(hào)，然后根據(jù)整式的加減法的運(yùn)算方

法，求出結(jié)果是多少即可.

［答案］解：\a+b+c\-\a-b-（］-\a-b+c\-\a+b-c\

=（a+b+c）-（b+c-a）-（a-b+c'）-（a+b-c）

—a+b+c-b-c+a-a+b-c-a-b+c

=0

故選：A.

【方法總結(jié)】此題主要考查了三角形的三邊的關(guān)系，以及整式加減法的運(yùn)算方法，要熟練掌握，解答此

題的關(guān)鍵是要明確：三角形兩邊之和大于第三邊.

【變式3-2］（2019春?秦淮區(qū)期末）已知一個(gè)三角形中兩條邊的長(zhǎng)分別是a、b,且那么這個(gè)三角形

的周長(zhǎng)L的取值范圍是（）

A.3b<L<3aB.2a<L<2Ca+b）

C.a+2h<L<2a+bD.3a-b<L<3a+h

【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求得第三邊的取值范圍，再確定這個(gè)三角形的周長(zhǎng)/的取值范圍

即可.

【答案】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)上

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得

，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)L的取值范圍是a-b+a+b<L<a+b+a+b,即2a<L<2a+2b.

故選:B.

【方法總結(jié)】考查三角形的三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊

之差小于第三邊.

【變式3-3］（2019?孝感模擬）如圖，用四個(gè)螺絲將四條不可彎曲的木條圍成一個(gè)木框（形狀不限），不計(jì)

螺絲大小，其中相鄰兩螺絲的距離依次為3、4、5、7,且相鄰兩木條的夾角均可調(diào)整.若調(diào)整木條的夾

角時(shí)不破壞此木框，則任意兩個(gè)螺絲間的距離的最大值為（）

7

3

A.6B.7C.8D.9

【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)螺絲的距離最大，則此時(shí)這個(gè)木框的形狀為三角形，可根據(jù)三條木棍的長(zhǎng)來判斷有幾

種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長(zhǎng)邊即可.

【答案】解：已知4條木棍的四邊長(zhǎng)為3、4、5、7；

①選3+4、5、7作為三角形，則三邊長(zhǎng)為7、5、7,能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最長(zhǎng)距離為7；

②選5+4、7、3作為三角形，則三邊長(zhǎng)為9、7、3,能構(gòu)成三角形，此時(shí)兩個(gè)螺絲間的最大距離為9；

③選5+7、3、4作為三角形，則三邊長(zhǎng)為12、4、3：4+3<12,不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立；

④選7+3、5、4作為三角形，則三邊長(zhǎng)為10、5、4：而5+4<10,不能構(gòu)成三角形，此種情況不成立：

綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為9.

故選：D.

【方法總結(jié)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系定理，能夠正確的判斷出調(diào)整角度后三角形木框的組合方

法是解答的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4多邊形的相關(guān)概念】

【方法點(diǎn)撥】了解凸多邊形的定義，掌握多邊形對(duì)角線與所分成三角形個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：從n（n）3）邊形的

一個(gè)頂點(diǎn)可以作出（n-3）條對(duì)角線.將多邊形分成（n-2）個(gè)三角形.

【例4】（2019春?道里區(qū)期末）下列選項(xiàng)中的圖形，不是凸多邊形的是（）

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)凸多邊形的概念，如果多邊形的邊都在任何一條邊所在的直線的同旁，該多邊形即是

凸多邊形.否則即是凹多邊形.

【答案】解：圖形不是凸多邊形的是A.

故選:A.

【方法總結(jié)】本題主要考查了凸多邊形的定義，正確理解凸多邊形的定義是解決此類問題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2019秋?德州校級(jí)月考）要使一個(gè)五邊形具有穩(wěn)定性，則需至少添加（）條對(duì)角線.

A.1B.2C.3D.4

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，過一個(gè)頂點(diǎn)作出所有對(duì)角線即可得解.

【答案】解：如圖需至少添加2條對(duì)角線.

故選:B.

【方法總結(jié)】本題考查了三角形具有穩(wěn)定性的應(yīng)用，作出圖形更形象直觀.

【變式4-2］（2018秋?南城縣期末）從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把

一個(gè)七邊形分割成（）個(gè)三角形.

A.6B.5C.8D.7

【思路點(diǎn)撥】從“邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)四邊形分割成（/?-2）

個(gè)三角形.

【答案】解：從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成

7-2=5個(gè)三角形.

故選:B.

【方法總結(jié)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可把〃邊形分成-2）個(gè)三角形.

【變式4-31（2018秋?綿陽期中）一個(gè)多邊形截去一角后，變成一個(gè)八邊形則這個(gè)多邊形原來的邊數(shù)是（）

A.8或9B.7或8C.7或8或9D.8或9或10

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)截去一個(gè)角后邊數(shù)增加1,不變，減少1討論得解.

【答案】解：???截去一個(gè)角后邊數(shù)可以增加1，不變，減少1,

???原多邊形的邊數(shù)是7或8或9.

故選：C.

【方法總結(jié)】本題考查了多邊形，關(guān)鍵是理解多邊形截去一個(gè)角后邊數(shù)有增加1,不變，減少1三種情

況.

【考點(diǎn)5多邊形內(nèi)角和與外角和的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】（1）掌握多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式：（n-2）X180°（n23的整數(shù)），多邊形的外角和等于360°

特別注意：與邊數(shù)無關(guān).

【例5】（2019春?吳江區(qū)期中）一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，并且它的一個(gè)外角與一個(gè)內(nèi)角的比為1：3,

則這個(gè)多邊形為（）

A.三角形B.四邊形C.六邊形D.八邊形

【思路點(diǎn)撥】此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系來尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程求出每個(gè)外角.多邊形

外角和是固定的360°.

【答案】解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為〃，依題意得

（n-2）X180°=3X360°,

解得〃=8,

.?.這個(gè)多邊形為八邊形，

故選：D.

【方法總結(jié)】此題考查多邊形的內(nèi)角與外角的關(guān)系、方程的思想.關(guān)鍵是記住多邊形一個(gè)內(nèi)角與外角互

補(bǔ)和外角和的特征.

【變式5-1］（2018秋?桐梓縣校級(jí)期中）如圖，小明從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)12米后向左轉(zhuǎn)36°,再沿直

線前進(jìn)12米，又向左轉(zhuǎn)36°…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點(diǎn)時(shí)，一共走了（）米.

A.100B.120C.140D.60

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多邊形的外角和為360°,由題意得到小明運(yùn)動(dòng)的軌跡為正10邊形的周長(zhǎng)，求出即可.

【答案】解：由題意得：360°+36°=10,

則他第一次回到出發(fā)地4點(diǎn)時(shí)，一共走了12X10=120（米）.

故選:B.

【方法總結(jié)】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟練掌握多邊形的外角和定理是解本題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2019春?江都區(qū)期中）如圖，五邊形ABCDE'中，AB//CD,N1、/2、/3分別是/BAE、Z

AED、/EDC的外角，則N1+/2+N3等于（）

A.180°B.90°C.210°D.270°

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到以點(diǎn)8、點(diǎn)C為頂點(diǎn)的五邊形的兩個(gè)外角的度數(shù)之和

等于180。，再根據(jù)多邊形的外角和定理列式計(jì)算即可得解.

【答案】解：延長(zhǎng)48,DC,

\'AB//CD,

；./4+/5=180°,

根據(jù)多邊形的外角和定理可得/1+/2+/3+/4+/5=360°,

.,.Zl+Z2+Z3=360°-180°=180°.

故選:A.

DC

【方法總結(jié)】本題考查了平行線的性質(zhì)，多邊形的外角和定理，是基礎(chǔ)題，理清求解思路是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3］（2019春?江陰市期中）如圖，在六邊形A8CDEF中，ZA+ZB+ZE+ZF=a,CP、OP分別平

分NBC。、NCDE,則NP的度數(shù)是（）

A.la-180°B.180°-laD.3600-La

222

【思路點(diǎn)撥】由多邊形內(nèi)角和定理求出NA+/8+NE+/F+/CZ)E+/BCD=720°①，由角平分線定義

得出/8CP=/OCP,NCDP=NPDE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出/尸+/尸。力+/2/g=180°,得出

2ZP+ZBCD+ZCDE=360°②，由和②即可求出結(jié)果.

【答案】解：在六邊形ABC￡>￡7;■中，ZA+ZB+ZE+ZF+ZCDE+ZBCD=(6-2)X180°=720°①,

CP,0P分別平分/BCD、NCDE,

：.NBCP=NDCP,NCDP=NPDE,

VZP+ZPCD+Zra￡=180°,

：.2(NP+NPCD+NPDE)=360°,

即2NP+NBCD+NCDE=360°②，

①-②得：NA+NB+NE+NF-2NP=360°,

即a-2ZP=360°,

：.ZP=La-180°；

2

故選：A.

【方法總結(jié)】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理、角平分線定義以及三角形內(nèi)角和定理；熟記多邊形內(nèi)角和

定理和三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】三角形內(nèi)角和等于180°.

【例6】（2019春?石景山區(qū)期末）如圖，BD平分NABC.ZABD=ZADB.

（1）求證：AD//BCi

（2）若BDLCD,ZBAD=a,求/OC8的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.

【思路點(diǎn)撥】（1）想辦法證明即可.

（2）利用平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題.

【答案】（1）證明：：口。平分NABC,

NABD=NCBD

,/NABD=NADB,

：.NADB=NDBC,

：.AD//BC.

（2）解：'：AD//BC,且/a4E?=a,

AZ/lfiC=180°-a,

AZDBC=1-ZABC^9OQ-La,

22

■:BD工CD,

：.ZBDC=90°

：.ZC=90°-（90°-L）

【方法總結(jié)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，

屬于中考?？碱}型.

【變式6-1］（2018秋?包河區(qū)期末）如圖，△ABC中，NACB>90°,AE平分NBAC,AO_L8C交BC的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

（1）若NB=30°,ZACB=100°,求NE4。的度數(shù)；

（2）若/B=a,/ACB=B，試用含a、0的式子表示NE4。，則/EA￡>=.（直接寫出結(jié)論即可）

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)垂直的定義得到/。=90°,根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到/4C￡>=180°-100°=80°,

根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到/7MC=5O°,根據(jù)角平分線的定義得到NC4E=L/8AC=25°,于是得到

2

結(jié)論；

（2）根據(jù)垂直的定義得到/。=90°,得到NAC￡）=180°-0,求得NBAC=90°-a-（0-90°）=

180°-a-p,根據(jù)角平分線的定義得到NCAE=L/84C=90°-1（a+p）,根據(jù)角的和差即可得到

22

結(jié)論.

【答案】解：（1）VAD1BC,

.\ZD=90°,

VZACB=\00°,

AZACD=180°-100°=80°,

：.ZCAD=90°-80°=10°，

VZB=30°,

AZBAD=90°-30°=60°，

：.ZBAC=50Q,

?.?AE平分NBAC,

AZCAE=LZBAC=25°,

2

ZEAD=ZCAE+ZCAD=35°；

(2)VAD±BC,

.\ZD=90°,

,/ZACB=P，

AZACD=180°-p,

JZCAD=90°-ZACD=^-90°,

ZB=a,

ZBAD-=90a-a,

：.ZBAC=90°-a-(0-90°)=180°-a-p,

?.YE平分NBAC,

:.NCAE=L/BAC=90°-A(a+B),

22

ZEAD=ZCAE+ZCAD=900-J-(a+p)+p-90°=4-—a-

222

故答案為：Ip-la.

22

【方法總結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2019春?福州期末)如圖，在△4BC中，NABC的平分線交AC于點(diǎn)。.作/8DE=ZAB￡>

交AB于點(diǎn)E.

(1)求證：ED//BC；

(2)點(diǎn)M為射線AC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合)連接的平分線交射線ED于點(diǎn)M若NMBC

=L/NBC,ZBED=105°,求NENB的度數(shù).

2

【思路點(diǎn)撥】（1）利用角平分線的定義，進(jìn)行等量代換，得出內(nèi)錯(cuò)角相等，從而兩直線平行：

（2）分兩種情況分別進(jìn)行解答，根據(jù)每一種情況畫出相應(yīng)的圖形，依據(jù)圖形中，角之間的相互關(guān)系，轉(zhuǎn)

化到一個(gè)三角形中，利用三角形的內(nèi)角和定理，設(shè)未知數(shù)，列方程求解即可.

【答案】解：（I）平分NABC,

ZABD=ZDBC,

又；NBDE=NABD,

:.NBDE=NDBC,

J.ED//BC-,

(2):BN平分NABM,

NABN=NNBM,

①當(dāng)點(diǎn)M在線段AC上時(shí)，如圖1所示：

?:DE//BC,

:.NENB=/NBC,

NMBC=LNNBC,

2

：.NNBM=NMBC=LNNBC,

2

設(shè)/M8C=x°,則NEBN=/NBM=x°,/ENB=NNBC=2x",

在△ENB中，由內(nèi)角和定理得：x+2x+IO5°=180°,

解得：x=25,

:.NENB=2x=50°,

②當(dāng)點(diǎn)M在AC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2所示：

'."DE//BC,

：.ZENB=ZNBC,

:NMBC=LNNBC,

2

NNBM=3/MBC,

設(shè)NM8C=x°,則N￡BN=NN8M=3x°,NENB=NNBC=2x°,

在△EM8中，由內(nèi)角和定理得：3x+2r+105°=180°,

解得：x=15,

：.ZENB=2x=30°,

答:NEN8的度數(shù)為50°或30°.

【方法總結(jié)】綜合考查角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，分類討論，分別

畫出相應(yīng)的圖形，利用等量代換和圖形中角之間的關(guān)系布列方程是解決問題常用的方法.

【變式6-3](2018秋?豐城市期末)已知將一塊直角三角板。EF放置在△ABC上，使得該三角板的兩條直

角邊DE,。尸恰好分別經(jīng)過點(diǎn)3、C.

(1)ZDBC+ZDCB=度；

(2)過點(diǎn)A作直線直線若NACQ=20°,試求NC4M的大小.

【思路點(diǎn)撥】(1)在403€'中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/。8。+/。酸+/。=180°,然后把/￡>=90°

代入計(jì)算即可：

(2)在RtA4BC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得/ABC+NAC8+/A=180°,BR,：.ZABD+ZBAC=90a

-NACO=70°,整體代入即可得出結(jié)論.

【答案】解：(1)在△O8C中，VZDBC+ZDCB+ZD=\SO°,

而NO=90°,

:.NDBC+NDCB=90°；

故答案為90；

(2)在△ABC中，

VZABC+ZACB+ZA=180°,

即ZABD+ZDBC+ZDCB+ZACD+ZBAC=lSOa,

而N￡)8C+NOCB=90°,

ZAB￡>+ZAC￡>=90o-ZBAC,

：.ZABD+ZBAC^900-NACD=70°.

又，：MN〃DE,

：.ZABD=ZBAN.

而NBAN+N8AC+NC4M=180°,

NABO+/8AC+NC4W=180°,

：.ZCAM=lS00-CZABD+ZBAC}=110°.

【方法總結(jié)】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是求出NA8/)+N8AC

=70°.

【考點(diǎn)7三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用】

【方法點(diǎn)撥】三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

【例7】(2019春?寶應(yīng)縣期中)如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,NA=34°,ZvlBC的外角NC8D

的平分線BE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）求/CBE的度數(shù)；

（2）過點(diǎn)。作。/〃3E,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,求NF的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求出NC8/）,根據(jù)角平分線的定義計(jì)算，得到答案；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【答案】解：（1）..?NAC8=90°,/4=34°,

，NC8O=124°,

是NC8/）的平分線，

:.NCBE=L/CBD=62。；

2

（2）VZ￡CB=90°,ZCBE=62°,

AZCEB=28°,

\'DF//BE,

:.NF=NCEB=28°.

【方法總結(jié)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

【變式7-17］（2018春?岱岳區(qū)期中）如圖，ZXABC中，NA=30°,ZB=62°,CE平分NAC8,CD1AB

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/4C8,根據(jù)角平分線的定義求出/ACE；根據(jù)垂直的定義、

三角形內(nèi)角和定理求出NCD尸.

【答案】解：,.?NA=3O°,ZB=62°,

AZACB=180°-30°-62°=88°；

?.PE平分NACB,

.,.NACE=/8CE=LNACB=44"，

2

\'CD±AB,

：.ZCDB=90Q,

NBCD=90°-NB=28°,

NECD=NECB-ZBCD=\6°,

'：DF±CE,

：.ZCDF=90°-ZDCF=74°.

【方法總結(jié)】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，掌握三角形

內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵.

【變式7-2】（2018春?商水縣期末）如圖，NBAD=NCBE=NACF,NFDE=64°,NOE尸=43°,求4

ABC各內(nèi)角的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到而NBA/）=NCBE,則

ZCBE=ZABC=M°；同理可得/OEF=NACB=43°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角定理計(jì)算NBAC=180°

-NABC-N4c8即可.NBAD=NCBE=NACF,NFDE=48°,ZDEF=64°,

【答案】解：VZFDE^ZBAD+^ABD,/BAD=NCBE

ZFDE=ZBAD+ZCBE=ZABC,

：.ZABC=M°；

同理NOEF=NFCB+NCBE=NFCB+NACF=ZACB,

；.NACB=43°；

AZBAC=1800-ZABC-Z4CB=180°-64°-43°=73°,

」.△ABC各內(nèi)角的度數(shù)分別為64°、43°、73°.

【方法總結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180。.也考查了三角形外角的性質(zhì)，

熟記：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵.

【變式7-3］（2019春?南開區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，A￡＞是高，ZDAC=\0a,AE是N84C外角

的平分線，85平分ZA8C交AE于點(diǎn)凡若NA8C=46°,求NAFB的度數(shù).

【思路點(diǎn)撥】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出N84。的度數(shù)，得到N8AC的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出/

CAM的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出/MAE的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可.

【答案】解：是高，

AZADB=90°,

AZSAD=90°-NA8c=44°,又NDAC=10°,

/.ZBAC=54a,

；./M4C=126°,

,：AE是NBAC外角的平分線，

.?./MAE=L/MAC=63°,

2

尸平分NA8C,

ZABF=l-ZABC=2r,

2

NAFB=ZMAE-NABF=40°.

【方法總結(jié)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

和是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)8利用互余關(guān)系倒角】

【方法點(diǎn)撥】直角三角形兩銳角互余，通常利用這一結(jié)論進(jìn)行倒角.

(:例8](2019春?蓮湖區(qū)期中)如圖，在△ACB中，ZACB=90