14022014屆江蘇省南通市高三數學一模試卷

頁共8頁南通市2014屆高三一模試卷--數學試題一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．1．已知集合U{1，2，3，4，5}，A{1，2，4}，則．2．已知復數，(為虛數單位)．在復平面內，對應的點在第象限．3．命題：“，”的否定是．輸入xNY結束（第6題）開始輸出y4．在平面直角坐標系中，輸入xNY結束（第6題）開始輸出y5．設實數，滿足則的最大值是．6．如圖是一個算法的流程圖．若輸入x的值為2，則輸出y的值是．7．抽樣統(tǒng)計甲，乙兩個城市連續(xù)5天的空氣質量指數(AQI)，數據如下：城市空氣質量指數(AQI)第1天第2天第3天第4天第5天甲109111132118110乙110111115132112則空氣質量指數(AQI)較為穩(wěn)定(方差較小)的城市為（填甲或乙）．8．已知正三棱錐的側棱長為1，底面正三角形的邊長為．現從該正三棱錐的六條棱中隨機選取兩條棱，則這兩條棱互相垂直的概率是．9．將函數的圖象上所有點向右平移個單位后得到的圖象關于原點對稱，則等于．10．等比數列{an}的首項為2，公比為3，前n項和為Sn．若log3［EQ\F(1,2)an(S4m+1)］=9，則EQ\F(1,n)+EQ\F(4,m)的最小值是．11．若向量，，且，則的值是．12．在平面直角坐標系中，直線是曲線的切線，則當＞0時，實數的最小值是．13．已知集合M=≤y≤，N=≥，則表示M∩N的圖形面積等于．14．若函數對任意實數，在閉區(qū)間上總存在兩實數、，使得8成立，則實數的最小值為．二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(本小題滿分14分)如圖，在四棱柱中，，，且．（1）求證：∥平面；（2）求證：⊥平面．AA1B1C1CDABD1（第15題）16．(本小題滿分14分)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且c=－3bcosA，tanC=．（1）求tanB的值；（2）若，求△ABC的面積．

17．(本小題滿分14分)已知a為實常數，y=f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函數，且當x<0時，f(x)=2x－EQ\F(a3,x2)+1．（1）求函數f(x)的單調區(qū)間；（2）若f(x)≥a－1對一切x＞0成立，求a的取值范圍．

18．(本小題滿分16分)如圖，一塊弓形薄鐵片EMF，點M為的中點，其所在圓O的半徑為4dm（圓心O在弓形EMF內），∠EOF=．將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片ABCD(不計損耗)，AD∥EF，且點A、D在上，設∠AOD=．（1）求矩形鐵片ABCD的面積S關于的函數關系式；②M·（2）當矩形鐵片ABCD的面積最大時，求cos的值②M·（第18題）M（第18題）MFOE·①M·

19．(本小題滿分16分)如圖，在平面直角坐標系中，橢圓過點，離心率為，又橢圓內接四邊形ABCD(點A、B、C、D在橢圓上)的對角線AC，BD相交于點，且，．（1）求橢圓的方程；（2）求直線AB的斜率．（第19題）（第19題）ABCDxPy·O

20．(本小題滿分16分)已知等差數列{an}、等比數列{bn}滿足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差數列，a1，a2，b2成等比數列．（1）求數列{an}和數列{bn}的通項公式；（2）按如下方法從數列{an}和數列{bn}中取項：第1次從數列{an}中取a1，第2次從數列{bn}中取b1，b2，第3次從數列{an}中取a2，a3，a4，第4次從數列{bn}中取b3，b4，b5，b6，……第2n－1次從數列{an}中繼續(xù)依次取2n－1個項，第2n次從數列{bn}中繼續(xù)依次取2n個項，……由此構造數列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，記數列{cn}的前n和為Sn．求滿足Sn＜22014的最大正整數n．

（第21—A題）A（第21—A題）ABCMNO21．【選做題】選修4—1：幾何證明選講（本小題滿分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓交BC于點N，且BN2AM．求證：ABAC．選修4—2：矩陣與變換（本小題滿分10分）設二階矩陣，滿足，，求．C．選修4—4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知曲線：，過極點O的直線與曲線相交于A、B兩點，，求直線的方程．D．選修4—5：不等式選講（本小題滿分10分）已知x，y，z均為正數，求證：．

【必做題】22．（本小題滿分10分）如圖，設，，…，為單位圓上逆時針均勻分布的六個點．現任選其中三個不同點構成一個三角形，記該三角形的面積為隨機變量．（1）求的概率；（2）求的分布列及數學期望．（第22題）P（第22題）P123．（本小題滿分10分）已知1，2，…，滿足下列性質T的排列，，…，的個數為（n≥2，且n∈N*）．性質T：排列，，…，中有且只有一個（{1，2，…，}）．（1）求；（2）求．

數學Ⅰ參考答案與評分標準一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案直接填寫在答題卡相應位置上．1．已知集合U{1，2，3，4，5}，A{1，2，4}，則．【答案】{3，5}．2．已知復數，(為虛數單位)．在復平面內，對應的點在第象限．【答案】二．3．命題：“，”的否定是．【答案】，．4．在平面直角坐標系中，拋物線上橫坐標為1的點到其焦點的距離為．輸入xNY輸入xNY結束（第6題）開始輸出y5．設實數，滿足則的最大值是．【答案】7．6．如圖是一個算法的流程圖．若輸入x的值為2，則輸出y的值是．【答案】．7．抽樣統(tǒng)計甲，乙兩個城市連續(xù)5天的空氣質量指數(AQI)，數據如下：城市空氣質量指數(AQI)第1天第2天第3天第4天第5天甲109111132118110乙110111115132112則空氣質量指數(AQI)較為穩(wěn)定(方差較小)的城市為（填甲或乙）．【答案】乙．8．已知正三棱錐的側棱長為1，底面正三角形的邊長為．現從該正三棱錐的六條棱中隨機選取兩條棱，則這兩條棱互相垂直的概率是．【答案】．9．將函數的圖象上所有點向右平移個單位后得到的圖象關于原點對稱，則等于．【答案】．10．等比數列{an}的首項為2，公比為3，前n項和為Sn．若log3［EQ\F(1,2)an(S4m+1)］=9，則EQ\F(1,n)+EQ\F(4,m)的最小值是．【答案】．11．若向量，，且，則的值是．【答案】1．12．在平面直角坐標系中，直線是曲線的切線，則當＞0時，實數的最小值是．【答案】．13．已知集合M=≤y≤，N=≥，則表示M∩N的圖形面積等于．【答案】．14．若函數對任意實數，在閉區(qū)間上總存在兩實數、，使得8成立，則實數的最小值為．【答案】8．二、解答題：本大題共6小題，共90分．請在答題卡指定區(qū)域內作答.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(本小題滿分14分)如圖，在四棱柱中，，，且．A1B1C1CDABA1B1C1CDABD1（第15題）（2）求證：⊥平面．（1）證明：在四棱柱中，，平面，平面，所以平面．……………………6分（2）證明：在四棱柱中，四邊形為平行四邊形，又，故四邊形為菱形．從而．……………9分又，而，平面，所以平面．…………………14分16．(本小題滿分14分)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，且c=－3bcosA，tanC=．（1）求tanB的值；（2）若，求△ABC的面積．（1）解：由正弦定理，得，………………2分即．所以．從而．因為，所以．……………………4分又，由（1）知，，解得．………………6分（2）解：由（1），得，，．………………10分由正弦定理，得．……………12分所以△ABC的面積為．………………14分17．(本小題滿分14分)已知a為實常數，y=f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函數，且當x<0時，f(x)=2x－EQ\F(a3,x2)+1．（1）求函數f(x)的單調區(qū)間；（2）若f(x)≥a－1對一切x＞0成立，求a的取值范圍．（1）解：由奇函數的對稱性可知，我們只要討論f(x)在區(qū)間(－∞，0)的單調性即可．f′(x)＝2＋EQ\F(2a3,x3)，令f′(x)＝0，得x＝－a．…………………2分①當a≤0時，f′(x)＞0，故f(x)在區(qū)間(－∞，0)是單調遞增．………4分②當a＞0時，x∈(－∞，－a)，f′(x)＞0，所以f(x)在區(qū)間(－∞，－a)是單調遞增．x∈(－a，0)，f′(x)＜0，所以f(x)在區(qū)間(－a，0)是單調減．………6分綜上所述：當a≤0時，f(x)單調增區(qū)間為(－∞，0)，(0，+∞)；當a＞0時，f(x)單調增區(qū)間為(－∞，－a)，(a，+∞)，單調減區(qū)間為(－a，0)，(0，a)．……7分（2）解：因為f(x)為奇函數，所以當x＞0時，f(x)＝－f(－x)＝－(－2x－EQ\F(a3,x2)＋1)＝2x＋EQ\F(a3,x2)－1．……9分①當a＜0時，要使f(x)≥a－1對一切x＞0成立，即2x＋EQ\F(a3,x2)≥a對一切x＞0成立．而當x＝－EQ\F(a,2)＞0時，有－a+4a≥a，所以a≥0，則與a＜0矛盾．所以a＜0不成立．………………………11分②當a＝0時，f(x)＝2x－1＞－1=a－1對一切x＞0成立，故a＝0滿足題設要求．…12分③當a＞0時，由(1)可知f(x)在(0，a)是減函數，在(a，+∞)是增函數．所以fmin(x)=f(a)＝3a－1＞a－1，所以a＞0時也滿足題設要求．…13分綜上所述，a的取值范圍是．……………………14分18．(本小題滿分16分)如圖，一塊弓形薄鐵片EMF，點M為的中點，其所在圓O的半徑為4dm（圓心O在弓形EMF內），∠EOF=．將弓形薄鐵片裁剪成盡可能大的矩形鐵片ABCD(不計損耗)，AD∥EF，且點A、D在上，設∠AOD=．（1）求矩形鐵片ABCD的面積S關于的函數關系式；②M·（2）當矩形鐵片ABCD的面積最大時，求cos的值②M·（第18題）M（第18題）MFOE·①M·（1）解：設矩形鐵片的面積為，．當時（如圖①），，，．……………3分當時（如圖②），，，故．綜上得，矩形鐵片的面積S關于的函數關系式為………7分（2）解：當時，求導，得．令，得．……………10分記區(qū)間內余弦值等于的角為（唯一存在）．列表：0增函數極大值減函數又當時，在上的單調減函數，所以當即時，矩形的面積最大．…………………16分19．(本小題滿分16分)（第19題）ABCDxPy·O如圖，在平面直角坐標系中，橢圓過點，離心率為，又橢圓內接四邊形ABCD(點A、B、C、D在橢圓上)的對角線AC，BD相交于點，且（第19題）ABCDxPy·O（1）求橢圓的方程；（2）求直線AB的斜率．（1）解：依題意，解得所求橢圓的方程為．…………6分（2）解：設，則．由，得．……………………8分代入橢圓方程，得．整理，得，…………………10分即．③……………12分設，同理可得．④……………14分③④，得，即直線AB的斜率為．……16分20．(本小題滿分16分)已知等差數列{an}、等比數列{bn}滿足a1+a2＝a3，b1b2＝b3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差數列，a1，a2，b2成等比數列．（1）求數列{an}和數列{bn}的通項公式；（2）按如下方法從數列{an}和數列{bn}中取項：第1次從數列{an}中取a1，第2次從數列{bn}中取b1，b2，第3次從數列{an}中取a2，a3，a4，第4次從數列{bn}中取b3，b4，b5，b6，……第2n－1次從數列{an}中繼續(xù)依次取2n－1個項，第2n次從數列{bn}中繼續(xù)依次取2n個項，……由此構造數列{cn}：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，…，記數列{cn}的前n和為Sn．求滿足Sn＜22014的最大正整數n．（1）解：設等差數列{an}的公差為，等比數列{bn}的公比為，依題意，得解得a1=d=1，b1=q=2．故an=n，bn=2n．……………6分（2）解：將a1，b1，b2記為第1組，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6記為第2組，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12記為第3組，……以此類推，則第n組中，有2n－1項選取于數列{an}，有2n項選取于數列{bn}，前n組共有n2項選取于數列{an}，有n2＋n項選取于數列{bn}，記它們的總和為Pn，并且有．…………11分，．當＋（2＋22＋…＋22012）時，．…………………13分當＋（2＋22＋…＋22013)時，．可得到符合的最大的n=452＋2012=4037．……16分數學Ⅱ（附加題）參考答案與評分標準21．【選做題】選修4—1：幾何證明選講（本小題滿分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分線，△AMC的外接圓交BC于點N，且BN2AM．求證：ABAC．證明：如圖，在△ABC中，因為CM是∠ACM的平分線，（第21—A題）ABC（第21—A題）ABCMNO又因為BA與BC是圓O過同一點B的割線，所以，即……6分又BN=2AM，所以②……………8分由①②，得ABAC．………10分選修4—2：矩陣與變換（本小題滿分10分）設二階矩陣，滿足，，求．解：設，因為，…………………2分所以，即……………6分解得所以．……………………10分C．選修4—4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知曲線：，過極點O的直線與曲線相交于A、B兩點，，求直線的方程．解：設直線的方程為(ρ∈R)，，，…………………2分則．…………………5分又，故．……………7分解得+2kπ或+2kπ，k∈Z．所以直線的方程為或(ρ∈R)．…………10分D．選修4—5：不等式選講（本小題滿分10分）已知x，y，z均為正數，求證：．證明：因為x，y，z均為正數，所以．………………4分同理可得，．…………………7分當且僅當xyz均時，以上三式等號都成立．將上述三個不等式兩邊左，右兩邊分別相加，并除以2，得．……………10分【必做題】22．（本小題滿分10分）如圖，設，，…，為單位圓上逆時針均勻分布的六個點．現任選其中三個不同點構