第10章《分式》知識(shí)講練（教師版）【培優(yōu)課堂】 滬教版（上海五四制）數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)章節(jié)復(fù)習(xí)講義（導(dǎo)圖+知識(shí)點(diǎn)+新題拔高卷）

2023-2024學(xué)年滬教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01：分式的有關(guān)概念及性質(zhì)1．分式一般地，如果A、B表示兩個(gè)整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.分式中的分母表示除數(shù)，由于除數(shù)不能為0，所以分式的分母不能為0，即當(dāng)B≠0時(shí)，分式才有意義.2.分式的基本性質(zhì)

（M為不等于0的整式）.

3．最簡(jiǎn)分式分子與分母沒(méi)有公因式的分式叫做最簡(jiǎn)分式.如果分子分母有公因式，要進(jìn)行約分化簡(jiǎn).知識(shí)點(diǎn)02：分式的運(yùn)算1．約分利用分式的基本性質(zhì)，把一個(gè)分式的分子和分母的公因式約去，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.2．通分利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把異分母的分式化為同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分．3．基本運(yùn)算法則分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類(lèi)似,具體運(yùn)算法則如下:（1）加減運(yùn)算QUOTE；同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減.；異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減.（2）乘法運(yùn)算，其中是整式，.兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母.（3）除法運(yùn)算，其中是整式，.兩個(gè)分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后，與被除式相乘.（4）乘方運(yùn)算分式的乘方，把分子、分母分別乘方。

4．零指數(shù)

.

5.負(fù)整數(shù)指數(shù)

6.分式的混合運(yùn)算順序先算乘方，再算乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)里面的.知識(shí)點(diǎn)03：分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的關(guān)鍵是去分母,即方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．3．分式方程的增根問(wèn)題(1)增根的產(chǎn)生：分式方程本身隱含著分母不為0的條件，當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，方程中未知數(shù)允許取值的范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值為0，那么就會(huì)出現(xiàn)不適合原方程的根---增根；(2)驗(yàn)根：因?yàn)榻夥质椒匠炭赡艹霈F(xiàn)增根，所以解分式方程必須驗(yàn)根．驗(yàn)根的方法是將所得的根帶入到最簡(jiǎn)公分母中，看它是否為0，如果為0，即為增根，不為0，就是原方程的解.知識(shí)點(diǎn)04：分式方程的應(yīng)用

列分式方程解應(yīng)用題與列一元一次方程解應(yīng)用題類(lèi)似，但要稍復(fù)雜一些．解題時(shí)應(yīng)抓住“找等量關(guān)系、恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)、確定主要等量關(guān)系、用含未知數(shù)的分式或整式表示未知量”等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，從而正確列出方程，并進(jìn)行求解.一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）1．（2分）（2021秋?金山區(qū)期末）如果將分式中的x和y都擴(kuò)大到原來(lái)的4倍，那么分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大到原來(lái)的4倍 C．?dāng)U大到原來(lái)的8倍 D．?dāng)U大到原來(lái)的16倍解：用4x和4y代替式子中的x和y得：＝4×則分式的值擴(kuò)大為原來(lái)的4倍．故選：B．2．（2分）（2021秋?奉賢區(qū)期末）使分式有意義的x的取值范圍是（）A．x＝2 B．x≠2 C．x＝﹣2 D．x≠0解：∵分式有意義，∴2x﹣4≠0，即x≠2．故選：B．3．（2分）（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列說(shuō)法正確的是（）A．若A、B表示兩個(gè)不同的整式，則一定是分式 B．如果將分式中的x和y都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，那么分式的值不變 C．單項(xiàng)式23ab是5次單項(xiàng)式 D．若3m＝5，3n＝4，則3m﹣n＝解：A、若A、B表示兩個(gè)不同的整式，則不一定是分式，故A不符合題意．B、如果將分式中的x和y都擴(kuò)大到原來(lái)的3倍，那么分式的值變?yōu)樵瓉?lái)3倍，故B不符合題意．C、單項(xiàng)式23ab是2次單項(xiàng)式，故C不符合題意．D、若3m＝5，3n＝4，則3m﹣n＝，故D符合題意．故選：D．4．（2分）（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）下列分式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）A． B． C． D．解：A、原式＝＝x+2，不符合題意；B、原式＝＝，不符合題意；C、原式＝＝x+y，不符合題意；D、原式為最簡(jiǎn)分式，符合題意．故選：D．5．（2分）（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算（﹣a）2÷的結(jié)果為（）A．﹣1 B．1 C．﹣a2 D．a(chǎn)2解：原式＝a2÷a?＝a?＝1．故選：B．6．（2分）（2021秋?普陀區(qū)期末）下列對(duì)于分式的變形，其中一定成立的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝解：A、≠，故A不符合題意；B、＝＝，故B符合題意；C、＝，故C不符合題意；D、≠，故D不符合題意；故選：B．7．（2分）（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）若分式中x和y的值都擴(kuò)大5倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大5倍 B．不變 C．縮小5倍 D．以上都不對(duì)解：由分式中的x和y的值都擴(kuò)大5倍，得＝5×，故選：A．8．（2分）（2021秋?浦東新區(qū)期末）下列約分正確的是（）A．＝x3 B．＝x+y C．＝ D．＝﹣解：A.＝x4，故此選項(xiàng)不符合題意；B.的分子分母中不含有公因式，不能進(jìn)行約分，故此選項(xiàng)不符合題意；C.的分子分母中不含有公因式，不能進(jìn)行約分，故此選項(xiàng)不符合題意；D.＝＝﹣，正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．9．（2分）（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）下列各式是最簡(jiǎn)分式的是（）A． B． C． D．解：A、是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)符合題意；B、＝，不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、＝，不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、＝＝，不是最簡(jiǎn)分式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．10．（2分）（2021秋?寶山區(qū)期末）已知分式的值為，如果把分式中的a、b同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍，那么新得到的分式的值為（）A． B． C． D．解：因?yàn)閍、b同時(shí)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍后變?yōu)?a，3b，所以＝＝，∵分式的值為，∴＝3?＝3×＝，故選：C．二．填空題（共10小題，滿(mǎn)分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，分式的值為0．解：∵分式的值為0，∴x2﹣1＝0且（x﹣1）（3x+4）≠0，解得：x＝±1且x≠1，，∴x＝﹣1，故答案為：﹣1．12．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)期末）x＝1時(shí)，分式無(wú)意義，則a＝2．解：根據(jù)題意，得當(dāng)x＝1時(shí)，分母x2+x﹣a＝0，∴1+1﹣a＝0，解得，a＝2．故答案為：2．13．（2分）（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）將﹣3x﹣2y3寫(xiě)成只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式：﹣3x﹣2y3＝﹣．解：將代數(shù)式﹣3x﹣2y3表示為只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式：﹣3x﹣2y3＝﹣．故答案為：﹣．14．（2分）（2022秋?徐匯區(qū)期末）將3x﹣3（x﹣y）﹣1表示成只含有正整數(shù)的指數(shù)冪形式為．解：3x﹣3（x﹣y）﹣1＝．故答案為：．15．（2分）（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）如果關(guān)于x的分式方程＝1的解為正數(shù)，那么a的取值范圍是a＜2且a≠﹣6．解：∵＝1，∴3x+a＝2﹣x，∴4x＝2﹣a，∴x＝．∵原分式方程的解為正數(shù)，∴＞0，且≠2，解得：a＜2且a≠﹣6，∴a的取值范圍為a＜2且a≠﹣6．故答案為：a＜2且a≠﹣6．16．（2分）（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a+b+c＝3，a2+b2+c2＝4，則＝9．解：由a2+b2+c2＝4，得到a2+b2＝4﹣c2，b2+c2＝4﹣a2，a2+c2＝4﹣b2，且a+b+c＝3，代入原式：，＝++，＝2+a+2+b+2+c＝6+（a+b+c）＝6+3＝9．故答案為：9．17．（2分）（2022?閔行區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）xn﹣1y+（3﹣n）xyn﹣2﹣nxn﹣3y+4xn﹣4y3﹣mx2yn﹣4+（n﹣3）是關(guān)于x與y的五次三項(xiàng)式，則（﹣）5＝1．解：原多項(xiàng)式是一個(gè)五次三項(xiàng)式，最高項(xiàng)是xn﹣1y，∴n﹣1+1＝5，∴n＝5，∴原式＝x4y﹣2xy3﹣5x2y+4xy3﹣mx2y+2＝x4y+（﹣2xy3+4xy3）﹣（5x2y+mx2y）+2＝x4y+2xy3﹣（5+m）x2y+2，∴﹣（m+5）＝0∴m＝﹣5，∴（﹣）5＝，故答案為：1．18．（2分）（2023春?楊浦區(qū)期中）已知x為實(shí)數(shù)，若x2+﹣5（x+）+8＝0，那么x+的值為2或3．解：設(shè)x+＝a，則x2+＝a2﹣2，∵x2+﹣5（x+）+8＝0，∴a2﹣2﹣5a+8＝0，解得：a＝2或3，∴x+的值為2或3．故答案為：2或3．19．（2分）（2021秋?寶山區(qū)期末）如果關(guān)于x的方程無(wú)解，那么k＝2．解：去分母得：x+2x﹣4＝k，由分式方程無(wú)解，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：k＝2，故答案為：2．20．（2分）（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期中）在分式，，，，中，最簡(jiǎn)分式有1個(gè)．解：＝＝，是最簡(jiǎn)分式，＝＝m﹣n，＝＝，＝＝﹣1，所以最簡(jiǎn)分式只有1個(gè)，故答案為：1．三．解答題（共8小題，滿(mǎn)分60分）21．（6分）（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）如表，小琪的作業(yè)本上有這樣一道填空題，其中有一部分被墨水污染了，若把污染的部分記為代數(shù)式A，若該題化簡(jiǎn)的結(jié)果為．（1）求代數(shù)式A；（2）該題化簡(jiǎn)的結(jié)果能等于嗎？為什么？化簡(jiǎn)：÷的結(jié)果為_(kāi)___．解：（1）÷＝（x+3）＝，∴A＝x﹣4．（2）令＝，解得：x＝4，原分式有意義時(shí)，x不能取±3，此時(shí)分式的值為0，故化簡(jiǎn)結(jié)果不可以等于．22．（6分）（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）計(jì)算：（1）；（2）．解：（1）原式＝??＝；（2）原式＝+﹣＝＝．23．（8分）（2022?閔行區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知，求：（1）；（2）（）2﹣的值．解：∵，∴4x﹣2y＝2x+3y，∴2x＝5y，∴x＝y(tǒng)，（1）原式＝＝，（2）原式＝（）2﹣＝﹣1＝．24．（8分）（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）閱讀下列材料：分式可以化為分母分別為x與x+2且分子都是常數(shù)的兩個(gè)分式的和．為解決這個(gè)問(wèn)題，可設(shè)＝+（A、B為常數(shù)），由+＝，可得＝，由此可得解得所以＝+，像這樣的方法叫待定系數(shù)法．請(qǐng)用待定系數(shù)法將化為分母分別為3x+5與2x﹣1且分子都是常數(shù)的兩個(gè)分式的和．解：設(shè)＝+，∵+＝，∴＝，∴，解得，∴＝+．25．（8分）（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，我們常常會(huì)利用一些變形技巧來(lái)簡(jiǎn)化式子，解答問(wèn)題．材料一：在解決某些分式問(wèn)題時(shí)，倒數(shù)法是常用的變形技巧之一，所謂倒數(shù)法，即把式子變成其倒數(shù)形式，從而運(yùn)用約分化簡(jiǎn)，以達(dá)到計(jì)算目的．例：已知：，求代數(shù)式的值．解：因?yàn)?，所以，即，所以，所以．材料二：在解決某些連等式問(wèn)題時(shí)，通常可以引入?yún)?shù)“k”，將連等式變成幾個(gè)值為k的等式，這樣就可以通過(guò)適當(dāng)變形解決問(wèn)題．例：若2x＝3y＝4z，且xyz≠0，求的值．解：令2x＝3y＝4z＝k（k≠0）則，，，所以．根據(jù)材料解答問(wèn)題：（1）已知，求的值．（2）已知，abc≠0，求的值．解：（1）∵＝，∴＝5，∴＝5，即x﹣1+＝5，∴x+＝6；（2）令＝k，∴a＝5k，b＝4k，c＝3k，∴原式＝，＝2.4．26．（8分）（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）先化簡(jiǎn)后求值：，其中．解：＝＝＝＝＝＝2（3+x）＝6+2x，當(dāng)時(shí)，原式＝＝6+2×（﹣2）＝6﹣4＝2．27．（8分）（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）先化簡(jiǎn)，后求值：，然后在0，1，2三個(gè)數(shù)中選一個(gè)適合的數(shù)，代入求值．解：原式＝（﹣）÷＝÷＝?＝，∵x﹣1≠0且x﹣2≠0，∴x≠1且x≠2，∴x＝0，則原式＝1．28．（8分）（2020秋?靜安區(qū)期末）閱讀下列材料，解決問(wèn)題：在處理分?jǐn)?shù)和分式問(wèn)題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以考慮逆用分?jǐn)?shù)（分式）的加減法，將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（或整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)和（或差）的形式，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單式的分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱(chēng)為分離整數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)