2024屆河南省新鄉(xiāng)市高三第二次模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題一、選擇題1.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，故選：B.2.在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，，則（）A.為銳角三角形 B.為直角三角形C.為鈍角三角形 D.的形狀無法確定〖答案〗C〖解析〗由于,故為鈍角，進而三角形為鈍角三角形故選：C.3.已知直線與拋物線：的圖象相切，則的焦點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，聯(lián)立，消去，得，則，由，所以，故拋物線方程為，則其焦點坐標為.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，可得，則，.故選：A.5.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）A.248種 B.168種 C.360種 D.210種〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意進行分類：第一類：甲、乙、丙每人分得2本，（種）；第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3分，（種）.所以由分類加法計數(shù)原理可得共有種不同的分法．故選：D.6.函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，當且僅當時取等號，由可得，所以，故，故選：C7.已知函數(shù)滿足，則下列結論一定正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)〖答案〗B〖解析〗因為，令，可得，則；令，則，故的圖象關于點對稱，則的圖象關于點對稱，即是奇函數(shù)，故B正確；對于C，令，可得，則，當時，，此時不可能是奇函數(shù)，由于無法確定的值，故不一定是奇函數(shù)，故C錯誤；對于AD，取，滿足題意，但易知D錯誤；故選：B.8.已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點在圓錐的側面上運動，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，則有，，點在圓錐的側面上運動，則，最小時，有最小值，的最小值為點到圓錐母線的距離，中，，，則，點到的距離，則的最小值為，的最小值為.故選：A.二、選擇題9.如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度（單位：）由關系式，確定，其中，，．小球從最高點出發(fā)，經(jīng)過后，第一次回到最高點，則（）A.B.C.與時的相對于平衡位置的高度之比為D.與時的相對于平衡位置的高度之比為〖答案〗BC〖解析〗對于AB，由題可知小球運動的周期，又，所以，解得，當時，，又，所以，故A錯誤，B正確；對于CD，則，所以與時的相對于平衡位置的高度之比為，故C正確D錯誤.故選：BC.10.已知，集合，，，，則下列結論一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗表示過定點,且斜率為的直線的點構成的集合，表示過定點且斜率為的直線的點構成的集合，表示圓心為，半徑為的圓上的點構成的集合，表示圓心為，半徑為的圓上的點構成的集合，對于A，集合中的直線平行，故，故A正確，對于B，由于，故在圓內，故經(jīng)過點的直線與圓相交，，故B正確，對于C，由于，故在圓外，故當經(jīng)過點的直線與圓相離時，此時，故C錯誤，對于D，由于，故兩圓相交，，D錯誤，故選：AB11.如圖，已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，三點共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A.的漸近線方程為 B.C.的面積為 D.內接圓的半徑為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，依題意，直線的斜率為，所以，又，所以為等邊三角形，故，在中，為銳角，，所以，根據(jù)正弦定理可得，即，解得，所以，即，所以雙曲線的方程為，對于AB，的漸近線方程為，故AB正確；對于C，的面積為，故C錯誤；對于D，的面積為，所以內接圓的半徑為，故D正確.故選：ABD，三、填空題12.已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為______．〖答案〗〖解析〗由球的截面圓性質可知球的半徑，則該球的體積為.故〖答案〗為：.13.若一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為3，方差為，則，，，，，9這6個數(shù)的平均數(shù)為______，方差為______．〖答案〗〖解析〗依題意，知這6個數(shù)的平均數(shù)為，又，得，所以這6個數(shù)的方差為.故〖答案〗為：；.14.已知函數(shù)，，若關于的方程有6個解，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗令，由函數(shù)的圖象可知，方程(為常數(shù))最多有3個解，在上單調遞增，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以處取得極大值，即極大值為，如下圖：故結合圖象可得，且方程的三個解中最小的解為.又，在上單調遞減，在上單調遞增，所以最小值為，即當時，有2個零點，所以使關于的方程有6個解，則，，即，令，易知在上單調遞增，又，所以的解集為，綜上所述，的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．（1）證明：平面；（2）若，點滿足，求二面角的大?。?）證明：過作于點，平面平面，且平面平面，平面，故平面．又平面，．又，，平面，平面，所以平面，（2）解：由（1）平面，平面,故,以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則,0,，，,1,，，故，,所以,，設平面的法向量，則，令有，故，平面的法向量，則，又二面角所成角為銳角，二面角所成角的余弦值為，角的大小為．16.已知數(shù)列滿足，．（1）記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求的前項和，并證明．（1）證明：由題意可知，，所以數(shù)列是首項，公比為6等比數(shù)列.于是.（2）解：由題意可知，，所以.又，令，，所以數(shù)列單調遞增，故，即.17.根據(jù)國家電影局統(tǒng)計，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國電影票房為80.16億元，觀影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長了18.47%和26.36%，均創(chuàng)造了同檔期新的紀錄．2024年2月10日某電影院調查了100名觀影者，并統(tǒng)計了每名觀影者對當日觀看的電影的滿意度評分（滿分100分），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間為，，，，，）．（1）求這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)；（2）估計這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)（結果精確到0.1）；（3）設這100名觀影者滿意度評分小于70分的頻率為，小于80分的頻率為，若甲、乙兩名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看，影片的概率分別為，，乙觀看，影片的概率分別為，，當天甲、乙觀看哪部電影相互獨立，記甲、乙這兩名觀影者中當天觀看影片的人數(shù)為，求的分布列及期望．解：（1）由圖可知，滿意度評分不低于60分頻率為，所以這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)為.（2）因為，所以這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)位于第三組，則這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)的估計值為.（3）由圖可知，，同理，而的可能取值為，則，，，所以的分布列為0120.080440.48故.18.已知，分別是橢圓：（）的左、右頂點，為的上頂點，是上在第一象限的點，，直線，的斜率分別為，，且．（1）求的方程；（2）直線與交于點，與軸交于點，求的取值范圍．解：（1）依題意，設，顯然，，則，又，即，所以，即①，由，得②，聯(lián)立①②，解得，所以橢圓的方程為，（2）由（1）得，，設直線的方程為，因為點位于第一象限，所以，聯(lián)立，整理得，則，所以，則，所以，又直線的方程為，即，所以聯(lián)立，解得，故，因為，所以，，則，所以.19.定義：若函數(shù)圖象上恰好存在相異的兩點，滿足曲線在和處的切線重合，則稱，為曲線的“雙重切點”，直線為曲線的“雙重切線”．（1）直線是否為曲線的“雙重切線”，請說明理由；（2）已知函數(shù)求曲線的“雙重切線”的方程；（3）已知函數(shù)，直線為曲線的“雙重切線”，記直線的斜率所有可能的取值為，，…，，若（），證明：．（1）解：的定義域為，求導得，直線的斜率為2，令，解得，不妨設切點，則點處的切線方程為，即，點處的切線方程為，即，所以直線是曲線的“雙重切線”.（2）解：函數(shù)，求導得，顯然函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)在上單調遞減，設切點，則存在，使得，則在點處的切線方程為，在點處的切線方程為，因此，消去可得，令，求導得，則函數(shù)在上單調遞增，又，函數(shù)的零點為，因此，所以曲線的“雙重切線”的方程為.（3）證明：設對應的切點為，對應的切點為，由，得，，由誘導公式及余弦函數(shù)的周期性知，只需考慮，，其中，由及余弦函數(shù)在上遞增知，，則，，因此，又，，則，同理，令，求導得，則在上單調遞增，顯然，且，函數(shù)在上的值域為，即函數(shù)在上存在零點，則有，由，同理可得，而，因此，于是，即有，所以，即.河南省新鄉(xiāng)市2024屆高三第二次模擬考試數(shù)學試題一、選擇題1.設，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，故，故選：B.2.在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，，則（）A.為銳角三角形 B.為直角三角形C.為鈍角三角形 D.的形狀無法確定〖答案〗C〖解析〗由于,故為鈍角，進而三角形為鈍角三角形故選：C.3.已知直線與拋物線：的圖象相切，則的焦點坐標為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，聯(lián)立，消去，得，則，由，所以，故拋物線方程為，則其焦點坐標為.故選：C.4.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，可得，則，.故選：A.5.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，則不同的分法有（）A.248種 B.168種 C.360種 D.210種〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意進行分類：第一類：甲、乙、丙每人分得2本，（種）；第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3分，（種）.所以由分類加法計數(shù)原理可得共有種不同的分法．故選：D.6.函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，當且僅當時取等號，由可得，所以，故，故選：C7.已知函數(shù)滿足，則下列結論一定正確的是（）A.是奇函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)〖答案〗B〖解析〗因為，令，可得，則；令，則，故的圖象關于點對稱，則的圖象關于點對稱，即是奇函數(shù)，故B正確；對于C，令，可得，則，當時，，此時不可能是奇函數(shù)，由于無法確定的值，故不一定是奇函數(shù)，故C錯誤；對于AD，取，滿足題意，但易知D錯誤；故選：B.8.已知圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，若點在圓錐的側面上運動，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗圓錐的底面半徑為，高為1，其中為底面圓心，是底面圓的一條直徑，則有，，點在圓錐的側面上運動，則，最小時，有最小值，的最小值為點到圓錐母線的距離，中，，，則，點到的距離，則的最小值為，的最小值為.故選：A.二、選擇題9.如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在時相對于平衡位置的高度（單位：）由關系式，確定，其中，，．小球從最高點出發(fā)，經(jīng)過后，第一次回到最高點，則（）A.B.C.與時的相對于平衡位置的高度之比為D.與時的相對于平衡位置的高度之比為〖答案〗BC〖解析〗對于AB，由題可知小球運動的周期，又，所以，解得，當時，，又，所以，故A錯誤，B正確；對于CD，則，所以與時的相對于平衡位置的高度之比為，故C正確D錯誤.故選：BC.10.已知，集合，，，，則下列結論一定成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗表示過定點,且斜率為的直線的點構成的集合，表示過定點且斜率為的直線的點構成的集合，表示圓心為，半徑為的圓上的點構成的集合，表示圓心為，半徑為的圓上的點構成的集合，對于A，集合中的直線平行，故，故A正確，對于B，由于，故在圓內，故經(jīng)過點的直線與圓相交，，故B正確，對于C，由于，故在圓外，故當經(jīng)過點的直線與圓相離時，此時，故C錯誤，對于D，由于，故兩圓相交，，D錯誤，故選：AB11.如圖，已知雙曲線：（，）的左、右焦點分別為，，點在上，點在軸上，，，三點共線，若直線的斜率為，直線的斜率為，則（）A.的漸近線方程為 B.C.的面積為 D.內接圓的半徑為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，依題意，直線的斜率為，所以，又，所以為等邊三角形，故，在中，為銳角，，所以，根據(jù)正弦定理可得，即，解得，所以，即，所以雙曲線的方程為，對于AB，的漸近線方程為，故AB正確；對于C，的面積為，故C錯誤；對于D，的面積為，所以內接圓的半徑為，故D正確.故選：ABD，三、填空題12.已知一平面截球所得截面圓的半徑為2，且球心到截面圓所在平面的距離為1，則該球的體積為______．〖答案〗〖解析〗由球的截面圓性質可知球的半徑，則該球的體積為.故〖答案〗為：.13.若一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為3，方差為，則，，，，，9這6個數(shù)的平均數(shù)為______，方差為______．〖答案〗〖解析〗依題意，知這6個數(shù)的平均數(shù)為，又，得，所以這6個數(shù)的方差為.故〖答案〗為：；.14.已知函數(shù)，，若關于的方程有6個解，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗令，由函數(shù)的圖象可知，方程(為常數(shù))最多有3個解，在上單調遞增，當時，，則在上單調遞增，在上單調遞減，所以處取得極大值，即極大值為，如下圖：故結合圖象可得，且方程的三個解中最小的解為.又，在上單調遞減，在上單調遞增，所以最小值為，即當時，有2個零點，所以使關于的方程有6個解，則，，即，令，易知在上單調遞增，又，所以的解集為，綜上所述，的取值范圍為.故〖答案〗為：.四、解答題15.如圖，在三棱錐中，平面平面，且，．（1）證明：平面；（2）若，點滿足，求二面角的大小．（1）證明：過作于點，平面平面，且平面平面，平面，故平面．又平面，．又，，平面，平面，所以平面，（2）解：由（1）平面，平面,故,以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則,0,，，,1,，，故，,所以,，設平面的法向量，則，令有，故，平面的法向量，則，又二面角所成角為銳角，二面角所成角的余弦值為，角的大小為．16.已知數(shù)列滿足，．（1）記，證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求的前項和，并證明．（1）證明：由題意可知，，所以數(shù)列是首項，公比為6等比數(shù)列.于是.（2）解：由題意可知，，所以.又，令，，所以數(shù)列單調遞增，故，即.17.根據(jù)國家電影局統(tǒng)計，2024年春節(jié)假期（2月10日至2月17日）全國電影票房為80.16億元，觀影人次為1.63億，相比2023年春節(jié)假期票房和人次分別增長了18.47%和26.36%，均創(chuàng)造了同檔期新的紀錄．2024年2月10日某電影院調查了100名觀影者，并統(tǒng)計了每名觀影者對當日觀看的電影的滿意度評分（滿分100分），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖（分組區(qū)間為，，，，，）．（1）求這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)；（2）估計這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)（結果精確到0.1）；（3）設這100名觀影者滿意度評分小于70分的頻率為，小于80分的頻率為，若甲、乙兩名觀影者在春節(jié)檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看，影片的概率分別為，，乙觀看，影片的概率分別為，，當天甲、乙觀看哪部電影相互獨立，記甲、乙這兩名觀影者中當天觀看影片的人數(shù)為，求的分布列及期望．解：（1）由圖可知，滿意度評分不低于60分頻率為，所以這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數(shù)為.（2）因為，所以這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)位于第三組，則這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(shù)的估計值