2024屆山西省太原市高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2山西省太原市2024屆高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，，即，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗復(fù)數(shù)滿足，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B3.圓圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓可化為，所以圓心坐標(biāo)為.故選：D.4.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功舉辦.杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射擊、體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.18 B.24 C.32 D.36〖答案〗B〖解析〗先安排游泳場(chǎng)地的志愿者，在除去甲的另三人中選擇，再安排射擊和體操場(chǎng)地的志愿者.當(dāng)游泳場(chǎng)地安排2人時(shí)，則不同的安排方法有種，當(dāng)游泳場(chǎng)地安排1人時(shí)，則不同的安排方法有種，由分類加法原理可知共有種.故選：B.5.已知，，且，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，，∴．故選：C．6.如圖是函數(shù)的部分圖象，則的〖解析〗式為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，且，四個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的定義域均為，對(duì)于A項(xiàng)，，即為偶函數(shù)，而，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、D項(xiàng)，，，顯然兩項(xiàng)均為奇函數(shù)，故B、D錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，即為偶函數(shù)，而，故C正確.故選：C.7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的角平分線交線段于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榈慕瞧椒志€交線段于點(diǎn)，所以，所以由正弦定理得，，又因?yàn)?，，所以，即，不妨設(shè)，如圖：則，解得，所以，由題意，，所以，即.故選：A8.若實(shí)數(shù)，，滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，利用換底公式可知，構(gòu)造函數(shù)，顯然時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以由，即，所以，綜上.故選：A.二、選擇題9.已知數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.是等比數(shù)列 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由得，又，所以是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，即，，，，顯然，所以不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；，故C錯(cuò)；，故D對(duì)，故選：BD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗AC〖解析〗依題意，函數(shù)，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的圖象，其關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗作出函數(shù)的圖象，，再作出直線，如圖，由得，由對(duì)稱性得，且，，，因此，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又時(shí)，，時(shí)，，因此由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，B錯(cuò)；同理由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，因此，C正確；因?yàn)椋瑒t，D正確．故選：ACD．12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)和分別滿足，，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是C.當(dāng)時(shí)，不存在使得D.的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示連接，當(dāng)時(shí)是的中點(diǎn)，易知為的中點(diǎn)，所以中，，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，則到平面的距離即到平面距離，顯然三棱錐的底面積是定值，且頂點(diǎn)到底面的距離也是定值，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，如上圖所示，連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，易知四棱錐為正四棱錐，，可知其外接球球心在直線上，設(shè)，外接球半徑為R，則，解之得，所以其外接球的表面積為，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，P與重合，易知，則，所以，，則，符合前提條件，故存在使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，易知點(diǎn)三點(diǎn)在平面上，如圖所示沿著翻折得，E點(diǎn)對(duì)應(yīng)，過(guò)作，垂足為P，交于Q，可知，設(shè)，作交于，易知為的中點(diǎn)且，，易得，所以，由梯形中位線可知：，易知此時(shí)，故D正確.故選：ABD三、填空題13.雙曲線的漸近線方程為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗由雙曲線的相關(guān)知識(shí)可知：，所以焦點(diǎn)在軸雙曲線的漸近線方程為：，故〖答案〗為：.14.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.〖答案〗25〖解析〗中常數(shù)項(xiàng)為1，項(xiàng)為，因此所求常數(shù)項(xiàng)為．故〖答案〗為：25.15.已知非零向量，夾角為，則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榉橇阆蛄颗c的夾角為，所以，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故〖答案〗為：.16.已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗由得，令，則方程化為，設(shè)，則，易知時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，而時(shí)，，因此時(shí)，，又，因此，且，∴，故〖答案〗為：．四、解答題17.已知在等差數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)的公差為，由題意得；當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）得，，①，②①－②得，.18.在中，，，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，點(diǎn)在線段上，，，的面積為.（1）當(dāng)，且時(shí)，求；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的周長(zhǎng).解：（1）由題意得，，，，，，，，，；（2）由題意得，，，，，，，，，，，，，的周長(zhǎng)為.19.“陽(yáng)馬”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，即其底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，.（1）證明：四棱錐是一個(gè)“陽(yáng)馬”；（2）已知點(diǎn)在線段上，且，若二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正切值.（1）證明：四邊形是正方形，，，，平面，平面，平面，，四邊形是正方形，，，，平面.平面，平面，，，平面，平面，四棱錐是一個(gè)“陽(yáng)馬”；（2）解：由（1）得平面，，，，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，，所以，設(shè)，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，令，則，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，令，則，，，或（舍去）.，，平面，直線與底面所成角的正切值為.20.為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校食堂從開(kāi)學(xué)第1天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞?，那么?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋蝗绻?天選擇了面食套餐，那么第2天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?已知他開(kāi)學(xué)第1天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?（1）求該同學(xué)開(kāi)學(xué)第2天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?；?）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋╥）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，.（1）解：設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則“第天選擇面食套餐”，根據(jù)題意，，，，由全概率公式，得；（2）證明：（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，，，由全概率公式，得，即，，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（ii）由（i）可得，當(dāng)為大于1的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，.21.已知拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，面積的最小值為4.（1）求拋物線的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交于，兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線上是否存在定點(diǎn)，使得對(duì)任意的直線，都有.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，則說(shuō)明理由.解：（1）由拋物線，可得，準(zhǔn)線為，則，易知直線斜率不為零，設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，可得，所以面積，當(dāng)時(shí)，取最小值，因?yàn)槊娣e的最小值為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知拋物線，假設(shè)存在定點(diǎn)，易知直線的斜率不為零，設(shè)直線方程為，且，，則，，聯(lián)立方程組，整理得，則，且，，因?yàn)椋傻?，因?yàn)?，所以，即，?dāng)時(shí)，即時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)..22.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)取得的最大整數(shù)值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則，令，則；令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得最小值.（2）①當(dāng)時(shí)，則，顯然成立；②當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，令，，則，令，，則，在上單調(diào)遞增，，，，，即，，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，在處取得最小值為，，且，綜上，實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值為3.山西省太原市2024屆高三上學(xué)期期末學(xué)業(yè)診斷數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可知，，即，所以.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗復(fù)數(shù)滿足，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B3.圓圓心坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗圓可化為，所以圓心坐標(biāo)為.故選：D.4.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在杭州等城市成功舉辦.杭州亞運(yùn)會(huì)期間，甲、乙等4名志愿者要到游泳、射擊、體操三個(gè)場(chǎng)地進(jìn)行志愿服務(wù)，每名志愿者只去一個(gè)場(chǎng)地，每個(gè)場(chǎng)地至少一名志愿者，若甲不去游泳場(chǎng)地，則不同的安排方法種數(shù)為（）A.18 B.24 C.32 D.36〖答案〗B〖解析〗先安排游泳場(chǎng)地的志愿者，在除去甲的另三人中選擇，再安排射擊和體操場(chǎng)地的志愿者.當(dāng)游泳場(chǎng)地安排2人時(shí)，則不同的安排方法有種，當(dāng)游泳場(chǎng)地安排1人時(shí)，則不同的安排方法有種，由分類加法原理可知共有種.故選：B.5.已知，，且，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，，∴．故選：C．6.如圖是函數(shù)的部分圖象，則的〖解析〗式為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，且，四個(gè)選項(xiàng)函數(shù)的定義域均為，對(duì)于A項(xiàng)，，即為偶函數(shù)，而，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B、D項(xiàng)，，，顯然兩項(xiàng)均為奇函數(shù)，故B、D錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，，即為偶函數(shù)，而，故C正確.故選：C.7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，的角平分線交線段于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榈慕瞧椒志€交線段于點(diǎn)，所以，所以由正弦定理得，，又因?yàn)?，，所以，即，不妨設(shè)，如圖：則，解得，所以，由題意，，所以，即.故選：A8.若實(shí)數(shù)，，滿足，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，利用換底公式可知，構(gòu)造函數(shù)，顯然時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，所以由，即，所以，綜上.故選：A.二、選擇題9.已知數(shù)列中，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（）A.是等比數(shù)列 B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗由得，又，所以是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，即，，，，顯然，所以不是等比數(shù)列，故A錯(cuò)；，故B對(duì)；，故C錯(cuò)；，故D對(duì)，故選：BD10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.將的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱〖答案〗AC〖解析〗依題意，函數(shù)，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)的圖象，其關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，，，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗作出函數(shù)的圖象，，再作出直線，如圖，由得，由對(duì)稱性得，且，，，因此，A正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又時(shí)，，時(shí)，，因此由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得，B錯(cuò)；同理由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得，因此，C正確；因?yàn)椋瑒t，D正確．故選：ACD．12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)和分別滿足，，其中，，則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是C.當(dāng)時(shí)，不存在使得D.的最小值為〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，如圖所示連接，當(dāng)時(shí)是的中點(diǎn)，易知為的中點(diǎn)，所以中，，又平面，平面，所以平面，因?yàn)?，則到平面的距離即到平面距離，顯然三棱錐的底面積是定值，且頂點(diǎn)到底面的距離也是定值，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，如上圖所示，連接交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，易知四棱錐為正四棱錐，，可知其外接球球心在直線上，設(shè)，外接球半徑為R，則，解之得，所以其外接球的表面積為，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)時(shí)，P與重合，易知，則，所以，，則，符合前提條件，故存在使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，易知點(diǎn)三點(diǎn)在平面上，如圖所示沿著翻折得，E點(diǎn)對(duì)應(yīng)，過(guò)作，垂足為P，交于Q，可知，設(shè)，作交于，易知為的中點(diǎn)且，，易得，所以，由梯形中位線可知：，易知此時(shí)，故D正確.故選：ABD三、填空題13.雙曲線的漸近線方程為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗由雙曲線的相關(guān)知識(shí)可知：，所以焦點(diǎn)在軸雙曲線的漸近線方程為：，故〖答案〗為：.14.的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.〖答案〗25〖解析〗中常數(shù)項(xiàng)為1，項(xiàng)為，因此所求常數(shù)項(xiàng)為．故〖答案〗為：25.15.已知非零向量，夾角為，則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榉橇阆蛄颗c的夾角為，所以，，令，，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故〖答案〗為：.16.已知實(shí)數(shù)，分別滿足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗由得，令，則方程化為，設(shè)，則，易知時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，而時(shí)，，因此時(shí)，，又，因此，且，∴，故〖答案〗為：．四、解答題17.已知在等差數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)的公差為，由題意得；當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，，是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）得，，①，②①－②得，.18.在中，，，分別為內(nèi)角的對(duì)邊，點(diǎn)在線段上，，，的面積為.（1）當(dāng)，且時(shí)，求；（2）當(dāng)，且時(shí)，求的周長(zhǎng).解：（1）由題意得，，，，，，，，，；（2）由題意得，，，，，，，，，，，，，的周長(zhǎng)為.19.“陽(yáng)馬”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，即其底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，，，.（1）證明：四棱錐是一個(gè)“陽(yáng)馬”；（2）已知點(diǎn)在線段上，且，若二面角的余弦值為，求直線與底面所成角的正切值.（1）證明：四邊形是正方形，，，，平面，平面，平面，，四邊形是正方形，，，，平面.平面，平面，，，平面，平面，四棱錐是一個(gè)“陽(yáng)馬”；（2）解：由（1）得平面，，，，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，，，，所以，設(shè)，，，，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，令，則，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，，令，則，，，或（舍去）.，，平面，直線與底面所成角的正切值為.20.為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校食堂從開(kāi)學(xué)第1天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?某同學(xué)每天中午都會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇一種套餐，如果他第1天選擇了米飯?zhí)撞?，那么?天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?；如果他?天選擇了面