2021年山西省太原市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）（一模）

2021年山西省太原市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（一）（一模）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合＞=口|閉＜1},1={52*＜1},則叫］8=()

A.(-1,0)B.(-oo,l)C.(-1,1)D.(0,1)

2.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足3=3則復(fù)數(shù)z=()

z+1

A.1-iB.1+zC.-1-iD.-1+z

3.（5分）公元前6世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時(shí)，發(fā)

現(xiàn)了黃金分割數(shù)近二其近似值為0.618,這是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為

2

c02b

a—2sin18°,a2+b=4,貝---------=（）

1-cos72°

A.-B.2C.D.4

22

4.（5分）函數(shù)/（尤）=衛(wèi)也的部分圖象大致是（）

x-sinx

C.

5.（5分）在區(qū)間［-1,1］上任取一個(gè)實(shí)數(shù)則使得直線y=履與圓（彳-2）2+/=1有公共

點(diǎn)的概率是（）

6.（5分）己知梯形A8CL（中，AB//DC,且AB=2DC,點(diǎn)P在線段8c上，若

AP^-AB+AAD,貝!I實(shí)數(shù)4=（）

6

A.-B.-C.-D.-

4332

7.（5分）己知｛凡｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且｛S,J是等差數(shù)列，給

出以下結(jié)論：

①他次+y｝是等差數(shù)列；

②是等比數(shù)列；

③｛4｝是等差數(shù)列；

④2｝是等比數(shù)列.

n

則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

x+3y-13?0

8.（5分）已知實(shí)數(shù)x,y滿足v3x+2y-11..0,若不等式x+樞y+L,。恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的

2%—y—5,,0

取值范圍是（）

A.(0,1]B.[-4Tc.(-co,--]D.(-co,-4]

9.（5分）已知。=2/〃3",Z?=3歷2%,c=lln/c21,則下列結(jié)論正確的是（）

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

10.(5分)已知三棱錐A-8CD中，AB=8C=8O=C￡>=AO=4,二面角A-8Z5-C的

余弦值為1，點(diǎn)E在棱AB上，且8E=3AE,過(guò)E作三棱錐A-8C。外接球的截面，則所

3

作截面面積的最小值為（）

A107rRc71c季

A.-----D.5兀C.—L?.----

334

11.（5分）已知過(guò)拋物線V=2px（p>0）的焦點(diǎn)?（1,0）的直線與該拋物線相交于A,8兩

2

點(diǎn)，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，以AB為直徑的圓與y軸相交于尸，。兩點(diǎn)，若/=2萬(wàn)，

則sin/MPQ=（）

A.-B.-C.—D.—

971713

12.（5分）已知函數(shù)/（x）=sin（0x+?）（0>O,|夕|<?）的圖象關(guān)于x=-g對(duì)稱，且/（?）=0，

/（x）在［乙，上］上單調(diào)遞增，則。的所有取值的個(gè)數(shù)是（）

324

A.3B.4C.1D.2

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.試題中包含兩空的，答對(duì)第一空的

給3分，全部答對(duì)的給5分.

13.（5分）函數(shù)/'（x）=（x+2）eT的圖象在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程為.

14.（5分）在（1—尤）+（1-*）2+（1-幻3+（1-尤）4+（1-*）5+（1一26的展開(kāi)式中，1的系數(shù)

為—,

15.（5分）已知數(shù)列｛%｝滿足4=%=萬(wàn),a〃+2+2X3"（〃￡N*）,且

=冊(cè)+c1+i（n￡N%.則數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式為_(kāi)__.若b?=￡N*）,則數(shù)列

fl3（4幾-1）

｛c〃｝的前〃項(xiàng)和為.

22

16.（5分）已知橢圓C：T+｝=l（a>沙>。）的左焦點(diǎn)是點(diǎn)尸，過(guò)原點(diǎn)傾斜角為3的直線/

_O■rr.

與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，若NMFN=—,則橢圓C的離心率是.

3

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：

共60分.

17.（12分）已知a,b,c分別是AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，3csinA=46sinC,

再?gòu)南旅鏃l件①與②中任選一個(gè)作為已知條件，完成以下問(wèn)題:

（I）證明：AA8C為等腰三角形;

（II）若AABC的面積為26，點(diǎn)。在線段AB上，且SD=2ZM,求CD的長(zhǎng).

71

條件①：cosC=—；條件②：cosA=—.

39

18.（12分）某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn)，決定大

力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)，一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造,另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平.為

此該地區(qū)旅游部門(mén)，對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，如表是該部門(mén)從去年

某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表.

滿意度老年人中年人青年人

報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游

滿意121184156

一般2164412

不滿意116232

（I）已知甲是此次調(diào)查時(shí)滿意度為“滿意”的報(bào)團(tuán)游游客，由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、

中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游？

（II）為了提高服務(wù)水平，該旅游部門(mén)要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨機(jī)

抽取3人征集整改建議，記X表示這3人中老年人的人數(shù)，求X的分布列和期望，

（III）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？

19.（12分）如圖，在三棱錐P-A8C中，AR4B是正三角形，G是的重心，D,E,

“分別是9，BC,PC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在BC上，且8尸=3尸C.

（I）求證：平面DFHII平面PGE；

(II)若PB_LAC,AB=AC=2,BC=2④,求二面角A-PC-8的余弦值.

V21

20.（12分）已知橢圓C:=+與=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別是耳、F,,其離心率e=L

b"2

點(diǎn)P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，△產(chǎn)月月內(nèi)切圓面積的最大值為?.

(I)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)直線尸片，尸工與橢圓C分別相交于點(diǎn)A,B,求證：駕+T為定值.

\FiA\\F2B\

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=/+cosx-or-2(a￡R).

(I)設(shè)g(%)=/(x)+ox,求/(九)在［0,+8)上的最小值；

(H)若不等式或初.。在寧，+8)上恒成立,求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分.作答時(shí)請(qǐng)用2B鉛筆在答題卡上將所選題號(hào)后的方框涂黑.［選修4-4：坐標(biāo)系

與參數(shù)方程］

11

xfz+：）

22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為,2]'?為參數(shù)），以坐

y=t——

標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為cos(e+g)=0.

(I)求曲線￡的普通方程和G的直角坐標(biāo)方程;

(II)已知點(diǎn)P(3,后)，曲線G與G相交于A，8兩個(gè)不同點(diǎn)，求11PAi-IBBII的值.

［選修4-5：不等式選講］

2

23.已知函數(shù)/(x)=|尤+—|+|尤-〃?|(機(jī)＞0).

m

(I)當(dāng)機(jī)=1時(shí)，求函數(shù)/(%)的最小值；

(II)若存在%￡(0,1),使得不等式/(%),,3成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

2021年山西省太原市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)(一)(一模)

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.(5分)已知集合A=B={x|2x<l},則峭3=()

A.(-1,0)B.(-oo,l)C.(-1,1)D.(0,1)

【解答】解：?.?集合4={x||xkl}={xJT<x<l},

B={x\2x<Vi={x\x<Q},

/\QB={X|-1<X<0}=(-1,0).

故選：A.

2.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿足三i=3則復(fù)數(shù)z=()

z+1

A.1-zB.1+zC.-1-iD.-l+i

【解答】解：

z+1

:.z—i=zi+i,

2i2/(1+z)-2+2i,.

z=-----=---------------=----------=-l+i,

1-i(1-z)(l+02

故選：D.

3.(5分)公元前6世紀(jì)，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究正五邊形和正十邊形的作圖時(shí)，發(fā)

現(xiàn)了黃金分割數(shù)叵口，其近似值為0.618,這是一個(gè)偉大的發(fā)現(xiàn)，這一數(shù)值也表示為

2

rz=2sinl80,若/+b=4,貝!]--------=()

1-cos72°

A.-B.2C.D.4

22

【解答】解：?.?a=2sinl8。，若何+4=4,

.-.b=4-a2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,

c^b4sm2180-4co?1845w236°、

"l-cos72°1-cos72°25m236°'

故選：B.

4.(5分)函數(shù)〃尤)=三更的部分圖象大致是()

x—sinx

【解答】解：/（-x）=一…土=/（x）,

-x-sin（-x）x-sinx

函數(shù)/（X）為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除C。;

又/（6）=6cos6>0,故排除B

6-sin6

故選：A.

5.（5分）在區(qū)間［-1,1］上任取一個(gè)實(shí)數(shù)左，則使得直線y=區(qū)與圓（x-2Y+,2=1有公共

點(diǎn)的概率是（）

?小r垃CKr1

A.—B.—C.—D.-

2232

【解答】解：圓（尤-2了+V=i的圓心為（2,0）,半徑為1.

要使直線y=履與圓（x-2>+/=1有公共點(diǎn)，

則圓心到直線y=fcc的距離解得:-迫跳—.

A/T7F33

在區(qū)間［-1,1］中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)則事件“直線y=fcv與圓（x-2）2+V=l有公共點(diǎn)”

發(fā)生的概率為:

1-(-1)

故選：C.

6.（5分）已知梯形48co中，AB//DC且A8=2DC，點(diǎn)尸在線段BC上，若

AP=-AB+AAD,貝快數(shù)2=()

6

【解答】解：如圖,

-.-P在線段BC上，且AB=2DC,設(shè)

BP^kBC^k(AC-AB)=k(AD+DC-AB^k(AD+-AB-AB)=k(AD--AB),

22

AP^AB+BP=AB+k(AD--AB)=(1--)AB+kAD,

22

XAP=-AB+AAD,

6

k5

1——1

；.<26>解得2=—.

Z,=,K3

故選：C.

7.（5分）已知｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為5“，且｛S“｝是等差數(shù)列，給

出以下結(jié)論:

①｛4+S"是等差數(shù)歹！I;

②｛。屋邑｝是等比數(shù)歹U；

③回｝是等差數(shù)列;

@A｝是等比數(shù)列.

則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：由｛S〃｝是等差數(shù)列，

可得：2(6+%)=%+4+%+%,

???｛〃〃｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,

a2=a2q,可得q=1.

/.=%>0,

=(〃+1)%,，數(shù)歹(J｛a〃+S〃｝是等差數(shù)列.

力=年，.??｛〃；｝是常數(shù)列，為等差數(shù)列.

qq

、=4>0,,｛2｝是等比數(shù)歹I」.

nn

anSn=叼2,｛4.sn]不是等比數(shù)列.

故選：B.

x+3y-13?0

8.(5分)已知實(shí)數(shù)尤，y滿足,3%+2y-11..0,若不等式%++L,0恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的

2x—y一5,,0

取值范圍是()

111

A.(0,-]B.[-4,C.(-co,--]D.(-00,-4]

【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立解得（（3,1），

[3]+2y-11=0

直線x+my+l=0過(guò)定點(diǎn)（-1,0）,要使不等式％+my+L,。恒成立，

則可行域在直線％+zny+1=0的左上方，則J3+機(jī)+L,0，即明，-4.

.??實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（-8,-4].

故選：D.

9.（5分）已知Q=2/〃3",b=3ln2^,c=llnji21,則下列結(jié)論正確的是（）

A.b<c<aB.c<b<aC.b<a<cD.a<b<c

【解答】解：a=21n31=2萬(wàn)加3=歷9",b=3貶2%=3萬(wàn)加2=,c=21n兀=6/MTT=Ini',

a2萬(wàn)歷3ln9,.

?/—=-------=---->1,a>b,

b371bl2ln8

設(shè)/0）=媽，則廣（無(wú)）=上坐，令/（x）<0,;.x>e,

XX

二./（%）在（e,+oo）上遞減，7r>3>e,31n兀<7iln3,TV3<T,

n3

?.?》6=（?3）2,9〃二（3萬(wàn)）2,..?％3<3，，.?.萬(wàn)6<9"「.cva,

?.??6=（萬(wàn)2）3,8?=（2%）3,V:.c>b,

a>c>b.

故選：A.

10.（5分）已知三棱錐A—BCD中，AB=BC=BD=CD=AD=4,二面角A—3。一。的

余弦值為■，點(diǎn)E在棱AB上，且8E=3AE,過(guò)E作三棱錐A-8C。外接球的截面，則所

3

作截面面積的最小值為（）

A.駟B.3萬(wàn)C.2D.無(wú)

334

【解答】解：由已知可得，MBD,ABCD都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，

由二面角A-BO-C的余弦值為工，結(jié)合余弦定理可得AC=4,

3

則三棱錐A-BCD是棱長(zhǎng)為4的正四面體，放置在棱長(zhǎng)為2點(diǎn)的正方體中,

則正四面體ABCD的外接球即正方體的外接球,

其半徑為2R=J(2應(yīng)了+(2忘了+(2顯r=2",

An4=#

R=屈，cos/045=——

AM2?一3

■,OA=R=yf6,AE=-AB=-x4=l,

44

0爐=（府+『—2x&xlx半=3,

則截面圓的半徑r=，加一OE°=,

二.截面面積的最小值為5=不/=3%.

故選：B.

11.(5分)已知過(guò)拋物線丁=2如(0>0)的焦點(diǎn)F(g,O)的直線與該拋物線相交于A,3兩

點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，以AB為直徑的圓與y軸相交于P,。兩點(diǎn)，若通=2萬(wàn)，

則sin/MPQ=()

A.-B.-C.—D.—

971713

【解答】解：由拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得K=1,所以p=l,

22

所以拋物線的方程為：J=2x,

設(shè)直線AB的方程為：x=my+^,設(shè)A(王，%)，B(x2,%)，設(shè)A在x軸上方，

聯(lián)立X=+整理可得：/_2⑺_1=0,

、y2=2x

可得：x%=—1①，

由AF=2FB,即(g—石，一%)=2(9—；，%)，

可得％=-2%,代入①可得：￡=工，所以為=-半，y=&

22

代入拋物線的方程可得：/=；，%=1，

即A(I,A/5),5(：，——)?

所以的中點(diǎn)"W，乎)

|ABhJ(l-l)2+(A/2+o即圓的直徑為之Q,

44

所以圓的方程為令+⑶-281

5—，

64

令x=°,可得、=±乎+號(hào),所以PQ爐+0-屈W

)，2(0,?)，

44

5

5

所以tan/MPQ=8

A/14+A/2yf2~2^14

44

55

所以sin/MPQ=

方+@舊了9

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=sin(s+°)(G〉0,|0|<?的圖象關(guān)于％=一0對(duì)稱,且/(￡)=。，

/(%)在［工，上］上單調(diào)遞增，則外的所有取值的個(gè)數(shù)是()

324

A.3B.4C.1D.2

【解答】解：由于函數(shù)/(x)=sin3x+°)3>0,|。|<9的圖象關(guān)于％=-三對(duì)稱，

則：-—CD+(p=ky7i-\--,(k,GZ)@,

32

由于/畸)=0,所以搟G+0=&乃(左￡Z)②,

②—①得：%=他_匕)萬(wàn)_楙，

所以g=2*2—匕)一1(1—k2GZ),

故口為奇數(shù)，

且“X)在［工，口為上單調(diào)遞增，

324

所以工=工…小一工，解得0＜。,,8.

2。243

當(dāng)履一匕=1，2,3,4,

故。的取值為：1,3,5,7,

當(dāng)。=1時(shí)，結(jié)合條件得到°=*滿足條件，

當(dāng)。=3時(shí)，求不出滿足條件的夕值，故舍去；

當(dāng)。=5時(shí)，解得0=工，滿足條件，

6

當(dāng)。=7時(shí)，解得夕=一生，由于時(shí)，則7x-三e［史，史芻，容易驗(yàn)證y=sinx

63246624

不在畢，生上單調(diào)遞增，

624

故。的值為1和5.

故選：D.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.試題中包含兩空的，答對(duì)第一空的

給3分，全部答對(duì)的給5分.

13.(5分)函數(shù)/■(元)=(左+2)二的圖象在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程為_(kāi)x+y-2=0_.

【解答】解：由題意可得八元)=二-(*+2)二，

則r(o)=-i.

因?yàn)?(0)=2,所以所求切線方程為y-2=-尤，即x+y-2=0.

故答案為：x+y-2=0.

14.(5分)在(1—X)+(1—X)2+(1—x)3+(1—X)4+(1—X)5+(1—X)6的展開(kāi)式中，x，的系數(shù)為

-35.

【解答】解:在(1一%)+(1—尤＞+(1—X)3+(l—X)4+(l-尤)5+(1一的6的展開(kāi)式中,

/的系數(shù)為YYY=-35,

故答案為：-35.

3

15.(5分)已知數(shù)列｛q｝滿足%=々2=Q，q+2+2X3"(〃EN*),且

n

bn=an+a〃+i(〃￡N*).則數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式為bn=32_n《N*__.若

bncn=4(及：1)(幾GN*),則數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和為_(kāi)___?

3(4幾-1)

3

【解答】解：%=。2=3'?！?2=q+2x3〃(〃￡N*),可得4=%+2=3,%+2—%=2X3",

a

又2+1一2=為+1+%+2-(%+?！?1)=%+2~n=2x3〃,

2n-12(13

則bn=/?!+(fe2-^)+(b3-b2)+...+(bn-^)=3+2x3+2x3+...+2x3=1+-=3"，

1—3

上式對(duì)n=l也成立，

所以勿=3〃，nsN*；

由么C"尋MN*)4九+4_1___________]

可得c“=

3"+i(2〃-1)(2〃+1)-3〃(2〃一1)-3〃+i(2〃+1)

則數(shù)列｛c“｝的前”項(xiàng)和為」——1111

H—---------------+...H--------------

3x13x332X333X53"(2〃—1)3n+1(2n+l)

11

3-3n+1(2n+l)

11

故答案為：2=3",〃wN*

3-3"+1(2M+1)

22

16.(5分)已知橢圓C:號(hào)+｝=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)是點(diǎn)尸，過(guò)原點(diǎn)傾斜角為3的直線/

與橢圓C相交于"，N兩點(diǎn)，茗/MFN=網(wǎng),則橢圓C的離心率是3夜一回.

3—2—

【解答】解：設(shè)右焦點(diǎn)為尸，由題意可得直線/的方程為：>=瓜，設(shè)%),N(—x。，

一%),

連接MF—NF',因?yàn)镹M/W=—,

3

所以四邊形尸MPN為平行四邊形，則質(zhì)，=工，

3

而吟(焦三角形面積公式S=〃tang，。為焦頂角),

所以可得％=叵，代入直線/的方程可得：毛b2

3c3c

b43b2

將M的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得：綽+率=1,

ab

整理可得：4a4—14a2c之+=0,即e,—14/+4=0,

解得：f=7土3后,由橢圓的離心率ee(0,1),

所以e=E^=3叵［回

3衣-而

故答案為:

2

三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:

共60分.

17.(12分)已知a,b,c分別是AABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊，3csinA=4fosinC,

再?gòu)南旅鏃l件①與②中任選一個(gè)作為已知條件，完成以下問(wèn)題：

(I)證明：AA8c為等腰三角形；

(II)若AABC的面積為26，點(diǎn)。在線段AB上，且SD=2ZM,求C。的長(zhǎng).

71

條件①：cosC--\條件②：cosA=—.

39

【解答】解：若選擇條件①：cosC=-,

3

一一Ah

(I)證明：因?yàn)?csinA=4bsinC,所以3ac=4Z?c,所以4=一,

3

由余弦定理。2=a2+Z?2一2/cosC=更匕+〃一.2=〃，

933

所以。=c,可得AA3C為等腰三角形，得證.

(II)因?yàn)閏osC=2,CG(0,—),所以sinC=-cod。=,

323

所以=-^sinC=—x—x/?x—=2^/5,解得Z?=3,

2233

則〃=4竺/7=4,所以。=c=3,

3

又BD=2AD,所以AD=1,BD=2,

4x3x@尺]

因?yàn)?csinA=4〃sinC,所以sinA=-----------_,所以cosA=J1-2c=一,

3x399

1OQ

在AACO中，由余弦定理可得CD?=AD2+AC2-2AD-ACcosA=l+9-2xlx3x-=—,

93

所以co=2畫(huà).

3

若選擇條件②：cosA=-,

9

一一477

（I）證明：因?yàn)?csinA=48sinC,所以3QC=4Z?C,所以a=—,

3

由余弦定理/=/+。2_2Z?ccosA=b2+c2-2be--=,整理可得9c2-2bc-7Z?2=0，

99

解得。=。，或一殳（舍去），

9

所以b=c,所以AA8C為等腰三角形，得證.

（II）因?yàn)閏osA=4，Ae（0,—）,所以sinA=g5,

929

所以5AABC='besinA=&5義k=26，解得人=3,

c229

Ah

則口=一=4,所以匕=c=3,

3

又BD=2AD,所以4）=1,BD=2,

iOR

在AACO中，由余弦定理可得cr>2uAr^+AcZ—ZM-AC.cosAul+g—ZxlxBx—=—，

93

所以3浮

18.（12分）某地區(qū)為了實(shí)現(xiàn)產(chǎn)業(yè)的轉(zhuǎn)型發(fā)展，利用當(dāng)?shù)芈糜钨Y源豐富多樣的特點(diǎn)，決定大

力發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè),一方面對(duì)現(xiàn)有旅游資源進(jìn)行升級(jí)改造,另一方面不斷提高旅游服務(wù)水平.為

此該地區(qū)旅游部門(mén)，對(duì)所推出的報(bào)團(tuán)游和自助游項(xiàng)目進(jìn)行了深入調(diào)查，如表是該部門(mén)從去年

某月到該地區(qū)旅游的游客中，隨機(jī)抽取的100位游客的滿意度調(diào)查表.

滿意度老年人中年人青年人

報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游報(bào)團(tuán)游自助游

滿意121184156

一般2164412

不滿意116232

（I）已知甲是此次調(diào)查時(shí)滿意度為“滿意”的報(bào)團(tuán)游游客，由表中的數(shù)據(jù)分析，老年人、

中年人和青年人這三種人群中，哪一類人群更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游？

（II）為了提高服務(wù)水平，該旅游部門(mén)要從上述樣本里滿意度為“不滿意”的游客中，隨機(jī)

抽取3人征集整改建議，記X表示這3人中老年人的人數(shù)，求X的分布列和期望，

（Ill）若你朋友要到該地區(qū)旅游，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你會(huì)建議他選擇哪種旅游項(xiàng)目？

【解答】解：（I）由表中數(shù)據(jù)可得老年人、中年人和青年人選擇報(bào)團(tuán)游的頻率分別為

c155303c2211

=—=—,rl\=—=-,=—=—，

118640434221

因?yàn)槎绝B(niǎo)＞月，所以老年人更傾向于選擇報(bào)團(tuán)游;

（II）由題意可得，X的可能取值為0,1,2,

所以p（x=o）=C^=必，

35

C,212

P(X=1)=^s^=—

C[35

12

P(X=2)=工rC1

C[35

所以X的分布列為:

X012

p22121

353535

7?1919

所以石(X)=0x二+lx上+2x—=—

3535355

（III）由上表可知，報(bào)團(tuán)游的滿意率為/=12+1燈15="

15+30+2267

自助游的滿意率為「比10f

因?yàn)榘停驹?，故建議他選擇報(bào)團(tuán)游.

19.（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AR4B是正三角形，G是AR4B的重心，D,E,

”分別是B4,BC,PC的中點(diǎn)，點(diǎn)歹在8c上，S.BF=3FC.

（I）求證：平面DFH//平面PGE；

(II)若PB_LAC,AB=AC=2,BC=2近,求二面角A-PC-B的余弦值.

E

【解答】（I）證明：連結(jié)8G,因?yàn)锳R4B是正三角形，G是AR4B的重心，。為上4的中

點(diǎn)，

所以8G與GD共線，且BG=2G。，

因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，8尸=3尸C,所以尸是CE的中點(diǎn)，

所以些=些=2,所以GE//DF,

CDEF

又GEu平面PGE,。尸《平面尸GE,所以。F//平面PGE,

因?yàn)椤笆荘C的中點(diǎn)，所以FH"PE,

因?yàn)槿势矫鍼GE,PEu平面PGE,所以尸H//平面PGE,

因?yàn)閼?FH,DFu平面。陽(yáng)，

所以平面DFHII平面PGE；

（II）解：因?yàn)锳B=AC=2,BC=2啦,所以AB?+AC?=8=BC?,

所以ABJ_AC,因?yàn)镻B_LAC,AB^\PB=B,AB,P3u平面aLB,所以AC_L平面加B,

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AC所在直線為x軸，y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),尸(1,0,后)，

設(shè)平面PAC的法向量為n=(x,y,z),

n._[m-AC=0nn[2y=0

則有\(zhòng).，即＜r，

m-AP=0X+A/3Z=0

令z=—l,貝仃=0,》=有，所以萬(wàn)=（3,0,-1）,

設(shè)平面PBC的法向量為沅=（。,"c）,

m-PC=0□a—2b+A/3C=0

則有，即n＜

m-BC=02a-2b=0

令c=i,貝所以沅=（J5,J5,i）,

匚匚i、【I一一?l萬(wàn)?玩l幣

所以|cos<n,m>|=--------=-—,

In||m|7

故二面角A-PC-B的余弦值立.

7

r

r2*4v2I

20.（12分）已知橢圓C:=+==l（〃>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是耳、F2,其離心率八一,

ab2

點(diǎn)P是橢圓C上一動(dòng)點(diǎn)，△尸耳心內(nèi)切圓面積的最大值為

（I）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）直線尸片，尸工與橢圓C分別相交于點(diǎn)A,B,求證：㈢為定值.

\FXA\\F2B\

【解答】解：（I）設(shè)△尸片入內(nèi)切圓的半徑為廠，

則3（|出|+|「6|+|￡用》=>叫，

?.??“—_口尸國(guó)外―_口口P6B,

la+2ca+c

.?.當(dāng)△2￡鳥(niǎo)的面積最大時(shí)，△PKB內(nèi)切圓的半徑廠最大,

顯然當(dāng)點(diǎn)尸為橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，△尸耳B的面積最大，最大值為:x2cx〃=6c,

二./?的最大值為上，即

a+c

22

二.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：工+匕=1.

43

（II）設(shè)P（x0，為）'4石，%），B（x2，必），

①當(dāng)為時(shí)，設(shè)直線P片，Pg的直線方程分別為％=町y-l,x=m2y+l,

x=m^y-X

由/J/得:(3町?+4)y2—6mj^—9=0,

——+—=1

［43

9

「?0%，=+/4，

3ml

1x+1.%廠5+2%

Xg=n\y-1,n\=--o-----

0"3

y0

x=my+l

由'2二”得n

同理,

.\PFt\}\PF2\7y0y0IQ

"\F,A\\F2B\y,y23'

1尸片1J?近匚3I1二」°

②當(dāng)先=0時(shí)，直線尸耳，P8與無(wú)軸重合，易得:

而\FJ~\~3"T

\PF\+9為定值W

綜上所述,t

\M\\F2B\3

21.（12分）已知函數(shù)/（%）=e"+cos口一公一2（?！瓿撸?

（I）設(shè)g（x）=/（%）+求g<x）在［0,+8）上的最小值;

（II）若不等式#0）..0在［-工，+8）上恒成立，求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

2

x

【解答】解：(/)g(x)=f(x)+ax=e+cosx-2f

x..O時(shí)，ex.A,llSsinx-1,

則g'(x)=e*-sinx,g(x)=ex+sinx..O,

故夕(九)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)冗=0時(shí)，g'(x)在［0,+8)上的最小值g'(0)=l；

(II)fr(x)=ex-sinx-a,

因?yàn)?(%)..0在［--，+oo)上恒成立，

2

①當(dāng)〃>1時(shí)，由⑺知f\x)=ex-sinx-a在［0，+oo)上單調(diào)遞增，且fr(0)=l-a<0，

f(l+a)..el+a-l-a>0,

故存在唯一的%2W(0,—)使得f'(x2)=0,

當(dāng)了€(0,工2)時(shí)，f'M<0,/(x)單調(diào)遞減，/(x)</(0)=0,此時(shí)4(x)<0與已知矛盾，

②當(dāng)時(shí)，

(i)若x..0,由(1)知，/,(x)W，(0)=l-o0,

所以/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，/(元)../(0)=0恒成立，此時(shí)原不等式恒成立，符合題意；

㈤若一金。,則/-X,i)…S"

因?yàn)?"(x)在［-2,0)上為增函數(shù)且/"(0)=1,/"(-￡)=e2一1<0,

2