統(tǒng)考版2024高考數(shù)學二輪專題復習專題三立體幾何第2講空間位置關系的判斷

第2講空間位置關系的判斷與證明考點一考點二考點三考點四考點一點、線、面的位置關系考點一點、線、面的位置關系——真有證據(jù)，假有反例判斷空間點、線、面位置關系，主要依賴四個公理、平行關系和垂直關系的有關定義及定理，具體處理時可以構建長方體或三棱錐等模型，把要考查的點、線、面融入模型中，判斷會簡潔明了．如要否定一個結論，只需找到一個反例就可以．例1[2023·陜西省寶雞市高三三模]已知α，β是空間兩個不同的平面，m，n是空間兩條不同的直線，則下列結論錯誤的是(

)A．m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥βB．m⊥α，n⊥β且α∥β，則m∥nC．m⊥α，n⊥β，且m∥n，則α∥βD．α∥β，m?α，n?β，則m∥n答案：D解析：對于A：若m⊥α，m⊥n，則n?α或n∥α，若n?α，n⊥β，則α⊥β，若n∥α，則平面α存在直線c使得n∥c，又n⊥β，所以c⊥β，又c?α，所以α⊥β，故A正確；對于B：若m⊥α，α∥β，則m⊥β，又n⊥β則m∥n，故B正確；對于C：若m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β且α，β是空間兩個不同的平面，則α∥β，故C正確；對于D：若α∥β，m?α，n?β，則m∥n或m與n異面，故D錯誤．故選D.歸納總結判斷與空間位置關系有關命題真假的4種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進行判斷；(2)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關系，結合有關定理，進行肯定或否定；(3)借助于反證法，當從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設或公認的結論相矛盾的命題，進而作出判斷；(4)判斷空間兩條直線是否相交，首先判斷兩直線是否共面．

對點訓練1.[2023·成都七中高三一模]設α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，則(

)A．若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l⊥αB．若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥αC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l⊥nD．若m?α，l⊥n，n⊥α，則l∥m答案：B解析：由α是空間中的一個平面，l，m，n是三條不同的直線，知：對A：若m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，則l與α相交、平行或l?α，故A錯誤；對B：若l∥m，m∥n，l⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)定理得n⊥α，故B正確；對C：若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n，故C錯誤；對D：若m?α，n⊥α，l⊥n，則l與m相交、平行或異面，故D錯誤．故選B.2．[2022·全國乙卷]在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則(

)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D答案：A

考點二空間角的基本計算考點二空間角的基本計算——依照定義，轉(zhuǎn)化角度用平移法求異面直線所成的角是指通過平移異面直線中的一條或兩條，找到異面直線所成的角，并求出該角．此種方法適用于規(guī)則幾何體中的異面直線所成角的求解問題．例2[2022·全國甲卷]在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則(

)A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°答案：D

答案：A答案：C考點三空間中平行、垂直關系考點三空間中平行、垂直關系——思轉(zhuǎn)化，用定理，得結論1．直線、平面平行的判定及其性質(zhì)(1)線面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α.(2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b.(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β.(4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.2．直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)(1)線面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α.(2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β.(4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.例3如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，PA?平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四邊形ABED為平行四邊形．∴BE∥AD.又∵BE?平面PAD，AD?平面PAD，∴BE∥平面PAD.

歸納總結平行關系及垂直關系的轉(zhuǎn)化提醒

(1)證明線面平行時，忽略“直線在平面外”“直線在平面內(nèi)”的條件．(2)證明面面平行時，忽略“兩直線相交”“兩直線在平面內(nèi)”的條件．(3)證明線面垂直時，容易忽略“平面內(nèi)兩條相交直線”這一條件．對點訓練1.如圖，該幾何體的三個側面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形．(1)證明：平面ABC∥平面A1B1C1；(2)若AA1＝2AC，AC⊥AB，M為CC1的中點，證明：A1M⊥平面ABM.

2．如圖，已知△ABC為等邊三角形，△ABD為等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，點E與點D在平面ABC的同側，且CE∥BD，BD＝2CE.F為AD的中點，連接EF.(1)求證：EF∥平面ABC；(2)求證：平面AED⊥平面ABD.證明：(1)如圖，取AB的中點為O，連接OC，OF，∵O，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，∴OF∥BD且BD＝2OF，又∵CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴四邊形OCEF為平行四邊形，∴EF∥OC.又∵EF?平面ABC且OC?平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵三角形ABC為等邊三角形，∴OC⊥AB，又∵平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，∴OC⊥平面ABD，∵EF∥OC，∴EF⊥平面ABD，又∵EF?平面AED，∴平面AED⊥平面ABD.考點四平面圖形的折疊問題考點四平面圖形的折疊問題——折疊前后“變”與“不變”是關鍵1．畫好兩圖：翻折之前的平面圖形與翻折之后形成的幾何體的直觀圖．2．把握關系：即比較翻折前后的圖形，準確把握平面圖形翻折前后的線線關系，哪些平行與垂直的關系不變，哪些平行與垂直的關系發(fā)生變化，這是準確把握幾何體的結構特征，進行空間線面關系邏輯推理的基礎．3．準確定量