2025屆新高考數(shù)學精準突破復習：直線與圓

直線與圓2025屆新高考數(shù)學精準突破復習考情預覽

明確考向√2.[圓中最值問題](2023·全國乙卷)已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0,則x-y的最大值是(

)√4.[直線與圓的位置關系](2022·新高考Ⅱ卷)設點A(-2,3),B(0,a),若直線AB關于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點,則a的取值范圍是

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考法聚焦

講練突破熱點一直線的方程及應用(1)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同時為零),直線l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同時為零),則l1∥l2?A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0;l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.典例1

(1)(多選題)已知直線l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,則(

)√√(2)(2023·內(nèi)蒙古赤峰模擬)已知直線l:ax+by+c=0,其中a,b,c成等差數(shù)列,則直線l恒過定點

,若P(-1,0),N(2,1),過點P作直線l的垂線,垂足為M,則|MN|的最大值為

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(1,-2)解決直線方程問題的三個注意點(1)求解兩條直線平行的問題時,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出參數(shù)的值后,要注意代入檢驗,排除兩條直線重合的可能性.(2)要注意直線方程每種形式的局限性,點斜式、兩點式、斜截式要求直線不能與x軸垂直,而截距式方程既不能表示過原點的直線,也不能表示垂直于坐標軸的直線.(3)討論兩直線的位置關系時,要注意直線的斜率是否存在.熱點訓練1

(1)已知直線l1:x-my+1=0過定點A,直線l2:mx+y-m+3=0過定點B,l1與l2相交于點P,則|PA|2+|PB|2等于(

)A.10 B.13 C.16 D.20√(2)已知點A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直線y=x+b將△ABC分割為面積相等的兩部分,則b等于(

)√熱點二圓的方程及應用(1)圓的標準方程當圓心為(a,b),半徑為r時,其標準方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,特別地,當圓心在原點時,方程為x2+y2=r2.典例2

(1)已知圓C與直線y=x及x-y-4=0都相切,圓心在直線y=-x上,則圓C的方程為(

)A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x+1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x-1)2+(y+1)2=2√√√√(1)直接法求圓的方程:根據(jù)圓的幾何性質(zhì),直接求出圓心坐標和半徑,進而寫出方程.(2)待定系數(shù)法求圓的方程:①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關,設圓的標準方程,依據(jù)已知條件列出關于a,b,r的方程組,從而求出a,b,r的值;②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑,選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關于D,E,F的方程組,進而求出D,E,F的值.熱點訓練2

(1)(2023·山東菏澤模擬)已知兩條直線l1:2x-3y+2=0,l2:3x-2y+3=0,有一動圓(圓心和半徑都在變動)與l1,l2都相交,并且l1,l2被截在圓內(nèi)的兩條線段的長度分別是定值26,24,則動圓圓心的軌跡方程為(

)A.(y-1)2-x2=65 B.x2-(y-1)2=65C.y2-(x+1)2=65 D.(x+1)2-y2=65√(2)數(shù)學家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學》一書中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.后人稱這條直線為歐拉線,已知△ABC的頂點A(-2,0),B(2,4),其歐拉線的方程為x-y=0,則△ABC的外接圓方程為

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(x-1)2+(y-1)2=10熱點三直線與圓、圓與圓的位置關系(1)直線與圓的位置關系有相交、相切和相離.判斷方法有①點線距離法.(2)與圓的切線有關的結(jié)論①過圓x2+y2=r2外一點P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點為A,B,則過A,B兩點的直線方程為x0x+y0y=r2.③過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點P(x0,y0)作圓C的兩條切線,切點分別為A,B,則切點弦AB所在直線的方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.(3)圓與圓的位置關系,即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離.考向1直線與圓的位置關系典例3

(1)(2023·新課標Ⅰ卷)過點(0,-2)與圓x2+y2-4x-1=0相切的兩條直線的夾角為α,則sinα等于(

)√(2)(多選題)已知直線l:kx-y-k+1=0,圓C的方程為(x-2)2+(y+2)2=16,則下列選項正確的是(

)√√考向2圓與圓的位置關系典例4

(1)(2023·四川達州模擬預測)已知圓O1:x2+y2=1與圓O2:(x-2)2+(y-2)2=1,圓I與圓O1,O2均相切,則圓心I的軌跡中包含了哪條曲線(

)A.圓 B.橢圓

C.雙曲線 D.拋物線√解析:(1)由圓O1:x2+y2=1可得r1=1,由圓O2:(x-2)2+(y-2)2=1可得r2=1,設圓I的半徑為r,當圓I與圓O1,O2同時外切或內(nèi)切時,如圖,①當同時外切時,|IO1|=|IO2|=1+r;②當同時內(nèi)切時,|IO1|=|IO2|=r-1,故始終|IO1|=|IO2|,此時I的軌跡為線段O1O2的中垂線.當圓I與圓O1,O2一個內(nèi)切一個外切時,如圖,①當圓I與圓O1內(nèi)切,與圓O2外切時,則|IO2|-|IO1|=(r+1)-(r-1)=2;(2)(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程

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x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(其中一條作答即可)解析:(2)法一如圖,因為圓x2+y2=1的圓心為O(0,0),半徑r1=1,圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心為A(3,4),半徑r2=4,所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以兩圓外切,公切線有三種情況:①易知公切線l1的方程為x=-1.法二根據(jù)題意,精確作出兩圓(需用到尺規(guī)),由圖形可直觀快速看出直線x=-1是兩圓的一條公切線,經(jīng)驗證符合題意,故可填x=-1.(1)直線與圓相切問題的解題策略①直線與圓相切時利用“切線與過切點的半徑垂直,圓心到切線的距離等于半徑”建立關于切線斜率的等式,所以求切線方程時主要選擇點斜式.過圓外一點求解切線段長的問題,可先求出圓心到圓外一點的距離,再結(jié)合半徑利用勾股定理計算.(2)直線與圓相交問題的求法①弦長