同濟(jì)大學(xué)-高等數(shù)學(xué)微積分教案

第一章：函數(shù)與極限

1.1初等函數(shù)圖象及性質(zhì)

l.lo1累函數(shù)

函數(shù)(m是常數(shù))叫做塞函數(shù)。幕函數(shù)的定義域，要看m是什么數(shù)而定。例如，當(dāng)m

=3時，y=x3的定義域是(一8,+8)；當(dāng)m=1/2時,y=xl/2的定義域是LO,+°°)；當(dāng)m=—1/2

時,y=x—1/2的定義域是(0,+8).但不論m取什么值，幕函數(shù)在(0,+8)內(nèi)總有定義.最常

見的幕函數(shù)圖象如下圖所示：［如圖］］二。2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)

函數(shù)y=ax(a是常數(shù)且a>O,axl)叫做指數(shù)函數(shù)，它的定義域是區(qū)間(-8,+8).

因?yàn)閷τ谌魏螌?shí)數(shù)值x,總有ax〉0,又aO=l,所以指數(shù)函數(shù)的圖形，總在x軸的上方，且通

過點(diǎn)(0,1).

若a〉1,指數(shù)函數(shù)ax是單調(diào)增加的。若0<a<1,指數(shù)函數(shù)ax是單調(diào)減少的。

由于y=(1/a)—x=a—x,所以y=ax的圖形與y=(l/a)x的圖形是關(guān)于y軸對稱的(圖

［如圖］2.對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=ax的反函數(shù)，記作y=logax(a是常數(shù)且a>0,aHl),叫做對數(shù)函數(shù).

它的定義域是區(qū)間(0,+8).對數(shù)函數(shù)的圖形與指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對稱(圖1-22)o

y=logax的圖形總在y軸上方，且通過點(diǎn)(1,0)0

若a〉1,對數(shù)函數(shù)logax是單調(diào)增加的，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)函數(shù)值為負(fù)，而在區(qū)間(1,+8)內(nèi)函

數(shù)值為正。

若0<a<L對數(shù)函數(shù)logax是單調(diào)減少的，在開區(qū)間(0,1)內(nèi)函數(shù)值為正，而在區(qū)間(1,+8)

內(nèi)函數(shù)值為負(fù)。［如圖］1.1。3三角函數(shù)與反三角函數(shù)

1.三角函數(shù)

正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以2n為周期的周期函數(shù)，它們的定義域都是區(qū)間(一8,+8),值域

都是必區(qū)間［-1,1］。

正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)。

正切函數(shù)和余切函數(shù)都是以n為周期的周期函數(shù)，它們都是奇函數(shù).

2.反三角函數(shù)

反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù)，其圖形都可由相應(yīng)的三角函數(shù)的圖形按反函數(shù)作圖法的一

般規(guī)則作出。

這四個反三角函數(shù)都是多值函數(shù).但是，我們可以選取這些函數(shù)的單值支。

例如，把Arcsinx的值限制在閉區(qū)間［-,］上，稱為反正弦函數(shù)的主值，并記作arcsinx。

這樣，函數(shù)v=arcsinx就是定義在閉區(qū)間11,1］上的單值函數(shù)，且有。

1.2數(shù)列極限的概念

設(shè)｛｝是一個數(shù)列，a是實(shí)數(shù)，如果對于任意給定的，總存在一個正整數(shù)N,當(dāng)n)N時都有,

我們就稱a是數(shù)列｛｝的極限，或者稱數(shù)列｛)收斂，且收斂于a,記為，a即為的極限。

數(shù)列極限的幾何解釋：以a為極限就是對任意給定的開區(qū)間，第N項(xiàng)以后的一切數(shù)全部落

在這個區(qū)間內(nèi)。

1,3函數(shù)極限的概念

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)附近(但可能除掉點(diǎn)本身)有定義，設(shè)A為一個定數(shù)，如果對任意各定，

一定存在，使得當(dāng)時，總有，我們就稱A是函數(shù)f(x)在點(diǎn)的極限，記作，這時稱f(x)在點(diǎn)極

限存在，這里我們不要求f(x)在點(diǎn)有定義，所以才有。例如：，當(dāng)x=l時，函數(shù)是沒有定

義的，但在x=l點(diǎn)函數(shù)的極限存在，為2。

1.4單調(diào)有界數(shù)列必有極限

單調(diào)有界數(shù)列必有極限，是判斷極限存在的重要準(zhǔn)則之一，具體敘述如下：如果數(shù)列滿足條

件，就稱數(shù)列是單調(diào)增加的；反之則稱為是單調(diào)減少的.

在前面的章節(jié)中曾證明：收斂的數(shù)列必有界。但也曾指出：有界的數(shù)列不一定收斂?，F(xiàn)在這

個準(zhǔn)則表明：如果數(shù)列不僅有界，而且是單調(diào)的，則其極限必定存在。

對這一準(zhǔn)則的直觀說明是，對應(yīng)與單調(diào)數(shù)列的點(diǎn)只可能向一個方向移動，所以只有兩種可能

情形：或者無限趨近某一定點(diǎn);或者沿?cái)?shù)軸移向無窮遠(yuǎn)(因?yàn)椴悔呄蛴谌魏味c(diǎn)且遞增，已符

合趨向無窮的定義).但現(xiàn)在數(shù)列又是有界的，這就意味著移向無窮遠(yuǎn)已經(jīng)不可能，所以必

有極限。

從這一準(zhǔn)則出發(fā)，我們得到一個重要的應(yīng)用。考慮數(shù)列，易證它是單調(diào)增加且有界(小于3),

故可知這個數(shù)列極限存在，通常用字母e來表示它，即?？梢宰C明，當(dāng)x取實(shí)數(shù)而趨于或

時，函數(shù)的極限存在且都等于e,這個e是無理數(shù)，它的值是e=2o718281828459045...

1.5柯西(Cauchy)極限存在準(zhǔn)則

我們發(fā)現(xiàn)，有時候收斂數(shù)列不一定是單調(diào)的,因此，單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則只是數(shù)列收

斂的充分條件，而不是必要的。當(dāng)然，其中有界這一條件是必要的.下面敘述的柯西極限存

在準(zhǔn)則，它給出了數(shù)列收斂的充分必要條件?？挛?Cauchy)極限存在準(zhǔn)則數(shù)列收斂的充分必

要條件是：

對于任意給定的正數(shù)，存在著這樣的正整數(shù)N,使得當(dāng)m〉N,n)N時，就有。

必要性的證明設(shè)，若任意給定正數(shù)，則也是正數(shù)，于是由數(shù)列極限的定義，存在著正整數(shù)

N,當(dāng)n>N時，有；同樣，當(dāng)m〉N時，也有.

因此，當(dāng)m〉N,n>N時，有

所以條件是必要的。充分性的證明從略。

這準(zhǔn)則的幾何意義表示，數(shù)列收斂的充分必要條件是:對于任意給定的正數(shù)，在數(shù)軸上一切具

有足夠大號碼的點(diǎn)，任意兩點(diǎn)間的距離小于?？挛鳂O限存在準(zhǔn)則有時也叫做柯西審斂原理.

lo6連續(xù)函數(shù)

1.6o1定義：若函數(shù)f(x)在xO點(diǎn)的附近包括xO點(diǎn)本身有定義，并且，

則稱f(x)在xO點(diǎn)連續(xù),x0為f(x)的連續(xù)點(diǎn)。［如圖］1.6.2充要條件:f(x)在xO點(diǎn)既是左連

續(xù)又是右連續(xù).

初等函數(shù)如三角、反三角函數(shù)，指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等都是在自定義區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

lo6。3三類不連續(xù)點(diǎn)：

(1)第一類不連續(xù)點(diǎn):f(xO+O)/(xO-O)存在但不相等.遢圖二(2)第二類不連續(xù)點(diǎn)：f(xO+O),

f(xO—0)中至少有一個不存在。［如圖］(3)第三類不連續(xù)點(diǎn)由x0+0),f(xO—0)存在且相

等,但它不等于f(xO)或f(x)在xO點(diǎn)無定義。［如圖］1.7一致連續(xù)性的概念及它與連續(xù)

的不同

lo7.1定義:對，可找到只與有關(guān)而與x無關(guān)的，使得對區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)xl,x2,當(dāng)時總有，

就稱f(x)在區(qū)間內(nèi)一致連續(xù)。

1.7o2與連續(xù)的比較：

(1)連續(xù)可對一點(diǎn)來講，而一致連續(xù)必須以區(qū)間為對象.

(2)連續(xù)函數(shù)對于某一點(diǎn)xO,取決于xO和，而一致連續(xù)函數(shù)的只取決于，與x值無關(guān)。

(3)一致連續(xù)的函數(shù)必定連續(xù)。［例：函數(shù)y=1/x,當(dāng)艱(0,1)時非一致連續(xù)，當(dāng)煙(C,1)

時一致連續(xù)］

(4)康托定理：閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)一定在［a,b］上一致連續(xù)。

第二章:導(dǎo)數(shù)與微分

微分學(xué)是微積分的重要組成部分,他的基本概念是導(dǎo)數(shù)與微分，其中導(dǎo)數(shù)反映出自變量的變化

快慢程度，而微分則指明當(dāng)自變量有微小變化時，函數(shù)大體上變化多少.

2?1導(dǎo)數(shù)的概念

2.1o1導(dǎo)數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)xO的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在xO處取得增

量x（點(diǎn)xO+x仍在該領(lǐng)域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比當(dāng)時的極限存在，則

稱函數(shù)在處可導(dǎo)，并稱這個極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，

即，也可記作.

導(dǎo)數(shù)的定義式也可取不同的形式，常見的有和

導(dǎo)數(shù)的概念就是函數(shù)變化率這一概念的精確描述.

2,1o2求導(dǎo)舉例

例求函數(shù)（n為正整數(shù)）在處的導(dǎo)數(shù)

解

把以上結(jié)果中的換成得，即

更一般地，對于幕函數(shù)（為常數(shù)），有這就是幕函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

解即這就是說，正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是余弦函數(shù)。用類似的方法，可求得

就是說，余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的正弦函數(shù).

例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

解=

即這就是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，特殊地,當(dāng)時，因，故有

例求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

解

=作代換即得

這就是對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，特殊地，當(dāng)時，由上式得自然對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：

2.1o3導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由導(dǎo)數(shù)的定義可知：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線斜率，即，其中是切

線的傾角。如下圖：

例求等邊雙曲線y=l/x,在點(diǎn)(1/2,2)處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方

程。

解根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，所求切線的斜率為

由于，于是從而所求切線方程為即4x+y—4=0.

所求法線的斜率為k2-l/kl=l/4,于是所求法線方程為2x-8y+15=0.

2。2微分的概念

2。2。1微分的定義設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義，及在這區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量

可表示為

其中A是不依賴于的常數(shù)，而是比高階的無窮小,那末稱函數(shù)在點(diǎn)是可微的，

而叫做函數(shù)在點(diǎn)相應(yīng)于自變量增量的微分，記作，即

例求函數(shù)y=x2在x=l和x=3處的微分.

解函數(shù)在處的微分為在處的微分為

函數(shù)在任意點(diǎn)的微分，稱為函數(shù)的微分，記作或，即

例如，函數(shù)的微分為函數(shù)的微分為

通常把自變量的增量稱為自變量的微分，記作dx,即.于是函數(shù)y=f(x)的微分又可記作dy=「

(x)dx,從而有x=3就是說，函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù).因

此，導(dǎo)數(shù)也叫做"微商”。

2。2.2微分的幾何意義

設(shè)國y是曲線y=f(x)上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量，dy是曲線的切線上的縱坐標(biāo)的相應(yīng)的增量，

當(dāng)國取回很小時，EHy-dy回比回取回小得多，因此在M點(diǎn)的鄰近，我們可以用切線段來近似代

替曲線段。

第三章：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

上一章里，從分析實(shí)際問題中因變量相對于自變量的變化快慢出發(fā)，引出了導(dǎo)數(shù)的概念，并

討論了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法.本章中，我們將應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)以及曲線的某些性態(tài)，并利用

這些知識解決一些實(shí)際問題。我們將介紹微分學(xué)的幾個中值定理，他們是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基

礎(chǔ)

3?1三個中值定理

3.1.1羅爾定理

羅爾定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)

間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b),那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得函數(shù)f(x)

在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零：.

3.1o2拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在

(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)

，使等式(1)成立。

3。1。3柯西中值定理

柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可

導(dǎo)，且尸(x)在(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使等式(2)成

立.

3.2洛必達(dá)法則

321.洛必達(dá)法則的概念。

定義：求待定型的方法(與此同時)淀理：若f(x)與g(x)在(a,a+)上有定義，且f(x)

=g(x)=0；

并且f1(x)與g'(x)在(a,a+)上存在。0且=人則==人，(A可以是)。

證明思路：補(bǔ)充定義x=a處f(x)=g(x)=0,則［a,a+)上==

即x時,x,于是=

3。2。2定理推廣:由證明過程顯然定理?xiàng)l件x可推廣到x,x,X。所以對于待定型，

可利用定理將分子、分母同時求導(dǎo)后再求極限。

注意事項(xiàng):1.對于同一算式的計(jì)算中，定理可以重復(fù)多次使用。2。當(dāng)算式中出現(xiàn)Sin或Cos

形式時，應(yīng)慎重考慮是否符合洛必達(dá)法則條件中f'(x)與g，(x)的存在性。向其他待定型的

推廣。(下轉(zhuǎn)化過程中描述引用的僅為記號。)

1.可化為=，事實(shí)上可直接套用定理。

2o0=03o-=一,通分以后=。

4。、、取對數(shù)OLnO、Lnl、OLnO、0、0.

3。3泰勒公式及其誤差圖示來源：實(shí)踐，常用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行近似運(yùn)算.

由于時所以，因此

范圍:在直接求f(x)困難，而在x附近x0處f(x0)與f'(xO)較易時應(yīng)用。條件是x與x0充

分接近，可達(dá)到一定的精度.

利用當(dāng)為不同函數(shù)時。有常用近似公式如下:(|x|很小時)

Sinxx,tgxx,,,,Ln(1+x)x.

泰勒公式來源:上述公式在IxI很小時，于是即,pl=f(0)+f，(0)x與f(x)在x=0處函數(shù)值相等,

且一階導(dǎo)數(shù)相等.為進(jìn)一步提高精度欲使與

在二階導(dǎo)數(shù)處也相等。于是，，。

得依此類推：

對于誤差，有定理：在x=0處有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則上式誤差(在x與0之間)

由定理：此式為在x=0處的關(guān)于x的泰勒展開公式.即：

公式推廣:一般地在x=X0附近關(guān)于X0點(diǎn)的泰勒公式

注意:雖然泰勒公式是在x="附近"展開，但是事實(shí)上x可以取f(x)定義域內(nèi)任意值，只不

過若|x-|過大(即x離過遠(yuǎn))時，相應(yīng)變大。即使用代替f(x)的誤差變大?？墒?，無論如何

泰勒公式總是成立的，當(dāng)固定后，不同的x將使發(fā)生變化，并使變化，從而影響對f(x)的近

似精度。

3.4函數(shù)圖形描繪示例

定理：若f(x)在［a,b］上連續(xù)，(a,b)可導(dǎo).則f(x)在［a,b］單調(diào)上升(或單調(diào)下降)

的充分必要條件為(a,b)內(nèi)

(或),推論:若f(x)在［a,b］連續(xù)，(a,b)可導(dǎo)，且不變號，則(或(0)嚴(yán)格單調(diào)上升(下

降)。

定理(極值的必要條件)：若x0為f(x)的極值點(diǎn)，那么x0只可能是f(x)的零點(diǎn)或f(x)

的不可導(dǎo)點(diǎn)。

定理(極值判別法)：則,f()為極大值，，f()為極小值

若不存在，但f(x)在與上可導(dǎo)

則若內(nèi)，內(nèi)則為極小點(diǎn),反之為極大點(diǎn)

定義:若曲線在一點(diǎn)的一邊為上凸，另一邊為下凸，則稱此點(diǎn)為拐點(diǎn)，顯然拐點(diǎn)處

定義：若則稱ax+b為f(x)的一條漸進(jìn)線.

定義：若則稱x=c為f(x)的一條垂直漸進(jìn)線。

定理:若f(x)的一條漸進(jìn)線為ax+b貝lj,

證明：由定義知即

所以即帶回定義得

函數(shù)圖象描述的基本步驟：

1.確定y=f(x)的定義域并討論函數(shù)的基本性質(zhì)，如奇偶性，對稱性\周期性等.

2。求出與及與不存在的各點(diǎn)。

3。由2的結(jié)果函數(shù)的上升，下降區(qū)間，及圖形的上凸，下凸區(qū)間以及各極值點(diǎn).

4。定出函數(shù)的漸近線。5.描點(diǎn)作用。

3,5曲率的概念及計(jì)算公式

3.5.1概念：來源：為了平衡曲線的彎曲程度。

平均曲率，這個定義描述了AB曲線上的平均彎曲程度。其中表示曲線段AB上切線變化的

角度，13s為AB弧長。

例：對于圓，。所以：圓周的曲率為1/R,是常數(shù)。而直線上，所以，即直線“不彎曲”。

對于一個點(diǎn)，如A點(diǎn)，為精確刻畫此點(diǎn)處曲線的彎曲程度，可令，即定義，為了方便使用，一

般令曲率為正數(shù)，即：.

3.5。2計(jì)算公式的推導(dǎo)：

由于,所以要推導(dǎo)與ds的表示法,ds稱為曲線弧長的微分(T5—28,P218)

因?yàn)?，所以。?同時用代替得

所以或

具體表示;

1、時，2、時，

3、時,(令)

再推導(dǎo)，因?yàn)?所以，兩邊對x求導(dǎo)，得，推出.

下面將與ds代入公式中:，即為曲率的計(jì)算公式。

3o5。3曲率半徑：一般稱為曲線在某一點(diǎn)的曲率半徑。

幾何意義(T5-29)如圖為在該點(diǎn)做曲線的法線(在凹的一側(cè)),在法線上取圓心，以p為半徑

做圓，則此圓稱為該點(diǎn)處的曲率圓。曲率圓與該點(diǎn)有相同的曲率，切線及一階、兩階稻樹。

應(yīng)用舉例:求上任一點(diǎn)的曲率及曲率半徑(T5-30)

解：由于:所以:，

3。6方程的近似解法

3.6.1應(yīng)用前提：

方程f(x)=O,則f(x)應(yīng)滿足：(l)f(x)在［a,b］連續(xù)，f(a)與f(b)不同號。

(2)在(a,b)內(nèi)連續(xù)且不變號。(3)在(a,b)內(nèi)連續(xù)且不變號。

3.6.2應(yīng)用步驟：

首先：判斷方程是否滿足應(yīng)用前提，先對端點(diǎn)a,b求f(a)、f(b),取與fn(x)同號的一

點(diǎn)為起點(diǎn)。

過起點(diǎn)做f(X)的切線，交X軸與.然后:過(,)做的切線，交X軸與.

以次類推,直到滿足精度要求。

3o6o3應(yīng)用舉例：

求：在［1,2］內(nèi)的根，誤差

解：令，有：

所以可應(yīng)用上述方法，求得：

由于，所以誤差范圍內(nèi)的近似解為

3。6.4兩點(diǎn)說明：

1.前提條件的作用:第一個條件顯然是為了保證區(qū)間上解的存在性。

第二、第三個條件是為了保證各步迭代后，得到的交點(diǎn)仍落在區(qū)間上的

2.迭代公式:設(shè)第n步后的交點(diǎn)為，所以下一步過(,)做f(x)的切線，寫出其方程就是：，它

與X軸交點(diǎn)為，這就是迭代公式。

第四章：不定積分

在第二章中，我們討論了怎樣求一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)問題，本章將討論他的反問題，即要求一

個導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，也就是求一個可導(dǎo)函數(shù)，使他的導(dǎo)函數(shù)等于已知函數(shù).這是積分學(xué)的基本

問題之一

4。1不定積分的概念與性質(zhì)

4。lo1原函數(shù)與不定積分的概念

定義1如果在區(qū)間I上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),即對任一xEII,都有F,(x)=f(x)或dF(x)

=f(x)dx,那末函數(shù)F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù).

例如，因(sinx)'=cosx,,故sinx是cosx的原函數(shù)。

那一個函數(shù)具備何種條件，才能保證它的原函數(shù)一定存在呢?簡單的說就是，連續(xù)的函數(shù)一

定有原函數(shù).

下面還要說明兩點(diǎn)。

第一，如果有，那么，對任意常數(shù)C,顯然也有，即如果是的原函數(shù)，那F(x)+C也是f(x)的原

函數(shù)。

第二，當(dāng)C為任意常數(shù)時，表達(dá)式F(x)+C,就可以表示f(x)的任意一個原函數(shù)。也就是

說,f(x)的全體原函數(shù)所組成的集合，就是函數(shù)族.由以上兩點(diǎn)說明，我們引入如下定義。

定義2在區(qū)間上，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為(或)在區(qū)間上的不定積分，記作.其

中記號稱為積分號,稱為被積函數(shù)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量。

由此定義及前面的說明可知，如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)，那么F(x)+C就是

f(x)的不定積分，

即。因而不定積分可以表示的任意一個原函數(shù).

例1求。解由于=,所以是的一個原函數(shù)。因此。

例2求。

解當(dāng)時，由于=,所以是在內(nèi)的一個原函數(shù)。因此,在內(nèi)，當(dāng)時，由于==,由上同理，在內(nèi)，

將結(jié)果合并起來，可寫作

4.1.2不定積分的性質(zhì)

根據(jù)不定積分的定義，可以推得它的如下兩個性質(zhì)：

性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和，即.

性質(zhì)2求不定積分時，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可提到積分號外面來，即（k是常數(shù)，

Q0）.

例3求.解===

注意檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要對結(jié)果求導(dǎo)，看它的導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù),相等時結(jié)果是

正確的，否是錯誤的。

4.2兩類換元法及舉例

利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分是非常有限的。因此，有必要進(jìn)一步來

研究不定積分的求法。

把復(fù)合函數(shù)的微分法反過來求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱

為換元積分法，簡換元法.

換元法通常分成兩類.

4。2.1第一類換元法

定理1設(shè)f（U）具有原函數(shù)，U=巾（X）可導(dǎo)，則有換元公式

例1求J2cos2xdx。

解作變換u=2x,便有J2cos2xdx=Jcos2x-2dx=Jcos2x-（2x）'dx=Jcosudu=sinu+C,

再以u=2x代入，即得J2cos2xdx=sin2x+C。

例2求Jtanxdxo

解Jtanxdx=Jsinx/cosxdx.因?yàn)橐籹inxdx=dcosx,所以如果設(shè)u=cosx,那么du=—sinxdx,即

—du=sinxdx,

因此.

類似地可得Jcotxdx=lnIsinx|+C。在對變量代換比較熟練以后，就不一定寫出中間變量u。

例3求Jch(x/a)dxo解.

例4求Ca>0)o解.

下面求積分的例子,它們的被積函數(shù)中含有三角函數(shù)，在計(jì)算這種積分的過程中，往往要用

到一些三角恒等式。

例5求Jsin3xdx.解Jsin3xdx=Jsin2xsinxdx=—J(l-cos2x)d(cosx)=—fd(cosx)

+J'cos2xd(cosx)=—cosx+(1/3)cos3x+C。

例6求Jcos2xdxo

解.

類似地可得Jsin2xdx=x/2—(sin2x)/4+C。

利用定理1來求不定積分，一般卻比利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要來的困難，因

為其中需要一定的技巧，而且如何適當(dāng)?shù)倪x擇變量代換u=6(X)沒有一般途徑可循，因此要

掌握換元法，除熟悉一些典型的例子，需多練習(xí).

4。2.2第二類換元法

定理2設(shè)x=。(x)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù)，并且V(x)血。又設(shè)f(t)］VG)具

有原函數(shù)，則有換元公式

,其中(X)是x=lp(t)的反函數(shù).

例7求(a>0)

解求這個積分的困難在于有根式，但我們可以利用三角公式sin2t+cos2t=l來化去根式.

設(shè)x=asint,—兀/2<t<n/2,那么，于是根式化為了三角式，所求積分化為。

利用例6的結(jié)果得.

由于x=asint,一兀/2(t<n/2,所以，

于是所求積分為。具體解題時要分析具體情況，選簡捷的代換。

第五章：定積分

本章將討論積分學(xué)的另一個基本問題一定積分問題。我們先從幾何與力學(xué)問題出發(fā)引進(jìn)定

積分的概念,再討論他的性質(zhì)和計(jì)算方法，關(guān)于定積分的應(yīng)用，將在下一章討論。

5。1定積分概念

定義設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上有界，在［a,b］中任意插入若干個分點(diǎn),

把區(qū)間［a,b］分成n個小區(qū)間，設(shè)有常數(shù)I,如果對于任意給定的正數(shù)e,總存在一個正數(shù)d,

使得對于區(qū)間［a,b］的任何分法，不論在中怎樣取法，只要，總有成立，則稱I是f(x)在區(qū)

間［a,b］上的定積分，記作。

接下來的問題是：函數(shù)f(x)在［a,b］上滿足怎樣的條件，f(x)在［a,b］上一定可積？以下

給出兩個充分條件.

定理1設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上可積.

定理2設(shè)f(x)在區(qū)間［a,b］上有界，且只有有限個間斷點(diǎn)，則f(x)在［a,b］上可積。

對面積賦以正負(fù)號，在x軸上方的圖形面積賦以正號，在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號，則

在一般情形下，定積分的幾何意義為：它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x=a、x

=b之間的各部分面積的代數(shù)和。

5。2牛頓一萊步尼茲公式及實(shí)例

定理如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,b］上的一個原函數(shù)，則。(1)

證已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)，又根據(jù)前面的定理知道，積分上限的函數(shù)

也是f(x)的一個原函數(shù)。于是這兩個原函數(shù)之差為某個常數(shù)(第四章第一節(jié))，

即。⑵在上式中令x=a，得。又由F(x)的定義式及上節(jié)定積分的補(bǔ)充規(guī)定知F(a)=0,

因此,C=F(a)o以F(a)代入(2)式中的C,

以代入(2)式中的F(x),可得，在上式中令x=b，就得到所要證明的公式(1).n

由積分性質(zhì)知，(1)式對a>b的情形同樣成立.為方便起見，以后把F(b)-F(a)記成。

公式(1)叫做牛頓(Newton)—萊步尼茲(Leibniz)公式,給定積分提供了一種簡便的計(jì)算方

法，也稱為微積分基本公式.

例1計(jì)算定積分。解。

例2計(jì)算。解。

例3計(jì)算.解。

例4計(jì)算正弦曲線y=sinx在［0,p］上與x軸所圍成的平面圖形的面積。解。

例5求解易知這是一個型的未定式，我們利用洛必達(dá)法則來計(jì)算。

因此.

5。3定積分的近似計(jì)算

在應(yīng)用問題中常遇到要求定積分的數(shù)值，但f(X)的原函數(shù)根本不能普通的初等函數(shù)表示出

來.例如等，所以提出了積分的近似計(jì)算問題.

定積分近似計(jì)算公式的原理:求定積分就是求面積，近似計(jì)算公式是對面積的近似求法。此

處介紹拋物線法

原理:實(shí)質(zhì)上是用拋物線逼近曲線段，如圖由此可推出

o此公式稱為辛卜生公式。

近似計(jì)算方法很多，但實(shí)質(zhì)上多是曲線逼近(見數(shù)值分析).

5.4廣義積分的概念

5.4.1無窮限的廣義積分

定義1設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,+￥)上連續(xù)，取b〉a,若極限存在，則稱此極限為函數(shù)f

(x)在無窮區(qū)間［a,+￥)上的廣義積分，記作，即.(1)

這時也稱廣義積分收斂；若上述極限不存在,稱為廣義積分發(fā)散。

類似地，若極限存在，則稱廣義積分收斂.

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間卜￥,+￥)上連續(xù)，如果廣義積分和都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)f(x)

在無窮區(qū)間(一￥,+￥)上的廣義積分，記作，也稱廣義積分收斂；否則就稱廣義積分發(fā)散。

上述廣義積分統(tǒng)稱為無窮限的廣義積分。

例1證明廣義積分(a>0)當(dāng)p>l時收斂，當(dāng)p￡1時發(fā)散。

證當(dāng)p=1時，，當(dāng)p1時，

因此，當(dāng)p〉1時，這廣義積分收斂，其值為;當(dāng)p￡1時，這廣義積分發(fā)散.

5。4。2無界函數(shù)的廣義積分

現(xiàn)在我們把定積分推廣到被積函數(shù)為無界函數(shù)的情形。

定義2設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b］上連續(xù)，而在點(diǎn)a的右領(lǐng)域內(nèi)無界，取，如果極限存在，則

稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b］上的廣義積分，仍然記作，這時也稱廣義積分收斂.

類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上除點(diǎn)c(a(c<b)外連續(xù)，而在點(diǎn)c的領(lǐng)域內(nèi)無界，如果

兩個廣義積分與都收斂，則定義；(2)

否則,就稱廣義積分發(fā)散。

例2證明廣義積分當(dāng)q〈1時收斂，當(dāng)儻1時發(fā)散。

證當(dāng)q=1時，，

當(dāng)q*l時，

因止匕，當(dāng)q〈1時，這廣義積分收斂，其值為(b—a)l-q/(1-q)；當(dāng)*1時，這廣義積分

發(fā)散.

第七章：空間解析幾何與向量微分

在平面解析幾何中，通過坐標(biāo)把平面上的點(diǎn)與一對有序?qū)崝?shù)對應(yīng)起來，把平面上的圖形和方

程對應(yīng)起來，從而可以用代數(shù)方法來研究幾何問題，空間解析幾何也是按照類似的方法建立

起來的。

7。1幾種常見曲線：

7。2曲面方程

7o2o1曲面方程的概念及一般方程如果曲面S與三元方程F(x,y,z)=0(1),有下

述關(guān)系：

1.曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程(1)；不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程(1),

那末，方程⑴就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程(1)的圖形。

7o2.2平面方程的幾種形式

一般形式:Ax+By+Cy+D=0,其中｛A,B,C｝是平面法向，A2+B2+C2H0。

點(diǎn)法式方程：.截距式方程：。

三點(diǎn)式方程：已知平面過空間三點(diǎn)，，，則平面方程為

1.幾種特殊的曲面方程

1.旋轉(zhuǎn)曲面方程設(shè)平面曲線I：繞z軸旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)曲線方程為

2.柱面方程母線平行與坐標(biāo)軸的柱面方程為不完全的三元方程用口F(y,z)=0就表示母線

平行與x軸，準(zhǔn)線為的柱面。二次曲面方程(見第七章知識點(diǎn)3)

7.3空間曲線

7o3。1空間曲線一般方程

空間曲線可以看作兩個曲面的交線。設(shè)F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0是兩個曲面的方

程，它們的交線為C［如圖因?yàn)榍€C上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)同時滿足這兩個曲面的方程,

所以應(yīng)滿足方程組(1)

反過來，如果點(diǎn)M不在曲線C上，那末它不可能同時在兩個曲面上，所以它的坐標(biāo)不滿足

方程組(1)。因此，曲線C可以用方程組(1)來表示。方程組(1)叫做空間曲線C的一般

方程.

1.為空間曲線的一般方程，空間曲線的參數(shù)方程為t為參數(shù)。

1.方程組表示怎樣的曲線？

方程組中第一個方程表示母線平行于z軸的圓柱面，其準(zhǔn)線是xOy面上的圓，圓心在原點(diǎn)0,

半徑為lo方程組中第二個方程表示一個母線平行于y軸的柱面，由于它的準(zhǔn)線是zOx面上

的直線，因此它是一個平面。方程組就表示上述平面與圓柱面的交線，［如圖

2.方程組表示怎樣的曲線？

方程組中第一個方程表示球心在坐標(biāo)原點(diǎn)0,半徑為a的上半球面.第二個方程表示母線平

行于z軸的圓柱面，它的準(zhǔn)線是xOy面上的圓，這圓的圓心在點(diǎn)(a/2,0)，半徑為a/2。方

程組就表示上述半球面與圓柱面的交線.

7。3o2空間曲線在坐標(biāo)上的投影

設(shè)空間曲線C的一般方程為由上述方程組消去變量z,x,y后所得的方程分別為：

H(x,y)=0R(y,z)=0T(x,z)=O,表示曲線C在xOy面上的投影，

表示曲線C在yOz面上的投影，表示曲線C在xOz面上的投影。

例已知兩球面的方程為(a)和(b)

求它們的交線C在xOy面上的投影方程.

解先求包含交線C而母線平行于z軸的柱面方程。因此要由方程(a),(b)消去z,為此

可先從(a)式減去(b)式并化簡，得到y(tǒng)+z=l,再以z=l-y代入方程(a)或(b)即得所求

的柱面方程為x2+2y2-2y=0

易看出，這是交線C關(guān)于xOy面的投影柱面方程，于是兩球面的交線在xOy面上的投影方

程是注:在重積分和曲線積分的計(jì)算中，往往需要確定一個立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影，這

時要利用投影柱面和投影曲線.

7?4二次曲面

我們把三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.為了了解三元方程F(x,y,z)=O所表

示得的曲面的形狀，我們通常采用截痕法.即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲線相截，

考察其交線(即截痕)的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌。同學(xué)們可試用截痕法考

察下面的二次曲面。

7.4.1橢球面方程所表示的曲面叫做橢球面，［截痕法演示］.

7.4o2拋物面方程(p和q同號)所表示的曲面叫做拋物面，［截痕法演示］。

7o4o3雙曲拋物面方程(p和q同號)所表示的曲面叫做雙曲拋物面，［截痕法演示

7。4o4雙曲面方程所表示的曲面叫做單葉雙曲面，［截痕法演示］。

方程所表示的曲面叫做雙葉雙曲面，［截痕法演示］.

第八章：多元函數(shù)微分

在很多實(shí)際問題中，往往牽涉到多方面的因素，反映到數(shù)學(xué)上，就是一個變量依賴于幾個變

量的情形，這就提出了多元函數(shù)微分和積分的問題，本章將在一元微分的基礎(chǔ)上，討論二元

及二元以上的多元函數(shù)的微分.

8.1多元函數(shù)的極限與連續(xù)性

8.1.1定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義,PO(xO,yO)是D的內(nèi)點(diǎn)或

邊界點(diǎn)。如果對于任意給定的正數(shù)￡,總存在正數(shù)6,使得對于適合不等式的一切點(diǎn)P(x,y)回D,

都有If(x,y)-AI〈￡成立，則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)xfxO,y玲yO時的極限,記作

或f(x,y)-A(p玲0),這里p=|PPOI.

例設(shè)(x2+y2K0),求證。

因?yàn)椋梢?，對任何￡?,取，

則當(dāng)時，總有成立，所以.

我們必須注意，所謂二重極限存在，是指P(x,y)以任何方式趨于PO(xO,yO)時，函數(shù)都無限

接近于A.

定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在開區(qū)域(或閉區(qū)域)D內(nèi)有定義，PO(xO,yO)是D的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且

PO0D?

如果則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)PO(x0,yO)連續(xù).

8。1。2性質(zhì)

性質(zhì)1(最大值和最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上一定有最小值和

最大值。

性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值,

則它在D上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次.

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。所謂定義區(qū)域，是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或

閉區(qū)域。

由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn)P0處的極限,而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi),

則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即.

8。2偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算法

8o2。1定義設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xO,yO)的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在yO而x在

xO處有增量Ax時湘應(yīng)的函數(shù)有增量f(xO+Ax,yO)—f(xO,yO),如果存在，則稱此極限為

函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xO,yO)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記作或fx(xO,yO)o

對于函數(shù)z=f(x,y),求時,只要把y暫時看作常量而對y求導(dǎo)。

例求z=x2sin2y的偏導(dǎo)數(shù).解。

8。2o2高階偏導(dǎo)數(shù)定理如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那末在

該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。

8。3多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及實(shí)例

定理如果函數(shù)u=6(t)及。(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)，函數(shù)z=f(u,v)在對應(yīng)點(diǎn)(u,v)具有連續(xù)偏

導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=f［巾(t)(t)］在點(diǎn)t可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：.

例設(shè)z=eusinv,而u=xy,v=x+y.求。

解

8。4隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

8.4.1一個方程的情形

隱函數(shù)存在定理1設(shè)函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)P(xO,yO)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(xO,yO)=O,

Fy(xO,yO)■0,則方程F(x,y)=0在點(diǎn)(xO,yO)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連

續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y=f(x),它滿足條件yO=f(xO),并有.上面公式就是隱函數(shù)的求導(dǎo)

公式。

隱函數(shù)存在定理2設(shè)函數(shù)F(x,y,z)在點(diǎn)P(xO,yO,zO)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且

F(xO,yO,zO)=0,Fz(xO,yO,zO)30,則方程F(x,y,z)=0在點(diǎn)(xO,yO,zO)的某一鄰域

內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)Z=f(x,y),它滿足條件zO=f(xO,yO),

并有。

例設(shè)x2+y2+z2—4z=0,求，

解設(shè)F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z,則Fx=2x,Fz=2z—4。應(yīng)同上面公式，得。

再一次對X求偏導(dǎo)數(shù)，得.

二、方程組的情形

隱函數(shù)存在定理3設(shè)F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在點(diǎn)P(xO,yO,uO,vO)的某一鄰域內(nèi)

具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又F(xO,yO,uO,vO)=O,G(xO,yO,uO,vO)=0,且偏導(dǎo)

數(shù)所組成的函數(shù)行列式(或稱雅可比(Jacobi)式)：

在點(diǎn)P(xO,y0,uO,vO)不等于零，則方程組Hx,y,u,v)=O,G(x,y,u,v)=0在點(diǎn)(xO,yO,uO,

vO)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)口=u(x,y),v=v

(x,y),

它們滿足條件uO=u(xO,yO),vO=v(x0,yO),并有

8。5微分法在幾何上的應(yīng)用

8.5.1空間曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線「的參數(shù)方稱為x=4>(t),y=ip(t),z=3(t),這里假定上式的三個函數(shù)都可導(dǎo).］>

圖1］在曲線「上取對應(yīng)于t=tO的一點(diǎn)M(x0,yO,z0)。根據(jù)解析幾何，可得曲線在點(diǎn)M處

的切線方程為

切線的方向向量稱為曲線的切向量。向量T=｛巾'(t0)(t0),3,(t0)｝就是曲線「在點(diǎn)M

處的一個切向量。

通過點(diǎn)而與切線垂直的平面稱為曲線「在點(diǎn)M處的法平面，它是通過點(diǎn)M(x0,yO,z0)而

以T為法向量的平面，因此這法平面的方程為4),(tO)(x-xO)+ip,(tO)(y-yO)+w'(tO)(z-zO)

=0o

8。5o2曲面的切平面與法線［插圖2］設(shè)曲面Z由方程F(x,y,z)=0給出,M(x0,yO,

z0)是曲面2上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù)F(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時為零。則根據(jù)

解析幾何，可得曲面上通過點(diǎn)M的一切曲線在點(diǎn)M的切線都在同一個平面上。這個平面稱

為曲面2在點(diǎn)M的切平面.這切平面的方程是

Fx(x0,yO,z0)(x-xO)+Fy(xO,yO,zO)(y-yO)+Fz(xO,yO,zO)(z-zO)=0

通過點(diǎn)M(xO,yO,zO)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線.

法線方程是x=3垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.

向量n=｛Fx(x0,yO,zO),Fy(xO,yO,zO),Fz(xO,yO,zO)｝就是曲面Z在點(diǎn)M

處的一個法向量.

8。6多元函數(shù)極值的求法

8。6o1多元函數(shù)的極值

二元函數(shù)的極值問題，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決.

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(xO,yO)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(xO,yO)處有極

值，

則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:fx(xO,yO)=0,fy(xO,yO)=0.

定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,yO)的某領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

又fx(xO,yO)=0,

fy(xO,yO)=0,令fxx(xO,yO)=A,fxy(xO,yO)=B,fyy(xO,yO)=C,則f(x,y)在

(x0,yO)處是否取得極值的條件如下：

(1)AC-B2>0時具有極值，且當(dāng)A〈0時有極大值，當(dāng)A>0時有極小值；

(2)AC-B2<0時沒有極值；(3)AC-B2=0時可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討

論.

利用定理1、2,我們把具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的求法敘述如下：

第一步解方程組fx(x,y)=0,fy(x,y)=0,求得一切實(shí)數(shù)解，即可求得一切駐點(diǎn)。

第二步對于每一個駐點(diǎn)(x0,yO),求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C。

第三步定出AC-B2的符號，按定理2的結(jié)論判定f(xO,yO)是否是極值、是極大值還是極

小值。

8。6.2條件極值拉格朗日乘數(shù)法

拉格朗日乘數(shù)法要找函數(shù)z=f(x,y)在附加條件巾(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)，可以先構(gòu)成

輔助函數(shù)F(x,y)=f(x,y)+人力(x,y),其中人為某一常數(shù)。求其對x與y的一階偏導(dǎo)數(shù),

并使之為零，然后與方程小(x,y)=0聯(lián)立起來：

有這方程組解出x,y及入，則其中x,y就是函數(shù)f(x,y)在附加條件0(x,y)=0下的可

能極值點(diǎn)的坐標(biāo)。這方法還可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形.

至于如何確定所求得的點(diǎn)是否極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定。

第九章:重積分

本章和下一章是多元函數(shù)積分的內(nèi)容。在一元函數(shù)積分學(xué)中，定積分是某種確定形式的和的

極限.這種和的極限的概念推廣到定義在區(qū)域、曲線、曲面上的多元函數(shù)的情形，得到重積

分、曲線積分、曲面積分的概念。

9.1二重積分的概念與性質(zhì)

9。lo1二重積分的概念

為引出二重積分的概念，我們先來討論兩個實(shí)際問題。

設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D,它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為p(x,y),這里p

(x,y)〉0且在D上連續(xù).現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M。

由于面密度p(x,y)是變量，薄片的質(zhì)量不能直接用密度公式(M=pS)來計(jì)算。但p(x,y)

是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域Dsi的直

徑很小，這些小塊就可以近似地看作均勻薄片.在Dsi(這小閉區(qū)域的面積也記作Dsi)上任

取一點(diǎn)(xi,hi)，則p(xi,hi)Dsi(i=l,2,可看作第i個小塊的質(zhì)量的近似值[插圖

l]o通過求和，再令n個小區(qū)域的直徑中的最大值(記作人)趨于零，取和的極限，便自然地

得出薄片的質(zhì)量M,即。

再設(shè)有一立體，它的底是xOy面上的閉區(qū)域D,它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平

行于z軸的柱面，它的頂是曲面z=f(x,y)，這里f僅，y)20且在D上連續(xù)。這種立體叫

做曲頂柱體.

現(xiàn)在要計(jì)算上述曲頂柱體的體積V.

由于曲頂柱體的高f(x,y)是變量，它的體積不能直接用體積公式來計(jì)算.但仍可采用上面的

思想方法，用一組曲線網(wǎng)把D分成n個小閉區(qū)域Ds1,Ds2,...,Dsn,在每個Dsi上任取一

點(diǎn)(xi,hi),則f(xi,hi)Dsi(i=l,2,n)可看作以f(xi,h看為高而底為Dsi的平頂柱體

的體積[插圖2].

通過求和，取極限，便得出。

上面兩個問題所要求的，都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限。在其他學(xué)科中，由許多物理量和幾何

量也可歸結(jié)為這一形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二

重積分的定義。

定義設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域Ds1,Ds

2,Dsn,

其中Dsi表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積.在每個Dsi上任取一點(diǎn)(xi,hi),作乘積f

(xi,hi)Dsi(i=l,2,n,),并作和。如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值I趨

于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作，

即。

其中f(x,y)叫做被積函數(shù)，f(x,y)ds叫做被積表達(dá)式,ds叫做面積元素，x與y叫做積分

變量,D叫做積分區(qū)域，叫做積分和。

在二重積分的定義中對閉區(qū)域D的劃分是任意的，如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的

直線網(wǎng)來劃分D,那末除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外,其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域。

設(shè)矩形閉區(qū)域Dsi的邊長為Dxj和Dyk,則Ds=Dxj-Dyk。因此在直角坐標(biāo)系中，有時也把

面積元素ds記作dxdy,而把二重積分記作

其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素.這里我們要指出，當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時，

(*)式右端的和的極限必定存在，也就是說，函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分必定存在。

9.1o2二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分有類似的性質(zhì)：

性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面，即(k為常數(shù))。

性質(zhì)2函數(shù)的和(或差)的二重積分等于各個函數(shù)的二重積分的和(或差).

例如。

性質(zhì)3如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在各部

分閉區(qū)域上的二重積分的和。例如D分為兩個閉區(qū)域D1與D2,貝%

此性質(zhì)表示二重積分對于積分區(qū)域具有可加性。

性質(zhì)4如果在D上,f(x,y)=l,s為D的面積，則.

此性質(zhì)的幾何意義很明顯，因?yàn)楦邽?的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底

面積。

性質(zhì)5如果在D上,f(x,y)<j(x,y),則有不等式。特殊地，由于

—If(x,y)|<f(x,y)<|f(x,y)I,又有不等式。

性質(zhì)6設(shè)M,m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，s是D的面積，

則有。上述不等式是對二重積分估值的不等式。

性質(zhì)7(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),s是D的面積，則在D

上至少存在一點(diǎn)(x,h)使得下式成立：.

9.2二重積分的計(jì)算法(直角坐標(biāo)，極坐標(biāo))

按照二重積分的定義來計(jì)算二重積分，對特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說可行，但對一

般的函數(shù)和積分區(qū)域來說,這不是一種切實(shí)可行的方法.這里介紹一種方法，把二重積分化為

兩次單積分(即兩次定積分)來計(jì)算。

9.2o1利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分下面用幾何的觀點(diǎn)來討論二重積分的計(jì)算問題。

在討論中我們假定f(x,y)20。并設(shè)積分區(qū)域D可以用不等式j(luò)l(x)<y<j2(x),a<x<b

來表示［插圖11，其中函數(shù)jl(x)、j2(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)。

我們應(yīng)用"平行截面面積為已知的立體的體積”的方法，來計(jì)算這個曲頂柱體的體積。

為計(jì)算截面面積，在區(qū)間［a,b］上任意取定一點(diǎn)xO,作平行于yOz面的平面x=xO。這平

面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間［jl(xO),j2(xO)］為底、曲線z=f(xO,y)為

曲邊的曲邊梯形(［插圖2］中陰影部分),所以這截面的面積為。

一般的，過區(qū)間［a,b］上任一點(diǎn)x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為，

于是，得曲頂柱體的體積為.

這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式。(1)

上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。就是說，先把x看作常數(shù)，把f(x,y)只看

作y的函數(shù)，并對y計(jì)算從jl(x)到j(luò)2(x)的定積分;然后把算得的結(jié)果(是x的函數(shù))再對

x計(jì)算在區(qū)間［a,b］上的定積分.這個先對y、后對x的二次積分也常記作.

因此，等式(1)也寫成，(1')

在上述討論中，我們假定f(x,y)>0,但實(shí)際上公式(1)的成立并不受此條件限制.

類似地，如果積分區(qū)域D可以用不等式。1(y)VxVip2(y),cVyWd

來表示『插圖3］,其中函數(shù)。1(y)、。2(y)在區(qū)間［c,d］上連續(xù)，那末就有。

上式右端的積分叫做先對X、后對y的二次積分，這個積分也常記作。

因此，等式(2)也寫成，(29

這就是把二重積分化為先對X、后對y的二次積分的公式。

我們稱圖9-2-1所示的積分區(qū)域?yàn)閄—型區(qū)域，圖9-2-3所示的積分區(qū)域?yàn)閅—型區(qū)域。對

不同的區(qū)域，可以應(yīng)用不同的公式.如果積分區(qū)域D既不是X-型的，也不是Y—型的，我們可

以把D分成幾個部分,使每個部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域。如果積分區(qū)域D既是X—型的，

又是Y—型的，則由公式(1。及(2。就得

上式表明，這兩個不同次序的二次積分相等，因?yàn)樗鼈兌嫉扔谕粋€二重積分。

二重積分化為二次積分時，確定積分限是一個關(guān)鍵。而積分限是根據(jù)積分區(qū)域D的類型來確

定的.

例1計(jì)算，其中D是由直線y=l、x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域。

解法1首先畫出積分區(qū)域D［插圖4］。D是X—型的，D上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的變動范圍是區(qū)

間［1.2］o

在區(qū)間［1,2］上任意取定一個x值，則D上以這個x值為橫坐標(biāo)的點(diǎn)在一段直線上,這段直

線平行于y軸，該線段上點(diǎn)的縱坐標(biāo)從y=l變到y(tǒng)=x。利用公式(1)得

解法2把積分區(qū)域D看成是Y—型的。同學(xué)們可作為練習(xí)，驗(yàn)證解出的答案是否與解法1的

相一致.

對于