2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題（解析版）

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(理科)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)全集"={123,4,5},集合〃滿足*加={1，3},則()

A.2eMB.C.D.5^M

【答案】A

【解析】

【分析】先寫(xiě)出集合M,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可

【詳解】由題知"={2,4,5},對(duì)比選項(xiàng)知，A正確,BCD錯(cuò)誤

故選:A

2.已知z=l—2i,且z+應(yīng)+人=0,其中”，b為實(shí)數(shù)，貝ij()

A.a-l,b——2B.a——\,b-2C.a-\,b—2D.a=—1,Z?=—2

【答案】A

【解析】

【分析】先算出三,再代入計(jì)算，實(shí)部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】彳=1+2i

z+通+b=1—2i+a(l+2i)+匕=(1+a+4)+(2a—2)i

l+a+b=0Cl—1

由z+a2+Z?=0,得，即I,

2a-2=0b=-2

故選:A

3.已知向量a/滿足|°卜1,屹|(zhì)=百,|4一2"=3,則。山=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解:,??|a-2「|2=|“Tdd+4M、

又：|&|=1,仍|=國(guó)a-2b|=3,

.,.9=i-4a-/?+4x3=13-4a^，

??ab=\

故選：c.

4.嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研

究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列｛4｝：=1+—,2—+?+J,

a1

'a2

%=]+-----—

?,+-----「，…，依此類推，其中4.eN*(Z=l,2,).則()

a2+—

"?3

仇

A.b]<b5B.b3<C.bb<b2D.bA<Z?7

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)4eN*(Z=l,2,…)，再利用數(shù)列也｝與巴的關(guān)系判斷也｝中各項(xiàng)的大小，即可求解.

【詳解】[方法一]:常規(guī)解法

因?yàn)?wN*(左=1,2,?)，

,11

1--->--------;-

所以囚<。1+——，C4-1，得到4>62，

a2

11

OCsH--->a1-i-------

同理。2“+1，可得。2<4，4>4

-%

1111

——>a

-------1--->\+-----「<at+-------j---

又因?yàn)椋?/p>

%-----;----%-----i-，

a3H---%a3H---

%a4

故b2Vb4,4>d；

以此類推，可得4>%>4>…，4>4，故A錯(cuò)誤;

4>&>4,故B錯(cuò)誤；

11

屋,1

2%+「，得仇<%,故C錯(cuò)誤;

1I

,+--------1—>?|+----------j—

%+-----「?2+-------「，得d<打，故D正確.

。3---。6-I---

%ai

［方法二］:特值法

丁…”

1r,,.c,3,5,=8,b=13,t>6=21,34,55

不妨設(shè)a“=1,則E=2必=彳，b3=-,b4~'5V<。7=失心=▽

L33o1354

b4<&故D正確.

5.設(shè)F為拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8(3,0),^\AF\^\BF\,則|A@=()

A.2B.2A/2C.3D.3亞'

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)A坐標(biāo)，即可

得到答案.

【詳解】由題意得，F(xiàn)(l,0),則|A目=忸丹=2,

即點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=—1的距離為2,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1+2=1,

不妨設(shè)點(diǎn)A在x軸上方，代入得，A（l,2）,

所以|A5|二J（37）2+（0—2）2=2A/2.

故選：B

6.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的〃=（）

D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)框圖循環(huán)計(jì)算即可.

【詳解】執(zhí)行第一次循環(huán)，〃=b+2a=l+2=3,

a=b—。=3—1=2,〃=〃+1=2,

4―1#—2=->0.01；

a2|\224

執(zhí)行第二次循環(huán)，b=Z?+2a=3+4=7,

a=b-a=7-2=5,n=n+\=3,

執(zhí)行第三次循環(huán)，b=b+2a=7+10=17,

a=b-a=17-5={2,n=n+\=4,

h2II1721

—7-2=---2=<0.01,此時(shí)輸出〃=4.

aI112144

故選：B

7.在正方體ABCD-ABCA中，E,尸分別為AB,8C的中點(diǎn)，則（）

A.平面用￡尸，平面BQ'B.平面4EE_L平面A8O

C.平面5EF//平面AACD.平面4族//平面AG。

【答案】A

【解析】

【分析】證明防人平面,即可判斷A；如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

A3=2,分別求出平面片Eb,A]D,A?。的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.

【詳解】解：在正方體ABC。一440|。中，

ACJ_8n且DD,1平面ABCD,

又瓦'u平面ABCD,所以EFJ.DR,

因?yàn)镋,尸分別為AB,8c的中點(diǎn)，

所以灰〃AC,所以EFLBD,

又BDDD產(chǎn)D,

所以平面

又EFu平面BEF,

所以平面gER_L平面BDD、,故A正確；

選項(xiàng)BCD解法一：

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)A6=2,

則4（2,2,2）,石（2,1,0）,尸（1,2,0）,8（2,2,0）,4（2,0,2）,A（2,0,0）,C（O,2,0）,

￡(0,2,2),

則EE=(—1,1,0),鶴=(0,1,2),Z)B=(2,2,0),DA=(2,0,2),

A4,=(0,0,2),AC=(_2,2,0)，4G=(-2,2,0),

設(shè)平面B]EF的法向量為/?=（玉,y,zj,

m-EF=-X|+x=0

則有＜可取加=（2,2,—1）,

m-EB]=%+24=0

同理可得平面4BZ）的法向量為勺=（1,一1,一1）,

平面4AC的法向量為4=（1,1,0）,

平面AG。的法向量為%=（1,1,-1），

則加=2—2+1=100,

所以平面用E尸與平面A3。不垂直，故B錯(cuò)誤;

,tn

因?yàn)榧优cn2不平行，

所以平面4E尸與平面4AC不平行，故C錯(cuò)誤;

因?yàn)榧优c〃3不平行，

所以平面片后廠與平面AC。不平行，故D錯(cuò)誤,

故選：A.

B

選項(xiàng)BCD解法二:

解：對(duì)于選項(xiàng)B,如圖所示，設(shè)A/BQM,EF\BD=N,則MN為平面gEF與平面Af。的

交線，

在二BMN內(nèi),作BPLMN于點(diǎn)P,在^EMN內(nèi),作GPLMN,交EN于點(diǎn)G,連結(jié)BG,

則ZBPG或其補(bǔ)角為平面4EF與平面ABD所成二面角的平面角，

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2.PGr+PN2=GN2>

底面正方形ABC。中，耳廠為中點(diǎn)，則所，BD，

由勾股定理可得NB2+NG2=BG2，

從而有：A?2+NG2=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG2,

據(jù)此可得PB?+PG2*BG2，即NBPG豐90，

據(jù)此可得平面平面A3。不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,取4片的中點(diǎn)，，則A"B]E,

由于AH與平面MAC相交，故平面用政〃平面AAC不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D,取AO的中點(diǎn)很明顯四邊形為平行四邊形，則4MB.F,

由于AM與平面AC0相交，故平面gEF〃平面AC。不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

8.已知等比數(shù)列｛q｝的前3項(xiàng)和為168,a2-a5=42,則4=（）

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【解析】

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為見(jiàn)4#0,易得夕￥1,根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的

通項(xiàng)即可得解.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4應(yīng)工0,

若q=l,則々一%=0,與題意矛盾，

所以4W1,

,\a｝=96

a,+a+a,=-------------=168

則nl〈?293\-q，解得〈1，

4q夕=5

-a5=a｛q-axq=42I2

所以。6=%q=3.

故選：D.

9.已知球。的半徑為1,四棱錐的頂點(diǎn)為0,底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球。的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最

大時(shí)，其高為（）

A.-B.|C.—D.—

3232

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)。到底面ABCZ）所在小圓距離一定時(shí)，底面ABC。面積最大值為

2戶，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積

最大時(shí)其高的值.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】基本不等式

設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD,四邊形ABCD所在小圓半徑為，，

設(shè)四邊形ABCO對(duì)角線夾角為a,

（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）

即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)0到底面ABCO所在小圓距離一定時(shí)，底面A2CO面積最大值為2戶

又設(shè)四棱錐的高為〃，則產(chǎn)+於=1，

、3

r+r+2h24百

VO-ABCD

3)~rF

當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)=2h2即*4％=日時(shí)等號(hào)成立.

故選：C

［方法二］:統(tǒng)一變量+基本不等式

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為“，底面所在圓的半徑為「，則

r=—a,所以該四棱錐的高

2V2

4

34

22A

（當(dāng)且僅當(dāng)三=1-^,即/=一時(shí)，等號(hào)成立）

423

所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高力=6^=，^=塔.

故選：C.

［方法三］:利用導(dǎo)數(shù)求最值

由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為。，底面所在圓的半徑為，則

2

r=-a，所以該四棱錐的高=,令〃=f(0<f<2),v=LJt--,設(shè)

2V23V23V2

/3產(chǎn)

/（。=/一］，則r?）=2f.

0<z<1,單調(diào)遞增,|<r<2,_f（r）<0,單調(diào)遞減,

所以當(dāng)f=3時(shí)，v最大，此時(shí)/z=、仁也.

3V23

故選：C.

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；

方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；

方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法.

10.某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲

勝的概率分別為0,。2，小，且P3>P2>P|>0.記該棋手連勝兩盤的概率為P，則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，P最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，P最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，P最大

【答案】D

【解析】

【分析】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.分別求得該棋手在第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率P甲；

該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率P乙；該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率。丙.并對(duì)三

者進(jìn)行比較即可解決

【詳解】該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，

記該棋手在第二盤與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?/p>

則此時(shí)連勝兩盤的概率為，甲

則。中=g［（1-P2）PlPl（1一）］+；［（1-）Pl「2+P3Pl（1一22）］

=，|他+。3）-2，也〃3；

記該棋手在第二盤與乙比賽，且連勝兩盤的概率為，乙，

則P乙=I-Pl）P2P3+P1P2（1-A）=P2（P1+P3）-2Plp2P3

記該棋手在第二盤與丙比賽，且連勝兩盤的概率為P丙

則P丙=（1-PjP3P2+PlP3（l一。2）=P3（Pl+2）-2P|P2P3

則%「〃乙=〃1（〃2+，3）一2月〃2〃3—[〃2（月+〃3）—2pW2P3]=（〃1一〃2）〃3＜。

〃乙一P丙=〃2（）-2〃|〃2，3一[〃3（月+〃2）—2〃|〃2〃3]=（〃2一〃3）月＜。

即，甲＜，乙，P乙＜P丙，

則該棋手在第二盤與丙比賽，P最大.選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；

。與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān).選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤.

故選：D

11.雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為《，工，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為。，過(guò)”作。的切線與C交于M,N兩

3

點(diǎn)，且cosN[NE=g,則C的離心率為（）

3D.叵

AB.-

-T222

【答案】AC

【解析】

【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過(guò)片作圓。的切線切點(diǎn)為G,利用正弦定理結(jié)合三角變換、

雙曲線的定義得到沙=3?；颉??,即可得解，注意就M,N在雙支上還是在單支上分類討論.

【詳解】[方法一]:幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用

情況一

M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過(guò)士作圓O的切線切點(diǎn)為B,

3

所以O(shè)B，F(xiàn)|N,因?yàn)閏osN￡NE=g＞0,所以N在雙曲線的左支，

|OB|=a,\OF^-c,出B|=b,設(shè)N6Ng=a,由即cosanq,則sina=g,

|NA=-?,|NF2|=-?

NF,-Nf^=2?

-a-（-a-2b]=2a,

2（2）

2b=a,r.e=或

2

選A

情況二

3

若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)閏osN^Ng=g>0，所以N在雙曲線的右支,

所以|OB|=a,|O周=c,忖B|=b,"F\NF?=a,

334

由cos/"NK=g,即cosa=《，則sina=g，

3S

NA=-<z,NE,|=-a

NT.|-|NE|=2?

—3ci4~2cc,7—5ci—,2a,

22

b3

所以2/7=3Q,即一=一，

a2

所以雙曲線的離心率e=￡=Jl+￡=@i

a\a22

選c

［方法二］:答案回代法

A選項(xiàng)e=好

2

特值雙曲線

2

I,.-.耳(-6,0),月(右,0)，

過(guò)耳且與圓相切的一條直線為y=2(x+行)，

兩交點(diǎn)都在左支,，N括,一1行)，

.?」明|=5,|匹|=1,忖同=2小,

3

則cos/-NR=g,

C選項(xiàng)6=姮

2

22

特值雙曲線彳一三=1,.-.F,(-713,0),^(713,0),

過(guò)耳且與圓相切的一條直線為y=§(x+屈)，

兩交點(diǎn)在左右兩支，N在右支，二

.-.|N^|=5,|N^|=9,|^|=2>/13,

3

則cosN片Ng=g,

［方法三］:

依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在x軸，設(shè)過(guò)K作圓。的切線切點(diǎn)為G，

若M,N分別在左右支，

3

因?yàn)?。GJ_NG，且cosNENK=j>0,所以N在雙曲線的右支,

X|(9G|=6Z,\OF\=C,\GF^=b,

設(shè)NF、NF2=a,/FEN=p,

|Nq|N網(wǎng)2c

在中，有*=J匕\=下一，

故WKl—pv用=工即________w________=

sin(a+夕)一sin尸sinesin(?+/?)-sinsina

ac

所以~~n-―n-―n~，

sinacosp+cosezsinp-sinpsina

,3.c。仆b工」.4

而cosa=—,sinp=—,cos//=—,故sina=一,

5cc5

1a

代入整理得到?=3。，即一二一,

a2

所以雙曲線的離心率6=￡=」1+絲=巫

a\a22

若M,N均在左支上,

\NF,\WKI2Ch

同理有7=一，其中4為鈍角，故cos￡=——,

sinpsin(a+〃)sinac

|N用一|附2cac

sin/?—sin(a+/?)sinasin/3-s\nacos(3-cosasin/3sincr

代入cosa=3,sin/=@,sina=—,整理得到：——-——=—

5c546+2a4

故。=4,故e

-2

故選：AC.

12.已知函數(shù)/數(shù)),g(x)的定義域均為R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若y=g(x)的圖

22

像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，g⑵=4,則￡〃%)=()

*=i

A.-21B.-22C.-23D.-24

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到/(*)+/。-2)=-2,從而得到

/(3)+/(5)++/(21)=-10,/(4)+/(6)++/(22)=-10,然后根據(jù)條件得到/(2)的值，

再由題意得到g⑶=6從而得到了⑴的值即可求解.

【詳解】因?yàn)閥=g(x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱,

所以g(2-x)=g(x+2),

因?yàn)間(x)-/(x-4)=7,所以g(x+2)-/(x-2)=7,即g(x+2)=7+/(x-2),

因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,

代入得7(x)+[7+/(x—2)]=5,即/(x)+f(x-2)=-2,

所以〃3)+〃5)++〃21)=(-2)x5=—10,

/(4)+/(6)++/(22)=(-2)x5=-10.

因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,所以/(0)+g(2)=5,即/(0)=1,所以〃2)=—2—〃0)=—3.

因?yàn)間(x)-/(x-4)=7,所以g(x+4)-/(x)=7,又因?yàn)?(x)+g(2-x)=5,

聯(lián)立得,g(2—x)+g(x+4)=12,

所以y=g(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,6)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)的定義域?yàn)镽,

所以g(3)=6

因f(x)+g(x+2)=5,所以/⑴=5-g(3)=-1.

所以

￡/伏)=/■⑴+〃2)+[〃3)+/(5)++/(21)]+[/(4)+/(6)++/(22)]=-1-3-10-10=-24

*=i

故選：D

【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問(wèn)題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后

得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為.

3

【答案】—##0.3

【解析】

【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可

【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3,從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，

有：(甲，乙，1),(甲，乙，2),(甲，乙，3),(甲，1,2),(甲，1,3),(甲，2,3),(乙，1,2),(乙，

1,3),(乙，2,3),(1,2,3),共10種選法;

3

其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率P=二.

10

3

故答案為：—.

解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為C；=1()

3

甲、乙都入選的方法數(shù)為C=3,所以甲、乙都入選的概率尸=一

10

3

故答案為：—

14.過(guò)四點(diǎn)(0,0),(4,0),(—1,1),(4,2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為

42：=竺或

［答案］(X—2)2+(y_3『=］3或(x—2)2+(y_l)2=5或X——

319

-I)i+(-Y

【解析】

【分析】方法一：設(shè)圓的方程為Y+V+Dx+a+bnO,根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可;

【詳解】［方法一］:圓的一般方程

依題意設(shè)圓的方程為f+y?+瓜+&+尸=0,

尸=0尸=0

(1)若過(guò)(0,0),(4,0),(-1,1),則＜16+40+尸=0,解得，。=—4,

\+\-D+E+F=OE=-6

所以圓的方程為/+y2—4x—6)=0,即(x—2)2+(y-3)2=13；

F=0尸=0

(2)若過(guò)(0,0),(4,0),(4,2),則(16+40+F=O,解得《。=—4,

16+4+4D+2E+F=0E=-2

所以圓的方程為/+-4x—2y=0,即(x—2)2+(y-l)2=5；

F=0

/=0

8

（3）若過(guò)（0,0）,（4,2）,（-1,1）,則＜1+1—D+E+F=0，解得

3

16+4+4O+2E+F=0

14

E=

T

所以圓的方程為/+；/_5x_匕y=o,即q+fy—=—；

33-I3J3；9

.16

r=---

1+1—O+E+F=05

（4）若過(guò)（一1,1）,（4,0）,（4,2）,則＜16+40+尸=0,解得＜D=所以圓的方程

16+4+4￡＞+2E+F=0

E=-2

班2,216°16.f8Y/八2169

為X+y---x-2y---=n0,KB1PII+(y-l)=—；

故答案為:(1—2)2+('—3)2=13或(刀—2)2+(,—1)2=5或卜—3、+(，-(、若或

卜一|)+(yT)'等

［方法二］:【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心)

設(shè)點(diǎn)A(0,0),B(4,0),C(-l,l),0(4,2)

(1)若圓過(guò)A、B、C三點(diǎn)，圓心在直線x=2,設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a),

則4+a?=9+(a-l)-=>a=3,「=，4+/=V13>所以圓的方程為(x-2)2+(y—3)?=13；

(2)若圓過(guò)4B、D三點(diǎn),設(shè)圓心坐標(biāo)為(2,a),則

4+/=4+(a—2)2=a=l,r="+"2=6，所以圓的方程為(％-2廠+(^—1)?=5；

(3)若圓過(guò)A、C,O三點(diǎn)，則線段AC的中垂線方程為y=x+l,線段A。的中垂線方程為

y=-2x+5,聯(lián)立得x=g,y=gn廠=4^,所以圓的方程為(x-gf+(y-g『=個(gè)；

(4)若圓過(guò)B、C、D三點(diǎn),則線段8。的中垂線方程為y=l,線段BC中垂線方程為y=5x-7,聯(lián)

立得x=*y=l=r=￡,所以圓的方程為(x-?)2+(y—1)2=^.

55525

、2、2

224=竺或

故答案為：(x-2)2+(y-3)2=13或(X-2)+(JV-1)=5W(X——+Y

3779

169

25

【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過(guò)三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁;

方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解.

15.記函數(shù)/(X)=COS(Q)X+e)(0>O,O<0<7U)的最小正周期為T,若/(7)=5，X為/(X)的零

點(diǎn)，則。的最小值為.

【答案】3

【解析】

【分析】首先表示出T,根據(jù)/(7)=乎求出9,再根據(jù)x=e為函數(shù)的零點(diǎn)，即可求出”的取值，從

而得解;

【詳解】解：因?yàn)?(x)=cos3x+o),(<y>(),0<夕<兀)

所以最小正周期T=￡,因?yàn)?(T)=cosco---1■。卜cos（2兀+e）=cos0=

T

又0<*<兀，所以夕=￡,即/(x)=cos(&x+,

又1=工為/(力的零點(diǎn),所以=]+解得0=3+9攵/eZ,

因?yàn)椤?gt;0,所以當(dāng)左=0時(shí)3min=3；

故答案為：3

16.已知和x=/分別是函數(shù)/(x)=24一ed(a>0且awl)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn).若

王v々，則a的取值范圍是.

【答案】

【解析】

【分析】法一：依題可知，方程2山外優(yōu)一2ex=0的兩個(gè)根為玉，々，即函數(shù)y=lna?優(yōu)與函數(shù)y=ex

的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)g(x)=lna”,利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到g(x)的圖

象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率，根據(jù)幾何意義可得出答案.

【詳解】［方法一］:【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法，零點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點(diǎn)

因?yàn)?'(x)=21na?優(yōu)-2ex,所以方程21na-優(yōu)-2ex=0的兩個(gè)根為，

即方程Ina?屋=ex的兩個(gè)根為4,工2>

即函數(shù)y=Ina?4與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

因?yàn)槿A々分別是函數(shù)/(x)=2優(yōu)-ed的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)/(X)在(-℃,%)和(看,+°0)上遞減，在(%,當(dāng))上遞增，

所以當(dāng)時(shí)(F，X)(W，+8),/'(x)<0,即丁="圖象在y=ina.優(yōu)上方

當(dāng)工€(司,赴)時(shí)，/'(x)〉0,即>=6%圖象在y=lna?4下方

a>\,圖象顯然不符合題意，所以0<a<l.

令g(x)=lna，a”,貝!Ig'(x)=ln2a?a*,0<a<1,

設(shè)過(guò)原點(diǎn)且與函數(shù)>=g(x)的圖象相切的直線的切點(diǎn)為(天,

2

則切線的斜率為g'(x())Tn2a?d,故切線方程為y-Ina?a"=ln?-a'?(x-x0),

則有一?淖，解得/=+，則切線的斜率為l/a.a==eh？a，

因?yàn)楹瘮?shù)y=Ina?優(yōu)與函數(shù)y=ex的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

所以ek^Qve，解得又Ovavl,所以

e

綜上所述，°的取值范圍為(1』］.

［方法二］:【通性通法】構(gòu)造新函數(shù)，二次求導(dǎo)

f\x)=21na-a'-2ex=0的兩個(gè)根為％,x?

因?yàn)榉謩e是函數(shù)〃x)=2優(yōu)—ed的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

所以函數(shù)/(X)在(-00,%)和(/,+0。)上遞減，在(%,々)上遞增，

設(shè)函數(shù)g(x)=/'(x)=2(優(yōu)lna-ex),則g<x)=2a，(lna)2-2e，

若a>l,則g'(x)在R上單調(diào)遞增，此時(shí)若g'(Xo)=O,則/'(%)在

(-8,%)上單調(diào)遞減，在(i,+。。)上單調(diào)遞增，此時(shí)若有X=X1和X=%2分別是函數(shù)

〃司=2優(yōu)一02(。>0且。工1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，則不>々，不符合題意；

若0<a<I,則g'(x)在R上單調(diào)遞減，此時(shí)若g'(x0)=O,則r(x)在(一8,%)上單調(diào)遞增，在

(毛,+。。)上單調(diào)遞減，令g'(Xo)=O,則=(］；)2，此時(shí)若有元=%和工=々分別是函數(shù)

/(力=2優(yōu)一勿2(<7>0且“#1)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，且玉<々，則需滿足/'(%)>(),

011

/'(工。)-2-%>)=2島卜0,即5(J,工()1114〉1故也"'=110=111^^〉1

所以a<1.

e

【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用函數(shù)的零點(diǎn)與兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的關(guān)系，由數(shù)形結(jié)合解出，突出“小題小做”，是

該題的最優(yōu)解；

法二：通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性，根據(jù)極值點(diǎn)的大小關(guān)系得出不等式，解出即可，該法屬于

通性通法.

三、解答題：共0分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（-）必考題：共60分.

17.記一ABC的內(nèi)角AB,C的對(duì)邊分別為"c,已知5m。$山（4一8）=$山85m（。-4）.

（1）證明：2a2=/+02；

25

（2）若a=5,cosA=§j,求_ABC的周長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）14

【解析】

【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證;

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出be,從而可求得h+c,即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

證明：因?yàn)閟inCsin（A-8）=sinBsin（C—A）,

所以sinCsinAcosB—sinCsinBcosA=sinBsinCcosA—sinBsinAcosC，

所以ac〃+//-2兒5+c-2+入,?

lac2bc2ab

2\

即Hn-c-i"-+--c-~--—-b-~--僅/.-i+<?2一優(yōu)）=-----+--b--'---c-~-,

所以2a2=b2+c2;

【小問(wèn)2詳解】

25

解：因?yàn)閍=5,cosA=J,

由⑴得/+°2=50,

由余弦定理可得a?-b2+c2-2/?ccosA.

則50-%c=25,

所以反=一，

2

故伍+蛾=/+。2+2/七=50+31=81,

所以匕+c=9,

所以.ABC的周長(zhǎng)為a+/?+c=14.

18.如圖，四面體A8CO中，AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

（1）證明：平面BED，平面AC。；

（2）設(shè)AB=3r>=2,NACB=60。，點(diǎn)尸在BO上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面9所成

的角的正弦值.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析

（2）CF與平面42所成的角的正弦值為型

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明AAS慮△CBO,得到4B=CB，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直

關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

（2）根據(jù)勾股定理逆用得到BEIDE，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即

可.

【小問(wèn)I詳解】

因?yàn)锳D=CD,E為AC的中點(diǎn)，所以AC_LDE；

在和△CBO中，因?yàn)锳。=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以△ABOgZkCBO,所以AB=C3,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以ACd.BE；

又因?yàn)镺E,8Eu平面BED，DECBE=E，所以AC_L平面B￡D，

因?yàn)锳Cu平面AC。，所以平面BED_L平面ACO.

【小問(wèn)2詳解】

連接￡E，由(1)知，AC_L平面8EZ),因?yàn)镋/u平面8瓦)，

所以ACLE/,所以50憶=(47-￡/，

當(dāng)印_LB￡>時(shí)，EF最小,即△AEC的面積最小.

因?yàn)椤鰽BOgaCBD,所以C3=AB=2,

又因?yàn)镹ACB=6()。，所以「ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以A￡=EC=1,BE=6,

因?yàn)锳D_LCD,所以。E=」AC=1,

2

在，。E8中，DE1+BE2=BD2-所以BE上DE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則A(l,(),0),8((),6,0),。((),0,1),所以AD=(-1,(),1),48=卜1,6,()卜

設(shè)平面43￡)的一個(gè)法向量為“=(x,y,z),

n-AD=-x+z-0(「\

則〈i-,取y=G，則〃=(3,j3,3),

n-AB=-x+y/3y=0''

'3、63]

又因?yàn)镃(-l,0,0),F。，寧，］，所以b

設(shè)CF與平面45。所成的角的正弦值為0<6><y

473

所以sin8=cos(n,CF

所以CF與平面4町所成的角的正弦值為迪.

7

19.某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山.為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選

23

取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：m）和材積量（單位：m）,得到如下數(shù)據(jù)：

總

樣本號(hào)i12345678910

和

根部橫截面積

0.040.060.040.080.080.050.050070.070.060.6

再

材積量y.0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

101010

并計(jì)算得?；=。°38,Z才=1.6158,Zx*=02474.

i=li=li=l

（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為

186m2,已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比.利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量

的估計(jì)值.

宜（七一?。▉V一歹）_____

附：相關(guān)系數(shù)廠=I“日“，V1-896?1.377.

\臣（王-元）5（乂-刃2

Vi=li=l

【答案】（1）0.06m2；0.39m3

(2)0.97

（3）1209m3

【解析】

【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平

均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；

（3）依據(jù)樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估

計(jì)值.

【小問(wèn)1詳解】

樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值%=—=0.06

10

39

樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值y=—=0.39

據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為0.06m2,

平均一棵的材積量為0.39m3

【小問(wèn)2詳解】

1010

工（h-可（x-9）*/-10歹

博-?。ㄒ唬?j序T。可停

02474T0x0.06x0.39=0334g0.0134B

7(0.038-10x0.062)(1.6158-10x0.392)V0.00018960.01377

則”0.97

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為Ym3，

又己知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比,

00.06186切、出彳

可得039='解之得y=1209m.

則該林區(qū)這