專(zhuān)題15 橢圓中的兩大張角（講義）-2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題突破140分高三數(shù)學(xué)之解析幾何（教師版）

第第頁(yè)專(zhuān)題15橢圓中的兩大張角一、中心直張角模型【定理1】直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓中心，設(shè)到的距離為，則的充要條件是，即．證明：設(shè)，直線(xiàn)設(shè)為，聯(lián)立得消去得，判別式，由韋達(dá)定理．必要性：，，化簡(jiǎn)得．從而原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．充分性：因?yàn)樵c(diǎn)到直線(xiàn)的距離，即，．拓展：在前提下，能否解決面積或弦長(zhǎng)的最值問(wèn)題．【定理1推廣】、直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓中心，設(shè)到的距離為，若，則（1）；（2）；（3）．證明：（1）設(shè)，，則．在橢圓上，，即，兩式相加得，又，．（2）由于，且，．（3），，即．同定理1的方法可得如下的定理2～定理6（證明過(guò)程省略）．【定理2】直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)中心，設(shè)到的距離為，則的充要條件是，．【定理3】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，則的充要條件是，此時(shí)直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．對(duì)于雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)，仿橢圓情形證明有如下推廣：【定理2推廣】直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)中心，設(shè)到的距離為，若，則（1）；（2）；（3）．【定理3推廣】直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，若，則（1）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)；（2）．二、非中心直張角模型【定理4】直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，為橢圓上不同于兩點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)，則的充要條件是直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．【定理5】直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)上不同于兩點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)，則的充要條件是直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．【定理6】直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，為拋物線(xiàn)上不同于兩點(diǎn)的一個(gè)定點(diǎn)，則的充要條件是直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．

例1．（2021·重慶一中高三階段練習(xí)）已知橢圓：.(1)若直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，求直線(xiàn)的斜率；(2)如圖，已知橢圓：與橢圓有相同的離心率，過(guò)橢圓上的任意一動(dòng)點(diǎn)作橢圓的兩條不與坐標(biāo)軸垂直的切線(xiàn)，，且，的斜率，的積恒為定值，試求橢圓的方程及的的值.【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）設(shè)，，利用點(diǎn)差法計(jì)算即可得出結(jié)果；（2）由題意設(shè)橢圓：，設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：，聯(lián)立，由，化簡(jiǎn)整理得，則，而，化簡(jiǎn)可得,要使之恒為定值，只需，計(jì)算可得結(jié)果.(1)設(shè)，，則，兩式相減并整理得：；(2)由題得橢圓的離心率，故，因此橢圓：，設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：，其中，即，且，即聯(lián)立：，因?yàn)榕c橢圓相切，所以整理得，視為的一元二次方程，則其兩根即為，由韋達(dá)定理，得，而，故上式要恒為定值，即與無(wú)關(guān)，則，得，此時(shí)，綜上，橢圓：，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.例2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，點(diǎn)M滿(mǎn)足|MF1|＋|MF2|＝，記M的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）設(shè)l為圓x2＋y2＝4上動(dòng)點(diǎn)T(橫坐標(biāo)不為0)處的切線(xiàn)，P是l與直線(xiàn)的交點(diǎn)，Q是l與軌跡C的一個(gè)交點(diǎn)，且點(diǎn)T在線(xiàn)段PQ上，求證：以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可求出結(jié)果；（2）特值檢驗(yàn)求出以PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，然后設(shè)出直線(xiàn)的方程，與橢圓聯(lián)立，進(jìn)而證得，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知M的軌跡是以F1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸的橢圓，所以，解得，故C的方程為；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則切線(xiàn)為，所以，所以圓的方程為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則切線(xiàn)為，所以，所以圓的方程為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，則切線(xiàn)為，所以，所以圓的方程為，，解得，所以以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)；接下來(lái)證明以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).顯然切線(xiàn)斜率不為0，故設(shè)切線(xiàn)的方程為，則，所以，到切線(xiàn)的距離，因此，設(shè)，，所以，，因此，因此，所以，因此以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】（1）解答直線(xiàn)與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線(xiàn)的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線(xiàn)方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線(xiàn)斜率為0或不存在等特殊情形．例3．（2022·浙江紹興·高二期末）已知橢圓的離心率，過(guò)橢圓C的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)截橢圓所得到的線(xiàn)段的長(zhǎng)度為1．(1)求橢圓C的方程；(2)直線(xiàn)交橢圓C于A(yíng)、B兩點(diǎn)，若y軸上存在點(diǎn)P，使得是以AB為斜邊的等腰直角三角形，求的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由條件可得，解出即可；（2）設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程消元，算出，，然后可算出，然后由可得，然后表示出的面積可得答案.(1)令，得，所以，解得，，所以橢圓C的方程：．(2)設(shè)，，取AB的中點(diǎn)，因?yàn)闉橐訟B為斜邊的等腰直角三角形，所以且，聯(lián)立得，則．∴．又∵，∴，且，，∴，由得，∴．∴．例4．（2022·上海市七寶中學(xué)附屬鑫都實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）設(shè)點(diǎn)是拋物線(xiàn)上異于原點(diǎn)O的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作斜率為、的兩條直線(xiàn)分別交于、兩點(diǎn)（P、A、B三點(diǎn)互不相同）．(1)已知點(diǎn)，求的最小值；(2)若，直線(xiàn)AB的斜率是，求的值；(3)若，當(dāng)時(shí)，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)；(2)3；(3)；【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足拋物線(xiàn)，構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，求其最值即可；（2）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出的直線(xiàn)方程，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理求得點(diǎn)坐標(biāo)，同理求得點(diǎn)坐標(biāo)，再利用斜率計(jì)算公式求得即可；（3）根據(jù)題意，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化，求得關(guān)于的一元二次方程，利用其有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即可求得的取值范圍.(1)因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，故可得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值.故的最小值為.(2)當(dāng)時(shí)，故可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為；則的直線(xiàn)方程為：，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程：，可得：，故可得，解得：，又故可得同理可得：，又的斜率，即.故為定值.(3)當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)，因?yàn)閮牲c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，故可得，，因?yàn)?，故可得，整理得：，，因?yàn)槿c(diǎn)不同，故可得，則，即，，此方程可以理解為關(guān)于的一元二次方程，因?yàn)?，故該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，即，故，則，解得或.故點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考察直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交時(shí)的范圍問(wèn)題，定值問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是合理且充分的利用韋達(dá)定理，本題計(jì)算量較大，屬綜合困難題.例5．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)，且該橢圓的短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，的張角為直角.（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率大于0的直線(xiàn)與橢圓E相交于點(diǎn)P，Q，直線(xiàn)AP，AQ與y軸相交于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)已知條件，求得的值，由此求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)直線(xiàn)和直線(xiàn)的方程求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)后寫(xiě)出判別式和根與系數(shù)關(guān)系，求得的表達(dá)式，由此求得的取值范圍.【詳解】（1）由于橢圓的短軸端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)，的張角為直角，所以，所以，，（2）設(shè)直線(xiàn)l的方程為，，，直線(xiàn)AP的方程為，可得，直線(xiàn)AQ的方程為，可得.聯(lián)立，消去y，整理得.可得，由于，所以.，由于，所以，也即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.例6．（2022·四川達(dá)州·高二期末（文））如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)是圓與x軸的交點(diǎn)，橢圓C的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)等于圓O的直徑．(1)求橢圓C的方程；(2)F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B在線(xiàn)段FA上，直線(xiàn)BD，BE與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)分別是D，E，直線(xiàn)BD與直線(xiàn)BE的傾斜角互補(bǔ)，直線(xiàn)BD與圓O相切，設(shè)直線(xiàn)BD的斜率為．當(dāng)時(shí)，求k．【答案】(1)；(2)-1.【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得，求出參數(shù)b，即可寫(xiě)出橢圓C的方程；（2）延長(zhǎng)線(xiàn)段DB交橢圓C于點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性設(shè)B，為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理并結(jié)合已知條件可得，直線(xiàn)與圓相切可得，進(jìn)而求參數(shù)t，即可求直線(xiàn)BD的斜率.(1)因?yàn)閳A與x軸的交點(diǎn)分別為，，所以橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，∴，根據(jù)條件得，∴，故橢圓C的方程為．(2)延長(zhǎng)線(xiàn)段DB交橢圓C于點(diǎn)，因直線(xiàn)BD與直線(xiàn)BE的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得．由條件可設(shè)B的坐標(biāo)為，設(shè)D，的縱坐標(biāo)分別為，，直線(xiàn)的方程為，．由于，即，所以．由得：．∴，．∴①，②，由①得：，代入②得，∴．∵直線(xiàn)與圓相切，∴，即．∴，解得，又，∴，故，即直線(xiàn)BD的斜率．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將已知線(xiàn)段的長(zhǎng)度關(guān)系轉(zhuǎn)化為D，的縱坐標(biāo)的數(shù)量關(guān)系，設(shè)直線(xiàn)的含參方程，聯(lián)立橢圓方程及其與圓的相切求參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求參數(shù)即可.例7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，直線(xiàn)和橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，且與軸垂直時(shí)，.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在與軸不垂直的直線(xiàn)，使弦的垂直平分線(xiàn)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）不存在.【分析】（1）列a,b,c的方程組即可求解；（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，由點(diǎn)差法得，得推出矛盾即可【詳解】（1）由題意:點(diǎn)（c,）在橢圓上，故，∴，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）（點(diǎn)差法）：設(shè)，，的中點(diǎn)為，橢圓的右焦點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，則：，∴，∴，，∴，即：，故不存在.例8．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且．(1)求；(2)設(shè)F為C的焦點(diǎn)，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)方程求出弦長(zhǎng)即可得出；（2）設(shè)直線(xiàn)：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．【詳