專題三：數(shù)與式內(nèi)容分析與教學(xué)(一)

第第頁專題三：數(shù)與式內(nèi)容分析與教學(xué)(一)數(shù)與式內(nèi)容分析與教學(xué)〔一〕

胡：老師們，大家好！數(shù)與式是整個中學(xué)代數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。今天起，我們談一談數(shù)與式內(nèi)容的教學(xué)。我們將數(shù)與式的內(nèi)容分為兩課時介紹。本課時，先介紹有關(guān)數(shù)的內(nèi)容與教學(xué)分析。

本學(xué)段主要討論的數(shù)是有理數(shù)和實數(shù)。準(zhǔn)確地說，是負(fù)數(shù)和無理數(shù)。那么，這兩類數(shù)的學(xué)習(xí)重點分別是什么呢？請馬老師給我們簡約介紹一下。

馬：我們知道，任何數(shù)的學(xué)習(xí)，主要包括表示和運算。首先談?wù)勜?fù)數(shù)。引入負(fù)數(shù)，首先是解決實際問題的需要，有了負(fù)數(shù)就可以方便地表示現(xiàn)實世界中具有相反意義的量：

字幕：加速、減速；上升、下降；進(jìn)口、出口；收入、支出；贏球、輸球；向東行駛、向西行駛。

等等。相比較同學(xué)以往學(xué)習(xí)的正數(shù)，增加了負(fù)數(shù)，或者說形成了有理數(shù)以后，數(shù)的確定需要兩個因素——大小、方向。從表示法上就涌現(xiàn)了相反數(shù)、絕對值，甚至數(shù)軸上的點。至于有理數(shù)的運算，仍舊采納與學(xué)校運算相同的意義：

字幕：加法就是“合并”、減法就是“移除”。乘法與加法的關(guān)系、除法與減法的關(guān)系也是類似。

所以，運算法那么與運算律是不變的。所以，從學(xué)習(xí)運算的角度上看，有理數(shù)與原先的非負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)是相近的。

程：事實上，這一點也可以從請《標(biāo)準(zhǔn)》對有理數(shù)內(nèi)容的要求中看到。

字幕：

1.理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，能比較有理數(shù)的大小。

2.借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，掌控求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值的方法，知道｜a｜的含義〔這里a表示有理數(shù)〕。

3.理解乘方的意義，掌控有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡約的混合運算〔以三步以內(nèi)為主〕。

4.理解有理數(shù)的運算律，能運用運算律簡化運算。

5.能運用有理數(shù)的運算解決簡約的問題。

胡：下面我們談?wù)劅o理數(shù)吧。

馬：從歷史上看，無理數(shù)的涌現(xiàn)首先是數(shù)學(xué)上的一種“覺悟”：比如，單位正方形的對角線長總是肯定的，到底是多少呢？在有理數(shù)集里找不到答案。所以引入了新數(shù)：無理數(shù)。再將它與有理數(shù)做類比，可以得到相同的表示法，以及四那么運算法那么、運算律。這些與有理數(shù)的涌現(xiàn)很接近。當(dāng)然，由于無理數(shù)的引入，數(shù)的運算就多了一個種類——開方。

程：《標(biāo)準(zhǔn)》對實數(shù)學(xué)習(xí)的要求是：

字幕：

1.了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根。

2.了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方運算求百以內(nèi)整數(shù)〔對應(yīng)的負(fù)整數(shù)〕的立方根，會用計算器求平方根和立方根。

3.了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能求實數(shù)的相反數(shù)與絕對值。

4.能用有理數(shù)估量一個無理數(shù)的大致范圍。

5.了解近似數(shù)，在解決實際問題中，能用計算器進(jìn)行近似計算，并會按問題的要求對結(jié)果取近似值。

6.了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式〔根

號下僅限于數(shù)〕加、減、乘、除運算法那么，會用它們進(jìn)行有關(guān)的簡約四那么運算。

胡：我想許多老師關(guān)懷的是數(shù)的教學(xué)應(yīng)當(dāng)抓住哪些重點。

程：我想，從前面的分析，不難發(fā)覺，數(shù)的學(xué)習(xí)關(guān)鍵是“表示法”和“運算”。其中，表示法比較新——相對學(xué)校而言，多了方向的要素，同學(xué)可能開始不習(xí)慣，這里，借助數(shù)軸可以對教學(xué)有所援助：在數(shù)軸上看3與-3的異同點、看2與-3之間的距離，等等；其次，運算那么更多地表達(dá)為相像——從運算法那么到運算律。所以可以采納類比以往運算的方式，讓同學(xué)從實例中歸納出運算律。這樣不僅可以加深同學(xué)對知識的理解，還可以進(jìn)展他們的歸納與類比技能。

字幕：

數(shù)的表示：借助數(shù)軸可以對教學(xué)有所援助：讓同學(xué)在數(shù)軸上看3與-3的異同點、看2與-3之間的距離；

數(shù)的運算：類比以往的運算，通過實例歸納出運算律。

需要留意的是，最簡二次根式的引入主要是明確相關(guān)運算的要求——算到哪一步為準(zhǔn)。而不盼望引入繁復(fù)的根式運算，特別地，《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，

字幕：根號下僅限于數(shù)，不要求進(jìn)行根號下含字母的二次根式

48：計算：〔1

，等。為此，《標(biāo)準(zhǔn)》特地提供了案例〔2

其實，如何教學(xué)有理數(shù)運算，廣闊一些老師作了很多探究，大家不妨看看以下文章《立足同學(xué)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)重構(gòu)有理數(shù)加減運算》?！鎏?？

爭論問題？

閱讀材料有理數(shù)的小知識有理數(shù)的含義。有理數(shù)是指一切形如m(m,nz,n0)的分?jǐn)?shù)。一切n

分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，因此，我們可以基于小數(shù)來定義有理數(shù)：“有理數(shù)是有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)〔無理數(shù)是無限非循環(huán)小數(shù)〕”1。

有理數(shù)的擴充過程，一般經(jīng)受了自然數(shù)〔零與正整數(shù)〕集合〔N〕中添加負(fù)數(shù)形成整數(shù)集〔Z〕，在整數(shù)集體中添加分?jǐn)?shù)形成有理數(shù)集〔Q〕。

有理數(shù)，英文的單詞：rationalnumber，意思是“理性的數(shù)”，翻譯成中文就成了“有理數(shù)”。事實上，“rational”來源于古希臘，詞根“ratio”是比率的意思，因此，“有理數(shù)”的原意就是“整數(shù)的比”，這與我們把分?jǐn)?shù)看作“部分與整體之間的關(guān)系”是全都的。

數(shù)與式內(nèi)容分析與教學(xué)〔一〕

胡：老師們，大家好！數(shù)與式是整個中學(xué)代數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)。今天起，我們談一談數(shù)與式內(nèi)容的教學(xué)。我們將數(shù)與式的內(nèi)容分為兩課時介紹。本課時，先介紹有關(guān)數(shù)的內(nèi)容與教學(xué)分析。

本學(xué)段主要討論的數(shù)是有理數(shù)和實數(shù)。準(zhǔn)確地說，是負(fù)數(shù)和無理數(shù)。那么，這兩類數(shù)的學(xué)習(xí)重點分別是什么呢？請馬老師給我們簡約介紹一下。

馬：我們知道，任何數(shù)的學(xué)習(xí)，主要包括表示和運算。首先談?wù)勜?fù)數(shù)。引入負(fù)數(shù)，首先是解決實際問題的需要，有了負(fù)數(shù)就可以方便地表示現(xiàn)實世界中具有相反意義的量：

字幕：加速、減速；上升、下降；進(jìn)口、出口；收入、支出；贏球、輸球；向東行駛、向西行駛。

等等。相比較同學(xué)以往學(xué)習(xí)的正數(shù)，增加了負(fù)數(shù)，或者說形成了有理數(shù)以后，數(shù)的確定需要兩個因素——大小、方向。從表示法上就涌現(xiàn)了相反數(shù)、絕對值，甚至數(shù)軸上的點。至于有理數(shù)的運算，仍舊采納與學(xué)校運算相同的意義：

字幕：加法就是“合