云南省楚雄彝族自治州楚雄市楚雄天人初級中學2023-2024學年九年級上學期期末數(shù)學試題含答案

－2024學年云南省楚雄州楚雄市天人中學九年級（上）期末數(shù)學試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題2分，共24分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）A.1、3、6 B.1、3、－6 C.1、－3、6 D.1、－3、－62.將拋物線先向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，所得新拋物線的解析式為（

）A. B. C. D.3.下列圖案中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A.B. C. D.4.如圖是由5個相同的小正方體組成的立體圖形，它的俯視圖是（）

A． B. C. D.5.如圖，把△ABC繞點C順時針旋轉35°得到，交AC于點D，若，則的度數(shù)是（）A.35° B.50° C.55° D.60°6.如圖，⊙O的直徑AB＝8，，則CD等于（）A.1 B.2 C.3 D.47.如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40，則陰影部分的面積是（）A.80 B.40 C.20 D.108.如圖，電路圖上有4個開關A、B、C、D和1個小燈泡，同時閉合開關A、B或同時閉合開關C、D都可以使小燈泡發(fā)光．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（）A.只閉合1個開關 B.只閉合2個開關 C.只閉合3個開關 D.閉合4個開關9.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若斜邊AB是直角邊BC的3倍，則tanB的值是（）A. B.3 C. D.10.如圖，正方形ABCD中，AB＝2，E為BC中點，過點E作EF⊥AE交CD于F，則CF的長為（）A. B. C.1 D.211.函數(shù)與在同一直角坐標系中的圖象可能是（）A. B. C. D.12.如圖，二次函數(shù)的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（－1，0），下列結論：①ab＜0，②b2－4ac＞0，③a－b＋c＜0，④c＝1，⑤當x＞－1時，y＞0其中正確結論的個數(shù)是（）

A．2個 B.3個 C.4個 D.5個二、填空題：本題共8小題，每小題2分，共16分．13.已知一個扇形的半徑為30cm，面積為，則此扇形的弧長為_____cm．14.已知，則______．15.如圖，AB、AC是⊙O切線，切點為B、C，連接BC，若△ABC是等邊三角形，弦BC所對的圓周角為______°．

16.已知拋物線為與關于原點對稱，我們稱為與互為“和諧拋物線”，請寫出拋物線的“和諧拋物線”______．17.如圖，直角三角形ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，將三角形的斜邊AB放在定直線L上，將點A按順時針方向在L上轉動兩次，轉動到的位置，設BC＝1，AC＝，AB＝2，則點A所經(jīng)過的路線長是______．18.如圖，在ABCD中，，BD與MC相交于點O，則______．19.如圖，矩形ABCD的頂點C，D分別在反比例函數(shù)、的圖象上，頂點A，B在x軸上，則矩形ABCD的面積是______．20.如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，連接OD，ON，則∠DON＝______°．

三、解答題：本題共9小題，共60分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．21.（本小題6分）計算，解方程：（1）計算：；（2）解下列一元二次方程：22.（本小題6分）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．23.（本小題5分）已知，求的值．24.（本小題7分）某課外研究小組為了解學生參加課外體育活動的情況，采取抽樣調(diào)查的方法從籃球、排球、乒乓球、足球及其他等五個方面調(diào)查了若干名同學的興趣愛好每人只能選其中一項，并將調(diào)查結果繪制成統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）在這次考察中一共調(diào)查了______名學生，請補全條形統(tǒng)計圖；（2）被調(diào)查同學中恰好有4名學來自初一2班，其中有2名同學選擇了籃球，有2名同學選擇了乒乓球，曹老師打算從這4名同學中選擇兩同學了解他們對體育社團的看法，請用列表法或畫樹狀圖法，求選出的兩人恰好都選擇同一種球的概率．25.（本小題6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（4，2），B（3，0），將△OAB繞O點逆時針方向旋轉90°得到．（1）在網(wǎng)格中畫出；（2）點的坐標為______；（3）線段OB在旋轉過程中掃過的面積為______（結果保留）．26.（本小題7分）瀛湖——安康水電站建成后形成的陜西最大的人工湖，金螺島是瀛湖風景區(qū)重要景點之一，坐落在金螺島頂?shù)穆莘逅?，氣勢宏偉，巍巍壯觀．某天莉莉想測量該塔的高度，但是由于景區(qū)限制，塔底B處無法直接到達，于是她在地面上的點C處，測得塔頂A的仰角為45°，并從C處沿BC繼續(xù)向前走27米，到達點D處，此時測得塔頂A的仰角為26.6°，已知點B、C、D在同一水平直線上，AB⊥BD，請你計算該塔的高度AB．（參考數(shù)據(jù)：，，）27.（本小題7分）2022年冬季奧運會和冬季殘奧會兩件賽事在我國首都北京和河北省石家莊市舉行，某商家購進了冬季殘奧會吉祥物“雪容融”紀念品，每個的進價是30元．為了增大“雪容融”類紀念品的銷售量；商家決定對“雪容融”類紀念品進行降價銷售，當銷售價為每個44元時，每天可以售出20個，每降價1元，每天將多售出5個．請問商家應將“雪容融”類紀念品每個降價多少元時，每天售出此類紀念品能獲利400元？28.（本小題7分）如圖，AB為⊙O的直徑，點D為⊙O上一點，E為的中點，點C在BA的延長線上，且∠CDA＝∠B．（1）求證：CD為⊙O的切線；（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求圖中陰影部分的面積．29.（本小題9分）如圖，已知拋物線的頂點C的坐標為（－3，2），此拋物線交x軸于點A，B兩點，交y軸于點D，點P為直線AD上方拋物線上一點，過點P作PE⊥x軸垂足為E，交直線AD于點N，連接AP，PD．（1）求拋物線和直線AD的解析式；（2）求線段PN的最大值；（3）當△APD的面積是△ABC的面積的時，求點P的坐標．答案和解析1.【答案】C

【解析】解：方程整理得：x2－3x＋6＝0，則方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1，－3，6，故選：C．先化成一元二次方程的一般形式，再找出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項即可．本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關鍵，注意：①一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），②找項的系數(shù)帶著前面的符號．2.【答案】D

【解析】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y＝x2＋1先向右平移3個單位所得拋物線的解析式為：y＝（x－3）2＋1；由“上加下減”的原則可知，將拋物線y＝（x＋3）2＋1向上平移2個單位所得拋物線的解析式為：．選：D．根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關鍵．3.【答案】A

【解析】解：A、是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：A．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．4.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)從上邊看得到的圖形是俯視圖，可得答案．本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握三視圖的概念是解題的關鍵．【解答】

解：它的俯視圖是：

故選：C．5.【答案】C

【解析】解：∵把△ABC繞點C順時針旋轉35°后，得到，

，

而，

．

故選C．

由于把△ABC繞點C順時針旋轉35°后，得到，那么根據(jù)旋轉的旋轉知道，而，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解．

此題主要考查了旋轉的定義和性質，同時也利用三角形的內(nèi)角和定理，解題的關鍵是利用旋轉得到．6.【答案】D

【解析】解：連接OC、OD，如圖，

，，

，

，

∴△COD是等邊三角形，

，

又∵直徑，

，

故選：D．

連接OC、OD，由，，得到，得到△COD是等邊三角形，所以有，再由直徑，即可求出DC．

本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的性質．7.【答案】C

【解析】解：設，，則，，

所以

故選：C．

設，，由拼圖可知，，再利用三角形面積公式分別用代數(shù)式表示兩個陰影三角形的面積和，再根據(jù)平方差公式進行因式分解即可．

本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的關鍵．8.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查隨機事件和確定性事件，理解隨機事件的概念是解題的關鍵．

分別分析閉合一個、二個、三個或四個開關，判斷燈泡發(fā)光情況，即可得出結論．

【解答】

解：只閉合1個開關，燈泡一定不發(fā)光，是確定性事件；

只閉合兩個開關，燈泡可能發(fā)光也可能不發(fā)光，是隨機事件；

只閉合3個開關，燈泡一定發(fā)光，是確定性事件；

閉合4個開光，燈泡一定發(fā)光，是確定性事件；

故選B．9.【答案】D

【解析】【分析】

設，則，由勾股定理求出AC，根據(jù)三角函數(shù)的概念求出tanB．

本題考查的是銳角三角函數(shù)的概念和勾股定理的應用，應用勾股定理求出直角三角形的邊長、正確理解銳角三角函數(shù)的概念是解題的關鍵．

【解答】

解：設，則，

由勾股定理得，，

，

故選：D．10.【答案】B

【解析】解：四邊形ABCD是正方形，

，，

，

，

，，

，

∽，

，

，

，

，

故選：B．

證明△ABE∽△ECF，利用相似三角形的性質解決問題即可．

本題考查正方形的性質，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題．11.【答案】B

【解析】解：A、雙曲線經(jīng)過第二、四象限，則．則直線應該經(jīng)過第二、四象限，故本選項錯誤．

B、雙曲線經(jīng)過第一、三象限，則所以直線應該經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于正半軸，故本選項正確．

C、雙曲線經(jīng)過第二、四象限，則所以直線應該經(jīng)過第二、四象限，且與y軸交于正半軸，故本選項錯誤．

D、雙曲線經(jīng)過第一、三象限，則所以直線應該經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于正半軸，故本選項錯誤．

故選：

根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在的象限可以判定a的符號，根據(jù)a的符號來確定直線所經(jīng)過的象限．

此題考查一次函數(shù)，反比例函數(shù)中系數(shù)及常數(shù)項與圖象位置之間關系，難度不大，屬于基礎題．12.【答案】B

【解析】解：有圖象可知，

，，則，故①正確；

圖象與x軸兩個交點，則，故②正確；

圖象過點，則，故③錯誤；

圖象過點（0，1），則c＝1，故④正確；

由圖象可知，當時，一部分函數(shù)值大于0，有一個函數(shù)值等于0，還有一分部小于0，故⑤錯誤；

由上可得，正確的結論是①②④，有3個；

故選：B．

根據(jù)函數(shù)圖象和二次函數(shù)的性質可以判斷各個小題中的結論是否正確，從而可以解答本題．

本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質和數(shù)形結合的思想解答．13.【答案】

【解析】【分析】

本題考查了弧長的計算，扇形面積的計算．

根據(jù)扇形面積公式和扇形的弧長公式之間的關系，把對應的數(shù)值代入即可求得弧長．

【解答】

解：，

，

，

故答案為：．14.【答案】

【解析】解：，得，

故答案為：．

根據(jù)等比性質，可得答案．

本題考查了比例的性質，利用等比性質：是解題關鍵．15.【答案】60或120

【解析】解：在弦BC所對優(yōu)弧和劣弧上取點M和N，連接CM，BM，BN，CN，OB，OC，∵AB，AC分別與圓相切于B和C，

∴半徑，半徑，

，∵△ABC是等邊三角形，

，

，

，，

弦BC所對的圓周角為60°或120°．

故答案為：60或120

在弦BC所對優(yōu)弧和劣弧上取點M和N，連接CM，BM，BN，CN，OB，OC，由切線的性質推出，由等邊三角形的性質得到，求出，由圓周角定理得到，，于是得到弦BC所對的圓周角為60°或120°．

本題考查切線的性質，等邊三角形的性質，圓周角定理，關鍵是由切線的性質得到，從而求出的度數(shù)，由圓周角定理即可求解．16.【答案】

【解析】解：拋物線的“和諧拋物線”是，

化簡，得，

故答案為：

根據(jù)關于原點對稱的點的坐標規(guī)律：縱坐標互為相反數(shù)，橫坐標互為相反數(shù)，可得答案．

本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用了關于原點對稱的點的坐標規(guī)律．17.【答案】

【解析】解：如圖，第一次轉動是以B為圓心，圓心角120°，AB為半徑的圓弧，

第二次轉動是以為圓心，圓心角為90°，為半徑的圓弧，

所以點A所經(jīng)過的路線長為，

故答案為：

根據(jù)題意可知：第一次轉動是以B為圓心，圓心角120°，AB為半徑的圓弧，第二次轉動是以為圓心，圓心角為90°，為半徑的圓弧，代入弧長公式即可．

本題主要考查了扇形的弧長計算等知識，準確找出點A轉動兩次的運動路線是解題的關鍵．18.【答案】4∶9

【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

，，

，

，∵，

∴△DOM∽△BOC，

，

故答案為：4∶9

根據(jù)平行四邊形的性質得出，，求出，△DOM∽△BOC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出即可．

本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的性質和判定的應用，能求出兩三角形相似及其相似比是解此題的關鍵．19.【答案】3

【解析】解：延長CD交y軸于點E，∵點C在反比例函數(shù)的圖象上，∴矩形CBOE的面積為6，

∵點D分別在反比例函數(shù)的圖象上，

∴矩形ADEO的面積為3，

∴矩形ABCD的面積為：，

故答案為：3

根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征以及反比例函數(shù)k的幾何意義，可以求出結果．

考查反比例函數(shù)k的幾何意義，即過反比例函數(shù)圖象上一點，分別向x軸、y軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積等于．20.【答案】105

【解析】解：連接OA，OB，OE，OF，如圖，

∵點O是正六邊形ABCDEF的中心，

，，

為等邊三角形，，

∴D，O，A在一條直線上，，

∵以AB為邊在正六邊形ABCDEF的內(nèi)部作正方形ABMN，

，，

，，

，

故答案為：105

連接OA，OB，OE，OF，利用正六邊形的性質得到，，則△OAB為等邊三角形，D，O，A在一條直線上；利用正方形的性質，等邊三角形的性質和等腰三角形的性質求得∠AON的度數(shù)，則結論可得．

本題主要考查了正六邊形的性質，等邊三角形的性質，正方形的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的內(nèi)角和定理，連接正六邊形的半徑，證得D，O，A在一條直線上是解題的關鍵．21.【答案】解：（1）

；

（2），

整理得：，

，

或，

，

【解析】（1）先化簡各式，然后再進行計算即可解答；

（2）利用解一元二次方程－因式分解法進行計算，即可解答．

本題考查了解一元二次方程－因式分解法，實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，負整數(shù)指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．22.【答案】解：原式

，

∴原式

【解析】分別化簡代數(shù)式和x的值，代入計算．

本題的關鍵是化簡，然后把給定的值代入求值．同時還考查了特殊三角函數(shù)的值．23.【答案】解：，

，

，

，

，

解得：，

【解析】根據(jù)，可得：，所以，，據(jù)此求出x、y的值，進而求出的值即可．

此題主要考查了配方法的應用，以及偶次方的非負性質的應用，解答此題的關鍵是求出x、y的值．24.【答案】

把2名選擇了籃球和2名選擇了乒乓球的敘述分別標記為A，B和a，b，

根據(jù)題意列表如下：ABabA（A，B）（A，a）（A，b）B（B，A）（B，a）（B，b）a（a，A）（a，B）（a，b）b（b，A）（b，B）（b，a）由可知總有12種等可能性結果，其中兩人恰好都選擇同一種球的情況有4種，所以兩人恰好都選擇同一種球的概率

【解析】解：（1）由題意可知這次考察中一共調(diào)查了（名）

∴該校喜歡足球的學生有：名，

補全統(tǒng)計圖如圖：

故答案為：60；

（2）見答案

【分析】

（1）根據(jù)其他項目的人數(shù)和其所占的百分比即可求總數(shù)；由此可求出興趣愛好為足球的人數(shù)，進而可補全條形統(tǒng)計圖；

（2）用列表法求出總的事件所發(fā)生的數(shù)目，再根據(jù)概率公式即可求出兩人恰好都選擇同一種球的概率．

本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，求隨機事件的概率，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是（1）解決問題的關鍵，（2）解題的關鍵是必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．25.【答案】

【解析】解：（1）如圖1所示，為所畫；

（2）如圖2所示，過A作AC⊥x軸于C，

則，，

將△OAB繞O點逆時針方向旋轉90°，

，，

；

故答案為：；

（3），，∴線段OB在旋轉過程中掃過的圖形的面積為，

故答案為：．

（1）根據(jù)旋轉的性質，找出對應點即可畫出；

（2）根據(jù)圖形直接寫出答案即可；

（3）根據(jù)扇形的面積公式求解即可．

此題考查了旋轉變換的作圖與性質、扇形的面積公式等知識，熟練掌握旋轉變換的性質是解答此題的關鍵．26.【答案】解：由題意可知，，，米，

在RtABC中，

，

，

，

設米，則米，

在Rt△ABD中，

，

，

解得米，

答：該塔的高度AB約為27米．

【解析】在RtABC中，根據(jù)，得到，在Rt△ABD中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，設未知數(shù)列方程求解求出AB，進而求出答案．

本題考查解直角三角形，掌握直角三角形的邊角關系是解決問題的前提，理解兩個直角三角形的邊角之間的關系是正確解答的關鍵．27.【答案】解：設商家應將“雪容融”類紀念品每個降價x元，則“雪容融”類紀念品每個的銷售利潤為元，每天可以售出元，

依題意得：，

整理得：，

解得：，

答：當商家將“雪容融”類紀念品每個降價4元或6元時，每天售出此類紀念品能獲利400元．

【解析】設商家應將“雪容融”類紀念品每個降價x元，則“雪容融”類紀念品每個的銷售利潤