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浙江省五校聯(lián)盟2024年高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則()A. B. C. D.2.已知單位向量,的夾角為,若向量,,且,則()A.2 B.2 C.4 D.63.設(shè)集合,,則()A. B.C. D.4.已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為()A. B. C. D.5.根據(jù)最小二乘法由一組樣本點(diǎn)(其中),求得的回歸方程是,則下列說法正確的是()A.至少有一個樣本點(diǎn)落在回歸直線上B.若所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則變量同的相關(guān)系數(shù)為1C.對所有的解釋變量(),的值一定與有誤差D.若回歸直線的斜率,則變量x與y正相關(guān)6.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.7.如圖,在底面邊長為1,高為2的正四棱柱中,點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn),則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A.2 B.3 C.4 D.58.已知,,,則的最小值為()A. B. C. D.9.某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別,數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個方向展開研究,且每個方向均有研究生學(xué)習(xí),其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種10.是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線的對稱圓上的一點(diǎn),則最小值是()A. B. C. D.11.某工廠利用隨機(jī)數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進(jìn)行抽樣測試,先將600個零件進(jìn)行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個樣本,下圖提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.57812.已知直線y=k(x﹣1)與拋物線C:y2=4x交于A,B兩點(diǎn),直線y=2k(x﹣2)與拋物線D:y2=8x交于M,N兩點(diǎn),設(shè)λ=|AB|﹣2|MN|,則()A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣12二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知復(fù)數(shù),且滿足(其中為虛數(shù)單位),則____.14.在中,角,,所對的邊分別邊,且,設(shè)角的角平分線交于點(diǎn),則的值最小時(shí),___.15.在回歸分析的問題中,我們可以通過對數(shù)變換把非線性回歸方程,()轉(zhuǎn)化為線性回歸方程,即兩邊取對數(shù),令,得到.受其啟發(fā),可求得函數(shù)()的值域是_________.16.已知數(shù)列滿足對任意,若,則數(shù)列的通項(xiàng)公式________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐的底面中,為等邊三角形,是等腰三角形,且頂角,,平面平面,為中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè)直線是曲線的切線,若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率時(shí)切線的方程.(3)已知分別在,處取得極值,求證:.19.(12分)已知函數(shù)(,),且對任意,都有.(Ⅰ)用含的表達(dá)式表示;(Ⅱ)若存在兩個極值點(diǎn),,且,求出的取值范圍,并證明;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷零點(diǎn)的個數(shù),并說明理由.20.(12分)已知,均為正數(shù),且.證明:(1);(2).21.(12分)如圖,己知圓和雙曲線,記與軸正半軸、軸負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為、,又記與在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為、.(1)若,且恰為的左焦點(diǎn),求的兩條漸近線的方程;(2)若,且,求實(shí)數(shù)的值;(3)若恰為的左焦點(diǎn),求證:在軸上不存在這樣的點(diǎn),使得.22.(10分)若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.(1)設(shè)函數(shù)().①當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”,求k的值;(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個不相等的“F點(diǎn)”,,且,求a的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運(yùn)算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.2、C【解析】
根據(jù)列方程,由此求得的值,進(jìn)而求得.【詳解】由于,所以,即,解得.所以所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量垂直的表示,考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查向量模的求法,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
利用一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運(yùn)算可得,.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運(yùn)算;考查運(yùn)算求解能力;屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
如圖所示,當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí),三棱錐的體積最大,設(shè)球的半徑為,此時(shí),故,則球的表面積為,故選C.考點(diǎn):外接球表面積和椎體的體積.5、D【解析】
對每一個選項(xiàng)逐一分析判斷得解.【詳解】回歸直線必過樣本數(shù)據(jù)中心點(diǎn),但樣本點(diǎn)可能全部不在回歸直線上﹐故A錯誤;所有樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則變量間的相關(guān)系數(shù)為,故B錯誤;若所有的樣本點(diǎn)都在回歸直線上,則的值與相等,故C錯誤;相關(guān)系數(shù)r與符號相同,若回歸直線的斜率,則,樣本點(diǎn)分布應(yīng)從左到右是上升的,則變量x與y正相關(guān),故D正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性回歸方程的性質(zhì),意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.6、D【解析】
利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因?yàn)?由誘導(dǎo)公式可得,,即,因?yàn)?所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運(yùn)算求解能力和知識的綜合運(yùn)用能力;屬于中檔題.7、A【解析】
根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀,結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知,三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形,其面積都是,正視圖與側(cè)視圖的面積之和為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和,解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀,考查空間想象能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】,選B9、B【解析】
將人臉識別方向的人數(shù)分成:有人、有人兩種情況進(jìn)行分類討論,結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識別方向有2人時(shí),有種,當(dāng)人臉識別方向有1人時(shí),有種,∴共有360種.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡單排列組合問題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
求出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對稱圓的方程,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值,由此可得出,即可得解.【詳解】如下圖所示:設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為點(diǎn),則,整理得,解得,即點(diǎn),所以,圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為,設(shè)點(diǎn),則,當(dāng)時(shí),取最小值,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算,同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.11、D【解析】
因?yàn)橐獙?00個零件進(jìn)行編號,所以編號必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復(fù)出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:,因?yàn)?35重復(fù)出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)數(shù)表表的應(yīng)用,正確掌握隨機(jī)數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.12、D【解析】
分別聯(lián)立直線與拋物線的方程,利用韋達(dá)定理,可得,,然后計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】設(shè),聯(lián)立則,因?yàn)橹本€經(jīng)過C的焦點(diǎn),所以.同理可得,所以故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與拋物線的交點(diǎn)問題,運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)弦求參數(shù),屬基礎(chǔ)題。二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
計(jì)算出,兩個復(fù)數(shù)相等,實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等,列方程組求解.【詳解】,所以,所以.故答案為:-8【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算和概念辨析,需要熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.14、【解析】
根據(jù)題意,利用余弦定理和基本不等式得出,再利用正弦定理,即可得出.【詳解】因?yàn)?,則,由余弦定理得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,又因?yàn)?,,所?故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用,以及基本不等式求最值,考查計(jì)算能力.15、【解析】
轉(zhuǎn)化()為,即得解.【詳解】由題意:().故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查類比法求函數(shù)的值域,考查了學(xué)生邏輯推理,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.16、【解析】
由可得,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項(xiàng)為2,公比為2,,,,,滿足上式,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項(xiàng)公式,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】
(1)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,首先通過條件得出,加,可得,進(jìn)而可得平面,再加上平面,可得平面平面,則平面;(2)設(shè)中點(diǎn)為,連接、,可得平面,加上平面,則可如圖建立直角坐標(biāo)系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:設(shè)中點(diǎn)為,連接、,為等邊三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,為的中位線,,平面,平面,平面,、為平面內(nèi)二相交直線,平面平面,平面DMN,平面;(2)設(shè)中點(diǎn)為,連接、為等邊三角形,是等腰三角形,且頂角,,、、共線,,,,,平面平面.平面平面平面,交線為,平面平面.設(shè),則在中,由余弦定理,得:又,,,,,為中點(diǎn),,建立直角坐標(biāo)系(如圖),則,,,.,,設(shè)平面的法向量為,則,,取,則,,平面的法向量為,,二面角為銳角,二面角的余弦值大小為.【點(diǎn)睛】本題考查面面平行證明線面平行,考查向量法求二面角的大小,考查學(xué)生計(jì)算能力和空間想象能力,是中檔題.18、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為;(2),;(3)證明見解析.【解析】
(1)由的正負(fù)可確定的單調(diào)區(qū)間;(2)利用基本不等式可求得時(shí),取得最小值,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,從而求得,求得切點(diǎn)坐標(biāo)后,可得到切線方程;(3)由極值點(diǎn)的定義可知是的兩個不等正根,由判別式大于零得到的取值范圍,同時(shí)得到韋達(dá)定理的形式;化簡為,結(jié)合的范圍可證得結(jié)論.【詳解】(1)由題意得:的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,,當(dāng)和時(shí),;當(dāng)時(shí),,的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.(2),所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號),切線的斜率存在最小值,,解得:,,即切點(diǎn)為,從而切線方程,即:.(3),分別在,處取得極值,,是方程,即的兩個不等正根.則,解得:,且,.,,,即不等式成立.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等知識;本題中證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過極值點(diǎn)的定義將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗栴}.19、(1)(2)見解析(3)見解析【解析】試題分析:利用賦值法求出關(guān)系,求函數(shù)導(dǎo)數(shù),要求函數(shù)有兩個極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個實(shí)根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個數(shù).試題解析:(Ⅰ)根據(jù)題意:令,可得,所以,經(jīng)驗(yàn)證,可得當(dāng)時(shí),對任意,都有,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,且,所以,令,要使存在兩個極值點(diǎn),,則須有有兩個不相等的正數(shù)根,所以或解得或無解,所以的取值范圍,可得,由題意知,令,則.而當(dāng)時(shí),,即,所以在上單調(diào)遞減,所以即時(shí),.(Ⅲ)因?yàn)?,.令得,.由(Ⅱ)知時(shí),的對稱軸,,,所以.又,可得,此時(shí),在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以最多只有三個不同的零點(diǎn).又因?yàn)?,所以在上遞增,即時(shí),恒成立.根據(jù)(2)可知且,所以,即,所以,使得.由,得,又,,所以恰有三個不同的零點(diǎn):,1,.綜上所述,恰有三個不同的零點(diǎn).【點(diǎn)睛】利用賦值法求出關(guān)系,利用函數(shù)導(dǎo)數(shù),研究函數(shù)的單調(diào)性,要求函數(shù)有兩個極值點(diǎn),只需在內(nèi)有兩個實(shí)根,利用一元二次方程的根的分布求出的取值范圍,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值,再根據(jù)函數(shù)圖象和極值的大小判斷零點(diǎn)的個數(shù)是近年高考壓軸題的熱點(diǎn).20、(1)見解析(2)見解析【解析】
(1)由進(jìn)行變換,得到,兩邊開方并化簡,證得不等式成立.(2)將化為,然后利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1),兩邊加上得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,∴.(2).當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.21、(1);(2);(2)見解析.【解析】
(1)由圓的方程求出點(diǎn)坐標(biāo),得雙曲線的,再計(jì)算出后可得漸近線方程;(2)設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐標(biāo),計(jì)算;(3)由已知得,設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可解得,,求出,從而可得,由,可知滿足要求的點(diǎn)不存在.【詳解】(1)由題意圓方程為,令得,∴,即,∴,,∴漸近線方程為.(2)由(1)圓方程為,,設(shè),由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)為,即,,代入雙曲線方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由題意,,,,,設(shè)由得:,,由得,解得,,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號成立,∴軸上不存在點(diǎn),使得.【點(diǎn)睛】本題考查求漸近線方程,考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運(yùn)算,本題對學(xué)生的運(yùn)算求解能力要求較高,解題時(shí)都是直接求出交點(diǎn)坐標(biāo).難度較大,屬于困難題.22、(1)①極小值為1,無極大值.②實(shí)數(shù)k的值為1.(2)【解析】
(1)①將代入可得,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè)是函數(shù)的一個“F點(diǎn)”(),即是的零點(diǎn),那么由導(dǎo)
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