專題10 存在性與恒成立問題（講義）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題《數(shù)學(xué)》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁專題10存在性與恒成立問題不等式恒成立的轉(zhuǎn)化策略一般有以下幾種：①分離參數(shù)＋函數(shù)最值②直接化為最值＋分類討論；③縮小范圍＋證明不等式；④分離函數(shù)＋數(shù)形結(jié)合（）。通過討論函數(shù)的單調(diào)性及最值，直接化為最值的優(yōu)點是函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單，是不等式恒成立的通性通法，高考參考答案一般都是以這種解法給出，缺點是一般需要分類討論，解題過程較長，解題層級數(shù)較多，不易掌握分類標(biāo)準(zhǔn)。一、分離參數(shù)法1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個字母時（一個視為變量，另一個視為參數(shù)），可利用不等式的等價變形讓兩個字母分居不等號的兩側(cè)，即不等號的每一側(cè)都是只含有一個字母的表達(dá)式.然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，另一個字母（一般為所求）視為參數(shù).3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點原則：（1）已知不等式中兩個字母是否便于進(jìn)行分離，如果僅通過幾步簡單變換即可達(dá)到分離目的，則參變分離法可行.但有些不等式中由于兩個字母的關(guān)系過于“緊密”，會出現(xiàn)無法分離的情形，此時要考慮其他方法.例如：，等（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過于復(fù)雜而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題.（可參見”恒成立問題——最值分析法“中的相關(guān)題目）4、參變分離后會出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設(shè)為自變量，其范圍設(shè)為，為函數(shù)；為參數(shù)，為其表達(dá)式）（1）若的值域為①，則只需要，則只需要②，則只需要，則只需要③，則只需要，則只需要④，則只需要，則只需要（2）若的值域為①，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）②，則只需要，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比）③，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比），則只需要④，則只需要（注意與（1）中對應(yīng)情況進(jìn)行對比），則只需要x/k-+w5、多變量恒成立問題：對于含兩個以上字母（通常為3個）的恒成立不等式，先觀察好哪些字母的范圍已知（作為變量），那個是所求的參數(shù)，然后通常有兩種方式處理（1）選擇一個已知變量，與所求參數(shù)放在一起與另一變量進(jìn)行分離.則不含參數(shù)的一側(cè)可以解出最值（同時消去一元），進(jìn)而多變量恒成立問題就轉(zhuǎn)化為傳統(tǒng)的恒成立問題了.（2）將參數(shù)與變量進(jìn)行分離，即不等號一側(cè)只含有參數(shù)，另一側(cè)是雙變量的表達(dá)式，然后按所需求得雙變量表達(dá)式的最值即可.二、數(shù)形結(jié)合法1、函數(shù)的不等關(guān)系與圖象特征：（1）若，均有的圖象始終在的下方（2）若，均有的圖象始終在的上方2、在作圖前，可利用不等式的性質(zhì)對恒成立不等式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化為兩個可作圖的函數(shù)3、要了解所求參數(shù)在圖象中扮演的角色，如斜率，截距等4、作圖時可“先靜再動”，先作常系數(shù)的函數(shù)的圖象，再做含參數(shù)函數(shù)的圖象（往往隨參數(shù)的不同取值而發(fā)生變化）5、在作圖時，要注意草圖的信息點盡量完備6、什么情況下會考慮到數(shù)形結(jié)合？利用數(shù)形結(jié)合解決恒成立問題，往往具備以下幾個特點：（1）所給的不等式運用代數(shù)手段變形比較復(fù)雜，比如分段函數(shù)，或者定義域含參等，而涉及的函數(shù)便于直接作圖或是利用圖象變換作圖（2）所求的參數(shù)在圖象中具備一定的幾何含義（3）題目中所給的條件大都能翻譯成圖象上的特征不等式恒成立問題常見處理方法：①分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③最值法：討論最值或恒成立；④討論參數(shù).最值法求解恒成立問題是三種方法中最為復(fù)雜的一種，但往往會用在解決導(dǎo)數(shù)綜合題目中的恒成立問題.此方法考查學(xué)生對所給函數(shù)的性質(zhì)的了解，以及對含參問題分類討論的基本功.是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的難點問題，下面通過典型例題總結(jié)此類問題的解法最值分析法.三、最值分析法1、最值法的特點：（1）構(gòu)造函數(shù)時往往將參數(shù)與自變量放在不等號的一側(cè)，整體視為一個函數(shù)，其函數(shù)含參（2）參數(shù)往往會出現(xiàn)在導(dǎo)函數(shù)中，進(jìn)而參數(shù)不同的取值會對原函數(shù)的單調(diào)性產(chǎn)生影響——可能經(jīng)歷分類討論2、理論基礎(chǔ)：設(shè)的定義域為（1）若，均有（其中為常數(shù)），則（2）若，均有（其中為常數(shù)），則3、技巧與方法：（1）最值法解決恒成立問題會導(dǎo)致所構(gòu)造的函數(shù)中有參數(shù)，進(jìn)而不易分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以在使用最值法之前可先做好以下準(zhǔn)備工作：①觀察函數(shù)的零點是否便于猜出（注意邊界點的值）②縮小參數(shù)與自變量的范圍：通過代入一些特殊值能否縮小所求參數(shù)的討論范圍（便于單調(diào)性分析）觀察在定義域中是否包含一個恒成立的區(qū)間（即無論參數(shù)取何值，不等式均成立），縮小自變量的取值范圍（2）首先要明確導(dǎo)函數(shù)對原函數(shù)的作用：即導(dǎo)函數(shù)的符號決定原函數(shù)的單調(diào)性.如果所構(gòu)造的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜不易分析出單調(diào)性，則可把需要判斷符號的式子拿出來構(gòu)造一個新函數(shù)，再想辦法解決其符號.（3）在考慮函數(shù)最值時，除了依靠單調(diào)性，也可根據(jù)最值點的出處，即“只有邊界點與極值點才是最值點的候選點”，所以有的討論點就集中在“極值點”是否落在定義域內(nèi).重難點題型一：直接轉(zhuǎn)化求最值+分類討論例1．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)已知函數(shù)在處的切線與圓相切，求實數(shù)的值.(2)已知時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）依題意，圓的圓心為，半徑為，對函數(shù)求導(dǎo)得，則函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，而，于是函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即，從而，解得，所以實數(shù)的值為2.（2）設(shè)，依題意，當(dāng)時，恒成立，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)得，當(dāng)時，當(dāng)時，，即有，因此函數(shù)，即在上單調(diào)遞減，于是當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而當(dāng)時，，因此，當(dāng)時，當(dāng)時，，則函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，于是當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)時，，不合題意，當(dāng)時，，函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是當(dāng)時，，不合題意，所以實數(shù)的取值范圍為.例2．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷的零點個數(shù)并說明理由；(2)若存在，使得當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)兩個零點，理由見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，從而可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，再由零點存在定理即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，然后分與討論，利用導(dǎo)數(shù)代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，．，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．由，，使得．當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．又，有兩個零點．（2）存在，使得當(dāng)時，，即存在，使得當(dāng)時，．設(shè)．（i）當(dāng)時，設(shè)．．在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞增．又，在上恒成立．．當(dāng)時，．取，當(dāng)時，恒成立．當(dāng)時滿足題意．（ii）當(dāng)時，設(shè)．．在上恒成立，在上單調(diào)遞增．又在上恒成立．設(shè)．在上恒成立，在上單調(diào)遞減．又在上恒成立．故恒成立，不合題意．綜上，的取值范圍為．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題以及利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，難度較大，解答本題的關(guān)鍵在于合理構(gòu)造函數(shù)，分類討論計算.1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）因為，所以，則，令，由于，所以，所以，因為，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）法一：構(gòu)建，則，若，且，則，解得，當(dāng)時，因為，又，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價于，所以的取值范圍為.法二：因為，因為，所以，，故在上恒成立，所以當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時，因為，令，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點，使得，此時在上有，所以在上單調(diào)遞增，則在上有，即，不滿足題意；綜上：.2．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若時，恒有，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)的極小值為，沒有極大值(2)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）先由有意義判斷得，再利用同構(gòu)法得到，利用導(dǎo)數(shù)可進(jìn)一步得到，再分類討論與，結(jié)合條件與的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）因為，所以，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，取得極小值，沒有極大值.（2）由有意義可得，又，則，因為，所以，即，因為，所以，所以，由（1）知，在上單調(diào)遞增，所以，則，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以；若，則，在中，令，得，這顯然不成立，所以不滿足題意；若，由，得，則，即.所以由，得，即，因為，所以；綜上，的取值范圍是.【點睛】結(jié)論點睛：對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立.重難點題型二：分離參數(shù)法+函數(shù)最值例3．（2024·四川宜賓·二模）已知不等式有解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出，即為所求.【詳解】不等式有解，即，，只需要，令，，，令，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即，，，即；，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，又由，可得，..故選：A.【點睛】思路點睛：由題意問題轉(zhuǎn)化為，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即只要.例4．（22-23高二下·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，然后分離參數(shù)即可求解.【詳解】因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以在上有解，且，所以，，令，則，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，由最大值，即.故選：D例5．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，證明：；(2)若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）構(gòu)建函數(shù)，，，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析證明；（2）構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)性質(zhì)分析可知：當(dāng)時，，分情況討論的取值范圍，根據(jù)恒成立問題結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析求解.【詳解】（1）記，，則，因為，則，可得，可知在上單調(diào)遞增，則，即，；當(dāng)時，等價于，記，，則，可知在上單調(diào)遞增，則，即，；綜上所述：當(dāng)時，．（2）由題意可知：等價于，記，可知的定義域為，則，可知為定義在內(nèi)為偶函數(shù)，所以題設(shè)等價于當(dāng)時，，（i）當(dāng)時，，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時，因為，整理得，①當(dāng)時，由（1）可知：，，則，可得又因為，可知存在，使得，因此當(dāng)，即不成立，不合題意；②當(dāng)時，可得，記，由（1）可知：，，可得，，可得，因為，則，，由（1）可得，則，可得，可知在單調(diào)遞減，則恒成立，符合題意；綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是．【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．1．（22-23高二下·北京·期末）已知函數(shù)，若存在，使，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將題意轉(zhuǎn)化為，，令，即，對求導(dǎo)，求出在的最大值即可得出答案.【詳解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以所以.故選：C.2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過在上單調(diào)遞減，列出不等式然后通過函數(shù)的最值求解實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知在上恒成立，所以在上恒成立.令，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞琙，所以，所以，解得，即的取值范圍是.故選：C.3．（23-24高三下·湖北荊州·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點斜式求解切線方程，（2）分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為對于恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值即可求解.【詳解】（1）時，，則，，故，所以直線方程為，即；（2），當(dāng)時，的最大值為，對于恒成立，則，即，，當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)，即對于恒成立，令，則，于是當(dāng)時，，遞增；在，，遞減，，因此

的取值范圍為【點睛】方法點睛：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.重難點題型三：縮小范圍+證明不等式例6．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)若有2個零點，證明：.【答案】(1)0；(2)證明見解析.【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，結(jié)合的范圍分類討論，即可根據(jù)函數(shù)的最值求解，（2）首先將不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的兩個零點，進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為，利用換元法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性即可求證.【詳解】（1）令，則.①當(dāng)時，知在上單調(diào)遞增.又，則.當(dāng)時，由于單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時，，即，不符題意.②當(dāng)時，.可知當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以當(dāng)時，取得極小值，也即為最小值，該最小值為.所以，即，不等式成立.③當(dāng)時，可時，，故不恒成立，不符題意.綜上所述，的值為0.（2）欲證，只需證，即證明，因為，兩式相減，得，整理得，所以，只需證明不等式，即證明，即證明，不妨設(shè)，令，則，只需證明，即證明即可，令，則，又令，則，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，則，則時，單調(diào)遞增，則，所以，原不等式成立，故不等式得證.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).例7．（23-24高三上·浙江湖州·期末）已知函數(shù).(1)是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若函數(shù)存在極大值，極小值，證明：.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)存在(2)證明見解析【分析】（1）首先確定函數(shù)定義域是，求出導(dǎo)函數(shù)，確定出在時，，時，，因此確定值使得時，時，恒成立，從而恒成立即得；（2）由（1）得出且時，的兩個極值點是1和，因此有，引入函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證得即得證．【詳解】（1）因為，則的定義域為，進(jìn)一步化簡得：令，則在上單調(diào)遞增，且，所以時，時，要使得單調(diào)遞增，則在上恒成立當(dāng)時，恒成立當(dāng)時，，當(dāng)時，，不合題意當(dāng)時，，當(dāng)時，，不合題意綜上：.（2）由（1）可得且，極值點為與1，所以令當(dāng)時，單調(diào)遞增當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，即成立.【點睛】方法點睛：證明與極值有關(guān)的不等式，一般先利用導(dǎo)數(shù)求得極值（本題中要求得極大值與極小值的和，可以不必區(qū)分哪個是極大值，哪個是極小值），然后引入新函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求出此函數(shù)的最值，從而證得不等式成立．1．（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且恒成立．(1)求實數(shù)a取值的集合；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)得，分時和討論，易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，進(jìn)而求得；（2）由變形得在時恒成立，則原不等式放縮為證，構(gòu)造，，求導(dǎo)得，再令，求得，通過研究的正負(fù)確定的單調(diào)性，再由的正負(fù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合即可求證.【詳解】（1）．當(dāng)時，注意到，不合題意；當(dāng)時，由，得；由0，得．∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴時，函數(shù)取得唯一極小值即最小值，因為恒成立且，∴；解得．∴實數(shù)a取值的集合是．（2）證明：由（1）可知：時，，即，變形得在時恒成立．要證明：，只需證明：，即證明．令，．，令，，令，解得．當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，，時單調(diào)遞增．即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而．．∴存在，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．當(dāng)時，，單調(diào)遞增．又，，∴對，恒成立，即．綜上可得：不等式成立．【點睛】方法點睛：本題考查由函數(shù)恒成立求參數(shù)范圍，由導(dǎo)數(shù)證明不等式.由函數(shù)恒成立求參數(shù)范圍一般可采用分離參數(shù)法，此法適用于后續(xù)構(gòu)造函數(shù)能利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行極值最值求解的情況，也可直接求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行分類討論，由極值或最值求出參數(shù)范圍.由導(dǎo)數(shù)證明不等式一般采用構(gòu)造函數(shù)法，放縮法等，本題中放縮是關(guān)鍵，對于相對復(fù)雜的涉及指數(shù)和對數(shù)的函數(shù)，往往還涉及二階導(dǎo)數(shù)，解題的總體思路是，由低階導(dǎo)數(shù)確定上一層函數(shù)的增減性與正負(fù)值，進(jìn)而確定原函數(shù)的增減性，極值與最值.2．（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開學(xué)考試）已知函數(shù)且恒成立.(1)求實數(shù)a取值的集合；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對求導(dǎo)，討論和兩種情況下的單調(diào)性，求出的最大值，結(jié)合及恒成立，即可求出的值；（2）利用（1）的結(jié)論，要證明，只需要證明：，即，構(gòu)造函數(shù)，二次求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合和的值即可證明結(jié)論．【詳解】（1）．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，這與矛盾，不合題意；當(dāng)時，由得；由得．∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴時，函數(shù)取得唯一極大值即最大值，又∵且，∴，解得．∴實數(shù)a取值的集合是．（2）由（1）可知：時，，即對時恒成立．∴要證明：，則只需要證明：，即．令，．，令，，令，解得．當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增．即函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．而．,.∴存在，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．當(dāng)時，，單調(diào)遞增．又，，∴對，恒成立，即．綜上可得．【點睛】解答有關(guān)不等式恒成立的常見答方法：（1）分離參數(shù)法；（2）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值；（3）數(shù)形結(jié)合；（4）對參數(shù)分類討論.重難點題型四：分離函數(shù)+數(shù)形結(jié)合例8．（2024·江蘇徐州·一模）（多選題）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，有唯一零點B．當(dāng)時，是減函數(shù)C．若只有一個極值點，則或D．當(dāng)時，對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得【答案】ABD【分析】對于A：求導(dǎo)，確定單調(diào)性，然后利用零點存在定理判斷；對于B：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性；對于C：直接驗證時的極值情況；對于D：求導(dǎo)，作出的圖象，觀察圖象可得.【詳解】對于A：當(dāng)時，，令，得，令，得，即在上單調(diào)遞增，又，，由零點存在定理可得在上有唯一零點，即有唯一零點，A正確；對于B：，令，得，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時,，所以恒成立，即當(dāng)時，是減函數(shù)，B正確；對于C：當(dāng)時，由B知，即，所以，即在上單調(diào)遞減，無極值，C錯誤；對于D：當(dāng)時，，，令，得，令，則，當(dāng)，即時，單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，單調(diào)遞減，所以，即恒成立，所以單調(diào)遞減，又，所以，所以在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，可得的大致圖象如下：由圖可知對任意實數(shù)，總存在實數(shù)，使得，D正確；故選：ABD.例9．（23-24高三上·山東日照·開學(xué)考試）（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)只有兩個極值點B．若關(guān)于的方程有且只有兩個實根，則的取值范圍為C．方程共有4個實根D．若關(guān)于的不等式的解集內(nèi)恰有兩個正整數(shù)，則的取值范圍為【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性、極值并畫出函數(shù)圖象，利用函數(shù)交點、數(shù)形結(jié)合判斷各項正誤即可.【詳解】A：對求導(dǎo)得：，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，在處取得極小值，在處取得極大值，對；B：由上分析，曲線及直線，如下圖，

由圖知：當(dāng)或時，直線與有2個交點，所以有且只有兩個實根，則的取值范圍為或，錯；C：由得：，解得，令且，由圖有兩解分別為，，所以或，而，則，則有兩解；又，由圖知也有兩解，綜上：方程共有4個根，對；D：因為直線過定點，且，，，記，，，所以，對.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)并畫出圖象，利用函數(shù)的交點研究方程的根、不等式的解集.例10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且關(guān)于的不等式在上恒成立，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）根據(jù)題意可知的定義域為，，令，得．當(dāng)時，時，，時；當(dāng)時，時，，時．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）依題意，，即在上恒成立，令，則．對于，，故其必有兩個零點，且兩個零點的積為，則兩個零點一正一負(fù)，設(shè)其正零點為，則，即，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即．令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，顯然函數(shù)在上是關(guān)于的單調(diào)遞增函數(shù)，則，所以實數(shù)的取值范圍為．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對于任意的實數(shù)x，都有成立，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】對進(jìn)行分類討論，利用分離常數(shù)法、導(dǎo)數(shù)與切線等知識來求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，，即，所以，，當(dāng)時等號成立，所以；當(dāng)時，成立；當(dāng)時，，即，所以，設(shè)，所以曲線在處的切線為，要使時成立，則需，即．綜上所述，．故選：B【點睛】求解不等式恒成立問題，如果不等式含有參數(shù)，可以考慮利用分離參數(shù)法來進(jìn)行求解，也可以考慮轉(zhuǎn)化法來進(jìn)行求解，將問題轉(zhuǎn)化為兩個容易求解的函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)等知識來求得參數(shù)的取值范圍.2．（2024·山東菏澤·一模）關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為．【答案】【分析】由，得，利用導(dǎo)數(shù)證明，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，即可得解.【詳解】令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由，得，而，令，則，所以，若，如圖作出函數(shù)的圖象，

由函數(shù)圖象可知，方程有唯一實數(shù)根，即，由，得，即，當(dāng)時，，即，又，，所以，所以不成立，即當(dāng)時，不恒成立，綜上所述，的最小值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造