2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編 48平面解析幾何第八講（學(xué)生版+解析版）

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題48平面解析幾何第八講

1.【2016年浙江預(yù)賽】已知橢圓C:冬+3=l(a>b>0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,號(hào))，離心率為|。過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)

作斜率為k的直線2,與橢圓C交于4、B兩點(diǎn)，記P4、PB的斜率分別為七、七。

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若七+七=0,求實(shí)數(shù)鼠

2.【2016年新疆預(yù)賽】設(shè)過(guò)原點(diǎn)且斜率為正值的直線與橢圓9+V=1交于點(diǎn)從F,點(diǎn)4(2,0),5(0,1).求

四邊形4EBF面積的最大值.

3.【2016年四川預(yù)賽】已知拋物線y2=2px過(guò)定點(diǎn)C(I,2),在拋物線上任取不同于點(diǎn)C的一點(diǎn)A,直線

AC與直線y=x+3交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)B.

(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；

(2)求AABC面積的最小值.

4.【2016年江蘇預(yù)賽】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(2,l)在橢圓C:1+：=l上，不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。的

直線1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為D,直線OD的斜率為1.記直線PA、PB的斜率分

別為燈、k2,證明:七七為定值.

5.【2016年湖南預(yù)賽】設(shè)橢圓。5+，=1(°>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,國(guó))，離心率為右直線，經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦

點(diǎn)、F,與橢圓C交于點(diǎn)4、B,4、F、B在直線x=4上的射影依次為。、K、E.

(1)求橢圓C的方程.

(2)聯(lián)結(jié)4E、BD,當(dāng)直線1的傾斜角變化時(shí)，直線4E與BD是否交于定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)并給予證

明；否則，說(shuō)明理由.

6.【2016年湖北預(yù)賽】過(guò)拋物線y2=2px(p>0)外一點(diǎn)P向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)為M、N,F為拋物

線的焦點(diǎn).證明：

(1)\PF\2=\MF\\NF\；

(2)Z.PMF=4FPN.

7.[2016年河南預(yù)賽】如圖，已知人8為橢圓r：，+?=1在左、右頂點(diǎn)，直線I與橢圓r交于點(diǎn)M、N。

設(shè)AM、BN的斜率分別為自、k2,且自：k2=\：9。

(1)證明：直線，過(guò)定點(diǎn);

(2)記44MN、4BMN的面積分別為Si、S2,求Si-S2的最大值。

8.【2016年甘肅預(yù)賽】已知F為橢圓合+y2=1(。>0)的右焦點(diǎn)，M(m,0)、N(0,n)分別為x軸、y軸上

的動(dòng)點(diǎn)，且滿足麗?NF=0.設(shè)點(diǎn)P滿足的=2ON+PO.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C.

(2)過(guò)點(diǎn)F任作一直線與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，直線OA、OB與直線x=-a分別交于S、T(O為坐標(biāo)

原點(diǎn))，試判斷的?可是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.【2015年全國(guó)】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，&、F2分別為橢圓三+f=1的左、右焦點(diǎn).設(shè)不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)居的

直線I與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)4、B,焦點(diǎn)尸2到直線，的距離為d.若直線八Ba的斜率依次成等差數(shù)列，

求d的取值范圍.

10.(2015年浙江預(yù)賽】已知橢圓G：*+'=l(a>b>0)的離心率為苧，右焦點(diǎn)為圓的：(x-V3)2+y2=

7的圓心.

(1)求橢圓G的方程；

(2)若直線1與曲線6、G各只有一個(gè)公共點(diǎn)，記直線(與圓的公共點(diǎn)為4求點(diǎn)4的坐標(biāo).

11.【2015年上海預(yù)賽】在直角坐標(biāo)平面X。)，上，已知點(diǎn)4、8在雙曲線C：2x2+4x-y2=0±,且使得

△ABC是以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.求所有這樣的4。4B的個(gè)數(shù).

12.【2015年上海預(yù)賽】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M(0,1)為圓心的。M與拋物線y=x?依次交于

A、B、C、D四點(diǎn).

(1)求。M的半徑r的取值范圍；

(2)求四邊形ABCD面積的最大值(精確至.

13.【2015年天津預(yù)賽】已知正zL48c內(nèi)接于拋物線％=y2,LC的重心P落在雙曲線盯=1上.求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

14.(2015年四川預(yù)賽】過(guò)雙曲線/一?=1的右支上任意一點(diǎn)P(&,yo)作一直線1與兩條漸近線交于點(diǎn)A、

B=若P為AB的中點(diǎn)，證明:

(1)直線1與雙曲線只有一點(diǎn)交點(diǎn)；

(2)AOAB的面積為定值。

15.[2015年陜西預(yù)賽】如圖，在直角坐標(biāo)系中，。。:/+y2=4與％軸的正半軸交于點(diǎn)4，Q

A:(x—2/+y2=r2(r>0)與O0交于B、C兩點(diǎn).

(1)求荏?冠的最小值；

(2)設(shè)P為。。上異于8、C的任一點(diǎn)，直線PB、PC與x軸分別交于點(diǎn)M、N,求SAPOMSNON的最大值.

16.(2015年山西預(yù)賽】給定圓P-.x2+y2=2x及拋物線S：y2=4x,過(guò)圓心P作直線/,此直線與上述兩曲

線的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次記為A、B、C、。，如果線段AB、BC、8的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,

求直線/的方程.

17.【2015年山東預(yù)賽】已知橢圓G：箕+，=1,不過(guò)原點(diǎn)的直線，與橢圓交于A、B兩點(diǎn).

(1)求△。4B面積的最大值.

(2)是否存在橢圓C2,使得對(duì)于橢圓C2的每一條切線與橢圓Q均相交，設(shè)交于A、B兩點(diǎn)，且4。陽(yáng)恰取最大值?若

存在,求出該橢圓;若不存在，說(shuō)明理由.

18.【2015年遼寧預(yù)賽】在雙曲線C：?一?=1中，瓦、尸2分別為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線

上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，ZIPF1F2的重心為G，內(nèi)心為/.

(1)是否存在一點(diǎn)P,使得/GII&F2?

(2)設(shè)4為雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線，過(guò)右焦點(diǎn)尸2，與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn).若AM、AN的斜率自、心滿足

均+七=一5求直線[的方程.

19.【2015年江西預(yù)賽】對(duì)于任意給定的無(wú)理數(shù)a、b及實(shí)數(shù)r>0,證明：圓周(x-。尸+(y-人>=N上至

多只有兩個(gè)有理點(diǎn)(縱、橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn))。

20.【2015年江蘇預(yù)賽】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓：C:[+[=1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線1

2718

與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)直線1繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，均有西?方為

定值？

21.(2015年吉林預(yù)賽】己知橢圓G:?+y2=1,直線，與橢圓G交于點(diǎn)力、B,且[48|=2.判斷直線I與。

O:/+y2=i的位置關(guān)系，并給出證明.

22.【2015年湖南預(yù)賽】如圖，A、B為橢圓冬+3=19>8>0)與雙曲線冬一3=1的公共頂點(diǎn)，P、Q分

別為雙曲線和橢圓上不同于的動(dòng)點(diǎn)，且滿足麗+麗=4(而+的)(46R,|4|>1).

證明：(1)。、P、Q三點(diǎn)在同一直線上；

(2)若直線AP、BP、AQ.BQ的斜率分別為自、心、心，則自+心+的+心為定值

23.(2015年湖北預(yù)賽】設(shè)平面點(diǎn)集A={(x,y)|(y一x)(y-段)>0j,B={(x,y)|(x-l)2+(y-I)2<

1}.若(x,y)eActB,求2x-y的最小值.

24.[2015年湖北預(yù)賽】過(guò)直線x-2y+13=0上一動(dòng)點(diǎn)A(4不在y軸上)作拋物線y?=8x的兩切線，M、N

為切點(diǎn)，直線4"、AN分別與y軸交于點(diǎn)B、C.證明：

(1)直線MN恒過(guò)一定點(diǎn)；

(2)21ABC的外接圓恒過(guò)一定點(diǎn)，并求該圓半徑的最小值.

22

25.[2015年黑龍江預(yù)賽】如圖，橢圓xr+=v=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,

ab

B兩點(diǎn),|AF|的最大值是M,|BF|的最小值是加，且滿足M?,〃=?3a2,.

4

(1)求幡圓的離心率；

(2)設(shè)線段A8的中點(diǎn)為G,線段A6的垂直平分線與x軸、y軸分別交于。，E兩點(diǎn),。是坐標(biāo)原點(diǎn)，

記AGR。的面積為加，AOEO的面積為$2,求式溫的取值范圍.

26.【2015年河南預(yù)賽】如圖，過(guò)橢圓aM+by2=i(/,>a>0)中心0的直線4、％分別與橢圓交于點(diǎn)

A、E、B、G,且直線。、，2的斜率之積為一(，過(guò)點(diǎn)A、B作兩條平行線，3、，4,設(shè)G與，3、。與〃、CD與MN

分別交于點(diǎn)M、N、P.證明:OP〃/3.

27.【2015年甘肅預(yù)賽】已知橢圓C:1+1=19>6>0)的左、右焦點(diǎn)為B、F2,設(shè)點(diǎn)F2與橢圓短軸

的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為4的正三角形.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過(guò)橢圓C上任意一點(diǎn)P作橢圓C的切線與直線的垂線交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程；

(3)若切線MP與直線x=-2交于點(diǎn)，證明:黑為定值.

\MF1\

28.【2015年福建預(yù)賽】已知過(guò)點(diǎn)P(0,l)、斜率為k的直線，與雙曲線C：%2一?=1交于小8兩點(diǎn).

(1)求k的取值范圍；

(2)若尸2為雙曲線C的右焦點(diǎn)，且伊「2|+|BFzl=6,求k的值.

29.【2015年福建預(yù)賽】在坐標(biāo)平面內(nèi)，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，三個(gè)頂點(diǎn)均為整點(diǎn)的三角形稱

為整點(diǎn)三角形.求以/(2015,7x2015)為內(nèi)心且直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)。的整點(diǎn)RMCMB的個(gè)數(shù).

30.【2015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，Q,&分別是橢圓J+y?=1的左、右

焦點(diǎn).設(shè)不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)Fi的直線/與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,焦點(diǎn)八到直線/的距離為".如果直線

AFy,I,8昌的斜率依次成等差數(shù)列，求d的取值范圍

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題48平面解析幾何第八講

1.【2016年浙江預(yù)賽】已知橢圓C:^+5=l(a>b>0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,￡),離心率為|。過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)

作斜率為k的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，記24、PB的斜率分別為七、心。

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若七+七=0,求實(shí)數(shù)鼠

【答案】(1)[+<=1；(2)/c=|

25165

【解析】

⑴由已知得總+罪=1，普嗎=。2=25,*16.故橢圓方程為各會(huì)1.

(2)易知，橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).

(i)當(dāng)0<k<+8時(shí)，直線Ly=fc(x—3).與橢圓方程聯(lián)立得(16+25fc2)x2—150fc2x+225k2—400=0.

設(shè)4(%1，%)，8(次,、2)-則/+物=燃，，x/2=2：W°?又以=寫,為=暮,且%=乂/-3),

y=fc(x-3),故七+七=1536-2560/c=0c=->f7c=-3.

225(16+25〃2)(必一3)(0一3)5

(ii)當(dāng)k=0時(shí)，自=|,的=一(則3+攵2=—：工0，不符合題意.

(iii)當(dāng)k不存在時(shí)，七、七均不存在，不符合題意.

綜上，k=|.

2.【2016年新疆預(yù)賽】設(shè)過(guò)原點(diǎn)且斜率為正值的直線與橢圓?+y2=1交于點(diǎn)從F,點(diǎn)4(2,0),求

四邊形4EBF面積的最大值.

【答案】2V2

【解析】

易知(4B：x+2y=2.

設(shè)直線EF的斜率為k.

則GF。=kx(k>0).

設(shè)E(xi，/cxi),F^x2,kx2)(x1<x2).

由點(diǎn)E、F在橢圓上，知與、滿足方程(1+軌2)產(chǎn)=4.

從而，=-，一2節(jié),%2=J

1Vl+4fc2/V1+4k2

由點(diǎn)到直線的距離公式，知點(diǎn)E、尸到直線48的距離分別為

,_M+2依］一2|_2(l+21+Jl+4k2)

1-V5-J5(1+4N)，

,_|一2+2收2-2|_2(l+2k+Jl+4k2)

2―場(chǎng)-—V5(l+4k2)-'

乂|4B|=>/5,則四邊形4EBF的面積為

s=$48151+電)

4(1+2k)

=1xV5x-

J5(1+4H)

1+4/c2+4k

=2

~1+4k2-

=1+i—szvz.

k+4k

當(dāng)且僅當(dāng)q=4k,即k時(shí)，上式等號(hào)成立.從而，S取得最大值2企.

3.【2016年四川預(yù)賽】已知拋物線y2=2px過(guò)定點(diǎn)C(1,2),在拋物線上任取不同于點(diǎn)C的一點(diǎn)A,直線

AC與直線y=x+3交于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與拋物線交于點(diǎn)B.

(1)證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)；

(2)求AABC面積的最小值.

【答案】(1〉見(jiàn)解析；(2)4V2

【解析】

如圖.

(1)由拋物線f=2Px過(guò)定點(diǎn)C(l,2),得拋物線方程為y2=4x.

設(shè)點(diǎn)4(9,為)仇力2).

則，.、一2=t(％-1),即丁一2=嘉(％-1),與y=x+3聯(lián)立解得點(diǎn)P(安，宣)

于是，B(黯，螃)?

當(dāng)羽=12時(shí)，4(3,%)，B(3,空匚燈，加過(guò)定點(diǎn)Q⑶2).

當(dāng)y?12時(shí)，4k譚至，

2yo-12

彳一。0-2)2

易得，匕8也過(guò)定點(diǎn)Q(3,2).

(2)由(1)可設(shè)匕8：x—3=m(y—2).

與拋物線方程聯(lián)立得y2-4my+4(2m-3)=0

則yi+%=4m,y1y2=4(2m—3),

22

s4ABe=1\CQ\\y!-y2\=lyi-y2l=V(yi-y2)-4yiy2=47(m-i)+2.

當(dāng)m=l時(shí)，AABC面積的最小值為4位.

4.【2016年江蘇預(yù)賽】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P(2,l)在橢圓C：W+《=1上，不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。的

直線1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為D,直線0D的斜率為1.記直線PA、PB的斜率分

別為自、k2,證明:自心為定值.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

設(shè)4(xi，yj,B(x2,y2').則。(上^包,左詈).

依題意有岫0=1.

故/+%2=%+?①

由點(diǎn)A、B在橢圓上得M+*=l，M+*=1

o3o3

=掾+y=0=%—必+2(乃—%)=()?②

聯(lián)立式①、②解得勺=二警,x2=包產(chǎn).

由9+苧=1,得上第直+9=33（比+嫡=8+2%人

故女k=_外%一仇+-2）+1

N12）（）

（工1-2*2-2X1X2-2（X1+X2）+4

_，1。2七1+力）+1_力-2-31+力）+1_￡（宇俏）

7

--3（資+*）+10門力2（齊1%）14-2yiy2-2-2（y1+y2+4）~2'*

5.【2016年湖南預(yù)賽】設(shè)橢圓C:捻+\=1(。>6>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,8)，離心率為右直線I經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦

點(diǎn)F,與橢圓C交于點(diǎn)4、B,4、F、B在直線x=4上的射影依次為。、K、E.

(1)求橢圓C的方程.

(2)聯(lián)結(jié)4E、BD,當(dāng)直線，的傾斜角變化時(shí)，直線4E與BD是否交于定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)并給予證

明；否則，說(shuō)明理由.

【答案】(1)C:=+?=1⑵N(|,0)

【解析】

(1)據(jù)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,、③知b=V3.

貝I］由e=f=、7-"=2.=a=2.

aa2

故橢圓C:9+［=1.

(2)當(dāng)直線［的斜率不存在時(shí)，直線/_Lx軸，則四邊形4BEO為矩形.

由對(duì)稱性，知直線4E與BD交于FK的中點(diǎn)N6,。).

卜面證明：當(dāng)直線1的斜率存在時(shí)，直線4E與8。交于定點(diǎn)N(|,0).

如圖.

設(shè)4(勺，%)，8(*2,乃)，。(4必)，E(4,y2),lAB:y=k(x-1).

聯(lián)立橢圓C的方程，消去y得關(guān)于x的方程

2

(3+4k2)%2_8k2x+4/c-12=0

,8fc2

—Xi+X7=

1/3+4k21/3+4/C2*

注意到，，―七(x-4).

當(dāng)X=I時(shí),

k(%2—%i)3

y=k(%2T)一

4一與2

5k(X[+x2)-2kxi必一8k

2(4-xj

一耿(3+4/2)-2k(4d-12)+528法20,即點(diǎn)N(|,0)在直線4E上.

2(4-X1)(3+4k2)

類似地，點(diǎn)N(|,0)在直線BD上.

從而，當(dāng)直線I的傾斜角變化時(shí)，直線4E與BD交于定點(diǎn)N(|,0).

6.【2016年湖北預(yù)賽】過(guò)拋物線y2=2px(p>0)外一點(diǎn)P向拋物線作兩條切線，切點(diǎn)為M、N,F為拋物

線的焦點(diǎn).證明：

(1)|PF|2=\MF\\NF\；

(2)ZPMF=乙FPN.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【解析】

設(shè)P(x(),yo)，MG[,外),N(%2，y2).易求得切線PM：%y=p(x+xj,

切線PN：y2y=p(x+x2).

因?yàn)辄c(diǎn)P在兩條切線上，所以，

y/0=p(a+Xi)，y2yo=p(&+x2).

故點(diǎn)M、N均在直線y()y=p(x+尤o)上.

于是，IMN-VOV=p(x+xo).

聯(lián)立[y°y=p(“+X。)’

(y2=2px

2

n(p(x+x0))=2Px據(jù)

=>X2+2X+Xo=0.

由韋達(dá)定理知

Xi+X2=2(y-X0),XAX2=xl，

(1)易知，F(xiàn)Q,O).

由拋物線的第二定義得

VV

|MF|=x1+-,\NF\=X2+-

n\MF\\NF\=(xj+1)[x2+

2

—xx+7(%i+x)+—

x2L24

p2

=x5+yS-px0+—

2

=(^o-0+yo=IP『E

因此，|PF|2=\MF\\NF\.

-,y2

(2)由而=(x()_(,%)，F(xiàn)M=(xt-pyi)'=(x22),知

麗?麗=(&_*yo),-|.yi)

pp2

=々Xi-5a。+%。+a+y°yi

pp2

=XO%1-2Oo+Xi)+彳+p(x0+Xl)

pp2

—%o%i+7(%o+%i)+—

=(x0+1)(x1+1)

又|MN|=XI+3則

FPFM

cosZ.PFM

\FP\\MF\

(&+2)(X1+2)_x?+2

IFPI^+I)—1叫

類似地‘coszPFM=

故cosziPFM=cos乙PFN

0Z.PFM=Z.PFN.

結(jié)合|PF|2=\MF\\NF\,得4MFP-APFN="MF=乙FPN

7.[2016年河南預(yù)賽】如圖，已知4、B為橢圓「；||+?=1在左、右頂點(diǎn)，直線，與橢圓「交于點(diǎn)M、N。

設(shè)力M、BN的斜率分別為自、k2,且七：的=1：%

(1)證明：直線，過(guò)定點(diǎn);

(2)記ZL4MN、4BMN的面積分別為Si、S2,求S1-S2的最大值。

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)15

【解析】

(I)如圖.

引入伸縮變換T：(x,y)—(%,|?

則橢圓r在變換r下的像為圓：

x2+y2=25.

由5=1=>幺也=券=士

k293/N，毅29

設(shè)MW'與x軸交于點(diǎn)G'.

r|.|l_kA,m,_tanzM，48,_\M>Br\|N，B，|__\BIGI\|G，N，|_|B，G，|

sJ

9-kBfNf~tanz.NfBiAr~|M，A，|\N(Af\~\NIAI\\MiAf\—|G，N，|\AfGi\~\AiG>\

因此，點(diǎn)G'(4,0),直線l過(guò)定點(diǎn)G.

(2)不妨設(shè)F'(4,0).則

Si-52=-^AA'M'Ni—gSqs/M'N，=gC^AA'M'N'~S&B，M，N，)=5^AF'M'N'=^AO'MINI=5X

^\O'M'\\O'N'\smz.M'O'N'<|xix5x5sin900=15,

當(dāng)且僅當(dāng)O'WlO'N'時(shí)，上式等號(hào)成立.

因此，Si-52的最大值為15.

8.【2016年甘肅預(yù)賽】已知F為橢圓三+y2=i(a>o)的右焦點(diǎn)，M(m,0)、N(0,n)分別為x軸、y軸上

的動(dòng)點(diǎn)，且滿足而?~NF=0.設(shè)點(diǎn)P滿足萬(wàn)W=2ON+PO.

(1)求點(diǎn)P的軌跡C.

(2)過(guò)點(diǎn)F任作一直線與軌跡C交于A、B兩點(diǎn)，直線OA、OB與直線x=-a分別交于S、T(O為坐標(biāo)

原點(diǎn))，試判斷麗?可是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)產(chǎn)=4的⑵見(jiàn)解析

【解析】

(1)由題意知F(a,0).

于是,NF=(a,-n).

又MN=(—m,n),由MN?NF=0,得n?+am=0.

設(shè)點(diǎn)P(x,y).

由麗=2ON+而今(m,0)=2(0,n)+(一招-y)

y

=>m=—x,n=-.

代入n?+am=0,得/=4ax.

⑵設(shè)驍B：X=ty+a,A爵,、1),8譜,丫2).

則Li：y=?x』oB：y=?*.

yiy?

KW-

類似地，T(-a,-零).

故麗=(-2a,-不)，丙=(-2a,芥)

=^FS-FT=4a2+—.

.fx=ty+a,

o92

由(y2=4ax=必_4aty-4〃=°=yiy2=-4a

^FS-FT=4a2+=4a2-4a2=0(定值)

-4a2

9.【2015年全國(guó)】在平面直角坐標(biāo)系久Oy中，&、尸2分別為橢圓9+y2=1的左、右焦點(diǎn).設(shè)不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)&的

直線I與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)4、B,焦點(diǎn)尸2到直線1的距離為d.若直線4鼻、八Ba的斜率依次成等差數(shù)列,

求d的取值范圍.

【答案】dG(V3.2)

【解析】

由條件，知點(diǎn)Fi(-1,0)、F2(l,0).

設(shè)直線/:y=kx+m,點(diǎn)A(Xi，yi),B(x2,y2).

則、小滿足1+(kx+m)2=1,即

(2k2+l)x2+4kmx+(2m2-2)=0.①

由于點(diǎn)A與B不重合，且直線2的斜率存在，故打、為方程①的兩個(gè)不同實(shí)根.

因此，式①的判別式

4=(4/cm)2—4(2/c2+l)(2m2—2)

=8(2fc2+1-m2)>0

2fc2+1>m2.②

由直線4Fi、I、B0的斜率上、k、吃依次成等差數(shù)列，知

Xj+l

yi,72

----7+----7=2k

%1+1%2+1

=(fc%1+m)(x2+1)+(fc%2+.)(%i+1)=2kg+l)(x2+1)

=>(m—k)Q：i+冷+2)=0.

假設(shè)m=丘則直線2的方程為y=k%+k,即/經(jīng)過(guò)點(diǎn)Fi(—l,0),不符合條件.

因此，jq+&+2=0.

故由方程①及韋達(dá)定理知

4km

五甲=一（無(wú)】+犯）=2

=zn=k+③

2k

由式②、③知

1

2憶2+1>租2=(k+)2

Z/C

=/＞上=網(wǎng)＞立

4k2112

反之，當(dāng)m、k滿足式③及|k|＞當(dāng)時(shí)，直線/必不過(guò)點(diǎn)Fi（否則，將導(dǎo)致m=k,與式③矛盾）.

而此時(shí)m、k滿足式②，故直線，與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)4、B,同時(shí)，也保證了4&、的斜率存在（否

則，與、冷中的某一個(gè)為一1，結(jié)合/+%2+2=0,知與=%2=-1，與方程①有兩個(gè)不同的實(shí)根矛盾）.

又點(diǎn)尸2（1,0）到上y=kx+ni的距離為

\k4-m\11

=去（2+短）④

物+1

注意到，生|＞孝.

故式④可改寫為

d=7（7+|）=j（t+|）-⑤

考慮到函數(shù)f（t）=［（t+|）在區(qū)間口,遮］上單調(diào)遞減，故由式⑤得

/(V3)<d</(l)=>de(V3(2).

10.【2015年浙江預(yù)賽】已知橢圓的:2+，=l(a>b>0)的離心率為圣右焦點(diǎn)為圓C2：(%-+丫2=

7的圓心.

(1)求橢圓a的方程；

(2)若直線，與曲線G、。2各只有一個(gè)公共點(diǎn)，記直線I與圓的公共點(diǎn)為4,求點(diǎn)4的坐標(biāo).

【答案】(1)9+y2=1；(2)4(0,2)和4(0,-2)

【解析】

(1)設(shè)橢圓G的半焦距長(zhǎng)為c.

C=V3,(n-7

則￡=漁=憶3

a2

從而，橢圓方程為9+y2=i.

(2)當(dāng)直線，的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線1的方程為y=+、巾€/?),點(diǎn)4(乙,%).

42

T+y2=L消去y得

{y=依+犯

(1+4/c2)x2+8kmx+4m2—4=0.①

故4=16(4/—m2+1)=0,即

4fc2-m2+1=0.②

聯(lián)立方程［(X—6)2+y2=7,消去y得

(y=kxjn,

(1+k2)x2+2(km—V3)x4-m2—4=0.③

故A2=16(4/c2—m2—2y/3mk+7)=0,即

4k2—m2—2V3mk4-7=0.④

②一④得km=V3.

將上式代入式③得當(dāng)=一*=0.

上式代入圓。2得以—±2.

經(jīng)檢驗(yàn)，4(0,2)和4(0,-2)符合題意.

從而，點(diǎn)4(0,2)和4(0,-2).

11.【2015年上海預(yù)賽】在直角坐標(biāo)平面xOy上，已知點(diǎn)A、8在雙曲線C：2M+4x-y2=()上，且使得

△力BC是以0為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.求所有這樣的4。4B的個(gè)數(shù).

【答案】三個(gè)

【解析】

設(shè)‘CM：y=kx（k力0）.

則，oB：y=-\x.

+4x-y2=0=(2-1)r+4“=0n2-k2HoM=忌=>|071|=V1+F|_L_|.

類似地，1。引=小+(或能

=N舄?

因?yàn)锳OAB是以。為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.所以，\OA\=\OB\.

故舊”后卜五”|四|

=>--1-=H-.---k--

k2-2~2k2-1

若=---

k2-22k2-1

=>fc3-2fc2-2fc+l=0

=(k+1)(A:2-3/c+1)=0

nk—Ik—3-遙卜—3+療

若」一=卜

""2_2-2k2-l

n4+21-2/c+1=0

=(k+1)(/+3/c+1)=0

0k1L--3—-k--3+'后

0%4=—&“5-2,凡6—2.

因?yàn)槭?=&&=&穌=一1,所以，由口、%得到的兩個(gè)三角形是相同的.類似地,由心、區(qū)得到兩個(gè)三

角形是相的同的，由心、腕得到的兩個(gè)三角形也是相同的.

綜上，滿足△48C題意的共有三個(gè).

12.【2015年上海預(yù)賽】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以M(0,1)為圓心的。M與拋物線y=x?依次交于

A、B、C、D四點(diǎn).

(1)求。M的半徑r的取值范圍；

(2)求四邊形ABCD面積的最大值(精確到10").

【答案】(1)(2)1.0887

【解析】

設(shè)。M的方程/+(y-1)2=".與拋物線方程聯(lián)立得

y2-y+l-r2=0①

由題意及0M與拋物線均關(guān)于y軸對(duì)稱，故設(shè)

4(*2，y2)，8(1，%)，?2，2)，X1%272>O.Xi<

一一工孫%),。(％、其中，、、%、X2.

(1)因?yàn)榉匠挞俦赜袃蓚€(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，所以，

(zl=1-4(1-r2)>0,L

_v34

1-r2>0,^—<r<l.

r>0

故。M的半徑r的取值范圍是(9,1).

(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為梯形，所以，

S梯形ABCD=—71)(2%!+2%2)=(%—+%2)?

由方程①知

71+72=Ly，2=1-"，

xi=\[yi?x2=

故S梯形ABCD=J(%+丫2尸-4yly2J(收+伍)2

=V1-4(1-r2)Jl+271-r2

=J(4r2—3)(1+2V1—r2)(當(dāng)<r<1).

利用圖形計(jì)算器，得四邊形ABCD的面積的最大值為1.0887.

此時(shí)，r=0.9860.

13.[2015年天津預(yù)賽】已知正44BC內(nèi)接于拋物線x=y2,21ABe的重心P落在雙曲線秒=1上.求點(diǎn)P的坐

標(biāo).

【答案】P(3,f

【解析】

設(shè)4(非,％),B(資2)，。(謁,丫3)，48、8c的中點(diǎn)分別為F、。.則A4BC為正三角形當(dāng)且僅當(dāng)為、y2,'3互

不相等，HAD1BC,CF1AB.

于是，°(遺產(chǎn)，空)

再由4D1BC,y2豐y3,得

（y2-yi）（力；灼-資）+（y2-%）伊.產(chǎn)-yi）=0

=（丫2+丫3）（鳧+蟾一2*）+（、2+丫3-2yJ=0①

類似地，由CF1AB,yi*y2,得

（%+光）（禿+%+2資）+（%+丫2-3丫3）=0.②

①一②得（謁-yf）+3y2（*-光）+（乃-乃）（尤+2yly3）+3（%-%）=。

=（光+光+川）+3（y02+y2y3+、3、1）+3=o③

設(shè)P（x,y）.則

y：+川+yl%+為+丫3

x=-----------，y=-----------

3,3

故由式③得

3x+3x21L2L+3=0n9y2-%+2=0.

又由xy=1=y=：,代入上式化簡(jiǎn)整理得％3_2/_9=0

=>（x—3）（x24-%4-3）=0=>%=3.

因此，p（3,g.

14.[2015年四川預(yù)賽】過(guò)雙曲線/-9=1的右支上任意一點(diǎn)PQo，y0）作一直線I與兩條漸近線交于點(diǎn)A、

Bo若P為AB的中點(diǎn)，證明：

（1）直線1與雙曲線只有一點(diǎn)交點(diǎn)；

（2）AOAB的面積為定值。

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）|

【解析】

（1）雙曲線兩條漸近線方程為y=±2x.

當(dāng)y0=。時(shí)，易得直線1的方程為x=x°，此時(shí)，直線I與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).

當(dāng)尢工0時(shí)，顯然直線1存在斜率，故可設(shè)直線1的方程為y-y（）=k（x-沏），分別與y=2x、y=-2工聯(lián)

立，解得

Afkx0-y02kx0-2y0\fkx0-y02kx0-2y0\

A\k-2'-k^2-bb\k+2*-k+2-A

因?yàn)镻是AB的中點(diǎn)，所以

普+箸=2x°nk=詈=直繳:y—y°=等（x—x。）.

K—￡其十/yoyo

與雙曲線方程聯(lián)立得4/_卜0+詈(>_殉)]=4①

2

=4羽/-[y2+4x0(x-x0)]=4M

又點(diǎn)尸(Xo，yo)在雙曲線上，則

詔一苧=1=羽=4詔-4.

于是，方程①可化簡(jiǎn)為一4/+Sxox-4-yo=0.

注意到，4=64%Q-16(4+yo)=64XQ—16據(jù)—64=0.

故直線1與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn).

(2)易知￡)048=5。川l°B|sin乙40B.

由4408為定值，故只需證明|。川|。8|為定值.

當(dāng)斜率k不存在時(shí)，易得|。川|。引=|(定值)；

當(dāng)斜率k存在時(shí)，由|。*2=(隼/J(1+22)=12X(,+%),

10川2=(空浮)(1+22)=：(2xo-yo).

知|。川2|08|2=翁(4球-%)=1=|。川|OB|=J(定值).

1642

15.[2015年陜西預(yù)賽】如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，O0:/+y2=4與x軸的正半軸交于點(diǎn)4,?

A:(x-2尸+y2=r2(r>0)與00交于B、C兩點(diǎn).

(1)求荏■尼的最小值；

(2)設(shè)P為。0上異于8、C的任一點(diǎn)，直線PB、PC與x軸分別交于點(diǎn)M、N，求SAPOMSAPON的最大值一

【答案】(I)-2；(2)4

【解析】

(1)由對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)B(xo，y()),C(a,-yo).則瑞+M=4.

故而AC=(x0-2尸-y2

22

=(x0-2)-(4-詔)=2(x0-l)-2.

而一2VaV2,貝I」當(dāng)出=1時(shí)，48取得最小值為一2.

(2)設(shè)點(diǎn)P(%L%)(九工±y0).

則好+弁=4,

人"為=舞(f)，

它”為=老(f)?

一“。必?_xiyo+xoyt

分別令y=0，得知,XM一

yo-yiyo+yi

則…年票

_(4一*)怯(4-諭*

=4.

故SAPOMSNON=；|。河||。陰無(wú)

=l\xMxN\yf=yl，

因?yàn)椤?<yt<2,所以，當(dāng)%=2或一2時(shí)，SAPOMSMON取得最大值為4.

16.(2015年山西預(yù)賽】給定圓P.x2+y2=2x及拋物線5:/=4x,過(guò)圓心P作直線/，此直線與上述兩曲

線的四個(gè)交點(diǎn)，自上而下順次記為A、B、C,。，如果線段AB、BC、8的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,

求直線/的方程.

【答案】夜x-y—夜=()或0x+y-0=().

【解析】

試題分析：本題考查圓、直線、拋物線相交的問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力.先將圓的直徑求出

來(lái)，再設(shè)出直線方程，方程中的中有一個(gè)參數(shù)攵，本題的關(guān)鍵是解出左的值，將直線方程代入拋物線方程中,

消去x,求|4。|的長(zhǎng)，再利用等差中項(xiàng)列出線段A3、BC、8的關(guān)系，進(jìn)而求出|AD|的長(zhǎng)，與上面的

|AD|聯(lián)立就可求出Z.

試題解析：圓P的方程為(X—1)2+V=1,則其直徑長(zhǎng)忸C=2,圓心為尸(1,0),設(shè)/的方程為ky=X-1,即

,/、/、IX+必=4%

x=@+l,代入拋物線方程得:丁=46+4,設(shè)A(x,,y),有｛，

Ji%=-4

則(%-%)2=(M+%)2-4yI%=16(%2+1).

2）2=（乂-%并1+（^^力=16（k2+1）2,

故||2=（y-y2）+（龍|一々）2=（X-必）2+（，'丁

因此|AO1=4（公+1）.8分

據(jù)等差,2|BC|=|AB|+\CD\=\AD\-|BC|,

所以|A￡>|=3忸C|=6,即4k2+1）=6"=土等，14分

即：/方程為行》一y一0=0或Jir+y-0=0.16分

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列中等差中項(xiàng)的概念；2.圓的半徑；3.直線與拋物線的交點(diǎn).

17.【2015年山東預(yù)賽】已知橢圓Ci：《+A=1，不過(guò)原點(diǎn)的直線，與橢圓交于A、B兩點(diǎn).

(1)求AOAB面積的最大值.

(2)是否存在橢圓。2,使得對(duì)于橢圓。2的每一條切線與橢圓G均相交，設(shè)交于A、B兩點(diǎn)，且SAOM恰取最大值?若

存在,求出該橢圓;若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)若直線I的斜率存在，設(shè)，的方程為y=依+m,代入橢圓方程得：

222222

(a2k2+/,2)x+2akmx+am-ab=0.

設(shè)4(xi，%),8(%2，及)?則：

2a2kma2m2-a2b2

XX

X1+*2=-a2k2+b2>l2=a2k2+b2'

故14B|=V(x2-^i)2+(72-y-i)2=V1+k2y/(x+xj2-4XX2=V1+k2送黑店>Ja2k2+b2-m2.

2X

在AOAB中，設(shè)邊AB上的高為h.則h=，嗎

Vl+fc2

=\\AB\h=，a2k2+b2-2,

SAOABa*，m

固定k,于是,SAOAB=著黑于a2k2+—7n2<

由此，得對(duì)任意的k,有SAOABs?,當(dāng)且僅當(dāng)a2k2+b2=27n2時(shí)，等號(hào)成立.

若直線，的斜率不存在，設(shè)直線，:x=m,

則易證鹿。的＜T，當(dāng)且僅當(dāng)=2m2時(shí)，等號(hào)成立，

綜上,△048面積的最大值為竽

（2）存在橢圓該橢圓的任一切線與橢圓6$+5=1交于A、B兩點(diǎn)，且SA。.=竽

事實(shí)上，設(shè)滿足條件的橢圓為盤+，=4.過(guò)橢圓上任一點(diǎn)（殉,?。┑那芯€方程為翳+碧=大

該切線與橢圓加《+，=1交于A、B兩點(diǎn)，

若Vo=。，則&=±aVI，

由切線方程得冗=—=±aVA,