高考-專題二-函數(shù)概念及其基本性質(zhì)-含答案

1．(2015·課標Ⅱ，5，易)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋log2（2－x），x＜1，,2x－1，x≥1，))則f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12【答案】C∵log212＞1，∴f(log212)＝2log212－1＝21＋log23＝2×3＝6.∴原式＝1＋log24＋6＝9.2．(2015·湖北，6，中)已知符號函數(shù)sgnx＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0.))f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)＝f(x)－f(ax)(a>1)，則()A．sgn[g(x)]＝sgnxB．sgn[g(x)]＝－sgnxC．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]【答案】B①當x<0時，∵a＞1，∴x>ax，∴f(x)－f(ax)>0，∴sgn[g(x)]＝1.②當x＝0時，x＝ax，f(x)－f(ax)＝0.∴sgn[g(x)]＝0.③當x>0時，∵a＞1，∴ax>x，∴f(x)－f(ax)<0.∴sgn[g(x)]＝－1.∴sgn[g(x)]＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，x>0，,0，x＝0，,1，x<0.))∴sgn[g(x)]＝－sgnx.3．(2015·山東，10，中)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1，x<1，,2x，x≥1.))則滿足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))B．[0，1]C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))D．[1，＋∞)【答案】C令f(a)＝t.則由f(f(a))＝2f(a)得f(t)＝2t.由f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1，x<1，,2x，x≥1))可知t≥1.∴f(a)≥1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<1，,3a－1≥1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥1，,2a≥1))?eq\f(2,3)≤a<1或a≥1?a≥eq\f(2,3).故選C.4．(2015·浙江，7，難)存在函數(shù)f(x)滿足：對任意x∈R都有()A．f(sin2x)＝sinxB．f(sin2x)＝x2＋xC．f(x2＋1)＝|x＋1|D．f(x2＋2x)＝|x＋1|【答案】D方法一：∵f(x2＋2x)＝|x＋1|，∴f(x2＋2x)＝eq\r(（x＋1）2)＝eq\r(x2＋2x＋1).∴存在函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)，對任意x∈R都有f(x2＋2x)＝|x＋1|.方法二：A，B，C均舉出反例不符合函數(shù)的概念，而D項，f(t2－1)＝t(t≥0)?f(x)＝eq\r(x＋1)，符合題意．5．(2015·湖北，10，難)設x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)．若存在實數(shù)t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[tn]＝n同時成立，則正整數(shù)n的最大值是()A．3B．4C．5D．6【答案】B由題可知：當n＝1時，1≤t<2.當n＝2時，2≤t2<3，即eq\r(2)≤t<eq\r(3)滿足條件．當n＝3時，3≤t3<4，即eq\r(3,3)≤t<eq\r(3,4)滿足條件．當n＝4時，4≤t4<5，即eq\r(4,4)≤t<eq\r(4,5)滿足條件．當n＝5時，5≤t5<6，即eq\r(5,5)≤t<eq\r(5,6)，而eq\r(3,3)>eq\r(5,6).所以正整數(shù)n的最大值為4.6．(2015·浙江，10，易)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3，x≥1，,lg（x2＋1），x＜1，))則f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________．【解析】∵f(－3)＝lg[(－3)2＋1]＝1，∴f(f(－3))＝f(1)＝1＋2－3＝0.當x≥1時，f(x)＝x＋eq\f(2,x)－3≥2eq\r(2)－3，當x<1時，x2＋1≥1，∴l(xiāng)g(x2＋1)≥0.綜上，f(x)min＝2eq\r(2)－3.【答案】02eq\r(2)－37．(2015·山東，14，中)已知函數(shù)f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定義域和值域都是[－1，0]，則a＋b＝________．【解析】當0<a<1時，由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝0，,a0＋b＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,a＝\f(1,2)，))∴a＋b＝－eq\f(3,2).當a>1時，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－1＋b＝－1，,a0＋b＝0，))解得b＝－1，∴eq\f(1,a)＝0，無解．綜上a＋b＝－eq\f(3,2).【答案】－eq\f(3,2)1．(2014·江西，2，易)函數(shù)f(x)＝ln(x2－x)的定義域為()A．(0，1)B．[0，1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)【答案】C要使函數(shù)有意義，需滿足x2－x>0，解得x<0或x>1，故選C.2．(2013·陜西，1，易)設全集為R，函數(shù)f(x)＝eq\r(1－x2)的定義域為M，則?RM為()A．[－1，1]B．(－1，1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D由1－x2≥0得－1≤x≤1，故?RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．3．(2012·江西，3，易)若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,lgx，x>1，))則f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0【答案】B∵f(10)＝lg10＝1，∴f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2，故選B.4．(2014·江西，3，易)已知函數(shù)f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．若f(g(1))＝1，則a＝()A．1B．2C．3D．－1【答案】A由已知條件可知f(g(1))＝f(a－1)＝5|a－1|＝1，∴|a－1|＝0，得a＝1.故選A.5．(2012·安徽，2，易)下列函數(shù)中，不滿足f(2x)＝2f(x)的是()A．f(x)＝|x|B．f(x)＝x－|x|C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x【答案】C選項A，f(2x)＝|2x|＝2|x|，2f(x)＝2|x|，故f(2x)＝2f(x)；選項B，f(2x)＝2x－|2x|＝2x－2|x|，2f(x)＝2x－2|x|，故f(2x)＝2f(x)；選項C，f(2x)＝2x＋1，2f(x)＝2x＋2，故f(2x)≠2f(x)；選項D，f(2x)＝－2x，2f(x)＝－2x，故f(2x)＝2f(x)．6．(2014·福建，7，中)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,cosx，x≤0，))則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是增函數(shù)C．f(x)是周期函數(shù)D．f(x)的值域為[－1，＋∞)【答案】D方法一：由x>0得，x2＋1>1，當x≤0時，cosx∈[－1，1]，故f(x)∈[－1，＋∞)，選D.方法二(數(shù)形結(jié)合法)：作出f(x)的圖象如圖所示，可排除A，B，C，故D正確．7．(2014·上海，18，中)設f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－a）2，x≤0，,x＋\f(1,x)＋a，x>0.))若f(0)是f(x)的最小值，則a的取值范圍為()A．[－1，2]B．[－1，0]C．[1，2]D．[0，2]【答案】D∵當x≤0時，f(x)＝(x－a)2，又f(0)是f(x)的最小值，∴a≥0；當x>0時，f(x)＝x＋eq\f(1,x)＋a≥2＋a，當且僅當x＝1時取“＝”．要滿足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，∴a的取值范圍是0≤a≤2.故選D.8．(2014·湖北，14，難)設f(x)是定義在(0，＋∞)上的函數(shù)，且f(x)>0，對任意a>0，b>0，若經(jīng)過點(a，f(a))，(b，－f(b))的直線與x軸的交點為(c，0)，則稱c為a，b關(guān)于函數(shù)f(x)的平均數(shù)，記為Mf(a，b)．例如，當f(x)＝1(x>0)時，可得Mf(a，b)＝c＝eq\f(a＋b,2)，即Mf(a，b)為a，b的算術(shù)平均數(shù)．(1)當f(x)＝________(x>0)時，Mf(a，b)為a，b的幾何平均數(shù)；(2)當f(x)＝________(x>0)時，Mf(a，b)為a，b的調(diào)和平均數(shù)eq\f(2ab,a＋b).(以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可)【解析】設P(a，f(a))，Q(b，－f(b))，則直線PQ的方程為y－f(a)＝eq\f(f（a）＋f（b）,a－b)(x－a)．令y＝0得c＝eq\f(af（b）＋bf（a）,f（a）＋f（b）).(1)令幾何平均數(shù)eq\r(ab)＝eq\f(af（b）＋bf（a）,f（a）＋f（b）)?eq\r(ab)f(a)＋eq\r(ab)f(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝eq\r(x)(x>0)；(2)令調(diào)和平均數(shù)eq\f(2ab,a＋b)＝eq\f(af（b）＋bf（a）,f（a）＋f（b）)?eq\f(ab＋ba,a＋b)＝eq\f(af（b）＋bf（a）,f（a）＋f（b）)，可取f(x)＝x(x>0)．【答案】(1)eq\r(x)(2)x(或填(1)k1eq\r(x)(2)k2x，其中k1，k2為正常數(shù)均可)考向1求函數(shù)的定義域常見基本初等函數(shù)定義域的基本要求(1)分式函數(shù)中分母不等于零．(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)y＝x0的定義域是{x|x≠0}．(5)y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx定義域均為R.(6)y＝logax(a＞0且a≠1)的定義域為(0，＋∞)．(7)y＝tanx的定義域為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).(1)(2014·山東，3)f(x)＝eq\f(1,\r(（log2x）2－1))的定義域為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)(2)(2015·河南鄭州一模，13)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0，2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f（2x）,x－1)的定義域是________．【解析】(1)要使函數(shù)有意義，必須eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（log2x）2－1>0，①,x>0.②))由①得(log2x)2>1，即log2x>1或log2x<－1，解得x>2或0<x<eq\f(1,2).故選C.(2)∵0≤2x≤2，∴0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，∴0≤x<1，即函數(shù)g(x)的定義域是[0，1)．【答案】(1)C(2)[0，1)【點撥】解題(1)的關(guān)鍵是正確利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式log2x>1和log2x<－1；解題(2)時易誤認為0≤x≤2，從而0≤2x≤4，出現(xiàn)0≤x<1或1<x≤4的錯誤．求函數(shù)定義域的三種?？碱愋图扒蠼獠呗?1)已知函數(shù)的解析式：構(gòu)建使解析式有意義的不等式(組)求解．(2)抽象函數(shù)：①若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則復合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．②若已知函數(shù)f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為g(x)在x∈[a，b]時的值域．(3)實際問題：既要使構(gòu)建的函數(shù)解析式有意義，又要考慮實際問題的要求．(1)求定義域時對于解析式先不要化簡；(2)求出定義域后，一定要將其寫成集合或區(qū)間的形式．(1)(2012·江西，2)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝eq\f(1,\r(3,x))定義域相同的函數(shù)為()A．y＝eq\f(1,sinx)B．y＝eq\f(lnx,x)C．y＝xexD．y＝eq\f(sinx,x)(2)若典型例題1(2)改為函數(shù)f(x2－1)的定義域為[0，2]，則函數(shù)g(x)＝f(2x)的定義域為________．(1)【答案】D函數(shù)y＝eq\f(1,\r(3,x))的定義域為{x|x≠0，x∈R}，與函數(shù)y＝eq\f(sinx,x)的定義域相同，故選D.(2)【解析】∵0≤x≤2，∴－1≤x2－1≤3，從而函數(shù)f(x)的定義域為[－1，3]．由－1≤2x≤3，得－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2)，所以函數(shù)f(2x)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2))).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,2)))考向2求函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式(1)函數(shù)的表示方法：解析法、列表法、圖象法．(2)函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方法，對于不是y＝f(x)的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式．(3)求函數(shù)的解析式時，一定要注意函數(shù)的定義域的變化，特別是利用換元法求出的解析式，不注明定義域往往導致錯誤．(1)(2014·浙江，6)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則()A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>9(2)(2013·安徽，14)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)．若當0≤x≤1時，f(x)＝x(1－x)，則當－1≤x≤0時，f(x)＝________.【解析】(1)由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c，,－1＋a－b＋c＝－27＋9a－3b＋c，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝11，))∴f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c.由0<f(－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c≤3，即6<c≤9，故選C.(2)∵－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，∴f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,2)(x＋1)[1－(x＋1)]＝－eq\f(1,2)x(x＋1)．【答案】(1)C(2)－eq\f(1,2)x(x＋1)【點撥】解題(1)的關(guān)鍵是利用f(－1)＝f(－2)＝f(－3)求出a，b的值，再結(jié)合不等關(guān)系0<f(－1)≤3求解；解題(2)的關(guān)鍵是將所求函數(shù)解析式的定義域向已知函數(shù)解析式的定義域轉(zhuǎn)化．求函數(shù)解析式的常見方法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))，根據(jù)函數(shù)類型設出函數(shù)解析式，根據(jù)題設條件，列出方程組，解出待定系數(shù)即可．(2)換元法：已知f(h(x))＝g(x)求f(x)時，往往可設h(x)＝t，從中解出x，代入g(x)進行換元，求出f(t)的解析式，再將t替換為x即可．(3)轉(zhuǎn)化法：已知某區(qū)間上的解析式，求其他區(qū)間上的解析式，將待求變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，利用函數(shù)滿足的等量關(guān)系間接獲得其解析式．(4)解方程組法：已知關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))(或f(－x))的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另一個方程構(gòu)成方程組求出f(x)．(2015·四川成都檢測，12)如果feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，則當x≠0，且x≠1時，f(x)＝________．【解析】方法一：令eq\f(1,x)＝t，∴x＝eq\f(1,t)，f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，∴f(x)＝eq\f(1,x－1).方法二：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)＝eq\f(1,\f(1,x)－1)，用x替換eq\f(1,x)，∴f(x)＝eq\f(1,x－1).【答案】eq\f(1,x－1)考向3分段函數(shù)及其應用1．分段函數(shù)的概念(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)▌t不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)．分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)．(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集．2．解決分段函數(shù)問題的注意事項分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，處理分段函數(shù)問題時，首先確定自變量的取值屬于哪個區(qū)間，再選取相應的對應法則，離開定義域討論分段函數(shù)是毫無意義的．分段函數(shù)是為了研究問題的需要而進行的分類討論，相當于求“并集”，不可與方程組或不等式組的求“交集”相混淆．(1)(2014·四川，12)設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[－1，1)時，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________．(2)(2014·浙江，15)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x<0，,－x2，x≥0.))若f(f(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________．【解析】(1)∵f(x)是周期為2的函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋2))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋2＝1.(2)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）<0，,f2（a）＋f（a）≤2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（a）≥0，,－f2（a）≤2，))解得f(a)≥－2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,a2＋a≥－2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0，,－a2≥－2，))解得a≤eq\r(2).【答案】(1)1(2)(－∞，eq\r(2)]【點撥】解題(1)的關(guān)鍵是借助周期函數(shù)將求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))轉(zhuǎn)化為求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))的值；解題(2)的關(guān)鍵是分清自變量的取值范圍與所對應的函數(shù)關(guān)系．分段函數(shù)兩種題型的求解策略(1)根據(jù)分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值首先確定自變量的值屬于哪個區(qū)間，其次選定相應的解析式代入求解．(2)已知函數(shù)值(或函數(shù)值的范圍)求自變量的值(或范圍)應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值(或范圍)是否符合相應段的自變量的取值范圍．當分段函數(shù)的自變量范圍不確定時，應分類討論．(2015·山東臨沂調(diào)研，5)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x<1，,x2＋ax，x≥1，))若f(f(0))＝4a，則實數(shù)a等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(4,5)C．2D．9【答案】C∵0<1，∴f(0)＝20＋1＝2.∵f(0)＝2≥1，∴f(f(0))＝22＋2a＝4a，∴a＝2.故選C.1．(2015·安徽宣城三模，3)函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(|x－2|－1),lg（x－1）)的定義域是()A．[3，＋∞)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，3))D．(－∞，－3)【答案】A由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|x－2|－1≥0，,x－1>0，,x－1≠1))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2≥1或x－2≤－1，,x>1，,x≠2，))所以x≥3，即定義域為[3，＋∞)．2．(2015·河南南陽質(zhì)檢，3)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x，x>0，,x＋1，x≤0，))若f(a)＋f(1)＝0，則實數(shù)a的值等于()A．－3B．－1C．1D．3【答案】A因為f(1)＝21＝2，且f(a)＋f(2)＝0，所以f(a)＝－2.因為x>0時，2x>1，所以f(a)＝a＋1＝－2，解得a＝－3.3．(2015·河北唐山統(tǒng)考，5)f(x)是R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，則當x<0時，f(x)＝()A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)【答案】C當x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)．∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．4．(2014·山東萊蕪一模，8)已知函數(shù)f(x)的定義域為[3，6]，則函數(shù)y＝eq\f(f（2x）,\r(log\s\do9(\f(1,2))（2－x）))的定義域為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))【答案】B要使函數(shù)y＝eq\f(f（2x）,\r(log\f(1,2)（2－x）))有意義，需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3≤2x≤6，,log\f(1,2)（2－x）＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤x≤3，,0＜2－x＜1))?eq\f(3,2)≤x＜2.故選B.5．(2014·福建廈門一模，7)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈（2，5]，))則方程f(x)＝1的解是()A.eq\r(2)或2B.eq\r(2)或3C.eq\r(2)或4D．±eq\r(2)或4【答案】C當x∈[－1，2]時，由3－x2＝1?x＝eq\r(2)或－eq\r(2)(舍去)；當x∈(2，5]時，由x－3＝1?x＝4.綜上所述，f(x)＝1的解為eq\r(2)或4.6．(2015·山東青島質(zhì)檢，9)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3，0≤x＜5，,f（x－5），x≥5，))那么f(2015)＝()A．27B．0C．3D．1【答案】B由題意知x≥5，f(x)＝f(x－5)．令x－5＝t，∴x＝5＋t，∴f(5＋t)＝f(t)，∴f(x＋5)＝f(x)，∴f(x)的周期T＝5，∴f(2015)＝f(403×5＋0)＝f(0)，而當0≤x＜5時，f(x)＝x3，∴f(0)＝03＝0，故f(2015)＝0，故選B.7．(2015·湖北武漢質(zhì)檢，6)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，x<0，,x2－2x，x≥0.))若f(－a)＋f(a)≤0，則a的取值范圍是()A．[－1，1]B．[－2，0]C．[0，2]D．[－2，2]【答案】D依題意可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥0，,a2－2a＋（－a）2＋2（－a）≤0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,（－a）2－2（－a）＋a2＋2a≤0，))解得a∈[－2，2]，故選D.8．(2015·安徽合肥二模，7)設集合A＝eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)，x∈A，,2（1－x），x∈B.))若x0∈A，且f(f(x0))∈A，則x0的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(1,2)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,8)))【答案】C因為x0∈A，即0≤x0<eq\f(1,2)，所以f(x0)＝x0＋eq\f(1,2)，eq\f(1,2)≤x0＋eq\f(1,2)＜1，即eq\f(1,2)≤f(x0)＜1，即f(x0)∈B，所以f(f(x0))＝2[1－f(x0)]＝1－2x0.因為f(f(x0))∈A，所以0≤1－2x0＜eq\f(1,2)，解得eq\f(1,4)＜x0≤eq\f(1,2).又因為0≤x0＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,4)＜x0＜eq\f(1,2)，故答案為C.思路點撥：解答本題關(guān)鍵是要分清x0∈A時，f(x0)的取值范圍，以決定如何求f(f(x0))的值．9．(2015·四川德陽模擬，12)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1，則f(x)＝________.【解析】在f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))·eq\r(x)－1中，用eq\f(1,x)代替x，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝2f(x)eq\f(1,\r(x))－1，①將①式代入f(x)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\r(x)－1中，得f(x)＝4f(x)－2eq\r(x)－1，故f(x)＝eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3).【答案】eq\f(2,3)eq\r(x)＋eq\f(1,3)10．(2015·陜西榆林二模，12)已知f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋1，x≤0，,－（x－1）2，x>0，))使f(x)≥－1成立的x的取值范圍是________．【解析】由題意知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤0，,\f(1,2)x＋1≥－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,－（x－1）2≥－1，))解得－4≤x≤0或0<x≤2，故x的取值范圍是[－4，2]．【答案】[－4，2]1．(2015·天津，7，中)已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2|x－m|－1(m為實數(shù))為偶函數(shù)，記a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．c<a<bD．c<b<a【答案】C∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|－1.由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)．∵a＝f(log0.53)＝f(log23)，b＝f(log25)，c＝f(0)，又log25＞log23＞0，∴b＞a＞c，故選C.2．(2015·湖南，5，中)設函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，則f(x)是()A．奇函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù)B．奇函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù)C．偶函數(shù)，且在(0，1)上是增函數(shù)D．偶函數(shù)，且在(0，1)上是減函數(shù)【答案】A∵f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．又∵f′(x)＝eq\f(1,1＋x)＋eq\f(1,1－x)＝eq\f(1－x＋（1＋x）,1－x2)＝eq\f(2,1－x2)，x∈(－1，1)，∴f′(x)在定義域內(nèi)恒大于0，∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù)．1．(2014·陜西，7，易)下列函數(shù)中，滿足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的單調(diào)遞增函數(shù)是()A．f(x)＝xeq\s\up6(\f(1,2))B．f(x)＝x3C．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)D．f(x)＝3x【答案】D∵f(x＋y)＝f(x)f(y)，∴f(x)為指數(shù)函數(shù)模型，排除A，B.又∵f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，∴排除C，故選D.2．(2012·廣東，4，易)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝ln(x＋2)B．y＝－eq\r(x＋1)C．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)D．y＝x＋eq\f(1,x)【答案】A(逐項驗證法)函數(shù)y＝ln(x＋2)在(－2，＋∞)上是增函數(shù)；函數(shù)y＝－eq\r(x＋1)在[－1，＋∞)上是減函數(shù)；函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)；函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)．綜上可得，在(0，＋∞)上是增函數(shù)的是y＝ln(x＋2)，故選A.3．(2012·陜西，2，易)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝eq\f(1,x)D．y＝x|x|【答案】D(逐項驗證法)對于A，注意到函數(shù)y＝x＋1不是奇函數(shù)；對于B，注意到函數(shù)y＝－x3是在R上的減函數(shù)；對于C，注意到函數(shù)y＝eq\f(1,x)在其定義域上不是增函數(shù)；對于D，注意到－x·|－x|＋x|x|＝0，即函數(shù)y＝x|x|是奇函數(shù)，且當x≥0時，y＝x|x|＝x2是增函數(shù)，因此函數(shù)y＝x|x|既是奇函數(shù)又是R上的增函數(shù)，故選D.4．(2013·安徽，4，易)“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C充分性：當a<0時，x>0，則f(x)＝|(ax－1)x|＝－ax2＋x為開口向上的二次函數(shù)，且對稱軸為x＝eq\f(1,2a)<0，故在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)；當a＝0時，f(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)．必要性：當a≠0時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝0，f(0)＝0，由f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)知，eq\f(1,a)<0，即a<0；當a＝0時，f(x)＝x在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)，故a≤0.綜上，“a≤0”為“f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)”的充分必要條件．5．(2011·江蘇，2，易)函數(shù)f(x)＝log5(2x＋1)的單調(diào)增區(qū)間是________．【解析】要使y＝log5(2x＋1)有意義，則2x＋1>0，即x>－eq\f(1,2).而y＝log5u為(0，＋∞)上的增函數(shù)，當x>－eq\f(1,2)時，u＝2x＋1也為增函數(shù)，故原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))6．(2011·上海，20，14分，中)已知函數(shù)f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常數(shù)a，b滿足ab≠0.(1)若ab>0，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)若ab<0，求f(x＋1)>f(x)時x的取值范圍．解：(1)(定義法)a>0，b>0時，任取x1，x2∈R，令x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)．∵2x1<2x2，a>0?a(2x1－2x2)<0，3x1<3x2，b>0?b(3x1－3x2)<0，∴f(x1)－f(x2)<0，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)．同理，當a<0，b<0時，函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)．(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x>0，即a>－2beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x).當a<0，b>0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)>－eq\f(a,2b)，則x>logeq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b)))；當a>0，b<0時，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(x)<－eq\f(a,2b)，則x<logeq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2b))).考向1確定函數(shù)的單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)1．單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的從單調(diào)函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的．有的函數(shù)在其定義域的一個區(qū)間上是增函數(shù)，而在另一個區(qū)間上不是增函數(shù)．例如，函數(shù)y＝x2，當x∈[0，＋∞)時是增函數(shù)，當x∈(－∞，0]時是減函數(shù)．2．函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論(1)若f(x)，g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)，則f(x)＋g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù)；(2)若k>0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k<0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相反；(3)函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的單調(diào)性相反；(4)函數(shù)y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定義域內(nèi)與y＝eq\r(f（x）)的單調(diào)性相同；(5)奇函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在其關(guān)于原點對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反．(1)(2014·北京，2)下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上為增函數(shù)的是()A．y＝eq\r(x＋1)B．y＝(x－1)2C．y＝2－xD．y＝log0.5(x＋1)(2)(2014·天津，4)函數(shù)f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)【解析】(1)A項，函數(shù)y＝eq\r(x＋1)在[－1，＋∞)上為增函數(shù)，所以函數(shù)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，故符合；B項，函數(shù)y＝(x－1)2在(－∞，1)上為減函數(shù)，在[1，＋∞)上為增函數(shù)，故不符合；C項，函數(shù)y＝2－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在R上為減函數(shù)，故不符合；D項，函數(shù)y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上為減函數(shù)，故不符合．(2)因為y＝logeq\f(1,2)t在定義域上是減函數(shù)，所以求原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即求函數(shù)y＝x2－4的單調(diào)減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的定義域x2－4>0，可知所求區(qū)間為(－∞，－2)．【答案】(1)A(2)D判斷函數(shù)單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)的常用方法(1)定義法：先求定義域，再根據(jù)取值、作差、變形、定號的順序得結(jié)論．(2)圖象法：若函數(shù)是以圖象形式給出的，或者函數(shù)的圖象可作出，可由圖象的升、降寫出它的單調(diào)性(區(qū)間)．(3)復合函數(shù)法：適用于形如y＝f(φ(x))的復合函數(shù)，具體規(guī)則如下表：函數(shù)增減情況內(nèi)函數(shù)t＝φ(x)增增減減外函數(shù)y＝f(t)增減增減y＝f(φ(x))增減減增y＝f(φ(x))的單調(diào)性可以利用口訣——“同增異減”來判斷，即內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性相同時，為增函數(shù)；單調(diào)性不同時為減函數(shù)．(4)導數(shù)法：先求導，再確定導數(shù)值的正負，由導數(shù)的正負得函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)．(5)性質(zhì)法：利用函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)結(jié)論，確定簡單的初等函數(shù)的單調(diào)性．(1)(2011·課標全國，2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|(2)(2015·河南洛陽二模，6)函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝f(logax)(0<a<1)的單調(diào)減區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．[eq\r(a)，1]C．(－∞，0)∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))D．[eq\r(a)，eq\r(a＋1)](1)【答案】By＝x3是奇函數(shù)，y＝－x2＋1和y＝2－|x|在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，故選B.(2)【答案】B由圖象可知，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).∵0<a<1，∴函數(shù)y＝logax在定義域內(nèi)單調(diào)遞減．由題意可知，0≤logax≤eq\f(1,2)，解得eq\r(a)≤x≤1，即所求遞減區(qū)間為[eq\r(a)，1]，故選B.考向2函數(shù)單調(diào)性的應用1．函數(shù)最值的概念前提設函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件①對于任意x∈I，都有f(x)≤M①對于任意x∈I，都有f(x)≥M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M為最大值M為最小值函數(shù)的最值是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì)，即函數(shù)的值域中最大的一個值和最小的一個值．2．函數(shù)單調(diào)性的應用(1)比較函數(shù)值的大小；(2)解抽象函數(shù)不等式；(3)求待定參數(shù)的值或取值范圍；(4)求函數(shù)的最值或值域．(1)(2015·云南昆明模擬，6)已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當x2>x1>1時，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)<0恒成立，設a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．c>a>bB．c>b>aC．a(chǎn)>c>bD．b>a>c(2)(2015·福建福州一模，6)如果函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且當x≥eq\f(1,2)時，f(x)＝log2(3x－1)，那么函數(shù)f(x)在[－2，0]上的最大值與最小值之和為()A．2B．3C．4D．－1(3)(2012·上海，7)已知函數(shù)f(x)＝e|x－a|(a為常數(shù))．若f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．【思路導引】(1)利用圖象的對稱性，把問題轉(zhuǎn)化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)比較大?。?2)由f(1＋x)＝f(－x)得函數(shù)f(x)關(guān)于x＝eq\f(1,2)對稱，進而求得f(x)在各區(qū)間的單調(diào)性，可得函數(shù)f(x)的最大值與最小值；(3)思路一：先求出f(x)的單調(diào)增區(qū)間，再根據(jù)已知條件找出已知區(qū)間與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，求字母的范圍；思路二：求出f(x)的導數(shù)，利用f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，求a的范圍．【解析】(1)根據(jù)已知可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，且在(1，＋∞)上是減函數(shù)．因為a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))，且2<eq\f(5,2)<3，所以b>a>c.(2)根據(jù)f(1＋x)＝f(－x)，可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(1,2)對稱．又函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，則函數(shù)f(x)在[－2，0]上的最大值與最小值之和為f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1)＝log28＋log22＝4.(3)方法一：∵f(x)＝e|x－a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－a（x≥a），,e－x＋a（x<a），))∴f(x)在[a，＋∞)上為增函數(shù)，則[1，＋∞)?[a，＋∞)，∴a≤1.方法二：∵f(x)＝e|x－a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－a（x≥a），,e－x＋a（x<a），))當x≥a時，f(x)＝ex－a，f′(x)＝ex－a.由題意知f′(x)＝ex－a≥0在[1，＋∞)上是恒成立的，此結(jié)論顯然成立．∴a≤xmin，∴a≤1.當x＜a時，f′(x)＝－ex－a＜0恒成立，不符合題意．綜上所述，a≤1.【答案】(1)D(2)C(3)(－∞，1]1.比較函數(shù)值大小的思路比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解．2．含“f”號不等式的解法首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”號，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時要注意g(x)與h(x)的取值應在外層函數(shù)的定義域內(nèi)．3．利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍已知函數(shù)在區(qū)間A上是增函數(shù)，求相關(guān)參數(shù)的取值范圍，若函數(shù)是復合函數(shù)的形式，此類問題應理解為區(qū)間A是函數(shù)增區(qū)間的子集，根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的單調(diào)性結(jié)論來解決．若函數(shù)的導數(shù)可求，則可用函數(shù)的導數(shù)恒大于或等于0來解決．如f(x)在區(qū)間A上為增函數(shù)，求參數(shù)a的范圍，則轉(zhuǎn)化為：f′(x)≥0在A上恒成立且f′(x)＝0在A的任意子區(qū)間不恒成立，若求得a≥2，則需檢驗a＝2時是否符合題意．(2014·課標Ⅱ，15)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．【解析】由題知，f(2)＝0且f(x－1)>0，故f(x－1)>f(2)，而函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減且為偶函數(shù)，故滿足|x－1|<2，解得－1<x<3.【答案】(－1，3)1．(2015·四川瀘州三模，3)下列函數(shù)中，在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．f(x)＝lnxB．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝x3D．f(x)＝eq\f(1,x＋1)【答案】D對于A，y＝lnx在(0，＋∞)上是增函數(shù)，故A不滿足；對于B，函數(shù)在(－∞，1)上是減函數(shù)，(1，＋∞)上是增函數(shù)，故B不滿足；對于C，函數(shù)在R上是增函數(shù)，故C不滿足；對于D，函數(shù)在(－1，＋∞)，(－∞，－1)上均為減函數(shù)，則在(0，＋∞)上是減函數(shù)，故D滿足．2．(2014·安徽合肥檢測，6)函數(shù)y＝|x|(1－x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是()A．(－∞，0)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[0，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))【答案】B(數(shù)形結(jié)合法)y＝|x|(1－x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（1－x），x≥0，,－x（1－x），x＜0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≥0，,x2－x，x＜0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(1,4)，x≥0，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)－\f(1,4)，x＜0.))畫出函數(shù)的圖象，如圖．由圖易知原函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上單調(diào)遞增．故選B.3．(2015·山西太原模擬，5)已知f(x)＝x2－cosx，則f(0.6)，f(0)，f(－0.5)的大小關(guān)系是()A．f(0)<f(0.6)<f(－0.5)B．f(0)<f(－0.5)<f(0.6)C．f(0.6)<f(－0.5)<f(0)D．f(－0.5)<f(0)<f(0.6)【答案】B∵f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cosx＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)．∴f(－0.5)＝f(0.5)．又∵f′(x)＝2x＋sinx，當x∈(0，1)時，f′(x)>0.∴f(x)在(0，1)上是增函數(shù)，∴f(0)<f(0.5)<f(0.6)，即f(0)<f(－0.5)<f(0.6)，故選B.4．(2015·湖南株洲一模，7)定義新運算⊕：當a≥b時，a⊕b＝a；當a<b時，a⊕b＝b2，則函數(shù)f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于()A．－1B．1C．6D．12【答案】C由已知得當－2≤x≤1時，f(x)＝x－2；當1<x≤2時，f(x)＝x3－2.∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定義域內(nèi)都為增函數(shù)．∴f(x)的最大值為f(2)＝23－2＝6.5．(2014·遼寧五校第二次聯(lián)考，12)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，＋∞)上為增函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，則不等式f(logeq\s\do9(\f(1,8))x)＞0的解集為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))∪(2，＋∞)【答案】C由已知f(x)在R上為偶函數(shù)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝0，∴f(logeq\f(1,8)x)＞0等價于f(|logeq\f(1,8)x|)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).又f(x)在[0，＋∞)上為增函數(shù)，∴|logeq\f(1,8)x|＞eq\f(1,3)，即logeq\f(1,8)x＞eq\f(1,3)或logeq\f(1,8)x＜－eq\f(1,3)，解得0＜x＜eq\f(1,2)或x＞2，故選C.6．(2015·山東濱州質(zhì)檢，13)對于任意實數(shù)a，b，定義min{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))設函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________．【解析】依題意，h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，0<x≤2，,－x＋3，x>2.))當0<x≤2時，h(x)＝log2x是增函數(shù)；當x>2時，h(x)＝3－x是減函數(shù)，則h(x)在x＝2時，取得最大值h(2)＝1.【答案】17．(2015·河南濮陽模擬，16)函數(shù)f(x)的定義域為A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，則稱f(x)為單函數(shù)．例如，函數(shù)f(x)＝2x＋1(x∈R)是單函數(shù)．給出下列命題：①函數(shù)f(x)＝x2(x∈R)是單函數(shù)；②指數(shù)函數(shù)f(x)＝2x(x∈R)是單函數(shù)；③若f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；④在定義域上具有單調(diào)性的函數(shù)一定是單函數(shù)．其中真命題是________(寫出所有真命題的序號)．【解析】對于①，若f(x)＝x2，則f(x1)＝f(x2)時x1＝x2，或x1＝－x2，故①錯誤；對于②，f(x)＝2x是R上的增函數(shù)，當f(x1)＝f(x2)時總有x1＝x2，故②正確；對于③，由單函數(shù)的定義，可知其逆否命題：f(x)為單函數(shù)，x1，x2∈A，若x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)為真命題，故③正確；對于④，假若f(x1)＝f(x2)時，有x1≠x2，這與單調(diào)函數(shù)矛盾，故④正確．【答案】②③④8．(2014·河北石家莊質(zhì)檢，19，12分)已知f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數(shù)，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0時，有eq\f(f（a）＋f（b）,a＋b)＞0成立．(1)判斷f(x)在[－1，1]上的單調(diào)性，并證明；(2)解不等式feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＜feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－1)))；(3)若f(x)≤m2－2am＋1對所有的a∈[－1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，則－x2∈[－1，1]．∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝eq\f(f（x1）＋f（－x2）,x1＋（－x2）)·(x1－x2)．由已知得eq\f(f（x1）＋f（－x2）,x1＋（－x2）)＞0，x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增．(2)∵f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)＜\f(1,x－1)，,－1≤x＋\f(1,2)≤1，,－1≤\f(1,x－1)≤1，))解得－eq\f(3,2)≤x＜－1.(3)∵f(1)＝1，f(x)在[－1，1]上單調(diào)遞增，∴在[－1，1]上，f(x)≤1.問題轉(zhuǎn)化為m2－2am＋1≥1，即m2－2am≥0，對a∈[－1，1]成立．下面來求m的取值范圍．設g(a)＝－2m·a＋m2≥0.①若m＝0，則g(a)＝0≥0，對a∈[－1，1]恒成立．②若m≠0，則g(a)為a的一次函數(shù)，若g(a)≥0，對a∈[－1，1]恒成立，必須g(－1)≥0，且g(1)≥0，∴m≤－2或m≥2.∴m的取值范圍是m＝0或m≥2或m≤－2.1．(2015·安徽，2，易)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是()A．y＝cosxB．y＝sinxC．y＝lnxD．y＝x2＋1【答案】A由選項可知，A，D為偶函數(shù)，但D中函數(shù)無零點．2．(2015·廣東，3，易)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝eq\r(1＋x2)B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝2x＋eq\f(1,2x)D．y＝x＋ex【答案】DA中函數(shù)y＝eq\r(1＋x2)為偶函數(shù)；B中f(－x)＝－x－eq\f(1,x)＝－f(x)，故為奇函數(shù)；C中f(－x)＝2－x＋eq\f(1,2－x)＝eq\f(1,2x)＋2x＝f(x)，故為偶函數(shù)；D中f(－x)＝－x＋e－x，為非奇非偶函數(shù)，故選D.3．(2015·課標Ⅰ，13，易)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________．【解析】由于f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，即－xln(－x＋eq\r(a＋x2))＝xln(x＋eq\r(a＋x2))，即xln(x＋eq\r(a＋x2))＋xln(－x＋eq\r(a＋x2))＝0，∴xlna＝0.又∵x不恒為0，∴l(xiāng)na＝0，a＝1.【答案】11．(2014·課標Ⅰ，3，易)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)【答案】C若f(x)為奇函數(shù)，則|f(x)|為偶函數(shù)；若g(x)為偶函數(shù)，則|g(x)|為偶函數(shù)，且兩函數(shù)相乘奇偶性“同偶異奇”，對照選項可知C正確．2．(2013·山東，3，易)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當x>0時，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)＝()A．－2B．0C．1D．2【答案】A因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.故選A.3．(2012·福建，7，中)設函數(shù)D(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)，))則下列結(jié)論錯誤的是()A．D(x)的值域為{0，1}B．D(x)是偶函數(shù)C．D(x)不是周期函數(shù)D．D(x)不是單調(diào)函數(shù)【答案】CA顯然正確．D(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)，))當x∈Q時，－x∈Q，而D(x)＝D(－x)＝1；當x為無理數(shù)時，－x也為無理數(shù)，此時D(x)＝D(－x)＝0，∴對任意的x∈R，D(x)＝D(－x)，∴B正確．不妨設a∈Q且a≠0，當x為有理數(shù)時，D(x＋a)＝D(x)＝1，當x為無理數(shù)時，D(x＋a)＝D(x)＝0，∴D(x)為周期函數(shù)，∴C不正確．∵x1＝1，D(1)＝1，x2＝2，D(2)＝1，∴D(x1)＝D(x2)，∴D(x)在定義域上不單調(diào)，故D正確，∴選C.4．(2014·湖北，10，難)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝eq\f(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)．若?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,6)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),6)，\f(\r(6),6)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))【答案】B因為當x≥0時，f(x)＝eq\f(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以當0≤x≤a2時，f(x)＝eq\f(1,2)(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；當a2<x<2a2時，f(x)＝eq\f(1,2)(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；當x≥2a2時，f(x)＝eq\f(1,2)(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.綜上，函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0時的解析式等價于f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x，0≤x≤a2，,－a2，a2<x<2a2，,x－3a2，x≥2a2.))因此，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱作出函數(shù)f(x)在R上的大致圖象如下，觀察圖象可知，要使?x∈R，f(x－1)≤f(x)，則需滿足2a2－(－4a2)≤1，解得－eq\f(\r(6),6)≤a≤eq\f(\r(6),6).5．(2012·上海，9，易)已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，則g(－1)＝________．【解析】由已知y＝f(x)＋x2是奇函數(shù)，f(1)＝1，得f(1)＋12＋f(－1)＋(－1)2＝0，f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.【答案】－16．(2011·上海，13，中)設g(x)是定義在R上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f(x)＝x＋g(x)在區(qū)間[3，4]上的值域為[－2，5]，則f(x)在區(qū)間[－10，10]上的值域為________．【解析】∵g(x)是周期為1的函數(shù)，且f(x)＝x＋g(x)，∴f(x＋1)＝x＋1＋g(x＋1)＝x＋g(x)＋1＝f(x)＋1.同理f(x＋2)＝f(x＋1)＋1，…，即對f(x)圖象而言，x每增加1個單位長度，函數(shù)圖象向上平移1個單位長度，反之，x每減少1個單位長度，函數(shù)圖象向下平移1個單位長度，又x∈[3，4]時，f(x)∈[－2，5]，且f(x)最大值與最小值差為7，所以，當x∈[4，5]時，f(x)∈[－1，6]；當x∈[5，6]時，f(x)∈[0，7]；…；當x∈[9，10]時，f(x)∈[4，11]．同理當x∈[－10，－9]時，f(x)∈[－15，－8]．綜上可知x∈[－10，10]時，f(x)的值域為[－15，11]．【答案】[－15，11]考向1函數(shù)奇偶性的判斷及其應用1．偶函數(shù)和奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)定義條件如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)結(jié)論函數(shù)f(x)叫作偶函數(shù)函數(shù)f(x)叫作奇函數(shù)圖象特征圖象關(guān)于y軸對稱圖象關(guān)于原點對稱2.奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反．(2)在公共定義域內(nèi)①兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)．②兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)．③一個奇函數(shù)、一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)．(3)若f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)＝0.(1)(2013·廣東，2)定義域為R的四個函數(shù)y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sinx中，奇函數(shù)的個數(shù)是()A．4B．3C．2D．1(2)(2014·湖南，3)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(3)(2011·浙江，11)若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________．(4)(2013·江蘇，11)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________．【解析】(1)(定義法)根據(jù)奇、偶函數(shù)的定義可知，y＝2x為非奇非偶函數(shù)，y＝x2＋1為偶函數(shù)，y＝x3與y＝2sinx為奇函數(shù)．(2)令x＝－1得，f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f(x)，g(x)分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝1.(3)∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，則|x－a|＝|x＋a|.∵x∈R，∴a＝0.(4)∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0.又當x＜0時，－x＞0，∴f(－x)＝x2＋4x.又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x2－4x(x＜0)，∴f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x，x＞0，,0，x＝0，,－x2－4x，x＜0.))①當x＞0時，由f(x)＞x得x2－4x＞x，解得x＞5；②當x＝0時，f(x)＞x無解；③當x＜0時，由f(x)＞x得－x2－4x＞x，解得－5＜x＜0.綜上，不等式f(x)＞x的解集用區(qū)間表示為(－5，0)∪(5，＋∞)．【答案】(1)C(2)C(3)0(4)(－5，0)∪(5，＋∞)1.判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)定義法①對于較復雜的解析式，可先對其進行化簡，再利用定義進行判斷，同時應注意化簡前后的等價性．②所給函數(shù)的定義域若不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)一定不具有奇偶性．(2)圖象法2．應用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法(1)求函數(shù)值將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．(2)求解析式先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得方程(組)，進而得出參數(shù)的值．(1)(2011·湖北，6)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2(a>0，且a≠1)．若g(2)＝a，則f(2)＝()A．2B.eq\f(15,4)C.eq\f(17,4)D．a(chǎn)2(2)(2013·四川，14)已知f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．(1)【答案】B∵g(x)為偶函數(shù)，f(x)為奇函數(shù)，∴g(2)＝g(－2)＝a，f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＋g(2)＝a2－a－2＋2，①f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a－2－a2＋2，②聯(lián)立①②解得g(2)＝2＝a，f(2)＝a2－a－2＝22－2－2＝eq\f(15,4).故選B.(2)【解析】當x≥0時，由f(x)＝x2－4x<5，解得0≤x<5.因為f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，所以f(x)<5的解集為－5<x<5.所以f(x＋2)<5的解集即是－5<x＋2<5，即－7<x<3.【答案】(－7，3)考向2函數(shù)的周期性及其應用1．周期函數(shù)的定義對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．2．常見的幾個結(jié)論周期函數(shù)y＝f(x)滿足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2a；(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則函數(shù)的周期為2a；(4)函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a與x＝b對稱，那么函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|；(5)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a，0)對稱，又關(guān)于點(b，0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期是2|b－a|；(6)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對稱，又關(guān)于點(b，0)對稱，函數(shù)f(x)的周期是4|b－a|；(7)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為2a；(8)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為4a.(1)(2012·山東，8)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當－3≤x＜－1時，f(x)＝－(x＋2)2，當