高斯小學(xué)奧數(shù)六年級上冊含答案第14講-工程問題綜合提高

第十四講工程問題綜合提高本講知識點匯總：工程問題基本公式：

工作量=工作效率×工作時間；

工作時間=工作量÷工作效率；

工作效率=工作量÷工作時間．理解“單位1”的概念并靈活應(yīng)用；有的工程問題，工作效率往往隱藏在條件中，工作過程也較為復(fù)雜，要仔細(xì)梳理工作過程、靈活運用基本數(shù)量關(guān)系；工作量其實是一種分率，利用量率對應(yīng)可以求出全部工作的具體數(shù)量．典型題型基本效率計算：最常見的工程問題，基本思路是根據(jù)工作過程計算效率，通過對效率的分析計算時間．基本工程問題：關(guān)鍵在于效率的計算；中途離開或加入型：算清楚每個人工作的時間或合作時間即可；來回幫忙型：先利用每個人都在干活算出總時間，再根據(jù)總時間算每個人具體的工作安排；具有周期性的工程問題輪流工作型：先處理合作的整的單位時間工作量，再獨做處理零頭，即剩余的工作量；間隔休息型：先考慮一個周期各自的工作量，再分段處理；工程問題中的比例正反比的應(yīng)用：關(guān)鍵要明確“什么是不變的”，從而知道該用何種比例；效率變化：類似于行程問題中的變速問題，需要從變速點分段計算；水管問題和牛吃草問題牛吃草問題型：設(shè)效率，比較總量；水管問題型：注意有“幫倒忙”的水管．

生產(chǎn)一批帽子，甲、乙二人合作需15天完成．現(xiàn)由甲先單獨工作5天，再由乙單獨工作3天后還剩這批帽子的沒完成．若甲每天比乙少加工4個帽子，則這批帽子共有多少個？「分析」題中已知甲、乙的工效和，那么就應(yīng)想辦法讓甲、乙同時工作，不妨采用假設(shè)的工作方式分析題目．

練習(xí)1、一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成．現(xiàn)在兩隊合作，期間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天．開始到完工共用了多少天時間？

A倉庫貨物是B倉庫的2倍，甲搬運A倉庫需要32小時，乙、丙搬運B倉庫分別需要24小時和12小時．甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運，最后兩倉庫貨物同時搬完．丙幫助甲搬了多少小時？

「分析」總的工作量是已知的，工作效率的和也知道，在整個工作的過程中沒有人休息，那么，我們可以求出工作時間．

練習(xí)2、墨莫帶著阿呆和阿瓜去割草．單獨割完一個草地的草，阿呆需要9個小時，阿瓜需要12個小時，墨莫只需要18個小時就行．現(xiàn)在阿呆和阿瓜各自負(fù)責(zé)一個大小相同的草地．墨莫先幫助阿瓜，一會去幫助阿呆，最后阿呆和阿瓜一起完成了割草的任務(wù)，那么墨莫共幫助阿呆割了多少個小時？

小鹿、小羊、小豬三名打字員承擔(dān)一項打字任務(wù)，若由這3人中的某人單獨完成全部打字任務(wù)，則小鹿需24小時，小羊需20小時，小豬需16小時．

（1）如果鹿、羊、豬三人同時打字，那么需要多少小時完成？

（2）如果按鹿、羊、豬的次序輪流每人各打1小時，那么需要多少小時完成？

「分析」（1）直接計算即可；（2）分析可得每3個小時可以作為一個周期，那么在完成工作的過程中需要多少個整周期哪？

練習(xí)3、一個水池有兩根進(jìn)水管，單開甲管12小時注滿，單開乙管15小時注滿，現(xiàn)在甲乙管輪流打開，甲管打開1小時，乙管打開1小時，甲管打開1小時，乙管打開1小時……重復(fù)交替下去，那么注滿水池共需要多少小時？

甲工程隊每工作6天必須休息1天，乙工程隊每工作5天必須休息2天，一項工程，甲工程隊單獨做需104天（含休息），乙工程隊單獨做需82天（含休息），如果兩隊合作，從2012年8月28日開工，則該工程在哪一天可以竣工？

「分析」分析可得兩個工程隊都是每7天為一個周期，那么一個周期內(nèi)它們完成的工作量分別是多少呢？

練習(xí)4、姜太公“三天打魚兩天曬網(wǎng)”（打三天魚休息兩天），周文王“四天打魚一天曬網(wǎng)”，姜太公打滿一缸魚要38天，周文王打滿同樣的一缸魚要37天，兩人從2012年9月2號開始打魚，在幾月幾號可以合打滿一缸魚？

一批蜘蛛俠模型，做了后，提速25%，提前3小時完成任務(wù)；如果做了400個模型后，提速20%，可以提前2小時完成任務(wù)，那么這批模型有多少個？

「分析」不妨畫出一個類似行程問題的線段圖來分段分析本題．

甲、乙兩項工程分別由一、二隊來完成．在晴天，一隊完成甲工程需要12天，二隊完成乙工程需要18天；在雨天，一隊的工作效率要下降40%，二隊的工作效率要上升20%．結(jié)果兩隊同時完成這兩項工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天？

「分析」在解決某些工程問題時列方程是個不錯的選擇．

智慧的結(jié)晶——《夢溪筆談》宋代是中國古代數(shù)學(xué)最輝煌的時期之一．北宋大科學(xué)家沈括的名著《夢溪筆談》中，有10多條有關(guān)數(shù)學(xué)的討論，內(nèi)容既廣且深，堪稱我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶．沈括最重要的數(shù)學(xué)探討是隙積術(shù)和會圓術(shù)．隙積術(shù)在我國數(shù)學(xué)史上開辟了高階等差級數(shù)求和的研究領(lǐng)域．所謂“隙積”，指的是有空隙的堆積體、例如酒店中堆積的酒壇、疊起來的棋子等，這類堆積體整體上就像一個倒扣的斗，與平截頭的長方錐（芻童）很像．但是隙積的邊緣不是平的，而中間又有空隙，所以不能照搬芻童的體積公式．沈括經(jīng)過思考后，發(fā)現(xiàn)了正確的計算方法．他以堆積的酒壇為例說明這一問題：設(shè)最上層為縱橫各2個壇子，最下層為縱橫各12個壇子，相鄰兩層縱橫各差1壇，顯然這堆酒壇共11層；每個酒壇的體積不妨設(shè)為1，用芻童體積公式計算，總體積為，酒壇總數(shù)也應(yīng)是這個數(shù)．顯然，酒壇數(shù)不應(yīng)為非整數(shù)，問題何在呢？沈括提出，應(yīng)在芻童體積基礎(chǔ)上加上一項“”即為，酒壇實際數(shù)應(yīng)為．加上去的這一項正是一個體積上的修正項．在這里，沈括以體積公式為基礎(chǔ)，把求解不連續(xù)的個體的累積數(shù)（級數(shù)求和），化為連續(xù)整體數(shù)值來求解，可見他已具有了用連續(xù)模型解決離散問題的思想．會圓術(shù)是對圓的弧矢關(guān)系給出的比較實用的近似公式，主要思想是局部以直代曲．沈括進(jìn)一步應(yīng)用《九章算術(shù)》中弧田的面積近似公式，求出弧長，這便是會圓術(shù)公式．沈括得出的雖是近似公式，但可以證明，當(dāng)圓心角小于45°時，相對誤差小于2%，所以該公式有較強(qiáng)的實用性．這是對劉徽割圓術(shù)以弦（正多邊形的邊）代替圓弧思想的一個重要佐證，很有理論意義．后來，郭守敬、王恂在歷法計算中，就應(yīng)用了會圓術(shù)．在《夢溪筆談》中，沈括還應(yīng)用組合數(shù)學(xué)法計算得出圍棋可能的局?jǐn)?shù)是3361種，并提出用數(shù)量級概念來表示大數(shù)3361的方法．沈括還在書中記載了一些運籌思想，如將暴漲的汴水引向古城廢墟來搶救河堤的塌陷，以及用挖路成河、取土、運輸，最后又將建筑垃圾填河成路的方法來修復(fù)皇宮等．沈括對數(shù)的本質(zhì)的認(rèn)識也很深刻，指出：“大凡物有定形，形有真數(shù)．”顯然他否定了數(shù)的神秘性，而肯定了數(shù)與物的關(guān)系．他還指出：“然算術(shù)不患多學(xué)，見簡即用，見繁即變，乃為通術(shù)也．”

作業(yè)一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成，現(xiàn)在由兩隊合作，其間乙隊休息了若干天，從開始到完工共用了14天，那么乙隊休息了多少天？

一項工作由甲先做6小時，再由乙做12小時即可完成，如果甲先做8小時，乙再做6小時也可完成．如果甲先做3小時，則乙還需要做幾小時？

某工程可由若干臺機(jī)器在規(guī)定的時間內(nèi)完成．如果增加2臺機(jī)器，則需要用規(guī)定時間的就可完成；如果減少2臺機(jī)器，那么就要推遲小時完成．問由一臺機(jī)器完成這項工程需要多少小時？

草場上放有一堆草，并且還有一片草以均勻的速度生長著，如果放養(yǎng)8頭牛，則10天可以吃完；如果放養(yǎng)10頭牛，則6天可以吃完，那么如果放養(yǎng)15頭牛，可以吃幾天？

搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時．現(xiàn)有兩個相同的倉庫A和B，甲在A倉庫，乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙先幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運，最后兩個倉庫貨物同時搬完，那么丙幫助甲幾小時，幫助乙?guī)仔r？第十四講工程問題綜合提高答案：240．

詳解：由已知條件可知甲乙工作效率和為，而甲工作5天加上乙工作3天相當(dāng)于甲乙合作三天后甲又獨自工作了2天，所以甲的工作效率為，進(jìn)而可知乙的工作效率為，所以這批帽子共有個．

答案：12

詳解：在整個過程中甲、乙、丙均沒有停止，一直在工作，所以可以從整體上考慮這類型的題目；小時，對于A倉庫：甲搬了，丙幫甲搬了小時．

答案：（1）；（2）

詳解：三人的工作效率之和為．

（1）三人同時工作時所需的時間為；（2）三人依次各做1小時，也就是周期是3小時的周期性合作，且每個周期可完成．而，，小時，即輪流工作6個周期后，鹿又工作了1個小時，羊又工作了小時，所以共需要：小時．

答案：10月12日

詳解：把工程總量看作單位“1”，因為，所以甲工作一天可完成；因為，所以乙工作一天可完成．甲乙兩人合作周期性工作，每7天完成的工作量為，則經(jīng)過6個周期后還剩余的工作量為，而甲乙合作一天可完成，所以4>>3，因此所需的時間為，由于8月有31日，所以8月份工作了4天，而，因此要到10月12日方可完工．

答案：1000

詳解：第一次提速前后的工作效率比是4:5，工作時間比是5:4，所以完成整個工作需要小時，第二次提速前后的工作效率比是5:6，工作時間比是6:5，所以400個模型需要8個小時，那么這批模型有1000個．答案：10

詳解：由題意可知，晴天甲效率，乙效率；雨天時甲效率，乙效率，假設(shè)共有x個晴天，y個雨天，則可列出方程：，解得，所以雨天有10天．

練習(xí)：練習(xí)1、

答案：11

簡答：甲的工作效率是，乙的工作效率是，期間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天，相當(dāng)于甲和乙一起休息2天后，乙又獨自多休息了6天，此時甲獨自完成了，剩下的由甲和乙同時完成，所用的時間為天，所以共用：天．練習(xí)2、

答案：2

簡答：在整個過程中三人沒有停止，一直在工作，所以總的工作量除以總的工作效率可得總的工作時間為小時，因此墨莫共幫助阿呆割了小時．

練習(xí)3、答案：小時

簡答：兩人各做1小時，周期是2小時，兩人合作一小時的工作量是，而，剩余的工作量就是，，共需要小時．

練習(xí)4、

答案：9月19號

簡答：兩人都是5天一周期，姜太公打滿一缸魚相當(dāng)于實際工作的天數(shù)是24天，周文王實際工作天數(shù)是30天，所以一周期效率和是，所以共三個周期15天，而剩下的工作量是，恰好需做天，所以總共要打18天，所以是9月19號．

作業(yè)答案：5

簡答：首先把這項工程的工作量看作單位“1”，則甲、乙的工作效率分別為、．設(shè)乙隊休息了x天，由已知條件可得：，解得．答案：21

簡答：在工作總量不變的情況下，甲工作6小時、乙工作12小時或甲工作8小時、乙工作6小時都可完成，對比前后兩種情況可知當(dāng)甲多工作個小時，乙少工作了個小時，即甲1個小時的工作量由乙來做要3個小時．因此當(dāng)甲由原來工作6小時變?yōu)楣ぷ?小時后，乙要比原來多工作9小時，所以乙需要做21小時．答案：56

簡答：增加2臺機(jī)器后只需用規(guī)定時間的就可完成任務(wù)，把規(guī)定時間分為8份，即原來所有機(jī)器工作1份時間的工作量由2臺機(jī)器用7份時間完成了，由反比關(guān)系可知原來有臺機(jī)器；減少2臺機(jī)器剩余的12臺機(jī)器要多