高數(shù)第四章習(xí)題

習(xí)題4-11.利用定義計算下列定積分：解：(1)將區(qū)間[a,b]n等分，分點為記每個小區(qū)間長度為取則得和式由定積分定義得(2)將區(qū)間[0,1]n等分，分點為記每個小區(qū)間長度取則和式2.利用定積分概念求下列極限：；解：(1)原式(2)原式3.用定積分的幾何意義求下列積分值:；.解：(1)由幾何意義可知,該定積分的值等于由x軸、直線x=1、y=2x所圍成的三角形的面積，故原式=1.(2)由幾何意義可知，該定積分的值等于以原點為圓心，半徑為R的圓在第一象限內(nèi)的面積，故原式=.4.證明下列不等式：；證明：(1)當時，即由積分的保序性知：即(2)證明：當時，由積分的保序性知：即5.證明：(1)(2)證明：(1)當時，于是而由夾逼準則知：(2)由中值定理得其中故習(xí)題4-21.計算下列定積分：；；，其中；；.解：(1)原式.(2)原式(3)原式(4)原式(5)原式2.計算下列導(dǎo)數(shù)：；解：(1)原式.(2)原式3.求由參數(shù)式所確定的函數(shù)y對x的導(dǎo)數(shù).解：4.求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：方程兩邊對x求導(dǎo)，有又故.5.求下列極限：；.解：(1)原式(2)原式6.a,b,c取何實數(shù)值才能使成立.解：因為時，而該極限又存在，故b=0.用洛必達法則，有所以或.習(xí)題4-31.利用基本積分公式及性質(zhì)求下列積分：;解：原式.；解：原式=解：原式=3解：原式=;解：原式=解：原式=解：原式=.解：原式=.解：原式=.解：原式=解：原式=;解：原式=解：原式=解：原式=.；解：原式=.;解：原式=.;解：原式=.解：原式=2.一平面曲線過點（1，0），且曲線上任一點（x,y）處的切線斜率為2x－2，求該曲線方程.解：依題意知：兩邊積分，有又x=1時，y=0代入上式得c=1，故所求曲線方程為.3.在下列各式等號右端的空白處填入適當?shù)南禂?shù)，使等式成立.(1)； (2)；(3)； (4)；(5)；(6)；(7)； (8)；(9)；(10)；(11)； (12).4.利用換元法求下列積分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=；解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式又故上式;解：原式(28)解：原式,又故上式=.;解：原式,又,所以,故上式..解：原式 ① ②①+②=2\*GB3②-=1\*GB3①故5.用分部積分法求下列不定積分：;解：原式=;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：∴原式=;解：原式=.;解：原式=.解：原式又所以故6.求下列不定積分：;解：原式=;解：原式=.;解：原式=;解：原式=;解：原式=;解：原式;解：原式=;解：原式=又故原式=.習(xí)題4-4利用計分表，計算下列不定積分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.習(xí)題4-51.利用被積函數(shù)奇偶性，計算下列積分值（其中a為正常數(shù)）(1)解：因為[－a,a]上的奇函數(shù)，故;解：因為即被積函數(shù)為奇函數(shù)，所以原式=0.;解：因為為奇函數(shù)，故原式=.解：因為是奇函數(shù)，故原式=2.計算下列積分：(1)；；；；；；；；；；.解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)所以，原式=.(7)原式=(8)原式=(9)原式(10)原式=(11)原式=3.證明：(a為正常數(shù))；證明：左右所以，等式成立.4.證明：,并由此計算(a為正常數(shù))證明：又故等式成立.5.已知,求.解：原式=習(xí)題4-61.用定義判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，則求其值：;解：原式=解：原式=(n為正整數(shù))解：原式=;解：原式=;解：原式=.解：原式=2.討論下列廣義積分的斂散性：;解：原式=故該廣義積分當時收斂；時發(fā)散..解：原式=綜上所述，當k<1時，該廣義積分收斂，否則發(fā)散.3.已知，求：解：(1)原式=(2)4.證明：無窮積分斂散性的比較判別法的極限形式，即節(jié)第六節(jié)定理2.證明：如果，那么對于(使),存在x0，當時即成立，顯然與同進收斂或發(fā)散.如果，則有,顯然收斂,則亦收斂.如果，則有，顯然發(fā)散，則亦發(fā)散.習(xí)題四1.填空題（1）設(shè)，，，則的大小關(guān)系是.（2）設(shè)是函數(shù)的一個原函數(shù)，則.（3）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，則定積分的值是多少1006.（4）已知函數(shù)，則的值為.（5）反常積分的值為.2.選擇題（1）設(shè)函數(shù)與在內(nèi)皆可導(dǎo)，且，則必有（A）.A.B.C.D.（2）下列定積分中，積分值不等于零的是（D）.A.B.C.D.（3）設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)，“”表示“的充分必要條件是”，則必有（）.（05年全國考研題第（8）題）A.是偶函數(shù)是奇函數(shù)B.是奇函數(shù)是偶函數(shù)B.是周期函數(shù)是周期函數(shù)D.是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)（4）設(shè)為的一個原函數(shù)，則（D）.A.B.C.D.（5）設(shè)函數(shù)，則當時，是的（C）.A.高階無窮小量B.低階無窮小量C.等價無窮小量D.同階但不等價無窮小量3.利用定積分概念求下列極限：（1）；（2）.解：（1）（2）有定積分的定義可得（令）4*.已知曲線在點處的斜率為，且曲線過點，求該曲線的方程.解：由已知，由于曲線過，則有，因此所求曲線方程為.5*.設(shè)函數(shù)連續(xù)，且滿足.(1)求函數(shù)的表達式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：（1），方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，則有，再對求導(dǎo)數(shù)得.（2），令得.所以，函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為；單調(diào)減少區(qū)間為.函數(shù)的極大值為，極小值為.6*.設(shè)函數(shù)問當取何值時，在處可導(dǎo)，并求出的值.（國防科大09-10年秋季第三大題第2小題）7*.設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且滿足，求的表達式.解：設(shè)，則有，所以有，解得，因此所求函數(shù)的表達式為.8.求下列不定積分，并用求導(dǎo)方法驗證其結(jié)果正確否：;解：原式=驗證：所以，結(jié)論成立.;解：原式=驗證：所以，結(jié)論成立.;解：原式=.驗證：所以，結(jié)論正確.;解：原式=驗證：所以，結(jié)論正確.;解：所以，原式=驗證：故結(jié)論成立.;解：原式=驗證：.故結(jié)論成立.;解：原式=驗證：所以，結(jié)論成立.;解：原式=驗證：所以，原式成立.;解：原式=驗證：故結(jié)論成立.(n>1，且為正整數(shù)).解：故驗證：故結(jié)論成立.9.求不定積分.解：故原式=又由函數(shù)的連續(xù)性，可知：所以