高數(shù)同濟第五版第十二章答案

習題1211試說出下列各微分方程的階數(shù)(1)x(y)22yyx0解一階(2)x2yxyy0解一階(3)xy2yx2y0解三階(4)(7x6y)dx(xy)dy0解一階(5)解二階(6)解一階2指出下列各題中的函數(shù)是否為所給微分方程的解(1)xy2yy5x2解y10x因為xy10x22(5x2)2y所以y5x2是所給微分方程的解(2)yy0y3sinx4cosx解y3cosx4sinx因為yy3cosx4sinx3sinx4cosx7sinxcosx0所以y3sinx4cosx不是所給微分方程的解(3)y2yy0yx2ex解y2xexx2exy2ex2xex2xexx2ex2ex4xexx2ex因為y2yy2ex4xexx2ex2(2xexx2ex)x2ex2ex0所以yx2ex不是所給微分方程的解(4)y(12)y12y0解因為0所以是所給微分方程的解3在下列各題中驗證所給二元方程所確定的函數(shù)為所給微分方程的解(1)(x2y)y2xyx2xyy2C解將x2xyy2C的兩邊對x求導得2xyxy2yy0即(x2y)y2xy所以由x2xyy2C(2)(xyx)yxy2yy2y0yln(xy)解將yln(xy)的兩邊對x求導得即再次求導得注意到由可得所以從而(xyx)yxy2yy2y0即由yln(xy)所確定的函數(shù)是所給微分方程的解4在下列各題中確定函數(shù)關(guān)系式中所含的參數(shù)使函數(shù)滿足所給的初始條件(1)x2y2Cy|x05解由y|x00得0252CC25故x2y2(2)y(C1C2x)e2xy|x00y|x01解yC2e2x2(C1C2x)e2x由y|x00y|x01得解之得C10C21故yxe2x(3)yC1sin(xC2)y|x1y|x0解yC1cos(xC2)由y|x1y|x0得即解之得C11故即ycosx5寫出由下列條件確定的曲線所滿足的微分方程(1)曲線在點(xy)處的切線的斜率等于該點橫坐標的平方解設(shè)曲線為yy(x)則曲線上點(xy)處的切線斜率為y由條件yx2這便是所求微分方程(2)曲線上點P(xy)處的法線與x軸的交點為Q且線段PQ被y軸平分解設(shè)曲線為yy(x)則曲線上點P(xy)處的法線斜率為由條件第PQ中點的橫坐標為0所以Q點的坐標為(x0)從而有即yy2x06用微分方程表示一物理命題某種氣體的氣壓P對于溫度T的變化率與氣壓成正比所溫度的平方成反比解其中k為比例系數(shù)習題1221求下列微分方程的通解(1)xyylny0解分離變量得兩邊積分得即ln(lny)=lnx+lnC,故通解為y=eCx.(2)3x25x5y0解分離變量得5dy(3x25x)dx兩邊積分得即故通解為其中為任意常數(shù)(3)解分離變量得兩邊積分得即arcsinyarcsinxC故通解為ysin(arcsinxC)(4)yxya(y2y)解方程變形為(1xa)yay2分離變量得兩邊積分得即故通解為其中CaC1為任意常數(shù)(5)sec2xtanydxsec2ytanxdy0解分離變量得兩邊積分得即ln(tany)ln(tanx)lnC故通解為tanxtanyC(6)解分離變量得10ydy10xdx兩邊積分得即或10y10xC故通解為ylg(C10x)(7)(exyex)dx(exyey)dy0解方程變形為ey(ex1)dyex(1ey)dx分離變量得兩邊積分得即ln(ey)ln(ex1)lnC故通解為(ex1)(ey1)C(8)cosxsinydxsinxcosydy0解分離變量得兩邊積分得即ln(siny)ln(sinx)lnC故通解為sinxsinyC(9)解分離變量得(y1)2dyx3dx兩邊積分得即故通解為4(y1)33x4C(C12C1(10)ydx(x24x)dy0解分離變量得兩邊積分得即lny4lnxln(4x)lnC故通解為y4(4x)Cx2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解(1)ye2xyy|x00解分離變量得eydye2xdx兩邊積分得即或由y|x00得所以特解(2)cosxsinydycosysinxdx解分離變量得tanydytanxdx兩邊積分得即ln(cosy)ln(cosx)lnC或cosyCcosx由得所以特解為(3)ysinxylny解分離變量得兩邊積分得即或由得C1所以特解為(4)cosydx(1ex)sinydy0解分離變量得兩邊積分得即ln|cosy|ln(ex1)ln|C|或cosyC(ex1)由得所以特解為(5)xdy2ydx0y|x21解分離變量得兩邊積分得即lny2lnxlnC或yCx2由y|x21得C×221C4所以特解為3.有一盛滿了水的圓錐形漏漏斗,高為10cm,頂角為60°,漏斗下面有面積為0.5cm2的孔,求水面高度變化的規(guī)律及流完所需的時間.解設(shè)t時該已流出的水的體積為V,高度為x則由水力學有,即.又因為,故,從而,即,因此.又因為當t=0時,x=10,所以,故水從小孔流出的規(guī)律為.令x=0,得水流完所需時間約為10s.4.質(zhì)量為1g(克)的質(zhì)點受外力作用作直線運動,這外力和時間成正比,和質(zhì)點運動的速度成反比.在t=10s時,速度等于50cm/s,外力為4gcm/s2,解已知,并且法t=10s時,v=50cm/s,F=4gcm/s2,故,從而k=20,因此.又由牛頓定律,F=ma,即,故vdv=20tdt.這就是速度與時間應(yīng)滿足的微分方程.解之得,即.由初始條件有,C=250.因此.當t=60s時,.5.鐳的衰變有如下的規(guī)律:鐳的衰變速度與它的現(xiàn)存量R成正比.由經(jīng)驗材料得知,鐳經(jīng)過1600年后,只余原始量R0的一半.試求鐳的量R與時間t的函數(shù)關(guān)系.解由題設(shè)知,,即,兩邊積分得lnR=-lt+C1,從而.因為當t=0時,R=R0,故R0=Ce0=C,即R=R0e-lt.又由于當t=1600時,,故,從而.因此.6.一曲線通過點(2,3),它在兩坐標軸間的任一切線線段均被切點所平分,求這曲線方程.解設(shè)切點為P(x,y),則切線在x軸,y軸的截距分別為2x,2y,切線斜率為,故曲線滿足微分方程:,即,從而lny+lnx=lnC,xy=C.因為曲線經(jīng)過點(2,3),所以C=2′3=6,曲線方程為xy=6.7.小船從河邊點O處出發(fā)駛向?qū)Π?兩岸為平行直線).設(shè)船速為a,船行方向始終與河岸垂直,又設(shè)河寬為h,河中任一點處的水流速度與該點到兩岸距離的乘積成正比(比例系數(shù)為k).求小船的航行路線.解建立坐標系如圖.設(shè)t時刻船的位置為(x,y),此時水速為,故dx=ky(h-y)dt.又由已知,y=at,代入上式得dx=kat(h-at)dt,積分得.由初始條件x|t=0=0,得C=0,故.因此船運動路線的函數(shù)方程為,從而一般方程為.習題1231求下列齊次方程的通解(1)解原方程變?yōu)榱顒t原方程化為即兩邊積分得即將代入上式得原方程的通解即(2)解原方程變?yōu)榱顒t原方程化為即兩邊積分得ln(lnu1)lnxlnC即ueCx1將代入上式得原方程的通解yxeCx1(3)(x2y2)dxxydy0解這是齊次方程令即yxu則原方程化為(x2x2u2)dxx2u(udxxdu)0即兩邊積分得u2lnx2C將代入上式得原方程的通解y2x2(lnx2C(4)(x3y3)dx3xy2dy0解這是齊次方程令即yxu則原方程化為(x3x3u3)dx3x3u2(udxxdu)0即兩邊積分得即將代入上式得原方程的通解x32y3Cx(5)解原方程變?yōu)榱顒t原方程化為即兩邊積分得3ln(shu)2lnxlnC即sh3uCx2將代入上式得原方程的通解(6)解原方程變?yōu)榱顒t原方程化為即分離變量得兩邊積分得ln(u2eu)lnylnC即y(u2eu)C將代入上式得原方程的通解即2求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解(1)(y23x2)dy2xydx0y|x01解這是齊次方程令,即yxu則原方程化為(x2u23x2)(udxxdu)2x2udx0即或兩邊積分得3ln|u|ln|u1|ln|u1|ln|x|ln|C|即u21Cxu3將代入上式得原方程的通解y2x2Cy3由y|x01得C1故所求特解為y2x2y3(2)y|x12解令,則原方程化為即兩邊積分得將代入上式得原方程的通解y22x2(lnxC)由y|x12得C2故所求特解為y22x2(lnx2)(3)(x22xyy2)dx(y22xyx2)dy0y|x11解這是齊次方程令,即yxu則原方程化為(x22x2ux2u2)dx(x2u22x2ux2)(udxxdu)0即或兩邊積分得ln|u1|ln(u21)ln|x|ln|C|即u1Cx(u21)將代入上式得原方程的通解xyC(x2y2)由y|x11得C1故所求特解為xy(x2y2)3設(shè)有連結(jié)點O(00)和A(11)的一段向上凸的曲線弧對于上任一點P(xy)曲線弧與直線段所圍圖形的面積為x2求曲線弧的方程解設(shè)曲線弧的方程為yy(x)由題意得兩邊求導得即令則有即兩邊積分得u4lnxC將代入上式得方程的通解y4xlnxCx由于A(11)在曲線上即y(1)1因而C1從則所求方程為y4xlnxx習題12-41.求下列微分方程的通解:(1).(2)原方程變?yōu)?.(3).(4)=cosx(-2cosx+C)=Ccosx-2cos2x.(5)原方程變形為..(6).(7).(8)原方程變形為..(9)原方程變形為.=(x-2)[(x-2)2+C]=(x-2)3+C(x-2).(10)原方程變形為..2..由y|x=0=0,得C=0,故所求特解為y=xsecx.(2).由y|x=p=1,得C=p-1,故所求特解為.(3).由,得C=1,故所求特解為.(4).由y|x=0=2,得,故所求特解為.(5).由y|x=1=0,得,故所求特解為.3.解由題意知y￠=2x+y,并且y|x=0=0.由通解公式得=ex(-2xe-x-2e-x+C)=Cex-2x-2.由y|x=0=0,得C=2,故所求曲線的方程為y=2(ex-x-1).4.由牛頓定律F=ma,得,即.由通解公式得.由題意,當t=0時v=0,于是得.因此即.5.由回路電壓定律知,即.由通解公式得.因為當t=0時i=0,所以C=1.因此(A).6.因為當x>0時,所給積分與路徑無關(guān),所以,即f(x)=2f(x)+2xf￠(x)-2x,或.因此.由f(1)=1可得,故.7.(1)原方程可變形為,即.,原方程的通解為.(2)原方程可變形為,即.,原方程的通解為.(3)原方程可變形為,即.,原方程的通解為.(4)原方程可變形為,即.,原方程的通解為.(5)原方程可變形為,即.,原方程的通解為.8.解原方程可變形為.在代換v=xy下原方程化為,即,積分得,對上式求出積分后,將v=xy代回,即得通解.9.(1)令u=x+y,則原方程化為,即.兩邊積分得x=arctanu+C.將u=x+y代入上式得原方程的通解x=arctan(x+y)+C,即y=-x+tan(x-C).(2)令u=x-y,則原方程化為,即dx=-udu.兩邊積分得.將u=x+y代入上式得原方程的通解,即(x-y)2=-2x+C(C=2C1).(3)令u=xy,則原方程化為,即.兩邊積分得lnx+lnC=lnlnu,即u=eCx.將u=xy代入上式得原方程的通解xy=eCx,即.(4)原方程變形為y￠=(y+sinx-1)2-cosx.令u=y+sinx-1,則原方程化為,即.兩邊積分得.將u=y+sinx-1代入上式得原方程的通解,即.(5)原方程變形為.令u=xy,則原方程化為,即.分離變量得.兩邊積分得.將u=xy代入上式得原方程的通解,即2x2y2lny-2xy-1=Cx2y2(C=2C1).習題1251判別下列方程中哪些是全微分方程并求全微分方程的通解(1)(3x26xy2)dx(6x2y4y2)dy0解這里P3x26xy2Q6x2y4y2因為所以此方程是全微分方程其通解為即(2)(a22xyy2)dx(xy)2dy0解這里Pa22xyy2Q(xy)2因為所以此方程是全微分方程其通解為即a2xx2yxy2C(3)eydx(xey2y)dy0解這里PeyQxey2y因為所以此方程是全微分方程其通解為即xeyy2C(4)(xcosycosx)yysinxsiny0解原方程變形為(xcosycosx)dy(ysinxsiny)dx0這里P(ysinxsiny)Qxcosycosx因為所以此方程是全微分方程其通解為即xsinyycosxC解(5)(x2y)dxxdy0解這里Px2yQx因為所以此方程是全微分方程其通解為即(6)y(x2y)dxx2dy0解這里Py(x2y)Qx2因為所以此方程不是全微分方程(7)(1e2)d2e2d0解這里P1e2Q2e2因為所以此方程是全微分方程其通解為即(e21)C(8)(x2y2)dxxydy0解這里Px2y2Qxy因為所以此方程不是全微分方程2利用觀察法求出下列方程的積分因子并求其通解(1)(xy)(dxdy)dxdy解方程兩邊同時乘以得即d(xy)dln(xy)所以為原方程的一個積分因子并且原方程的通解為xyln(xy)C(2)ydxxdyy2xdx0解方程兩邊同時乘以得即所以為原方程的一個積分因子并且原方程的通解為(3)y2(x3y)dx(13y2x)dy0解原方程變形為xy2dx3y3dxdy3x2dy0兩邊同時乘以并整理得即所以為原方程的一個積分因子并且原方程的通解為(4)xdxydy(x2y2)dx解方程兩邊同時乘以得即所以為原方程的一個積分因子并且原方程的通解為x2y2Ce2x(5)(xy2)dx2xydy0解原方程變形為xdxy2dx2xydy0兩邊同時乘以得即所以為原方程的一個積分因子并且原方程的通解為即xlnxy2Cx(6)2ydx3xy2dxxdy0解方程兩邊同時乘以x得2xydxx2dy3x2y2dx0即yd(x2)x2dy3x2y2dx0再除以y2得即所以為原方程的一個積分因子并且原方程的通解為3驗證是微分方程yf(xy)dxxg(xy)dy0的積分因子并求下列方程的通解解方程兩邊乘以得這里因為所以是原方程的一個積分因子(1)y(x2y22)dxx(22x2y2)dy0解這里f(xy)x2y22g(xy)22x2y2是方程的一個積分因子方程兩邊同乘以得全微分方程其通解為即或(2)y(2xy1)dxx(12xyx3y3)dy0解這里f(xy)2xy1g(xy)12xyx3y3是方程的一個積分因子方程兩邊同乘以得全微分方程其通解為即4用積分因子法解下列一階線性方程(1)xy2y4lnx解原方程變?yōu)槠浞e分因子為在方程的兩邊乘以x2得x2y2xy4xlnx即(x2y)4xlnx兩邊積分得原方程的通解為(2)ytanx×yx解積分因子為在方程的兩邊乘以cosx得cosx×ysinx×yxcosx即(cosx×y)xcosx兩邊積分得方程的通解為習題1261求下列各微分方程的通解(1)yxsinx解原方程的通解為(2)yxex解原方程的通解為(3)解原方程的通解為(4)y1y2解令py則原方程化為p1p2即兩邊積分得arctanpxC1即yptan(xC1)原方程的通解為(5)yyx解令py則原方程化為ppx由一階線性非齊次方程的通解公式得即yC1exx1于是原方程的通解為(6)xyy0解令py則原方程化為xpp0即由一階線性齊次方程的通解公式得即于是原方程的通解為yC1lnxC2(7)yyy2解令py則原方程化為即兩邊積分得即當|y||p|1時方程變?yōu)榧磧蛇叿e分得arcsh(C1y)C1xC2即原方程的通解為當|y||p|1時方程變?yōu)榧磧蛇叿e分得arcsin(C1y)C1xC2即原方程的通解為(8)y3y10解令py則原方程化為即pdpy3dy兩邊積分得即p2y2C1故即兩邊積分得即原方程的通解為C1y2(C1xC2)2(9)解令py則原方程化為即兩邊積分得即故即兩邊積分得原方程的通(10)yy3y解令py則原方程化為即由p0得yC這是原方程的一個解由得arctanpyC1即yptan(yC1)從而故原方程的通解為2求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解(1)y3y10y|x11y|x10解令p=y￠,則,原方程化為,即,兩邊積分得,即.由y|x=1=1,y￠|x=1=0得C1=-1,從而,分離變量得,兩邊積分得即由y|x=1=1得C2=-1,從而原方程的通解為.(2)yay20y|x00y|x01解令p=y￠,則原方程化為即兩邊積分得即由y|x01得C11兩邊積分得由y|x00得C20故所求特解為(3)yeaxy|x1y|x1y|x10解由y|x10得由y|x10得由y|x10得故所求特解為(4)ye2yy|x0y|x00解令p=y￠,則,原方程化為即pdpe2ydy積分得p2e2yC1即由y|x0y|x00得C11故從而積分得arcsineyxC2由y|x00得故從而所求特解為ylncosx(5)y|x01y|x02解令p=y￠,則,原方程化為即兩邊積分得即由y|x01y|x02得C10從而兩邊積分得即由y|x01得C24故原方程的特解為(6)yy21y|x00y|x00解令p=y￠,則,原方程化為即于是即由y|x00y|x00得C11故兩邊積分得由y|x00得C20從而得原方程的特解ylnchx3試求yx的經(jīng)過點M(01)且在此點與直線相切的積分曲線解由題意得y|x01由得再由y|x01得C21因此所求曲線為4設(shè)有一質(zhì)量為m的物體在空中由靜止開始下落如果空氣阻力為Rc2v2(其中c為常數(shù)v為物體運動的速度)試求物體下落的距離s與時間t的函數(shù)關(guān)系解以t0對應(yīng)的物體位置為原點垂直向下的直線為s正軸建立坐標系由題設(shè)得將方程分離變量得兩邊積分得(其中)由v|t00得C10即因為mgc2v2故即或分離變量并積分得由s|t00得C20故所求函數(shù)關(guān)系為即習題1271下列函數(shù)組在其定義區(qū)間內(nèi)哪些是線性無關(guān)的？(1)xx2解因為不恒為常數(shù)所以xx2是線性無關(guān)的(2)x2x解因為所以x2x是線性相關(guān)的(3)e2x3e2x解因為所以e2x3e2x是線性相關(guān)的(4)exex解因為不恒為常數(shù)所以exex是線性無關(guān)的(5)cos2xsin2x解因為不恒為常數(shù)所以cos2xsin2x是線性無關(guān)的(6)解因為不恒為常數(shù)所以是線性無關(guān)的(7)sin2xcosx×sinx解因為所以sin2xcosx×sinx是線性相關(guān)的(8)excos2xexsin2x解因為不恒為常數(shù)所以excos2xexsin2x是線性無關(guān)的(9)lnxxlnx解因為不恒為常數(shù)所以lnxxlnx是線性無關(guān)的(10)eaxebx(ab)解因為不恒為常數(shù)所以eaxebx是線性無關(guān)的2驗證y1cosx及y2sinx都是方程y2y0的解并寫出該方程的通解解因為y12y12cosx2cosx0y22y22sinx2sinx0并且不恒為常數(shù)所以y1cosx與y2sinx是方程的線性無關(guān)解從而方程的通解為yC1cosxC2sinx提示y1sinxy12cosxy2cosxy12sinx3驗證及都是方程y4xy(4x22)y0的解并寫出該方程的通解解因為并且不恒為常數(shù)所以與是方程的線性無關(guān)解從而方程的通解為提示4驗證(1)(C1、C2是任意常數(shù))是方程y3y2ye5x的通解解令y1exy2e2x因為y13y12y1ex3ex2ex0y23y22y24e2x3(2e2x2e2x0且不恒為常數(shù)所以y1與y2是齊次方程y3y2y0的線性無關(guān)解從而YC1exC2e2x是齊次方程的通解又因為所以y*是方程y3y2ye5x的特解因此是方程y3y2ye5x的通解(2)(C1、C2是任意常數(shù))是方程y9yxcosx的通解解令y1cos3xy2sin3x因為y19y19cos3x9cos3x0y29y29sin3x9sin3x0且不恒為常數(shù)所以y1與y2是齊次方程y9y0的線性無關(guān)解從而YC1exC2e2x是齊次方程的通解又因為所以y*是方程y9yxcosx的特解因此是方程y9yxcosx的通解(3)yC1x2C2x2lnx(C1、C2是任意常數(shù))是方程x2y3xy4y的通解解令y1x2y2x2lnx因為x2y13xy14y1x2×23x×2x4×x20x2y23xy24y2x2×(2lnx3)3x×(2xlnxx)4×x2lnx0且不恒為常數(shù)所以y1與y2是方程x2y3xy4y0的線性無關(guān)解從而yC1x2C2x2lnx(4)(C1、C2是任意常數(shù))是方程x2y3xy5yx2lnx的通解解令y1x5因為x2y13xy15y1x2×20x33x×5x45×x50且不恒為常數(shù)所以y1與y2是齊次方程x2y3xy5y0的線性無關(guān)解從而是齊次方程的通解又因為所以y*是方程x2y3xy5yx2lnx的特解因此是方程x2y3xy5yx2lnx的通解(5)(C1、C2是任意常數(shù))是方程xy2yxyex的通解解令因為且不恒為常數(shù)所以y1與y2是齊次方程xy2yxy0的線性無關(guān)解從而是齊次方程的通解又因為所以y*是方程xy2yxyex的特解因此是方程xy2yxyex的通解(6)yC1exC2exC3cosxC4sinxx2(C1、C2、C3、C4是任意常數(shù))是方程y(4)yx2的通解解令y1exy2exy3cosxy4sinxy*x2因為y1(4)y1exex0y2(4)y2exex0y3(4)y3cosxcosx0y4(4)y4sinxsinx0并且所以y1exy2exy3cosxy4sinx是方程y(4)y0的線性無關(guān)解從而YC1exC2exC3cosxC4sinx是方程的通解又因為y*(4)y*0(x2)x2所以y*x2是方程y(4)yx2的特解因此yC1exC2exC3cosxC4sinxx2是方程y(4)yx2的通解提示令k1exk2exk3cosxk4sinx0則k1exk2exk3sinxk4cosx0k1exk2exk3cosxk4sinx0k1exk2exk3sinxk4cosx0上術(shù)等式構(gòu)成的齊次線性方程組的系數(shù)行列式為所以方程組只有零解即y1exy2exy3cosxy4sinx線性無關(guān)習題1281求下列微分方程的通解(1)yy2y0解微分方程的特征方程為r2r20即(r2)(r1)0其根為r11r22故微分方程的通解為yC1exC2e2x(2)y4y0解微分方程的特征方程為r24r0即r(r4)0其根為r10r24故微分方程的通解為yC1C2e4x(3)yy0解微分方程的特征方程為r210其根為r1ir2i故微分方程的通解為yC1cosxC2sinx(4)y6y13y0解微分方程的特征方程為r26r130其根為r132ir232i故微分方程的通解為ye3x(C1cos2xC2sin2x)(5)解微分方程的特征方程為4r220r250即(2x5)20其根為故微分方程的通解為即(6)y4y5y0解微分方程的特征方程為r24r50其根為r12ir22i故微分方程的通解為ye2x(C1cosxC2sinx)(7)y(4)y0解微分方程的特征方程為r410即(r1)(r1)(r21)0其根為r11r21r1ir2i故微分方程的通解為yC1exC2exC3cosxC4sinx(8)y(4)2yy0解微分方程的特征方程為r4r210即(r21)20其根為r1r2ir3r4i故微分方程的通解為y(C1C2x)cosx(C3C4x)sinx(9)y(4)2yy0解微分方程的特征方程為r42r3r20即r2(r1)20其根為r1r20r3r41故微分方程的通解為yC1C2xC3exC4xex(10)y(4)5y360解微分方程的特征方程為r45r2360其根為r12r22r33ir43i故微分方程的通解為yC1e2xC2e2xC3cos3xC4sin3x2求下列微分方程滿足所給初始條件的特解(1)y4y3y0y|x06y|x010解微分方程的特征方程為r24r30即(r1)(r3)0其根為r11r23故微分方程的通解為yC1exC2e3x由y|x06y|x010得解之得C14C2y4ex2e3x(2)4y4yy0y|x02y|x00解微分方程的特征方程為4r24r10即(2r1)20其根為故微分方程的通解為由y|x02y|x00得解之得C12C2(3)y3y4y0y|x00y|x05解微分方程的特征方程為r23r40即(r4)(r1)0其根為r11r24故微分方程的通解為yC1exC2e4x由y|x00y|x05得解之得C11C21yexe4x(4)y4y29y0y|x00y|x015解微分方程的特征方程為r24r290其根為r1225i故微分方程的通解為ye2x(C1cos5xC2sin5x)由y|x00得C10yC2e2xsin5x由y|x015得C23因此所求特解為y3e2xsin5x(5)y25y0y|x02y|x05解微分方程的特征方程為r2250其根為r125i故微分方程的通解為yC1cos5xC2sin5x由y|x02得C12y2cos5xC2sin5x由y|x05得C21因此所求特解為y2cos5xsin5x(6)y4y13y0y|x00y|x03解微分方程的特征方程為r24r130其根為r1223i故微分方程的通解為ye2x(C1cos3xC2sin3x)由y|x00得C10yC2e2xsin3x由y|x03得C21因此所求特解為ye2xsin3x3一個單位質(zhì)量的質(zhì)點在數(shù)軸上運動開始時質(zhì)點在原點O處且速度為v0在運動過程中它受到一個力的作用這個力的大小與質(zhì)點到原點的距離成正比(比例系數(shù)k10)而方向與初速一至又介質(zhì)的阻力與速度成正比(比例系數(shù)k20)求反映這質(zhì)點的運動規(guī)律的函數(shù)解設(shè)數(shù)軸為x軸v0方向為正軸方向由題意得微分方程xk1xk2x即xk2xk1x0其初始條件為x|t00x|t0v0微分方程的特征方程為r2k2rk10其根為故微分方程的通解為由x|t00x|t0v0得解之得因此質(zhì)點的運動規(guī)律為4在如圖所示的電路中先將開關(guān)K撥向A達到穩(wěn)定狀態(tài)后再將開關(guān)K撥向B求電壓uc(t)及電流i(t)已知E20VC05106F(法)L01H(亨)R2000解由回路電壓定律得由于qCuc故所以即已知故微分方程的特征方程為其根為r119104r2103故微分方程的通解為由初始條件t0時uc20uc0可得因此所求電壓為(V)所求電流為(A)5.設(shè)圓柱形浮筒,直徑為0.5m,鉛直放在水中,當稍向下壓后突然放開,浮筒在水中上下振動的周期為2s,求浮筒的質(zhì)量.解設(shè)r為水的密度,S為浮筒的橫截面積,D為浮筒的直徑,且設(shè)壓下的位移為x(如圖所示),則f=-rgS×x.又,因而,即.微分方程的特征方程為mr2+rgS=0,其根為,故微分方程的通解為,即.由此得浮筒的振動的頻率為.因為周期為T=2,故,.由r=1000kg/m3,g=9.8m/s2,D=0.5m,.習題1291求下列各微分方程的通解(1)2yyy2ex解微分方程的特征方程為2r2r10其根為r21故對應(yīng)的齊次方程的通解為因為f(x)2ex1不是特征方程的根故原方程的特解設(shè)為y*Aex代入原方程得2AexAexAex2ex解得A1從而y*ex因此原方程的通解為(2)ya2yex解微分方程的特征方程為r2a20其根為rai故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1cosaxC2sinax因為f(x)ex1不是特征方程的根故原方程的特解設(shè)為y*Aex代入原方程得Aexa2Aexex解得從而因此原方程的通解為(3)2y5y5x22x1解微分方程的特征方程為2r25r0其根為r10故對應(yīng)的齊次方程的通解為因為f(x)5x22x10是特征方程的單根故原方程的特解設(shè)為y*x(Ax2BxC)代入原方程并整理得15Ax2(12A10B)x(4B5C)5x22x1比較系數(shù)得從而因此原方程的通解為(4)y3y2y3xex解微分方程的特征方程為r23r20其根為r11r22故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1exC2e2x因為f(x)3xex1是特征方程的單根故原方程的特解設(shè)為y*x(AxB)ex代入原方程并整理得2Ax(2AB)3x比較系數(shù)得B3從而因此原方程的通解為(5)y2y5yexsin2x解微分方程的特征方程為r22r50其根為r1212i故對應(yīng)的齊次方程的通解為Yex(C1cos2xC2sin2x)因為f(x)exsin2xi12i是特征方程的根故原方程的特解設(shè)為y*xex(Acos2xBsin2x)代入原方程得ex[4Bcos2x4Asin2x]exsin2x比較系數(shù)得B0從而因此原方程的通解為(6)y6y9y(x1)e3x解微分方程的特征方程為r26r90其根為r1r23故對應(yīng)的齊次方程的通解為Ye3x(C1C2x)因為f(x)(x1)e3x3是特征方程的重根故原方程的特解設(shè)為y*x2e3x(AxB)代入原方程得e3x(6Ax2B)e3x(x1)比較系數(shù)得從而因此原方程的通解為(7)y5y4y32x解微分方程的特征方程為r25r40其根為r11r24故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1exC2e4x因為f(x)32x(32x)e0x0不是特征方程的根故原方程的特解設(shè)為y*AxB代入原方程得4Ax(5A4B)2x3比較系數(shù)得從而因此原方程的通解為(8)y4yxcosx解微分方程的特征方程為r240其根為r2i故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1cos2xC2sin2x因為f(x)xcosxe0x(x×cosx0×sinx)ii不是特征方程的根故原方程的特解設(shè)為y*(AxB)cosx(CxD)sinx代入原方程得(3Ax3B2C)cosx(3Cx2A3D)sinxxcosx比較系數(shù)得B0C0從而因此原方程的通解為(9)yyexcosx解微分方程的特征方程為r210其根為ri故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1cosxC2sinx因為f(x)f1(x)f2(x)其中f1(x)exf2(x)cosx而方程yyex具有Aex形式的特解方程yycosx具有x(BcosxCsinx)形式的特解故原方程的特解設(shè)為y*Aexx(BcosxCsinx)代入原方程得2Aex2Ccosx2Bsinxexcosx比較系數(shù)得B0從而因此原方程的通解為(10)yysin2x解微分方程的特征方程為r210其根為r11r21故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1exC2ex因為而方程的特解為常數(shù)A方程具有Bcos2xCsin2x形式的特解故原方程的特解設(shè)為y*A+Bcos2xCsin2x代入原方程得比較系數(shù)得C0從而因此原方程的通解為2求下列各微分方程滿足已給初始條件的特解(1)yysinx0y|x1y|x1解微分方程的特征方程為r2+1=0,其根為r=±i,故對應(yīng)的齊次方程的通解為Y=C1cosx+C2sinx.因為f(x)=-sin2x=e0x(0×cos2x-sin2x),l+iw=i是特征方程的根,故原方程的特解設(shè)為y*=Acos2x+Bsin2x,代入原方程得-3Acos2x-3Bsin2x=-sin2x,解得A=0,,從而.因此,原方程的通解為.由y|x=p=1,y￠|x=p=1得C1=-1,,故滿足初始條件的特解為.(2)y3y2y5y|x01y|x02解微分方程的特征方程為r23r+2=0其根為r11r22故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1exC2e2x容易看出為非齊次方程的一個特解故原方程的通解為由y|x01y|x02得解之得C15因此滿足初始條件的特解為(3)y10y9ye2x解微分方程的特征方程為r210r90其根為r11r29故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1exC2e9x因為f(x)e2x2不是特征方程的根故原方程的特解設(shè)為y*Ae2x代入原方程得(4A20A9A)e2xe2解得從而因此原方程的通解為由得因此滿足初始條件的特解為(4)yy4xexy|x00y|x01解微分方程的特征方程為r210其根為r11r21故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1exC2ex因為f(x)4xex1是特征方程的單根故原方程的特解設(shè)為y*xex(AxB)代入原方程得(4Ax2A2B)ex4xex比較系數(shù)得A1B1從而y*xex(x1)因此原方程的通解為y*C1exC2exxex(x1)由y|x00y|x01得解之得C11C2yexexxex(x1)(5)y4y5y|x01y|x00解微分方程的特征方程為r24r0其根為r10r24故對應(yīng)的齊次方程的通解為YC1C2e4x因為f(x)55e0×x0是特征方程的單根故原方程的特解設(shè)為y*Ax代入原方程得4A5從而因此原方程的通解為由y|x01y|x00得因此滿足初始條件的特解為3大炮以仰角、初速度v0發(fā)射炮彈若不計空氣阻力求彈道曲線解取炮口為原點炮彈前進的水平方向為x軸鉛直向上為y軸彈道運動的微分方程為且滿足初始條件易得滿足方程和初始條件的解(彈道曲線)為4在R、L、C含源串聯(lián)電路中電動勢為E的電源對電容器C充電已知E20VC02F(微法)L01H(亨)R1000試求合上開關(guān)K后電流i(t)及電壓uc(t)解(1)列方程.由回路定律可知,即,且當t=0時,uc=0,uc￠=0.已知R=1000W,L=0.1H,C=0.2mF,,.因此微分方程為.(2)解方程.微分方程的特征方程為r2+104r+5×107=0,其根為r1,2=-5′103±5′103i.因此對應(yīng)的齊次方程的通解為.由觀察法易知y*=20為非齊次方程的一個特解.因此非齊次方程的通解為.由t=0時,uc=0,uc￠=0,得C1=-20,C2=-20.(V),(A).5一鏈條懸掛在一釘子上起動時一端離開釘子8m另一端離開釘子12m分別在以下兩種情況下求鏈條滑下來所需的時間(1)若不計釘子對鏈條所產(chǎn)生的摩擦力解設(shè)在時刻t時,鏈條上較長的一段垂下xm,且設(shè)鏈條的密度為r,則向下拉鏈條下滑的作用力F=xrg-(20-x)rg=2rg(x-10).由牛頓第二定律,有20rx￠￠=2rg(x-10),即.微分方程的特征方程為,其根為,,故對應(yīng)的齊次方程的通解為.由觀察法易知x*=10為非齊次方程的一個特解,故通解為.由x(0)=12及x￠(0)=0得C1=C2=1..當x=20即鏈條完全滑下來時有解之得所需時間s.(2)若摩擦力為1m長的鏈條的重量解此時向下拉鏈條的作用力變?yōu)镕=xrg-(20-x)rg1g2gx21g由牛頓第二定律,有20rx￠￠=2gx21g,即.微分方程的通解為由x(0)=12及x￠(0)=0得.因此特解為當x=20即鏈條完全滑下來時有解之得所需時間s.6設(shè)函數(shù)(x)連續(xù)且滿足求(x)解等式兩邊對x求導得再求導得微分方程(x)ex(x)即(x)(x)ex微分方程的特征方程為r210其根為r12i故對應(yīng)的齊次方程的通解為C1cosxC2sinx易知是非齊次方程的一個特解故非齊次方程的通解為由所給等式知(0)=1(0)1由此得因此習題12111試用冪級數(shù)求下列各微分方程的解(1)yxyx1解設(shè)方程的解為代入方程得即可見a1102a2a010(n2)an2an0(n12于是所以即原方程的通解為(2)yxyy0解設(shè)方程的解為,代入方程得,即,于是,,×××,,,×××.所以即原方程的通解為(3)xy(xm)ymy0(m為自然數(shù))解設(shè)方程的解為代入方程得即可見(a0a1)m0(nm)[(n1)an1an]0(nm)于是a0a1所以即原方程的通解為(其中C1C2為任意常數(shù))(4)(1x)yx2y解設(shè)方程的解為代入方程得即可見a1a002a203a3a210(n1)an1(n1)an于是a1a0a20(因此原方程的通解為(Ca0為任意常數(shù))(5)(x1)yx22xy解設(shè)方程的解為代入方程得即于是a1a0a21因此原方程的通解為(Ca0為任意常數(shù))2試用冪級數(shù)求下列方程滿足所給初始條件的解(1)yy2x3解根據(jù)初始條件可設(shè)方程的解為代入方程得即比較兩邊同次冪的系數(shù)得2a2a13a3a2a124a4a32a1a于是因此所求特解為(2)(1x)yy1xy|x00解根據(jù)初始條件可設(shè)方程的解為代入方程得即比較系數(shù)得因此所求特解為因為的和函數(shù)為(1x)ln(1x)x所以特解還可以寫成y2x(1x)ln(1x)x(3)x|t0a解根據(jù)初始條件可設(shè)方程的解為將和代入方程得將級數(shù)展開、整理合并同次項并比較系數(shù)得故所求特解為總習題十二1填空(1)xy2x2y2x3yx41是______階微分方程解是3階微分方程(2)若M(xy)dxN(xy)dy0是全微分方程則函數(shù)M、N應(yīng)滿足______解(3)與積分方程等價的微分方程初值問題是______解方程兩邊對x求導得yf(xy)顯然當xx0時y0因此與積分方程等價的微分方程初值問題是yf(xy)(4)已知y1、yx、yx2是某二階非齊次線性微分方程的三個解則該方程的通解為______解容易證明非齊次線性微分方程的任意兩個解的差是對應(yīng)齊次線性微分方程的的解因此y1x1和y2x21都是對應(yīng)齊次線性微分方程的的解顯然y1與y2是線性無關(guān)所以非齊次線性微分方程的通解為yC1(x1)C2(x21)12求以下列各式所表示的函數(shù)為通解的微分方程(1)(xC)2y21(其中C為任意常數(shù))解將等式變形兩邊對x求導得從而1y2y2y2即所求微分方程為y2(1y2)1(2)yC1exC2e2x(其中C1、C2為任意常數(shù))解兩邊對x求導得yC1ex2C2e2xyC2e2x即yyC2e2x(1)再求導得yy2C2e2x(2)(1)2得y2yy2y即所求微分方程為y3y2y03求下列微分方程的通解(1)解將方程變形為即其通解為即原方程的通解為(2)xylnxyax(lnx1)解將方程變形為其通解為即原方程的通解為(3)解將方程變形為其通解為即原方程的通解為(4)解將方程變形為即其通解為即原方程的通解為(5)解因為所以原方程可寫成從而原方程的通解為(6)yyy210解令yp則原方程化為或其通解為于是即(CC12)積分得化簡得原方程的通解(7)y2y5ysin2x解齊次方程y2y5y0的特征方程為r22r50其根為r1212i因為f(x)sin2xi2i不是特征方程的根所以非齊次方程的特解應(yīng)設(shè)為y*Acos2xBsin2x代入原方程得(A2B)cos2x(B4A)sin2xsin2x比較系數(shù)得因此原方程的通解為(8)yy2yx(ex4)解齊次方程yy2y0的特征方程為r3r22r0其根為r10r21r32齊次方程yy2y0的通解為yC1C2exC3e2x原方程中f(x)f1(x)f2(x)其中f1(x)xexf2(x)4x對于方程yy2yxex因為1是特征方程的根故其特解可設(shè)為y1*x(AxB)ex代入yy2yxex得(6Ax8A3b)exxex比較系數(shù)得故對于方程yy2y4x因為0是特征方程的根故其特解可設(shè)為y2*x(CxD)代入yy2y4x得4Cx2C2D4x比較系數(shù)得C1D1故y2*x(x1)因此原方程的通解為(9)(y43x2)d