高中數學-單元測試卷2-新人教A版選修4-4-新人教A版高二選修4-4數學試題

..PAGEDOC版.第二講單元測試卷一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．與參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(t)，,y＝2\r(1－t)))(t為參數)等價的普通方程為()A．x2＋eq\f(y2,4)＝1 B．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤x≤1)C．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤y≤2) D．x2＋eq\f(y2,4)＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)答案D2．直線3x－4y－9＝0與圓：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數)的位置關系是()A．相切 B．相離C．直線過圓心 D．相交但直線不過圓心答案D3．圓(x－r)2＋y2＝r2(r>0)，點M在圓上，O為原點，以∠MOx＝φ為參數，那么圓的參數方程為()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ，,y＝rsinφ)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r（1＋cosφ），,y＝rsinφ))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝rcosφ，,y＝r（1＋sinφ）)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝r（1＋cos2φ），,y＝rsin2φ))答案D4．直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2－\r(2)t，,y＝3＋\r(2)t))(t為參數)上與點P(－2，3)的距離于eq\r(2)的點的坐標是()A．(－4，5)B．(－3，4)C．(－3，4)或(－1，2)D．(－4，5)或(0，1)答案C5．設橢圓的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ為參數，0≤θ≤π)，M(x1，y1)，N(x2，y2)是橢圓上兩點，M，N對應的參數為θ1，θ2，且x1<x2，則()A．θ1<θ2 B．θ1>θ2C．θ1≥θ2 D．θ1≤θ2答案B6．雙曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4secθ，,y＝2tanθ))(θ為參數)上，當θ＝eq\f(2π,3)時對應的點為P，O為原點，則OP的斜率為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D．2答案A7．過點(0，2)且與直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))(t為參數)互相垂直的直線方程為()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)t，,y＝2＋t)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t，,y＝2＋t))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t，,y＝2－t)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－\r(3)t，,y＝t))答案B解析直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))化為普通方程為y＝eq\r(3)x＋1－2eq\r(3)，其斜率k1＝eq\r(3)，設所求直線的斜率為k，由kk1＝－1，得k＝－eq\f(\r(3),3)，故參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t，,y＝2＋t))(t為參數)．8．若動點(x，y)在曲線eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)上變化，則x2＋2y的最大值為()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b2,4)＋4（0<b≤4）,2b（b>4）)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b2,4)＋4（0<b<2）,2b（b≥2）))C.eq\f(b2,4)＋4 D．2b答案A9．過點(0，2)且與直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))(t為參數)互相垂直的直線的參數方程(t為參數)為()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)t,y＝2＋t)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t,y＝2＋t))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)t,y＝2－t)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－\r(3)t,y＝t))答案B解析直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝1＋\r(3)t))(t為參數)化為普通方程為y＝eq\r(3)x－2eq\r(3)＋1，它的斜率為eq\r(3)，因此過點(0，2)且與已知直線互相垂直的直線的普通方程為y＝－eq\f(\r(3),3)x＋2，與它等價的參數方程為B，故選B.10．已知兩曲線參數方程分別為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，它們的交點坐標為()A．(1，eq\f(\r(5),5)) B．(1，eq\f(2\r(5),5))C．(eq\f(1,2)，eq\f(\r(5),5)) D．(eq\f(1,2)，eq\f(2\r(5),5))答案B解析將兩曲線的參數方程化為一般方程分別為eq\f(x2,5)＋y2＝1(y≥0，x≠－eq\r(5))和y2＝eq\f(4,5)x，聯(lián)立解得交點坐標為(1，eq\f(2\r(5),5))，故選B.11．圓的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數，0≤θ<2π)，若Q(－2，2eq\r(3))是圓上一點，則參數θ的值是()A.eq\f(π,3) B.eq\f(2,3)πC.eq\f(4,3)π D.eq\f(5,3)π答案B解析由4cosθ＝－2，得θ＝eq\f(2,3)π或θ＝eq\f(4,3)π.由4sinθ＝2eq\r(3)，得θ＝eq\f(π,3)或θ＝eq\f(2,3)π，故θ＝eq\f(2,3)π.12．直線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋t，,y＝1－t))(t為參數)被圓(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦長為()A．7eq\r(2) B．40eq\f(1,4)C.eq\r(82) D.eq\r(93＋4\r(3))答案C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把正確答案填在題中的橫線上)13．參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝et＋e－t，,\f(y,2)＝et－e－t))(t為參數)的普通方程為________．答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1(x≥2)14．若過點P(－3，3)且傾斜角為eq\f(5π,6)的直線交曲線eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝sinθ))于A、B兩點，則|AP|·|PB|＝______．答案eq\f(164,7)解析直線的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3＋tcos\f(5π,6)，,y＝3＋tsin\f(5π,6)))(t為參數)，依題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3－\f(\r(3),2)t＝2cosθ，,3＋\f(1,2)t＝sinθ，))消去θ，得eq\f(7,16)t2＋eq\f(12＋3\r(3),4)t＋eq\f(41,4)＝0.設其兩根為t1、t2，則t1t2＝eq\f(164,7)，∴|AP|·|PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝eq\f(164,7).15．已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosθ，,y＝1＋2sinθ，))則C上各點到l的距離的最小值為________．答案2eq\r(2)－2解析圓方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4，∴圓心到直線的距離為d＝eq\f(|1－1＋4|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2).∴距離最小值為2eq\r(2)－2.16．已知直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數)與圓C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數)相切，則α＝________．答案0或eq\f(2π,3)解析直線l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)＋tcosα，,y＝tsinα))(t為參數)的普通方程式為y＝tanα(x－eq\r(3))，且過定點A(eq\r(3)，0)，傾斜角為α，圓C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝1＋sinθ))(θ為參數)的普通方程為x2＋(y－1)2＝1.圓心為C(0，1)，半徑為r＝1，l：tanαx－y－eq\r(3)tanα＝0.∴圓心到直線的距離d＝eq\f(|－1－\r(3)tanα|,\r(1＋tan2α))＝1∴tanα＝0或tanα＝－eq\r(3)，∴α＝0或α＝eq\f(2,3)π.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)參數方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cos2θ))(θ為參數)化成普通方程．解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2＋sin2θ，①,y＝－1＋cos2θ，②))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝sin2θ，①,y＋1＝1－2sin2θ.②))∴①×2＋②，得2x＋y－4＝0.∵0≤sin2θ≤1，∴2≤x≤3.∴普通方程為2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．18．(12分)已知點P(x，y)在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，且x＋y＋a≥0恒成立，求a的取值范圍．解析設橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上的點P(eq\r(3)cosθ，sinθ)，則x＋y＝eq\r(3)cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋eq\f(π,3))的最大值等于2，此時θ＝eq\f(π,6)，最小值等于－2，此時θ＝eq\f(7π,6)，∴－2≤x＋y≤2，－2≤－(x＋y)≤2.∴a≥－(x＋y)恒成立，即a≥2.19．(12分)已知曲線C的極坐標方程是ρ＝4cosθ.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t＋m，,y＝\f(\r(2),2)t))(t是參數)．(1)將曲線C的極坐標方程和直線l參數方程轉化為普通方程；(2)若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|＝eq\r(14)，試求實數m的值．解析(1)曲線C的極坐標方程是ρ＝4cosθ化為直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0，直線l的直角坐標方程為y＝x－m.(2)由(1)知：圓心的坐標為(2，0)，圓的半徑r＝2，∴圓心到直線l的距離為d＝eq\r(22－（\f(\r(14),2)）2)＝eq\f(\r(2),2).∴eq\f(|2－0－m|,\r(12＋（－1）2))＝eq\f(\r(2),2)?|m－2|＝1.∴m＝1或m＝3.20．(12分)已知曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cosα，,y＝3＋sinα，))(α為參數)，C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ，))(θ為參數)．(1)分別求出曲線C1，C2的普通方程；(2)若C1上的點P對應的參數為α＝eq\f(π,2)，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t，))(t為參數)距離的最小值及此時Q點坐標．解析(1)由曲線C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4＋cosα，,y＝3＋sinα，))(α為參數)，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1，它表示一個以(－4，3)為圓心，以1為半徑的圓；由C2：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8cosθ，,y＝3sinθ，))(θ為參數)，得eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,9)＝1，它表示一個中心為坐標原點，焦點在x軸上，長半軸長為8，短半軸長為3的橢圓．(2)當α＝eq\f(π,2)時，P點的坐標為(－4，4)，設Q點坐標為(8cosθ，3sinθ)，PQ的中點M(－2＋4cosθ，2＋eq\f(3,2)sinθ)．∵C3：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2t，,y＝－2＋t，))∴C3的普通方程為x－2y－7＝0，∴d＝eq\f(|－2＋4cosθ－4－3sinθ－7|,\r(5))＝eq\f(|4cosθ－3sinθ－13|,\r(5))＝eq\f(|5sin（θ＋φ）－13|,\r(5))，∴當sinθ＝－eq\f(3,5)，cosθ＝eq\f(4,5)時，d的最小值為eq\f(8\r(5),5)，∴Q點坐標為(eq\f(32,5)，－eq\f(9,5))．21．(12分)在平面直角坐標系xOy中，曲線C1過點P(a，1)，其參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)))(t為參數，a∈R)．以O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標方程；(2)已知曲線C1與曲線C2交于A，B兩點，且|PA|＝2|PB|，求實數a的值．解析(1)∵曲線C1的參數方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)))(t為參數，a∈R)，∴曲線C1的普通方程為x－y－a＋1＝0.∵曲線C2的極坐標方程為ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，∵ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，又ρcosθ＝x，ρ2＝x2＋y2，∴x2＋4x－x2－y2＝0，即曲線C2的直角坐標方程為y2＝4x.(2)設A，B兩點所對應的參數分別為t1，t2，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝a＋\f(\r(2)t,2)，,y＝1＋\f(\r(2)t,2)，))得t2－2eq\r(2)t＋2－8a＝0.則Δ＝(－2eq\r(2))2－4(2－8a)＞0，即a＞0，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝2\r(2)，,t1·t2＝2－8a，))根據參數方程中參數的幾何意義可知|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴由|PA|＝2|PB|得t1＝2t2或t1＝－2t2，∴當t1＝2t2時，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝3t2＝2\r(2)，,t1·t2＝2t22＝2－8a，))解得a＝eq\f(1,36)＞0，符合題意；當t1＝－2t2時，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t1＋t2＝－t2＝2\r(2)，,t1·t2＝－2t22＝2－8a，