函數(shù)的對(duì)稱性

關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱性1-3-1-2165432-xx78（偶函數(shù)）Y=F(x)圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱知識(shí)回顧從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，F(xiàn)(-x)=F(x)XY第2頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天1-3-1-216543278

f(x)=

f(4-x)

f(1)=f(0)=f(-2)=

f(310)=f(6)f(4-310)0x4-xY=f(x)圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱f(3)f(4)從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，xy第3頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天1

f(1+x)=

f(3-x)

f(2+x)=

f(2-x)

f(x)=

f(4-x)

對(duì)于任意的x你還能得到怎樣的等式？從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，Y=f(x)圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱1-3-1-26543270x4-xYx第4頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天-2-x1-3-1-216543278x=-1

f(x)=

f(-2-x)x思考?若y=f(x)圖像關(guān)于直線x=-1對(duì)稱Yx第5頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天-1+x-1-x1-3-1-216543278x=-1

f(-1+x)=

f(-1-x)思考?若y=f(x)圖像關(guān)于直線x=-1對(duì)稱

f(x)=

f(-2-x)Yx第6頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天1猜測(cè)：若y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱

f(x)=f(2a-x)

f(a-x)=f(a+x)第7頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天在y=f(x)圖像上任取一點(diǎn)P點(diǎn)P關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)P’則有P’的坐標(biāo)應(yīng)滿足y=f(x)也在f(x)圖像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)即：

f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱（代數(shù)證明）

求證已知y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱

f(x)=f(2a-x)第8頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天在y=f(x)圖像上任取一點(diǎn)P若點(diǎn)P關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)P’也在f(x)圖像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)

f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱（代數(shù)證明）

已知求證y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱

則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱?

f(x)=f(2a-x)P’在f(x)的圖像上第9頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱

f(x)=f(2a-x)

f(a-x)=f(a+x)y=f(x)圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱

f(x)=f(-x)特例：a=0軸對(duì)稱性思考？若y=f(x)滿足f(a-x)=f(b+x),則函數(shù)圖像關(guān)于

對(duì)稱

a+b2x=直線第10頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天-xxxyoF(-x)+F(x)=0y=F(x)圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱中心對(duì)稱性類比探究

a從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，第11頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天F(x)+F(2a-x)=0xyo

ay=F(x)圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，中心對(duì)稱性類比探究x2a-x第12頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0xyo

a從”形”的角度看，從”數(shù)”的角度看，中心對(duì)稱性類比探究

a+x

a-xy=F(x)圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱b第13頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天aF(a+x)+F(a-x)=2bF(x)+F(2a-x)=2bb中心對(duì)稱性y=F(x)圖像關(guān)于(a,b)中心對(duì)稱類比探究xyo第14頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天思考？(1)若y=f(x)滿足f(a-x)+f(b+x)=0,(2)若y=f(x)滿足f(a-x)+f(b+x)=2c,則函數(shù)圖像關(guān)于

對(duì)稱

a+b2(,0)點(diǎn)則函數(shù)圖像關(guān)于

對(duì)稱

a+b2(,C)點(diǎn)第15頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

知識(shí)內(nèi)容：函數(shù)圖像的對(duì)稱性對(duì)稱關(guān)系式y(tǒng)=F(x)圖像關(guān)于x=a軸對(duì)稱F(x)=F(2a-x)F(a-x)=F(a+x)

y=F(x)圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對(duì)稱F(x)+F(2a-x)=2bF(a-x)+F(a+x)=2b第16頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

數(shù)學(xué)思想方法:1.數(shù)形結(jié)合2.由特殊到一般3.類比思想第17頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天知識(shí)遷移：已知對(duì)任意x，有f(x+2)=f(-x),當(dāng)x[2,3]，y=x求當(dāng)x[-1,0]時(shí)，f(x)的解析式？第18頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天謝謝!第19頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天奇函數(shù)F(-x)=-F(x)即：F(-x)+F(x)=0函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱-xx第20頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天F(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱-xx第21頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天a函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱F(a+x)+F(a-x)=0F(x)+F(2a-x)=0第22頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱第23頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天-xx

函數(shù)圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱F(-x)=F(x)

函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱F(-x)=-F(x)F(a-x)+F(a+x)=0F(x)+F(2a-x)=0軸對(duì)稱中心對(duì)稱性a第24頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱證明：

（必要性）第25頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第26頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天1-3-1-265432第27頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天1-3-1-22-xx第28頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天第29頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天1-3-1-2165432-xx78思考？若函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，有怎樣的對(duì)稱關(guān)系式？第30頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天函數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于x=a軸對(duì)稱證明：

（必要性）任取y=f(x)圖像上一點(diǎn)P(x0,y0)若點(diǎn)P關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)P’也在f(x)圖像上．分析：P(x0,y0)P’P’(2a-x0,y0)代入y=f(x)

Y0=f(2a-x0)y=f(x)圖像上每一點(diǎn)及其關(guān)于x=a對(duì)稱點(diǎn)都在y=f(x)圖像上則y=f(x)圖像上圖象關(guān)于x=a對(duì)稱則由P的任意性可知？

f(x)=f(2a-x)第31頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天

函數(shù)圖像關(guān)于直線x=0對(duì)稱F(-x)=F(x)

函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)中心對(duì)稱函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對(duì)稱第32頁(yè),共34頁(yè)，2024年2月25日，星期天?

任取y=f(x)圖像上一點(diǎn)P(x0,y0))設(shè)P’是P關(guān)于直線x=a的對(duì)稱點(diǎn)由f(x)圖像關(guān)于x=a對(duì)稱P’也在y=f(x)圖像上P(x0,y0)P’f(2a-x0)=f(x0