2023人教版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊同步練習-強化練6 離心率及其取值范圍

2023人教版新教材高中數(shù)學選擇性必修第一冊

專題強化練6離心率及其取值范圍

22

1.（2022遼寧沈陽重點高中聯(lián)合體月考）已知件尸2是橢圓C:=+2=l（a>b>0）的

左、右焦點，點M是過原點0且傾斜角為60°的直線1與橢圓C的一個交點,且

IMF^+MFl|=|麗-麗則橢圓C的離心率為（）

A.1B.2-V3

C.V3-1D.—

2

22

2.（2022河南中原名校聯(lián)考）若雙曲線巳-￡=l（a>0,b>0）的右支上到原點和右焦

azbz

點距離相等的點有兩個,則雙曲線離心率的取值范圍是（）

A.e>V2B.1<e<V2

C.e>2D.Ke<2

22

3.（2022四川南充闔中中學期中）設A,B是橢圓C:J+匕=l（m>0）的長軸的兩個端

3m

點，若C上存在點M滿足NAMB=120。，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

過

3B?3）

o,

O,

V6一

3

4.（2021四川涼山州寧南中學月考）設Fi,F2為橢圓G與雙曲線C2的公共的左、右

焦點,G,C2在第一象限內交于點M,△MFFz是以線段MF1為底邊的等腰三角形,若雙

曲線C的離心率ee[|,4],則橢圓G的離心率的取值范圍是（）

22-乙-ei

」

I

5.已知雙曲線C:馬—*1（a>0,b>0）的左焦點為Fi,若直線l:y=kx,k￡俘，網與

azbzL3J

雙曲線C交于M,N兩點,且MFiXNFu則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.(1,2)B.[V2,2)

C.[V2,V3+1]D.(2,V3+1]

22

6.(2022江西南昌大學附屬中學期中)已知橢圓C:三+2=1(a>b〉O)的左、右焦點

砂bz

分別為Fi,F2,若橢圓C上恰好有6個不同的點，使得AFF2P為等腰三角形,則橢圓

C的離心率的取值范圍是

22

7.已知雙曲線a-^=l(a>0,b>0)的右焦點為F,左頂點為C,過點F作x軸的垂線

交雙曲線于A,B兩點,若4ABC為直角三角形,則雙曲線的離心率為.

8.已知Fi,Fz為橢圓G和雙曲線C2的公共焦點,P為G和C2的一個公共點，且

人即苫,橢圓3和雙曲線C2的離心率分別為e1,e2,求e1?e2的最小值.

22

9.(2022福建泉州科技中學期中)已知點Fi,F2分別為雙曲線與-^=l(a>0,b>0)的

azbz

左、右焦點，過F2的直線交雙曲線于A,B(點A在點B的上方)兩點，且

AFi±AB,|AFjAB|=3：4,求該雙曲線的離心率.

22

10.(2022黑龍江齊齊哈爾五校期中聯(lián)考)已知橢圓Cj+9=l(a>b>0)的長半軸

azbz

長為2.

(1)若橢圓C經過點(魚，日),求橢圓C的方程；

(2)A為橢圓C的右頂點,B(l,0),橢圓C上存在點P,使得普=V2,求橢圓C的離

心率的取值范圍.

答案全解全析

l.c不妨設M在第一象限.

將|麗+麗|=|麗-麗|兩邊平方后化簡得麗?麗=0,

所以環(huán)耳，曲.

在RtAMFiF2中，|FR|=2c,0為FE的中點，

A|OM|=c.

XZM0F2=60°,OF2|=C,/.|MF2|=C,AiMFihVSc.

由橢圓定義可知IMF2|+1MF1|=c+V3c=2a,

?二離心率e=-=-^p=V3-l.故選C.

a1+V3

2.C設雙曲線右支上一點坐標為(x,y),則xea.

???該點到右焦點的距離和到原點的距離相等，，由兩點間距離公式得

x?+y2=(x-c)*,.\x=|.',這樣的點有兩個，；.x>a,即e>2.

故選C.

3.B當橢圓的焦點在x軸上時,設上頂點為N,

則NANB2120。，.?.NAN0260°(。為坐標原點)，

.,.tanNANOeg,.,.更，遮，，而W1,.二。4，

7m

橢圓的離心率e上等￡像，1).

av33J

當橢圓的焦點在y軸上時，同理,可得e￡殍，1).

綜上,e￡殍,1)故選B.

4.C設橢圓的長軸長為25,雙曲線的實軸長為2a2.

因為△MFF2是以線段MF1為底邊的等腰三角形，所以IMF?|=|F1F2|=2c.

由橢圓的定義可得IMFi|+1MF2|=2ab即|MF1|+2c=2a1.

由雙曲線的定義可得|MF】HMF2|=2a2,即|MF1|-2c=2a2.

c

雙曲線C2的離心率e2=^^=.Je即式IMF1-2c)W2cW4(IMF1-2c),

2a2IMF±I-2cL22

所以IMFJq梟苧.

所以橢圓3的離心率ei=^^=—*故選C.

2al\MF11+2cL89J

5.C易得Fl(-C,0).設M(x,y),由題意有N(-X,-y),則

MF；=(-c-x,-y),NF；=(一c+x,y).

因為MF」NFi,所以麗?西=(-c-x)(-c+x)-y2=0,即x2+y2-c2.

22

因為M(x,y)在雙曲線上，所以、方L

-1(d2(2c2-a2)

a2b2—2=------2-----,

由《x2+v2-c2解得《4；22,4

4zz4

\X~ry—C,I2_c-2ac+a

lb2=c2-a2,。=一一，

又M在直線y=kx上,ke[y,V3],

A22442

2-2ac+ae-2e+l

所以k^222整理得

X乙a(2c-a)

t4宗"解得2We?W4+2/或4-28/W(舍去),

le4-8ez+4<0,3

所以故選C.

6.D顯然P是短軸端點時，IPF1UIPF2I,滿足AFF2P為等腰三角形，因此由對稱

性知四個象限內各有一個符合條件的點.

不妨設P(x,y)是第一象限內使得AFF2P為等腰三角形的點,

（百竺二

a2b2，

若IPF1|=F1F2I,則<//x2—2Q消去y并整理得c2x2+2a2cx-4a2c2+a4=o,

Jk%+c）+y/=2c,

<a2=b2+c2,

解得x=2上（舍去）或x=22.

cc

由0<x<a得0<-2^—<a,所以釜<1,即3e〈l.

（百絲二

a2b2'

222224

若IPF2|=IF1F2I,則<r、2—2Q消去y并整理得cx-2acx-4ac+a=0,解

J^x~c）+y/=2c,

<a2=b2+c2,

得x=j￡或x=￡*￡（舍去）.

cc

由O〈x〈a得0〈貯衛(wèi)〈a,所以乂々3即乂e〈±

c3a232

綜上,e的范圍是G，1）.故選D.

7.答案2

解析設F（c,O）,其中c2=a?+b2.

將x=c代入雙曲線方程,得與尋,則y2=b2（4-i）=^,即Iy\=~，

az匕巳\az/aza

所以IAFI二匕.

a

由AABC為直角三角形及|AC|=|BC|,得NACF=45。，所以|CF|=|AF|,即a+c=-,即

a

c2-2a2-ac=0,所以e?-e-2=0,解得e-2（負值舍去）.

8.解析設橢圓G的長軸長為2電,雙曲線C2的實軸長為2a%公共焦距為

2c,|PFi|=ri,IPF21=r2,且ri>r2,則ri+r2=2abri-r2=2a2,所以n=ai+a2,e=a「a2.

在△PFE中，|F1F2I2=r/+r/-2nr2cos/F1PF2,

22+a-a2_

即4c=(a1+2)(i2)2(ai+a2)(ai-a2)xZ=2a：+2ag_c^+a：=a#+

3脛,所以"+申=4.

由基本不等式得4=44^2U-4=—，當且僅當![=2,即e當,ez="時,等

比e27ele2el,e2M為22

號成立，

所以?0洛二.故?e2的最小值為”.

ei42ei2

9.解析設|AFi|=3m(m>0),則|AB|=4m,|BFi|=5m.

如圖1,當A,B均在雙曲線的右支上時，由雙曲線的定義可

知，|AF21=3m-2a,|BF21=|AB-AF21=m+2a,BFiHBF21=5m-(m+2a)=2a,Z.m=a,

IAFi|=3a,IAF21=a.

在RtZkAFE中，由勾股定理可得4c2=9a2+a2=10a2,.*.e=-=—.

a2

圖1圖2

如圖2,當點A在雙曲線的左支上，點B在雙曲線的右支上時，由雙曲線的定義可

|BF21=5m-2a,

IAF2|=9m-2a,IAF21-1A