空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征表面積與體積講義-高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積（1）多面體的結(jié)構(gòu)特征源:]（2）旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式3．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)錐體(棱錐和圓錐)臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))球4.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍分別平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?注：考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法：①用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)；②棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；③棱錐的側(cè)面只能是三角形；④由4個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．正確的有．【例2】以下說法正確的有________________①棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面；②棱柱的側(cè)面是平行四邊形，但底面不是平行四邊形；③有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱；④有2個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)；⑤圓臺(tái)平行于底面的截面是圓面；⑥各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；⑦在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；【跟蹤訓(xùn)練】1．下列四個(gè)命題中，正確的有①棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面；②各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)；④四棱錐有4個(gè)頂點(diǎn)．A．0個(gè) B．1個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．以下給出的四個(gè)命題中，命題正確的有①兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形，這些面圍成的幾何體叫做棱柱；②以直角三角形的一條邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；③用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái)；④空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)3．以下關(guān)于空間幾何體特征性質(zhì)的描述，正確的是A．以直角三角形一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是圓錐 B．有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱 C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐 D．兩底面互相平行，其余各面都是梯形，側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)的幾何體是棱臺(tái)4.下列命題中正確的是（填序號(hào)）．①有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；②棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫作棱柱的底面；③棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形；④棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形．考點(diǎn)2空間幾何體的表面積與體積【例1】（1）一個(gè)正四棱錐的側(cè)面是正三角形，斜高為，那么這個(gè)四棱錐體積為（）A． B． C． D．（2）圓臺(tái)的上、下底面的面積分別為，側(cè)面積是，這個(gè)圓臺(tái)的體積是________．（3）為了方便向窄口容器中注入液體，某單位設(shè)計(jì)一種圓錐形的漏斗，設(shè)計(jì)要求如下：該圓錐形漏斗的高為10cm，且當(dāng)窄口容器的容器口是半徑為1cm的圓時(shí)，漏斗頂點(diǎn)處伸入容器部分的高為2cm，則制造該漏斗所需材料面積的大小約為（）（假設(shè)材料沒有浪費(fèi)）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【例2】現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為4，高為3的圓錐一個(gè)．若將它重新制作成一個(gè)底面半徑為r，高為h的圓柱（橡皮泥沒有浪費(fèi)），則該圓柱表面積的最小值為（）A．20π B．24π C．28π D．32π【跟蹤訓(xùn)練】1.（2021?浙江）一個(gè)圓錐的母線與其軸所成的角為60°，則該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為（）A． B． C． D．2.（2021?咸陽）已知某圓錐的軸截面是邊長為4的正三角形，則它的側(cè)面積為（）A． B． C． D．3.（2020?昌江）如右圖所示，在三棱錐A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是邊長為2的等邊三角形，則當(dāng)此三棱錐的表面積最大時(shí)，AD＝．4．（2021?廣州）棱錐的一個(gè)平行于底面的截面把棱錐的高分成1：2（從頂點(diǎn)到截面與從截面到底面）兩部分，那么這個(gè)截面把棱錐的側(cè)面分成兩部分的面積之比等于（）A．1：9 B．1：8 C．1：4 D．1：35．（2021?廣東）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐．現(xiàn)已知該四棱錐的高與斜高的比值為?，則該四棱錐的底面面積與側(cè)面面積的比值是（）A．? B．? C．? D．?6.（2020?煙臺(tái)）水晶是一種石英結(jié)晶體礦物，因其硬度、色澤、光學(xué)性質(zhì)、稀缺性等，常被人們制作成飾品．如圖所示，現(xiàn)有棱長為2cm的正方體水晶一塊，將其裁去八個(gè)相同的四面體，打磨成某飾品，則該飾品的表面積為（）（單位：cm2）A． B． C． D．第6題第7題7．（2020?菏澤）沙漏是古代的一種計(jì)時(shí)裝置，它由兩個(gè)形狀完全相同的容器和一個(gè)狹窄的連接管道組成，開始時(shí)細(xì)沙全部在上部容器中，細(xì)沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時(shí)間稱為該沙漏的一個(gè)沙時(shí)．如圖，某沙漏由上下兩個(gè)圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為8cm，細(xì)沙全部在上部，其高度為圓錐高度的cm3的沙，且細(xì)沙全部漏入下部后，恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐沙堆．以下結(jié)論正確的是（）A．沙漏的側(cè)面積是 B．沙漏中的細(xì)沙體積為cm D．該沙漏的一個(gè)沙時(shí)大約是1985秒（π≈3.14）考點(diǎn)3直觀圖【例1】水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，，則面積為（）A． B． C． D．【例2】若水平放置的四邊形按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中，，則原四邊形的面積為（）A．12 B．16C． D．【例3】已知四邊形的直觀圖如圖所示，，，，為的三等分點(diǎn)，則四邊形沿y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的空間幾何體的體積為（）A． B． C．D．【解題總結(jié)】斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：．【跟蹤訓(xùn)練】1.用斜二測畫法畫一個(gè)水平放置的邊長為的等邊得到的直觀圖△，則△的面積為A． B． C． D．2.已知水平放置的平面四邊形，用斜二測畫法得到的直觀圖是邊長為1的正方形，如圖所示，則的周長為A．2 B．6 C． D．8第2題圖第3題圖3.一水平放置的平面四邊形用斜二測畫法繪制的直觀圖如圖所示，其中，，，四邊形的面積為A． B． C．3 D．考點(diǎn)4三視圖俯視圖拔高法一個(gè)立體模型的三視圖核心——俯視圖，代表著地基，三視圖可以從俯視圖開始，采用畫弧、連線、拔高．畫?。哼@個(gè)是根據(jù)工程制圖的重要定理，就是俯視圖和左視圖可以通過弧線連接，找到相對應(yīng)點(diǎn)．連線：這就是確定各個(gè)位置，即主視圖和俯視圖的重垂線連接，主視圖與左視圖的水平線連接定位．拔高：各點(diǎn)定位找好后，在俯視圖上能拔高的直接立起來，俯視圖轉(zhuǎn)化成斜二測圖形，并形成直觀圖．畫弧連線拔高墻角體：墻角體的俯視圖拔高法，先畫弧將俯視圖與左視圖連接，并將俯視圖的三點(diǎn)用數(shù)字標(biāo)記出來．接著將主視圖和俯視圖連接，發(fā)現(xiàn)數(shù)字1和2所在的這條重垂線可以拔高，在不知道確切能拔高的點(diǎn)之前，標(biāo)記上問號(hào)，而數(shù)字3所在的中垂線看主視圖，明顯沒有高度，不能拔高，標(biāo)記上Χ．最后判別1和2，通過弧線可知2和3這條線可以拔高，故在2位置標(biāo)記上〇，而1所在的弧線是不能拔高，故標(biāo)記上Χ．最后畫出直觀的墻角體．鱉臑：所謂鱉臑就是四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐,這個(gè)幾何體在各類考試中出現(xiàn)的頻率最高,感覺沒有鱉臑就制作不出一桌滿漢全席似的．下面看它的俯視圖拔高法畫出直觀圖．畫弧+連線拔高陽馬：90年代全國卷考過一道試題:四棱錐的四個(gè)側(cè)面最多有幾個(gè)直角三角形?其實(shí)，這就是考陽馬.陽馬就是底面為矩形而四個(gè)側(cè)面都是直角三角形的四棱錐．壍堵：正方體(長方體)沿著其對角面"一分為二"就得到兩個(gè)壍堵.【例1】（2020?柯橋）某幾何體的三視圖（單位：如圖所示，則該幾何體的體積為A． B．2 C．4 D．6【例2】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（） B． C． D．5【例3】（2017?新課標(biāo)Ⅰ）某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形，該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）A．10 B．12 C．14 D．16【解題總結(jié)】1.去底座拔高法：主視圖和左視圖都有的矩形部分叫做底座，故可以在三視圖還原時(shí)不予考慮，最后加上去這個(gè)底座，也就是一個(gè)長方體部分，需要注意的是矩形必須為實(shí)線．如例2；2.俯視圖有虛線時(shí)，定是挖去的部分，先按照無虛線還原后，再將虛線部分和拔高點(diǎn)相連的那部分三棱錐去除即可．如例3；3.剛開始不熟練的學(xué)生也可以在長方體（正方體）里進(jìn)行還原拔高，即俯視圖畫在長方體下（上）底面上，然后按上面例題方法拔高還原即可．【跟蹤訓(xùn)練】1.（2021?豐臺(tái)一模）某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐中最長的棱長為A．2 B． C． D．4第1題圖第2題圖第3題圖2．（2021?桂林一模）某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖的輪廓均為正方形，該幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．或3.（2020?黃山模擬）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為A． B． C． D．4.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．1考點(diǎn)5最短路徑問題路徑最短問題本質(zhì)是：兩點(diǎn)之間線段最短，一般需要將其立方體按一定方向展開成平面圖求解．【例1】有一長方體木塊，其頂點(diǎn)為，，，，一小蟲從長方體木塊的一頂點(diǎn)繞其表面爬行到另一頂點(diǎn)，則小蟲爬行的最短距離為A． B． C． D．【例2】如圖，S﹣ABC是正三棱錐且側(cè)棱長為a，兩側(cè)棱SA，SC的夾角為30°，E，F(xiàn)分別是SA，SC上的動(dòng)點(diǎn)，則三角形BEF的周長的最小值為（）A． B． C． D．【例3】（2018?新課標(biāo)Ⅰ）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為A． B． C．3 D．2【解題總結(jié)】此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c(diǎn)間線段最短問題．【跟蹤訓(xùn)練】1.（2020?景德鎮(zhèn)模擬）如圖，圓錐的母線長為4，點(diǎn)M為母線AB的中點(diǎn)，從點(diǎn)M處拉一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達(dá)到B點(diǎn)，這條繩子的長度最短值為，則此圓錐的表面積為（）A．4π B．5π C．6π D．8π第1題第3題2.（2020?湖南模擬）在高為的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC的邊長為2，D為棱B1C1的中點(diǎn)，若一只螞蟻從點(diǎn)A沿表面爬向點(diǎn)D，則螞蟻爬行的最短距離為（）A．3 B． C． D．2（2020?岳陽模擬）如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＞1，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，小螞蟻從點(diǎn)A沿長方體的表面爬到點(diǎn)C1，所爬的最短路程為．則該長方體外接球的表面積為．考點(diǎn)6簡單截面問題（拓展提升）截面定義：在立體幾何中，截面是指用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體（包括圓柱，圓錐，球，棱柱，棱錐、長方體，正方體等等），得到的平面圖形，叫截面．截面形式總共有三種，分別為橫截、豎截、斜截．考向一平面截棱錐、棱柱(下圖以平面截正方體為例)接下來我們主要重心放在如何畫出(補(bǔ)全)截面：類一過不共線的三點(diǎn)做立方體的截面，其中有兩點(diǎn)在共面的棱上【例1】已知分別是正方體棱上的中點(diǎn)，請做出過三點(diǎn)的平面與立方體相交的截面，如圖圖一圖二圖三圖四類二過不共線的三點(diǎn)做立方體的截面，其中任意兩點(diǎn)均不在棱上（或點(diǎn)在立方體表面/內(nèi)部）【例2】已知分別是正方體棱上的中點(diǎn)，請做出過三點(diǎn)的平面與立方體相交的截面，如圖圖一圖二圖三圖四考向二平面截圓錐、圓柱以上為平面斜截圓柱與圓錐時(shí)形成的截面圖形（橫截與豎截比較簡單就不在這里闡述了）【例3】如圖圓錐PO，軸截面PAB是邊長