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甘肅省永昌縣第四中學(xué)2024屆高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.2.拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,,是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)線段的中點(diǎn)在上的投影為,則的最大值是()A. B. C. D.3.的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為()A.120 B.80 C.60 D.404.要排出高三某班一天中,語文、數(shù)學(xué)、英語各節(jié),自習(xí)課節(jié)的功課表,其中上午節(jié),下午節(jié),若要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰(注意:上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰),則不同的排法種數(shù)是()A. B. C. D.5.將3個(gè)黑球3個(gè)白球和1個(gè)紅球排成一排,各小球除了顏色以外其他屬性均相同,則相同顏色的小球不相鄰的排法共有()A.14種 B.15種 C.16種 D.18種6.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí),介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成一個(gè)大等邊三角形.設(shè),若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.7.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.198.過拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).若,則直線的斜率為()A. B. C. D.9.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,,()A. B. C. D.10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的結(jié)果為()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)滿足,則的共軛復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.12.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(diǎn),則的值是.14.設(shè),分別是橢圓C:()的左、右焦點(diǎn),直線l過交橢圓C于A,B兩點(diǎn),交y軸于E點(diǎn),若滿足,且,則橢圓C的離心率為______.15.已知數(shù)列中,為其前項(xiàng)和,,,則_________,_________.16.某部門全部員工參加一項(xiàng)社會(huì)公益活動(dòng),按年齡分為三組,其人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本,若組中甲、乙二人均被抽到的概率是,則該部門員工總?cè)藬?shù)為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度18.(12分)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,等比數(shù)列滿足,.(1)求的通項(xiàng)公式;(2)求的前項(xiàng)和.19.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大小;(2)若△ABC外接圓的半徑為,求△ABC面積的最大值.20.(12分)如圖,三棱柱中,平面,,,分別為,的中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)若平面平面,求直線與平面所成角的正弦值.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對(duì)一切恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為.且經(jīng)過點(diǎn)(1,),A,B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn),過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D,E兩點(diǎn)(其中D在x軸上方).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若△AEF與△BDF的面積之比為1:7,求直線l的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
因?yàn)榻o出的解析式只適用于,所以利用周期性,將轉(zhuǎn)化為,再與一起代入解析式,利用對(duì)數(shù)恒等式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4,當(dāng)時(shí),,,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),屬于中檔題.2、B【解析】
試題分析:設(shè)在直線上的投影分別是,則,,又是中點(diǎn),所以,則,在中,所以,即,所以,故選B.考點(diǎn):拋物線的性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中,涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,焦點(diǎn)弦長(zhǎng),拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(或與準(zhǔn)線平行的直線)的距離時(shí),常??紤]用拋物線的定義進(jìn)行問題的轉(zhuǎn)化.象本題弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離首先等于兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的一半,然后轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離,從而與弦長(zhǎng)之間可通過余弦定理建立關(guān)系.3、A【解析】
化簡(jiǎn)得到,再利用二項(xiàng)式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項(xiàng)為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、C【解析】
根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午;②語文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數(shù)目,由分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】根據(jù)題意,分兩種情況進(jìn)行討論:①語文和數(shù)學(xué)都安排在上午,要求節(jié)語文課必須相鄰且節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰,將節(jié)語文課和節(jié)數(shù)學(xué)課分別捆綁,然后在剩余節(jié)課中選節(jié)到上午,由于節(jié)英語課不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種;②語文和數(shù)學(xué)都一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午.語文和數(shù)學(xué)一個(gè)安排在上午,一個(gè)安排在下午,但節(jié)語文課不加以區(qū)分,節(jié)數(shù)學(xué)課不加以區(qū)分,節(jié)英語課也不加以區(qū)分,此時(shí),排法種數(shù)為種.綜上所述,共有種不同的排法.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,屬于中等題.5、D【解析】
采取分類計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)相結(jié)合的方法,分兩種情況具體討論,一種是黑白依次相間,一種是開始僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起【詳解】首先將黑球和白球排列好,再插入紅球.情況1:黑球和白球按照黑白相間排列(“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”),此時(shí)將紅球插入6個(gè)球組成的7個(gè)空中即可,因此共有2×7=14種;情況2:黑球或白球中僅有兩個(gè)相同顏色的排在一起(“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”),此時(shí)紅球只能插入兩個(gè)相同顏色的球之中,共4種.綜上所述,共有14+4=18種.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查排列組合公式的具體應(yīng)用,插空法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】
根據(jù)幾何概率計(jì)算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問題,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時(shí),a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時(shí),要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系,從而可簡(jiǎn)化與數(shù)列相關(guān)的方程,本題屬于難題.8、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合,求出的坐標(biāo),然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程為,設(shè),則,故,此時(shí),即.則直線的斜率.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.9、B【解析】
利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性可得出,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】,所以,.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性求概率,屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】
由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.【詳解】執(zhí)行該程序可得.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖.解題可模擬程序運(yùn)行,觀察變量值的變化,然后可得結(jié)論,也可以由程序框圖確定程序功能,然后求解.11、B【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則和共軛復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.【詳解】由,得,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則,考查了復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法,考查計(jì)算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:由三角函數(shù)定義知,又由誘導(dǎo)公式知,所以答案應(yīng)填:.考點(diǎn):1、三角函數(shù)定義;2、誘導(dǎo)公式.14、【解析】
采用數(shù)形結(jié)合,計(jì)算以及,然后根據(jù)橢圓的定義可得,并使用余弦定理以及,可得結(jié)果.【詳解】如圖由,所以由,所以又,則所以所以化簡(jiǎn)可得:則故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用,關(guān)鍵在于根據(jù)角度求出線段的長(zhǎng)度,考查分析能力以及計(jì)算能力,屬中檔題.15、8(寫為也得分)【解析】
由,得,.當(dāng)時(shí),,所以,所以的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列;其偶數(shù)項(xiàng)是以2為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列.則,.16、60【解析】
根據(jù)樣本容量及各組人數(shù)比,可求得C組中的人數(shù);由組中甲、乙二人均被抽到的概率是可求得C組的總?cè)藬?shù),即可由各組人數(shù)比求得總?cè)藬?shù).【詳解】三組人數(shù)之比為,現(xiàn)用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為20的樣本,則三組抽取人數(shù)分別.設(shè)組有人,則組中甲、乙二人均被抽到的概率,∴解得.∴該部門員工總共有人.故答案為:60.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的定義與簡(jiǎn)單應(yīng)用,古典概型概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用,由各層人數(shù)求總?cè)藬?shù)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】解:解:將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,………4分直線方程的普通方程為,………8分圓C的圓心到直線l的距離,……………10分故直線被曲線截得的線段長(zhǎng)度為.……………14分18、(1)(2)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.【解析】
(1)利用數(shù)列與的關(guān)系,求得;(2)由(1)可得:,,算出公比,利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,因?yàn)檫m合上式,所以.(2)由(1)得,,設(shè)等比數(shù)列的公比為,則,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力..19、(1)B(2)【解析】
(1)由已知結(jié)合余弦定理,正弦定理及和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosB,進(jìn)而可求B;(2)由已知結(jié)合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍,然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)閎(a2+c2﹣b2)=ca2cosC+ac2cosA,∴,即2bcosB=acosC+ccosA由正弦定理可得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB,因?yàn)?,所以,所以B;(2)由正弦定理可得,b=2RsinB2,由余弦定理可得,b2=a2+c2﹣2accosB,即a2+c2﹣ac=4,因?yàn)閍2+c2≥2ac,所以4=a2+c2﹣ac≥ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào),即ac的最大值4,所以△ABC面積S即面積的最大值.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了正弦定理,余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)連接,,則且為的中點(diǎn),又∵為的中點(diǎn),∴,又平面,平面,故平面.(2)由平面,得,.以為原點(diǎn),分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,,.取平面的一個(gè)法向量為,由,得:,令,得同理可得平面的一個(gè)法向量為∵平面平面,∴解得,得,又,設(shè)直線與平面所成角為,則.所以,直線與平面所成角的正弦值是.21、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)時(shí),根據(jù)絕對(duì)值不等式的定義去掉絕對(duì)值,求不等式的解集即可;(Ⅱ)不等式的解集為,等價(jià)于,求出在的最小值即可.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),時(shí),不等式化為,解得,即時(shí),不等式化為,不等式恒成立,即時(shí),不等式化為,解得,即綜上所述,不等式的解集為(Ⅱ)不等式的解集為對(duì)任意恒成立當(dāng)時(shí),取得最小值為實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法與應(yīng)用問題,也考查了函
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