2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型第7講 導(dǎo)數(shù)中的5種同構(gòu)函數(shù)問(wèn)題 （解析版）

2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型精華版第6講導(dǎo)數(shù)的極值與最值題型總結(jié)

【考點(diǎn)分析】

考點(diǎn)一：函數(shù)的駐點(diǎn)

若/'々0)=0,我們把與叫做函數(shù)的駐點(diǎn).

考點(diǎn)二：函數(shù)的極值點(diǎn)與極值

①極大值點(diǎn)與極大值：函數(shù)〃X)在點(diǎn)X。附近有定義，如果對(duì)毛附近的所有點(diǎn)都有/(x)</(x。)，則稱(chēng)/(%)

是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作y極大值=/(X。)，其中與叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)

②極小值點(diǎn)與極小值：函數(shù)〃x)在點(diǎn)/附近有定義，如果對(duì)X。附近的所有點(diǎn)都有/(x)>/(x0),則稱(chēng)/(X。)

是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作y極小值=/(x。),其中X。叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)

考點(diǎn)三：求可導(dǎo)函數(shù)/(x)極值的步驟

①先確定函數(shù)/(x)的定義域；

②求導(dǎo)數(shù)f'(x)；

③求方程f'(x)=0的根；

④檢驗(yàn)/'(外在方程/'(x)=0的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函

數(shù)y=/(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)

根處取得極小值.

注意：可導(dǎo)函數(shù)/(x)在x=x0滿(mǎn)足/?'&)=()是/(x)在/取得極值的必要不充分條件，如f{x)=xi,

/'(0)=0,但％=0不是極值點(diǎn).

考點(diǎn)四：函數(shù)的最值

一個(gè)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，最值要么在極值點(diǎn)處取得，要么在斷點(diǎn)處取得。

求函數(shù)最值的步驟為：

①求V="X)在［a,b］內(nèi)的極值(極大值或極小值)；

②將y=/(x)的各極值與/(a)和/(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

【題型目錄】

題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)

題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的值

題型三：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的范圍

題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)

題型五：根據(jù)最值求參數(shù)

題型六：根據(jù)最值求參數(shù)范圍

【典例例題】

題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)

【方法總結(jié)】

利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：

(1)求函數(shù)/(X)的定義域；

(2)求導(dǎo)；

(3)解方程/'(/)=0,當(dāng)/(x0)=0；

(4)列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：

①如果在飛附近的左側(cè)/'(力<0,右側(cè)/、'(x)〉0,那么是極小值；

Y2

【例1】(2022石泉縣石泉中學(xué))函數(shù)f(x)=j的極小值為()

1,

A.0B.-C.2D.4e2

e

【答案】A

x2x

v2.、2xe-xe-x(x-2)

【解析】由/(x)=j，得/3=.㈤2—=—/一，

當(dāng)0<x<2時(shí)，/'(x)>0,單調(diào)遞增；

當(dāng)x<0或x〉2時(shí)，/'(x)<0,/(尤)單調(diào)遞減；

V2

所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)/(x)=1取得極小值，

極小值為"0)=*=0.

e

故選：A.

【例2】(2021?河南新鄉(xiāng)市)已知函數(shù)/(工)二111］一。工的圖象在％=1處的切線(xiàn)方程為1+?+6=0,則/&)

的極大值為()

A.—In2—1B.—In2+1C.—1D.1

【答案】A

【解析】因?yàn)?(x)=lnx-av,所以/''(x)=L-a,

x

又因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在圖象在x=l處的切線(xiàn)方程為x+N+b=O,

所以/(1)=一a=-b—1,/'⑴=1—a=-1,解得。=2,b=l.

由/，(幻='一2=匕2，0<x<-,f'(x)>0,x>-,f\x)<0,知/(x)在x=1處取得極大值,

xx222

/、(；)=ln；_l=_ln2_l.故選：A.

【例3】若函數(shù)/(x)=e*-ax-/在R上有小于o的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-?,-1)D.(1,+8)

【答案】B

【解析】由f(x)=ex-ax-a2=>r(x)=e、-a

因?yàn)?(x)="—ax—1在R上有小于o的極值點(diǎn)，所以/'(x)=e*-。=0有小于0的根，由y=e，的圖

像如圖：

可知/'(x)=e*-。=0有小于0的根需要0<a<1,所以選擇B

Y

【例4】(2022?江西師大附中三模(理))已知函數(shù)/(x)=F—sinx,g(x)為/⑴的導(dǎo)函數(shù).

e

(1)判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間(og)上是否存在極值，若存在，請(qǐng)判斷是極大值還是極小值；若不存在，說(shuō)明理由;

【答案】(1)存在；極小值

【分析】(1)轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)是否存在變號(hào)零點(diǎn)，對(duì)g'(x)求導(dǎo)后，判斷g'(x)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性

定理可得結(jié)果；

Xp'v—YPX1—Y

【解析】(1)由/(x)=-7-sinx,可得g(x)=,，八,-一cosx=——cosx,

?，/、—c'—(1—x)evx—2

則ng(x)=-----s------+sinx=——+smx,x

(e)e

令〃(x)=^~~-+sinx,其中4)，可得——+cosx=--^-+cosx>0,

exV2J(ex)e'

所以h(x)在(0目上單調(diào)遞增，即g'(x)在其)上單調(diào)遞增,

使得g'(x())=0，

當(dāng)xe(O,Xo)時(shí)，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xc(xo，/1寸,

g(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以當(dāng)X=x°時(shí)，函數(shù)g(x)取得極小值.

【例5】(2022?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=x-sinx-cosx.

⑴求函數(shù)/(x)在卜乃司上的極值；

【答案】(1)極大值，1-1;極小值，-1;

【分析】(1)由題可得/'(月=1-應(yīng)儂[-￡|,進(jìn)而可得：

【解析】(l)：/(x)=x-sinx-cosx,

/[x)=l-cosx+sinx=l-V^co[,xe,肛,

由r(x)=0,可得x=-1,或x=0,

2

xe(―匹―,)，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，xe,/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，xe]。,]],八x)>0J(x)單

調(diào)遞增，

ITTTTT

.?.》=一5時(shí)，函數(shù)/*)有極大值/(-5X1-5,x=o時(shí)，函數(shù)“X)有極小值/(o)=-i；

【題型專(zhuān)練】

1.已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)/(x)=xe、，則

A.1是/(X)的極小值點(diǎn)B.-1是/(x)的極小值點(diǎn)

C.1是/(x)的極大值點(diǎn)D.-1是/(x)的極大值點(diǎn)

【答案】B

【解析】

【詳解】

試題分析：f'(x)-tX?X-9t=(l+x)-?x>當(dāng)/'(xl=0時(shí)，X=-1，當(dāng)x<-1時(shí)>/''0，當(dāng)X>-1

時(shí)，/'〈XI>0,所以當(dāng)x=-l時(shí)，函數(shù)取得極小值，-1是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故選B.

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與極值

2.(2022福建省福建師大附中高二期末多選)定義在滅的函數(shù)/(X),已知Xo(x0W0)是它的極大值點(diǎn)，

則以下結(jié)論正確的是()

A.-%是/(—x)的一個(gè)極大值點(diǎn)

B.一與是—/(X)的一個(gè)極小值點(diǎn)

C.%是—/(X)的一個(gè)極大值點(diǎn)

D.-%是—/(—x)的一個(gè)極小值點(diǎn)

【答案】AD

【解析】玉)(玉)。0)是/6)的極大值點(diǎn)，就是存在正數(shù)陰，使得在(X。一私X。)上，f\x)>0,在

(%,%+加)上，f'(x)<0.

設(shè)g(x)=/(-x),g'(x)=,

r

當(dāng)<x<-xQ+加時(shí)，xQ-m<-x<xQ,f(-x)>0,g\x)<0,同理-x0-m<x<-x0時(shí),g'(x)>0,

???-X。是的一個(gè)極大值點(diǎn)，從而一X。是—/(T)的一個(gè)極小值點(diǎn)，X。是-/(X)的一個(gè)極小值點(diǎn).不

能判定-%是不是-/(X)的極值點(diǎn).故選：AD.

3.(2022江西高三期中(文))已知函數(shù)/(X)=alnx+ax,g(x)=x2+2x.其中aeR.

(1)求函數(shù)人(x)=/(x)+g(x)的極值；

(2)若g(X)的圖像在Z(X1,g(xJ),B(X2，g(X2))(X]</<。)處的切線(xiàn)互相垂直，求吃一苦的最小值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)I.

【解析】

(1)函數(shù)力(x)=c/lnx+x2+他+2)x的定義或?yàn)?0,+<?),

2(x+l)|x+-I

h\x)=-+2x+(a+2)=-------一〃，

XX

若aNO,"(x)>0恒成立，此時(shí)/z(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

若”0時(shí),"(x)=0,解得x=—

2

當(dāng)0<x<—@時(shí)，h\x)<0,//(x)單調(diào)遞減；

2

當(dāng)x>-@時(shí)，h'(x)>0,A(x)單調(diào)遞增.

2

當(dāng)x=-'|■時(shí)，"(x)有極小值〃［一=aIn匕-一a,無(wú)極大值.

(2)g'(x)=2x+2,則(2再+2)(2々+2)=-1,其中,項(xiàng)</<0,

]

2X1+2<0<2x+2,且X|=-1—1<x<0,

24(%+1)2

?口一*r+1+^1222Tl1r1,

當(dāng)且僅當(dāng)/=—ge(—l,0)時(shí)取等號(hào)，

13

二當(dāng)々=一］,X［=—5時(shí)，—西取最小值1.

題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的值

【方法總結(jié)】

解含參數(shù)的極值問(wèn)題要注意：

①/'(Xo)=°是X。為函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件，故而要注意檢驗(yàn)；

②若函數(shù)歹=/(X)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有極值，那么y=/(無(wú))在(*。)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間

上的單調(diào)函數(shù)沒(méi)有極值.

【例0(2022全國(guó)課時(shí)練習(xí))若函數(shù)/(x)=(--ax—的極小值點(diǎn)是x=l,則/(x)的極大值為()

A.-eB.-2e2C.5e-2D.-2

【答案】C

【解析】由題意，函數(shù)/(x)=(x?-ax-l)e”,可得/'(x)=+(2-a)x-l-a],

所以/'(1)=(2-2a)e=0,解得。=1,&/(x)=(x2-x-1)ex,

可得八x)=e*(x+2)(x-l),

則/(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞增，在(-2,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(x)的極大值為/(_2)=5小2.故選：C.

【例2】(202卜全國(guó)課時(shí)練習(xí))若函數(shù)/(x)=x(x-4)2在X=2處取得極小值，貝.

【答案】2

【解析】由/(x)=x(x-a)2=儲(chǔ)-2ax2可得/口)=3》2-4公+/,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x(x—op在x=2處取得極小值，

所以/'(2)=12-8a+/=0，解得a=2或a=6,

若a=2,則/'(X)=3X2-8X+4=(X-2)(3X-2),

當(dāng)時(shí)，/'(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f\x)<0,則/(x)單調(diào)遞減：

當(dāng)xe(2,+8)時(shí)，f'(x)>0,則〃x)單調(diào)遞增；所以函數(shù)〃x)在》=2處取得極小值，符合題意；

當(dāng)a=6時(shí)，/'(X)=3X2-24X+36=3(X—2)(X-6),

當(dāng)xe(-a5,2)時(shí)，f\x)>0,則〃x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(2,6)時(shí)，f(x)<0,則〃x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(6,+8)時(shí)，f'(x)>0,則/(x)單調(diào)遞增；所以函數(shù)在x=2處取得極大值，不符合題意；

綜上：a=2.

故答案為：2.

【例3】(2022?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=(x-a)(x-b)e*在x=a處取極小值，且/(x)的極大值

為4,貝1]6=()

A.-1B.2C.-3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

對(duì)/(x)求導(dǎo)，由函數(shù)/(x)=(x-a)(x-6)e*在x=a處取極小值，所以/(。)=0,所以a=6,

.■./(x)=(x-?)2e\對(duì)〃x)求導(dǎo)，求單調(diào)區(qū)間及極大值，由的極大值為4,列方程得解.

【詳解】

解：〃x)=(x-a)(x-6)e*=(x2-亦-6x+R>)e*,所以

/,(x)=(2x-a-6)er+(x2-ax-bx+ab)ev=ev[^x2+(2-a-b')x+ab-a-b^

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=(x-a)(x-b)e*在x=a處取極小值，所以

/,(tz)=efl[iz2+(2-a-/>)a+ab-a-b^=ea(a-^=C,所以“=b,.?./(司=(》-0)建工，

/'(x)=e*[x2+(2-2a)x+a2-2o]=et(x-亞x-("2],

令/'(x)=0,得x=a或尸a-2,當(dāng)xe(-8,。-2)時(shí)，/,(x)>0,所以〃x)在(-刃，”2)單調(diào)遞增，當(dāng)

xe(a-2,a)時(shí),，(x)<0,所以/(x)在(a-2,a)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(a,+8)時(shí),〃x)>0,所以/(x)在

(a,+8)單調(diào)遞增,所以〃x)在尸a-2處有極大值為f(a-2)=4e"2=4,解得a=2,所以b=2.

故選：B

【題型專(zhuān)練】

3

1.設(shè)函數(shù)/(x)=lnx+ax2-]X,若％=1是函數(shù)/(x)是極大值點(diǎn)，則函數(shù)/(x)的極小值為

【答案】ln2-2

313

【解析】函數(shù)/(x)=Inx+ar2—x=>f\x)=~\-2ax----

2x2

13?

x=l是函數(shù)/")是極大值點(diǎn)則/⑴=,+2〃一或=0=>4=1

13113

f(x\=lnx+—x2——x=>fV)=一"I--x----=0x=]或x=2

''42x22

當(dāng)x=2時(shí)/(x)的極小值為ln2—2故答案為：ln2—2

2.(2023全國(guó)高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=Q"-lnx-l,設(shè)x=1是/(x)的極值點(diǎn)，則斫—,/(x)

的單調(diào)增區(qū)間為一.

【答案】-(L+8)

e

【解析】

由題意可得：/'(x)=ae「(

?.?%=1是/(工)的極值點(diǎn)

二.r(l)=ae-1=0

e

即/(x)=e，T—Inx-]=>/,(x)=ex-1--

令/'(x)>0,可得x>l

：.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(L+8)

1jr

3.(2023河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考)函數(shù)y=45足》+-5皿3*在彳=一處有極值，則。的值為()

"33

A.-6B.6C.-2D.2

【答案】D

【解析】y'=acosx+cos3x,由V1/=°得，acos^+cos乃=0,”=2,選D.

33

點(diǎn)睛：函數(shù)/(X)在點(diǎn)x=q處由極值，則必有,/''(0)=(),但要注意/'(?)=(),x=2不一定是“X)的極值

點(diǎn).

題型三：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的范圍

【例1】(2022?四川綿陽(yáng)?二模(文))若X=2是函數(shù)/(可uf+zg-Zb-dalnx的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.(-no,-2)B.(―2,+co)C.(2,+oo)D.(-2,2)

【答案】A

【解析】

【分析】

求出了'(X),分a<-2,-2<a<0,。=-2分別討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得其極值情況，從而

得出答案.

【詳解】

/，(x)=2x+2(”2)-竺2.八2("2卜-4、2鼻心),(x>0)

XXX

若“20時(shí)，當(dāng)x>2時(shí)，r(x)>0；當(dāng)0<x<2時(shí)，/'(x)<0；

則/(x)在(0,2)上單調(diào)遞減；在(2,+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=2時(shí)，/(x)取得極小值，與條件不符合，故滿(mǎn)足題意.

當(dāng)。<-2時(shí)，由/'(x)>0可得0<x<2或x>-a：由/'(x)<0可得2Vx<-4

所以在(0,2)上單調(diào)遞增；在(2,一。)上單調(diào)遞減，在(-凡+⑹上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=2時(shí)，/(x)取得極大值，滿(mǎn)足條件.

當(dāng)-2<〃<0時(shí)，由/'(x)>0可得0<x<-a或x>2；由/'(x)<0可得-"x<2

所以在(0,-a)上單調(diào)遞增；在2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=2時(shí)，/(x)取得極小值，不滿(mǎn)足條件.

當(dāng)。=-2時(shí),/'(x)±0在(0,+8)上恒成立，即/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

此時(shí)/(x)無(wú)極值.

綜上所述：a<-2滿(mǎn)足條件

故選：A

【例2】(2022?河南?高三階段練習(xí)(文))若函數(shù)/(*)=(/+如+2)@在R上無(wú)極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

()

A.(-2,2)B.(-273,2^3)C.[-2行,2君]D.[-2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】

求/'(x)=[x2+(a+2)x+a+2)e，，由分析可得夕+(a+2)x+a+220恒成立，利用A40即可求得實(shí)數(shù)

”的取值范圍.

【詳解】

由+ax+2)-e"可得

/,(jr)=(2x+6/)-e'+(j?+ax+2>e'=[x)+(a+2)x+a+2]e",

e*>0恒成立，丁=/+(〃+2)X+。+2為開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)，

若函數(shù)/(力=卜2+辦+2)〃在R上無(wú)極值，

則V=x~+(〃+2)x+a+2N。恒成立，所以△=(Q+2)~-4(Q+2)40,

解得：—2<tz<2,

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍為[-2,2],

故選：D.

【例3】(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)f(x)=C--Inx)在(0,1)內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

x

A.(-00,e)B.(0,e)C.(e,+oo)D.[e,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】

由可導(dǎo)函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)有極值的充要條件即可作答.

【詳解】

由/(x)=J-a(x-lnx)得，/,(x)=et(-—l)-a(l--)=0

XXXXXX

因函數(shù)/(x)=-—々(％-111%)在(0,1)內(nèi)有極值，則xe(0』)時(shí)、f'(x)=0oa=J有解，

xx

即在X￡(O,1)時(shí)，函數(shù)g(x)=C與直線(xiàn)y=a有公共點(diǎn)，

X

而g，(x)=C(l-_L)<0,即g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，Vx€(O,l),g(x)>g(l)=e,則a>e,顯然在。=紀(jì)零點(diǎn)

XXx

左右兩側(cè)/‘(X)異號(hào)，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是?4W).

故選：C

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xO處取得極值的充要條件是f(xO)=O,且在xO左側(cè)與右側(cè)F(x)的符號(hào)不

同.

【例4】(2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知函數(shù)/")=["2-(4“+l)x+4a+3]e",若

x=2是“X)的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

；,+8

A.B.C.(-8,0)D.(-1,+8)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，對(duì)。分類(lèi)討論，判斷極值點(diǎn)，即可求解.

【詳解】

由/(x)=[a/-(44+1)x+4〃+3]e"得f\x)=(ox-l)(x-2)e",令

f\x)=(ajc-l)(x-2)ev>0=(ax-l)(x-2)>0,

若a<0,貝!|(ax-l)(x-2)>0=1<x<2,此時(shí),在4<x<2單調(diào)遞增，在x>2,x<'單調(diào)遞減，這與x=2

aaa

是/(x)的極小值點(diǎn)矛盾，故舍去.

若。=0,可知x=2是〃力的極大值點(diǎn)，故不符合題意.

若1>a>0,(ax-1)(%-2)>0=>x<2,x>—,此時(shí)/(x)在x<2,x>1單調(diào)遞增，在2<x<，單調(diào)遞減，可

2aaa

知x=2是/(x)的極大值點(diǎn)，故不符合題意.

當(dāng),,(ax-l)(x-2)>0=>x>2,x<—,此時(shí)/(x)在x>2,x<L單調(diào)遞增，在2>x>，單調(diào)遞減，可

知x=2是/(x)的極小值點(diǎn)，符合題意.

若。=；,"X)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無(wú)極值，不符合題意，舍去.

綜上可知：a>g

故選：B

【例5】(2022?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)(文))已知函數(shù)/(x)=ax+sinx,xe(0,兀).

⑴當(dāng)“=1時(shí)，過(guò)(0,1)做函數(shù)/(X)的切線(xiàn)，求切線(xiàn)方程；

(2)若函數(shù)/(x)存在極值，求極值的取值范圍.

【答案】(l)y=x+l,(2)(09)

【解析】

【分析】

(1)設(shè)切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；

(2)求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的情況，設(shè)極值點(diǎn)為％得到a=-cosx0,代入極值再構(gòu)造函數(shù)

〃(x)=-xcosx+sinx,求導(dǎo)分析單調(diào)性與取值范圍即可

⑴

由題，當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=x+sinx,/,(x)=l+cosx,

，

設(shè)切點(diǎn)為+sinx0),則/(x0)=l+cosx0,

故切線(xiàn)方程為y-Xo-sinx。=(l+cosxo)(x-x()),

又切線(xiàn)過(guò)(0,1),故l-廝-sinx0=-x0(l+cosx0),Bpsinx0-x0cosx0-1=0,

設(shè)g(x)=sinx-xcosx-l,XG(O,TT),則gf(x)=xsinx>0,

冗

故$皿/-/?^0-1=0有唯一解%=5，

故切點(diǎn)為斜率為1,故切線(xiàn)方程為夕-(彳+1)=,即y=x+l；

⑵

因?yàn)槭?x)=a+cosx,xe(0㈤為減函數(shù)，故若函數(shù)〃x)存在極值，

則/網(wǎng)、)=0在區(qū)間x?(0,71)上有唯一零點(diǎn)設(shè)為％,

貝！Ja+cosx0=0,即a=-cosxQ,

故極值/(/)=a/+sin/=cosx0+sinx0,

設(shè)〃(x)=-xcosx+sinx,X€(0,H),貝Ijh\x)=xsinx>0,

故〃(X)為增函數(shù),故〃(0)<力(%)<力(")，故0<〃(x)<(，即f(Xo)e(O,T),

故極值的取值范圍(0，公

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)問(wèn)題，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問(wèn)題，需要根據(jù)題意設(shè)極值點(diǎn),

得到極值點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系，再代入極值構(gòu)造函數(shù)分析，屬于難題

【例6】(2022?天津?耀華中學(xué)二模)已知函數(shù)/(x)=0《+lnx-x(a>O).

X

⑴若4=1,求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(X)存在兩個(gè)極小值點(diǎn)看用,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴遞減區(qū)間為(0,1),遞增區(qū)間為0,+8),(2)(0,-)

e

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求得/(x)=(xTX：*x),令Mx)=e'-x,利用導(dǎo)數(shù)求得加(x)>0,進(jìn)而求得函數(shù)的單

X

調(diào)區(qū)間；

(2)求得&、e，(x-l)(4--),令“3=三，結(jié)合單調(diào)性得到“(x)wL進(jìn)而得到0<三八,分a/

JW=-------2------eeeee

x

和o<“<1,兩種情況分類(lèi)討論，結(jié)合單調(diào)性與極值點(diǎn)的概念，即可求解.

e

(1)

解：當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/(x)=±+lnx-x,

x

可得八X)=1午1)+1_1=(X7)CT),

XXX

令〃?(x)=e*-x,xe(0,+oo),可得M(x)=e*-1>0,所以函數(shù)機(jī)(x)單調(diào)遞增，

因?yàn)閦n(x)>〃?(0)=l,所以m(x)>0,

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f^(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,m)時(shí)，/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

即函數(shù)/(X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8).

(2)

解：由函數(shù)f(x)="-+lnx-x,xw(0,+8),

X

X

可得/-1)=上華工R0，

XX

令"X)=W，可得

ee

所以函數(shù)"(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以“(x)vL

e

當(dāng)x>0時(shí)，可得e，>l,所以0</4(,

①當(dāng)時(shí)，。一三20,此時(shí)當(dāng)xe(O』)時(shí)，/^(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

ee

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，嚴(yán)(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)“X)的極小值為/6=ae-l,無(wú)極大值;

②當(dāng)0<°<1時(shí)，?((?)=—<-^-=a,w(l)=->a,

eeee

又由〃(x)在(a,1)上單調(diào)遞增，所以"(x)在(a,1)上有唯一的零點(diǎn)為，且含=〃，

因?yàn)楫?dāng)1>e時(shí)，令g(x)=21nx-x,可得g，(x)=*-l=土三<0,

XX

又因?yàn)間(e)=2-e<0,所以g(x)<0,即21nx<x,所以21n1<L

aa

一

IIn-y221n1—]

所以〃(ln-)=—7=a-g-<a,u(\)=->a,

ain-y1e

ea"~

因?yàn)閡(x)在(l,+8)上單調(diào)遞減，所以/'C(x)在(O/nJ)上有唯一的零點(diǎn)巧，且竟=a，

所以當(dāng)xe(0,xJ時(shí)，*(x)<0,〃x)單調(diào)遞減：

當(dāng)xe(x”l)時(shí)，#(x)>0,/(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)》€(wěn)(1戶(hù)2)時(shí)，"(x)<0,“X)單調(diào)遞減；

當(dāng)工€區(qū),+8)時(shí)，/^(x)>0,“X)單調(diào)遞增，

所以函數(shù)/(X)有兩個(gè)極小值點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0一).

e

【題型專(zhuān)練】

1.(2022貴州遵義?高三)若函數(shù)/(x)=；d-?2+x-5無(wú)極值點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-1,1)B.[-1,1]

C.(-<x>,-l)U(l,+?)D.(-00,-1]U[!,+?)

【答案】B

【解析】

/(x)=3'-ax2+x-5,

：.f\x)=x2-2ax+1,

1a，

由函數(shù)/(x)=]/-or+x-5無(wú)極值點(diǎn)知，

/'(x)=0至多1個(gè)實(shí)數(shù)根，

.?.A=(-2a)2-4<0,

解得一iWaW1,

實(shí)數(shù)。的取值范圍是[-1,1],

故選：B

2.(2022湖南湘潭?高三月考(理))已知函數(shù)=+有兩個(gè)極值點(diǎn)，則.的取值范圍是()

A.(e,+oo)B.C.(e2,+<x>)D.~,+^

)I2J

【答案】D

【解析】

因?yàn)閒(x)=ex-ax2+2ax有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以/'(x)=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，所以靖一2ax+2a=0有

兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，

所以e、=2a(x—1)有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，顯然

]y__1y_17—Y

所以元=二7~有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，記g(X)=—7~，g'(x)=17-，

當(dāng)xe(-oo,2)時(shí)g'(x)〉0,當(dāng)xe(2,+oo)時(shí)g'(x)<0,

所以g(x)在(—8,2)上單調(diào)遞增，在(2,+co)上單調(diào)遞減，所以g(x)max=g(2)=5，

又因?yàn)閤e(-oo,l]時(shí)，g(x)<0；當(dāng)xe(O,2)時(shí)，；當(dāng)xe[2,+a>)時(shí)，g(x)e[o，i,

所以當(dāng)]=二有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí),

2ae2a\)

所以2a>e2,所以。>幺，

2

故選：D.

3.若函數(shù)〃x)=x2-2x+alnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

1111

A.a>—B.——<a<0C.a<—D.0<a<-

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可得實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】

；/(x)=x2-2x+“l(fā)nx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，

2xx+a

，f'(x)=2x-2+-=~~~=0在(0,+8)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，

2x

：.2--2x+a=0在(0,+8)有2個(gè)不同的零點(diǎn),

[A=4—8tz>0i

???\，解得°<。<彳.

[a>0n2

故選：D.

4.(2020?遼寧高三月考)已知函數(shù)/(x)=a%2-2x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)芭，％，則。的取值范圍

；且不等式/(網(wǎng))+/伍)〈玉恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【答案】fo,~j[-5,+oo)

【解析】

2ax~-2x+l

/'a)=(x>0),

x

因?yàn)楹瘮?shù)/、(力=62-2x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)看,》2,

所以方程2a?-2x+1=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，

A=4—8(2>0

于是有：“$+工2=4>0，解得

a2

Xy=-->0

「22a

x-x

/(%】)+/(2)i-々-2xl4-lnXj-2x2+Inx2-x}-x2

2

="(X[+x2)-2X1X2J-3(X1+x2)+ln(x1x2)

21c

=-------11-InZ6f,

a

設(shè)〃(a)=-2-1-In2a,(0<Q<；),

2—i

“(0=一■>(),故人伍)在0<。<：上單調(diào)遞增，

a2

故〃(a)<U=-5,所以4-5.

因此/的取值范圍是[-5,+8)

故答案為：^0,—[-5,+oo)

5.(2022?江蘇南通?高二期末)若x=a是函數(shù)/(x)=(x-a)2(x-l)的極大值點(diǎn)，則。的取值范圍是()

A.a<\B.a<\C.a>\D.a>1

【答案】A

【解析】

【分析】

求導(dǎo)后，得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)。，手，比較兩數(shù)的大小，分別判斷在x="兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定函數(shù)單調(diào)性，

從而確定是否在x=a處取到極大值，即可求得。的范圍.

【詳解】

W：/(x)=(x-a)2(x-l),XGR

?*-f'(x)=(x-Q)(3X-a-2)

4'/"W=(^-a)(3x-a-2)=0,得：x=a,x=^^

當(dāng)"誓，即a<l

此時(shí)〃x)在區(qū)間(-叫。)單調(diào)遞增，(a,等)上單調(diào)遞減，(誓，的)上單調(diào)遞增，符合x(chóng)=a是函數(shù)/(x)的極

大值點(diǎn)，

反之，當(dāng)。>審，即a>1，此時(shí)/(x)在區(qū)間(-雙營(yíng))單調(diào)遞增，(等⑷上單調(diào)遞減，(a,”)上單調(diào)遞增，

x=a是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，不符合題意;

當(dāng)。=小，即。=1,/'（幻20恒成立，函數(shù)“X）在xeR上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).

綜上得：a<\.

故選：A.

6.（2020?江蘇鹽城?高三期中）若函數(shù)/（x）=；/+6ing在（1,2）上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則b（3a+b+9）

的取值范圍是.

【答案】P，fl）

【解析】

因?yàn)?(x)=+Mnx+ax(x>0),

x2+ax+b

所以f'^x^=x+—+a=

X

設(shè)g（x）=工2+QX+6,

因?yàn)楹瘮?shù)/（X）在（1,2）上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以/'（X）在（1,2）上存在兩個(gè)零點(diǎn)，

所以g（x）在（1,2）上存在兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為外多且X尸吃，

所以根據(jù)韋達(dá)定理有：\,，

|%產(chǎn)2=6

故b(3a+b+9)=b2+3ab+9b

2

=(xt-x2)-3X1?x2(X]+x2)+9x,?x2

2

=(xj-3XJ(X2-3X2),

因?yàn)?e(l,2),

由于X]，

2

所以(X；-3X,)(X2-3》21(4號(hào)).

故答案為：(4,意].

7.(2018年北京高考題)設(shè)函數(shù)/(x)=[or2-(3a+l)x+3a+2]e*。

(1)若曲線(xiàn)V=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))處的切線(xiàn)斜率為0,求

(2)討論/(x)的單調(diào)性，若/(x)在x=l處取得極小值，求“的取值范圍。

【解析】：(1)/(x)=ex[ax2-(a+l)x+1],v/(2)=0,得a=；；

(2)/(x)=ex[ax2-(a+l)x+1]=ex(ax--1).

①當(dāng)a=0時(shí)，導(dǎo)數(shù)為一次函數(shù)型，當(dāng)xe(-oo,l)時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，/(x)單調(diào)遞減。

/(I)是極大值；

②當(dāng)。>0時(shí)，開(kāi)口向上，兩根分別為,，1；兩根大小不確定，

a

i.當(dāng)a>l時(shí)，1>),當(dāng)8,；|，(L+⑹時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)xe/,1卜寸，/(x)單調(diào)遞減，/⑴

是極小值；

ii.當(dāng)a=l時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，無(wú)極值；

iii.當(dāng)0<a<l時(shí)，1<,，當(dāng)xe(-8,1),時(shí)，/(x)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，/(x)單調(diào)遞

減，/⑴是極大值；

③當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下，1>工，當(dāng)：，(1,+8)時(shí)?，/(x)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)?，/(x)單

a\a)\a)

調(diào)遞增，/(I)是極大值；綜上可知。>1。

題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)

【方法總結(jié)】

導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與閉區(qū)間上的最值，設(shè)函數(shù)/（X）在［見(jiàn)句上連續(xù)，在（。,6）內(nèi)可導(dǎo)，求/（X）在

［a,b］上的最大值和最小值的步驟如下：

①求函數(shù)歹=/（X）在（a,6）內(nèi)的極值；

②將函數(shù)y=/（x））的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值/（a）,/伍）比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小

的一個(gè)為最小值.

X

【例1】（2022江蘇單元測(cè)試）函數(shù)夕=三在［0,2］上的最大值是（）

e

121

A.—B.—rC.0D.--7=

ee22je

【答案】A

y1-y-

【解析】由f（x）=三,得/（x）=「一,

ee

當(dāng)04x<l時(shí)，f'（x）>0,當(dāng)1<XW2時(shí)，/（x）<0,

所以f（x）在［0,1）上遞增,在以2］上遞減,

所以“X）2=/（1）=L故選：A

e

Inx

【例2】（2022全國(guó)課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=一乙的最大值為（）

x

A.e~lB.eC.e2D.10

【答案】A

【解析】令1=lTnx.=0=x=e.當(dāng)x>e時(shí)，/<0

；當(dāng)0cx<e時(shí)，/>0

x~

1

所以函數(shù)得極大值為e-，因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以乂1m故選：A.

【例3】函數(shù)y=x+sinx在［0,4］上的最大值為（）

A.—I-1B.itC.n-\D.萬(wàn)+1

2

【答案】B

【解析】

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)研究V=x+sinx的單調(diào)性，進(jìn)而求其最大值.

【詳解】

由題意，在［0,句上y'=l+cosx20,即，=x+sinx單調(diào)遞增，

?,?”詠="+sin萬(wàn)=萬(wàn)?

故選：B

【例4】(2020?北京高三期中)已知函數(shù)/(x)=e*(2x2—3x)

(1)求不等式/(x)〉0的解集：

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,2］上的最大值和最小值.

【答案】(1){x［x<0或(2)最小值-e,最大值2e?.

【解析】

(1)因?yàn)閑">0，

由/")=d(2——3x)>0,得2工2_3%>0.

_、3

所以x<0或x>—.

2

所以不等式/(X)>0的解集為{x|X<0或X>*；

x2x

(2)由〃力=0*(2/一3x)得:f\x)=e(2x+x-3)=e(2x+3)(x-1).

3

令/'(x)=0，得x=l,或光=一5(舍).

/(x)與/'(x)在區(qū)間［0,2］上的情況如下：

X0(0,1)1(1,2)2

/'(X)——0+

/(x)0減-e增2e2

所以當(dāng)x=l時(shí)，/(x)取得最小值/、(l)=-e；

當(dāng)x=2時(shí)，/(x)取得最大值/(2)=2e2.

【例5】(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/(x)=的最小值為.

【答案】1

【解析】

【分析】

先證明出e'2/+1成立，對(duì)原函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)構(gòu)造后直接求解.

【詳解】

記》=e'-t-\.

因?yàn)閥'=e'-l.令y'>0,解得：r>0；令y'<0,解得：/<0；

所以歹=占一￡一1在(-%0)上單減，在(0,+。)上單增，所以幾而=5-0-1=0.

所以y=e'-f-lN0,即e'2/+l.

所以/(x)=xe'Tnx=e''"'-InXzX+lnx+In、,當(dāng)且僅當(dāng)x+lnx=0時(shí)等號(hào)成立.

x+1x+lX+1

記g(x)=x+lnx,(x〉o).

因?yàn)镹=%在(0,+。)上單增，V=lnx在(0,+8)上單增，所以g(x)=x+lnx在(0,+功上單增.

Xg|—|=-+ln-=--1<0,g(l)=14-lnl=l>0,

Ve)eee

所以g(x)=x+lnx有且只有一個(gè)實(shí)根.

而存在唯---個(gè)/￡(0,1)使得8(%)=%+仙%0=0.

即存在唯一一個(gè)/?0,1)使得/(x0)=l.

所以函數(shù)/(x)=xe：：：x的最小值為1

故答案為：1

【題型專(zhuān)練】

1.(2022?河南鄭州?三模(文))〃x)=e，-x在區(qū)間［-1,1］上的最小值是()

A.1H—B.1C.e+1D.e-1

【答案】B

【解析】

【分析】

求導(dǎo)函數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得出原函數(shù)的單調(diào)性，從而可求得最小值.

【詳解】

因?yàn)?x)=e、-x,所以=令/&)=0,解得x=0,

所以當(dāng)x<0時(shí)，/(%)<0,函數(shù)/(x)=e'-x單調(diào)遞減，當(dāng)>0時(shí)，/(%)>0,函數(shù)/(x)=/-x單調(diào)遞增,

所以函數(shù)/(x)=e*-x在［-1』上的最小值為/(0)=e0-0=l,

故選：B.

2.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)y=(x+l)eTxe［-3,4］的最大值為()

A.2e~2B.5esC.4e5D.-e''

【答案】B

【解析】

【分析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出函數(shù)的最大值

【詳解】

解：由y=