離散數(shù)學(xué)(第33講習(xí)題課6)

馮偉森Email：fws365@2008年11月26日星期三離散數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院2主要內(nèi)容習(xí)題課六2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院3第十四、十五、十六章一、基本概念代數(shù)系統(tǒng)、單位元或幺元、零元、冪等元、逆元、半群、含幺半群、群、子半群、群的階、子群、交換群、循環(huán)群、生成元、元素的周期、右陪集、左陪集、子群的指數(shù)、不變子群(或正規(guī)子群)

、群的單一同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu)、同態(tài)核、環(huán)、含零因子環(huán)、交換環(huán)、含幺環(huán)、整環(huán)、子環(huán)、環(huán)的同構(gòu)與同態(tài)、域2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院4二、基本要求1、會(huì)求二元運(yùn)算的特異元素；2、判斷或者證明給定集合和運(yùn)算是否構(gòu)成半群、含幺半群和群；3、會(huì)運(yùn)用群的基本性質(zhì)證明相關(guān)的命題；4、熟悉陪集的定義和性質(zhì)；5、熟練掌握不變子群、循環(huán)群的基本性質(zhì)和證明方法（按定義證明和反證法）2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院56、會(huì)求循環(huán)群的生成元及其子群；7、掌握Lagrange定理及推論，學(xué)習(xí)使用該定理解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題；8、熟悉n元置換群9、熟練掌握環(huán)、域的基本性質(zhì)和證明方法（按定義證明和反證法）2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院6

例1

證明下述代數(shù)結(jié)構(gòu)是整環(huán)＜I[x],+,×＞其中I[x]是所有的x的整系數(shù)多項(xiàng)式的集合，“+”、“×”表示多項(xiàng)式的加法和乘法。證明：（1）證明＜I[x],+＞是交換群（按定義證明）+在I[x]上結(jié)合律和封閉性成立顯然0∈I[x]

，且對(duì)任意的f(x)∈I[x]

，顯然-f(x)∈I[x]

，且

f(x)+（-f(x)）=0=（-f(x)）+f(x)所以單位元和逆元存在，且+滿足交換律，所以＜I[x],+＞是交換群。2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院7（2）證明＜I[x],×＞是含幺交換半群普通乘法滿足結(jié)合律，且對(duì)任意的f(x)，g(x)∈I[x],顯然有f(x)×g(x)∈I[x]封閉性成立，整數(shù)1是單位元，且滿足交換律，所以＜I[x],×＞是含幺交換半群（3）普通乘法對(duì)加法的分配律顯然成立，所以＜I[x],+,×＞是環(huán)。（4）對(duì)任意的f(x)，g(x)∈I[x],如果f(x)≠0和g(x)≠0，則必有f(x)×g(x)≠0

，所以＜I[x],+,×＞無(wú)零因子故＜I[x],+,×＞是整環(huán)。2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院8例2給定代數(shù)系統(tǒng)，且和定義為：。其中，I是整數(shù)集合，分別是通常數(shù)的加法、減法和法，證明是具有幺元的可交換環(huán)。即I是封閉的

證：1）證是交換群2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院9∵(a*b)*c=a+b-1+c-1=a+b+c-2a*(b*c)=a+b+c-1-1=a+b+c-2∴*是可結(jié)合的∵a*1=a+1-1=a∴1是<I,*>的幺元

令∴a的逆元存在∵a*b=a+b-1=b*a∴是交換群

2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院102)證是含幺交換半群∴I關(guān)于

是封閉的∴I關(guān)于

是可結(jié)合的2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院11∵令，∴0是的幺元∴是含幺交換半群

3）證明對(duì)可分配2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院12故是具有幺元的可交換環(huán)。同理2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院13習(xí)題十五

4、設(shè)半群

A，中任何兩個(gè)不同元素關(guān)于運(yùn)算“

”不可交換。證明：對(duì)任何aA，aa=a。證：（反證法）設(shè)構(gòu)造，則即可交換，與已知條件相矛盾∴2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院14矛盾6、證明：群中只有幺元是冪等元。證：（反證法）設(shè)10、寫出<S3,。>中的全部子群。解：

（1），（12）

，

（1），（13）

，

（1），（23）

，

（1），（123），（132）

和二個(gè)平凡子群。2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院1511、

設(shè)<S,·>和<T,·>都是<G,·>的子群,令S∩T={x|x∈S∧x∈T},ST={s

t|s∈S∧t∈T}。證明:<S∩T,·>和<ST,·>也都是<G,·>的子群。證明：1）∵S、T是G的子群∴eS,eT即eS∩T

設(shè)a，bS∩T，即a，bS和a，bTb-1S和b-1T∴ab-1S和ab-1T

即ab-1S∩T∴〈S∩T，〉是G的子群2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院162）eST，設(shè)c、dST

則a1S，b1T，c=a1b1，

a2S，b2T，d=a2b2，∵d-1=b2-1a2-1

又∵S和T中的元素關(guān)于“

”可交換∴cd-1=

a1b1b2-1a2-1=a1a2-1b1b2-1ST

即ST是子群2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院1716、

證明:每個(gè)階數(shù)大于1的群必含有階數(shù)大于1的交換子群。證明：設(shè)G是階數(shù)大于1的群，則

a≠eG

構(gòu)造G′=（a）G，則G′是G的交換群。2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院1817、

證明:循環(huán)群的子群必是循環(huán)群。證明：設(shè)G=(a),G′是G的子群，則G′中的每個(gè)元素具有am的形式，設(shè)k是所有m中最小的正整數(shù)，則G′=（ak）否則對(duì)amG′，m=nk+l，0≤l＜k，

2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院1919、設(shè)n階群<G,·>中每個(gè)元素的周期要么是1,要么是3。證明:n必是奇數(shù)。證明：2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院2027.設(shè)f是群<G,·>到群<H,。>的同態(tài)映射,S是G的子群.證明:f(S)是H的子群。證：∵

f是群<G,·>到群<H,>的同態(tài)映射，而S是G的子群∴f(S)

H1）∵eS，∴

對(duì)

a∈S，e·a=a=a·e，f(e·a)=f(a)=f(a·e)。于是f(e)。f(a)=f(a)=f(a)。f(e)，說(shuō)明f(e)是運(yùn)算“?！痹趂(S)中的幺元2）

“?！痹趂(S)中可結(jié)合；2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院213）對(duì)

a、b∈S，f(a)。f(b)=f(a·b)

f(S)，于是

f(S)是封閉的。4）

設(shè)a∈S在S中關(guān)于運(yùn)算“·”有逆元a-1，那么，a·a-1=e，于是f(a·a-1)=f(e)，即f(a)。f(a-1)=f(e)。這說(shuō)明f(a)∈f(S)有逆元f(a-1)(或f-1(a)=f(a-1))?！鄁(S)是H的子群2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院2231.證明:循環(huán)群的同態(tài)像也是循環(huán)群。證：設(shè)G是循環(huán)群，

f是群<G,·>到<f(G),。>的同態(tài)映射,

aG,G=(a),即對(duì)

Bf(G),bG,

B=f(b)

∵b=an,∴f(b)=f(an)=f(a)。f(a)?！(a)

=(f(a))n故<f(G),。>是循環(huán)群2024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院23習(xí)題十六6、設(shè)<S，+，*>是環(huán)<R,+,*>的一個(gè)子環(huán)。證明：

S中的零元(加法么元)必是R的零元；如果S有

乘法么元e,則e也是R的乘法么元。證:1)設(shè)

1、2分別是S和R中的零元(加法么元)，∵<S，+，*>是環(huán)<R,+,*>的一個(gè)子環(huán)∴對(duì)

aS,有aR,又∵a+

1=a+

2=a∴由定理16.1，有1=

22024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院242)設(shè)e1、e2分別是S和R中的乘法幺元，∵<S，+，*>是環(huán)<R,+,*>的一個(gè)子環(huán)∴對(duì)

aS,有aR,又∵a*e1=a*e2=a∴由定理16.1，有a*(e1-e2)=

即e1-e2=，∴e1=e22024/4/28計(jì)算機(jī)學(xué)院257、設(shè)

R，+，*為環(huán)，且R中每個(gè)元都是乘法冪等元。證明：1）對(duì)任何aR，a+a=。2）R，+，*為交換環(huán)。證：1）對(duì)a、bR，∵(a+a)2=a+a∴(a+a)2*b=a*b+a*b+a*b+a*b