高中物理競賽-話題5：多質(zhì)點在動態(tài)多邊形頂點的相遇問題和多解問題

PAGEPAGE4話題5：多質(zhì)點在動態(tài)多邊形頂點的相遇問題和多解問題一、問題引入有兩個運動質(zhì)點位于一條線段的兩端，作相對運動，兩質(zhì)點一定會相遇。大量質(zhì)點位于一個圓周上，一個質(zhì)點接一個質(zhì)點運動，結(jié)果運動沿圓周循環(huán)運動，永不相遇。這是多邊形兩種極限情況，那么對于其間邊形情況如何呢?二、物理模型兩兩相距均為的三個質(zhì)點、、，同時分別以相同的勻速率運動，運動過程中的運動速度方向始終指著當時所在的位置、始終指著當時所在的位置、始終指著當時所在的位置。試問經(jīng)過多少時間三個質(zhì)點相遇？1、證明三個質(zhì)點運動始終還是正三角形。三個質(zhì)點剛開始在很小一段時間內(nèi)每個質(zhì)點移動，由于很小，可以認為在此時間內(nèi)運動方向不變。三個質(zhì)點在后運動到了,則因，易知仍為正三角形，而且原的中心仍為新的中心。2、求三個質(zhì)點從開始到相聚所用時間。任意時刻,第一個質(zhì)點朝著點的速度分量恒為由對稱性可知，第二、第三個質(zhì)點朝著點的速度分量也為上述。這樣經(jīng)過,三質(zhì)點相聚。從開始到相聚第個質(zhì)點走過路程為.3、討論每個質(zhì)點加速度的大小變化。考慮在開始時，設(shè)在一極短的時間間隔后，三個質(zhì)點從,,三點分別到達相應(yīng),,，在這段短時間內(nèi)第一個質(zhì)點近似經(jīng)歷，引起速度方向改變的小角度，如圖所示，從圖中可看出曲率半徑表達式為最后得質(zhì)點開始的加速度大小為從表達式可知，隨著三角形的逐漸收縮，加速度越來越大。4、對運動軌跡的思考質(zhì)點所走的軌跡到底是什么曲線呢？很難描繪它們的運動軌跡。用具體而形象的思維去簡化與純化它們的運動，在一個追一個循環(huán)運動規(guī)則聯(lián)系下，按一定的時間順序和空間關(guān)系，考慮對稱性，三個質(zhì)點總是位于新三角形的三個頂點上，而新三角形在不斷翻轉(zhuǎn)和收縮，最終他們會聚在原三角形的中心。（如圖所示）將運行軌跡的計算歸納如下：考慮當一個物體以恒定的速度圍繞固定點運動，其速度和位置矢量之間的夾角為一定值。假設(shè)位置矢量的初始值為,當其轉(zhuǎn)過一個小角度后，其長度變化為，則由于的定值這個公式很像輻射衰減方程,已知此方程的解為,與此類似，在極坐標中質(zhì)點移動路徑的方程為即這個方程就是所謂的對數(shù)螺旋方程，表明三個質(zhì)點所走的軌跡是半徑在轉(zhuǎn)過無窮多圈后趨向于零，角速度越來越大的“螺旋環(huán)”。這一點與前面得到的結(jié)論是一致的，最后理論上當經(jīng)過有限的時間角速度趨于無限大時，三個質(zhì)點在中心相遇。三、模型的其它解法解法二：由前面分析，結(jié)合小量近似有：以上各式中，，,并有，（三人相遇）。所以，三個質(zhì)點一起運動到目標于原正三角形的中心，所需的時間為解法三：設(shè)t時刻三角形邊長為，經(jīng)極短時間后邊長變?yōu)?。根?jù)圖中的幾何關(guān)系，應(yīng)用三角形的余弦定理可得在時，可略去二階小量項，因此這表明等邊三角形邊長的收縮率為。從初始邊長縮短到需時間為所以根據(jù)分運動與和運動的等時性，相遇時間解法四：以B為參照系，在兩者連線方向上對B的相對速率恒為。最終追及，相對運動距離為，所用時間為四、模型的拓展1：如四個質(zhì)點從正方形頂點出發(fā)，已知正方形邊長為，結(jié)果如何？（答案：）2：有五個花樣滑冰運動員表演一種節(jié)目，表演的動作規(guī)定為：開始時五人分別從正五邊形的五個頂點出發(fā)，