高中物理競(jìng)賽-話題3：兩體問(wèn)題-特殊質(zhì)點(diǎn)組

PAGEPAGE13話題3：兩體問(wèn)題特殊質(zhì)點(diǎn)組一、“一推一拉”物體運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題模型：兩個(gè)完全相同的木塊與,質(zhì)量均為,在一條導(dǎo)軌上光滑運(yùn)動(dòng)。它們之間用一勁度系數(shù)系數(shù)為原長(zhǎng)為的彈簧連接。開(kāi)始處于靜止?fàn)顟B(tài)，突然給一向右的初速度，求它們以后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。1、討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)在勁度系數(shù)系數(shù)為原長(zhǎng)為的彈簧作用下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，求運(yùn)動(dòng)規(guī)律。取彈簧原長(zhǎng)處為坐標(biāo)原點(diǎn)，牛頓定律給出方程方程的一般解與質(zhì)點(diǎn)速度分別是其中為振動(dòng)角頻率。式中系數(shù)初位相由初條件確定。(1)設(shè)初條件是；,,利用基本關(guān)系：,，得到方程解出,則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是(2)設(shè)初條件是；,,利用基本關(guān)系：,，得到方程解出,則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是(3)設(shè)初條件是；,,利用基本關(guān)系：,，得到方程解出諧振子的動(dòng)能和勢(shì)能分別是總能量則是2、求“一推一拉”物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律分別用,表示與的絕對(duì)坐標(biāo)，系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)為兩個(gè)木塊在質(zhì)心系中的坐標(biāo)分別是因?yàn)榕c的質(zhì)量相等，相對(duì)質(zhì)心坐標(biāo)等大反向。質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為質(zhì)心做勻速運(yùn)動(dòng)，是一個(gè)慣性坐標(biāo)系。在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)的彈性力作用下做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，牛頓方程是同樣質(zhì)點(diǎn)受到的作用力作用下運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)與之間的彈性力是一對(duì)作用反作用力。牛頓方程是式中,都是絕對(duì)加速度。顯然方程與都含有兩個(gè)坐標(biāo)與而不能分離變量，為此進(jìn)行變換，得到相對(duì)坐標(biāo)滿(mǎn)足的方程。為解出運(yùn)動(dòng)方程，把，得到引入相對(duì)坐標(biāo)與加速度：,相對(duì)坐標(biāo)是以質(zhì)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，測(cè)量質(zhì)點(diǎn)相對(duì)的坐標(biāo)。式化成為可以看成質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在彈性力作用下的運(yùn)動(dòng)。方程的意義：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，研究質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)在受的作用力下的運(yùn)動(dòng)！方程的一般解是初條件是：初始坐標(biāo)為，相對(duì)初速度是，得出滿(mǎn)足初條件的解相對(duì)速度是角頻率是下面計(jì)算每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。利用基本關(guān)系,該問(wèn)題還可以這樣求解。因?yàn)橘|(zhì)心做勻速運(yùn)動(dòng)，是慣性參考系。在質(zhì)心坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)與都做諧振動(dòng)。初條件是：:,:彈簧長(zhǎng)度減半，相當(dāng)于彈簧的勁度系數(shù),，求出,再來(lái)計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能的改變初始動(dòng)能是：任意時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)能：動(dòng)能改變則是：如果，是因?yàn)閮?nèi)力（彈性力）做了負(fù)功。二、特殊質(zhì)點(diǎn)組由大量質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，由于質(zhì)點(diǎn)之間存在相互作用力，這些作用力一般是質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)、速度的函數(shù)，同時(shí)質(zhì)點(diǎn)系還受到質(zhì)點(diǎn)系外其他物體的作用力，因此嚴(yán)格求解質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)幾乎是不可能的。即使對(duì)僅有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的兩體系統(tǒng)，嚴(yán)格求解也存在很多困難，只能在一些限制下給出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的解。系統(tǒng)僅有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，其質(zhì)量分別是與，兩質(zhì)點(diǎn)之間存在相互作用力為兩質(zhì)點(diǎn)之間距離的函數(shù)，是一個(gè)有勢(shì)的保守力。不及外部質(zhì)點(diǎn)對(duì)他們的作用力。這樣的質(zhì)點(diǎn)系稱(chēng)為兩體封閉系統(tǒng)。由于描述兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置需要個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，也即系統(tǒng)的自由度為，而內(nèi)力為相對(duì)坐標(biāo)的函數(shù)，這是包含個(gè)獨(dú)立變量的函數(shù)，數(shù)學(xué)上難以分離變量而無(wú)法求解。因此需要引入新的變量,把兩體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單體問(wèn)題求解。1、兩體問(wèn)題的特點(diǎn)分別用、與表示質(zhì)點(diǎn)、以及質(zhì)心相對(duì)慣性參考系的位置矢徑(如圖所示),有時(shí)也稱(chēng)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系，它們滿(mǎn)足關(guān)系其中總質(zhì)量是由于外力等于零，因此系統(tǒng)動(dòng)量守恒，質(zhì)心作勻速直線運(yùn)動(dòng)，由式可以看出動(dòng)量關(guān)系是質(zhì)心坐標(biāo)系是慣性坐標(biāo)系。2、兩體問(wèn)題坐標(biāo)系實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的位矢為的位矢為質(zhì)心的位矢為相對(duì)的位矢為相對(duì)的位矢為相對(duì)的位矢為以質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立質(zhì)心坐標(biāo)系。兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)與的位置矢徑分別用與表示，過(guò)作指向的矢量，則存在關(guān)系由此得到質(zhì)心坐標(biāo)系中，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心系動(dòng)量和為零但質(zhì)心的動(dòng)量不一定為零，質(zhì)心做勻速速度。由求出坐標(biāo)矢量之間的關(guān)系只要能夠求出相對(duì)位置矢徑，則可利用可以求出兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)心坐標(biāo)系中的位置矢徑。再利用關(guān)系可以求出兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系的位置矢徑。質(zhì)心坐標(biāo)系也是一個(gè)慣性坐標(biāo)系。由式得到相對(duì)速度與質(zhì)點(diǎn)速度的關(guān)系進(jìn)而得到質(zhì)心系中的速度與相對(duì)速度的關(guān)系利用則給出絕對(duì)速度的關(guān)系為,3、兩體運(yùn)動(dòng)方程在質(zhì)心系分別寫(xiě)出兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程式利用關(guān)系,則相對(duì)加速度為。并注意到粒子之間的作用力為等大反向：,由上面的方程得到稱(chēng)為折合質(zhì)量，方程與一個(gè)質(zhì)量為的粒子在力作用下的運(yùn)動(dòng)方程式一樣。方程可以理解為：在為坐標(biāo)原點(diǎn)，研究質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)，在對(duì)的作用力下的運(yùn)動(dòng)。、坐標(biāo)與,質(zhì)心坐標(biāo)相對(duì)的坐標(biāo)，速度與加速度,,,相對(duì)質(zhì)心的坐標(biāo),質(zhì)心坐標(biāo)與相對(duì)坐標(biāo)的關(guān)系,動(dòng)力學(xué)方程兩體動(dòng)力學(xué)方程4、兩體系統(tǒng)的動(dòng)能在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中兩體的動(dòng)能可表示成質(zhì)心的動(dòng)能與相對(duì)質(zhì)心動(dòng)能的和其中,分別是相對(duì)質(zhì)心動(dòng)能與質(zhì)心的動(dòng)能。但相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)能可以表示為系統(tǒng)的總動(dòng)能是質(zhì)心的動(dòng)能與相對(duì)質(zhì)心動(dòng)能的和，這是質(zhì)點(diǎn)組科尼西定理的具體應(yīng)用。5、兩體角動(dòng)量總角動(dòng)量等于相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量與質(zhì)心角動(dòng)量的矢量和。在兩體質(zhì)心坐標(biāo)系中總的角動(dòng)量表示成利用關(guān)系,,以及關(guān)系，則相對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量能夠表示為由于兩體之間作用力是中心力，因此角動(dòng)量守恒，即6、兩體問(wèn)題方法求解例1、一炮彈質(zhì)量為，射出時(shí)的水平及豎直分速度分別為,。當(dāng)炮彈達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，其內(nèi)部的炸藥產(chǎn)生能量，使炸彈分為質(zhì)量與的兩部分。在開(kāi)始時(shí)，兩者仍延原方向飛行，試求他們落地時(shí)相隔的距離(不及空氣阻力)。方法一、在質(zhì)心系討論。系統(tǒng)為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)組，在水平方向不受外力作用。設(shè)與在質(zhì)心坐標(biāo)系中水平速度分別為與，按照動(dòng)量、能量定理給出方程為由式把用表出，代入式求出若取則按照式，得到由此得到這個(gè)速度差值就是兩塊炮彈絕對(duì)速度之差值。利用炮彈在豎直方向上的速度，求出由最高點(diǎn)落地時(shí)間為利用式子求出分離距離是方法二、本題也可以用“兩體問(wèn)題”方法求解。由能量定理給出求出兩部分的相對(duì)速度為利用式的時(shí)間，同樣求出完全相同的分離距離。方法三、在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中求解。設(shè)與的水平速度分別為與，按照動(dòng)量、能量定理給出方程為由式把用表出，代入式求出若取則按照式，得到由此得到例2、質(zhì)量為與的木塊放在水平面上光滑的導(dǎo)槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，由彈簧相聯(lián)結(jié)(彈性勁度系數(shù)為,原長(zhǎng)為)。一個(gè)質(zhì)量為的子彈以速度與發(fā)生非彈性正碰撞。計(jì)算彈簧的最大壓縮長(zhǎng)度，相對(duì)桌面的最大速度與最小速度。方法一、在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中求解。與發(fā)生非彈碰撞，動(dòng)量守恒。設(shè)合速度為研究與構(gòu)成的系統(tǒng)，彈性力為內(nèi)力。設(shè)彈簧的最大壓縮長(zhǎng)度為,此時(shí)三個(gè)質(zhì)點(diǎn)速度相同，設(shè)為.動(dòng)量、能量守恒給出。由以上三式求出當(dāng)彈簧恢復(fù)到原長(zhǎng)時(shí)，彈性勢(shì)能零。勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。設(shè)此時(shí)的速度為.的速度為,按照動(dòng)量、能量守恒給出由以上兩式求出解出方法二、在質(zhì)心坐標(biāo)系求解三個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)的質(zhì)心的速度是又與碰撞結(jié)束后與以及的速度分別為求出質(zhì)心系,碰撞結(jié)束后與的初速度分別是當(dāng)彈簧最大伸長(zhǎng)時(shí)，與相對(duì)質(zhì)心的速度都為零。此時(shí)只有彈性勢(shì)能，按照能量守恒得出同樣求出彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能，質(zhì)點(diǎn)速度取得極大。設(shè)此時(shí)與相對(duì)質(zhì)心的速度分別是,,按照能量守恒，得到方程動(dòng)量守恒得到由以上兩式解出相對(duì)桌面的速度則是方法三、