2021年力學(xué)競賽資料慣性參考系與非慣性參考系

慣性參照系與非慣性參照系目?對的理解慣性參照系定義?對的辨認(rèn)慣性參照系與非慣性參照系?對的理解慣性力概念?懂得慣性力不是物體間互相作用?會對的運(yùn)用慣性力計(jì)算關(guān)于問題思考問題1：牛頓第一定律內(nèi)容是什么？(答：一切物體總保持靜止或勻速直線運(yùn)動狀態(tài)，直到有外力迫使它變化這種狀態(tài)為止。)闡明：這條定律對的地闡明了力與運(yùn)動關(guān)系：物體運(yùn)動不需要力去維持：力是變化物體運(yùn)動狀態(tài)(產(chǎn)生加速度)因素。問題2：當(dāng)你和同伴同步從平臺跳下，如各自以自身為參照系，對方做什么運(yùn)動？(答：對方是靜止。)問題3：在平直軌道上運(yùn)動火車中有一張水平桌子，桌上有一種小球，如果火車向前加速運(yùn)動，以火車為參照系，小球做什么運(yùn)動？(答：小球加速向后運(yùn)動。)疑問：問題2中，既然對方是靜止，按照牛頓第一定律，她不應(yīng)受到力作用，然而每個人都確受到重力作用。這怎么解釋呢？問題3中，小球加速向后運(yùn)動，按照牛頓第一定律，小球應(yīng)受到力作用，然而小球并沒有受到向后力。這又怎么解釋呢？對這個問題暫時還不能解釋，但咱們至少能闡明一點(diǎn)：并非對一切參照系，牛頓第一定律都成立。慣性參照系與非慣性參照系咱們以牛頓運(yùn)動定律能否成立來將參照系劃分為兩類：慣性參照系和非慣性參照系。?兩種參照系?慣性參照系：牛頓運(yùn)動定律成立參照系，簡稱慣性系。中間空出兩行。?非慣性參照系：牛頓運(yùn)動定律不能成立參照系。要判斷一種參照系與否為慣性參照系，最主線辦法是依照觀測和實(shí)驗(yàn)；判斷牛頓運(yùn)動定律在參照系中與否成立。分析問題2：當(dāng)你和同伴同步從平臺跳下，以地面為參照系，做勻加速運(yùn)動。由于人受重力作用，因此人做勻加速運(yùn)動，這是符合牛頓運(yùn)動定律。咱們生活在地球上，普通是相對地面參照系來研究物體運(yùn)動。伽利略抱負(fù)實(shí)驗(yàn)以及咱們前面做過研究運(yùn)動和力關(guān)系實(shí)驗(yàn)，都是以地面作參照系。在地面上作許多觀測和實(shí)驗(yàn)表白：牛頓運(yùn)動定律對地面參照系是成立。?地面參照系是慣性參照系。除了地面參照系，牛頓運(yùn)動定律還對什么參照系成立呢？分析問題3：如果火車向前作勻速直線運(yùn)動，以火車為參照系，小球保持靜止。小球所受合外力為零，符合牛頓運(yùn)動定律。可見：相對于地面作勻速直線運(yùn)動參照系，也是慣性參照系。讓咱們再來看看伽利略對船艙里觀測到現(xiàn)象描述：(閱讀)“……船停著不動時，你留神觀測，小蟲都以等速向各方向飛行；魚向各個方向隨意游動；水滴滴進(jìn)下面缸中；你把任何東西扔給你朋友時，只要距離相等，向這一方向不比向另一方向用更多力。你雙腳齊跳，無論向那個方向跳過距離都相似。當(dāng)你仔細(xì)觀測這些事情之后，再使船以任何速度邁進(jìn)，只要運(yùn)動是勻速，也不忽左忽右地?cái)[動，你將發(fā)現(xiàn)，所有上述現(xiàn)象絲毫沒有變化。你也無法從其中任何一種現(xiàn)象來擬定，船是在運(yùn)動還是停著不動……---”。這闡明：在相對于地面做勻速直線運(yùn)動船艙里進(jìn)行力學(xué)實(shí)驗(yàn)和觀測，與地面上力學(xué)實(shí)驗(yàn)和觀測，成果并沒有差別。也就是說：以相對地面做勻速直線運(yùn)動物體作為參照系，牛頓運(yùn)動定律是成立。?相對地面做勻速直線運(yùn)動參照系是慣性參照系相對地面做變速運(yùn)動參照系是慣性參照系嗎？分析問題2：當(dāng)你和同伴同步從平臺跳下，如各自以自身為參照系，參照系相對地面做勻加速運(yùn)動。咱們觀測到：同伴相對自己是靜止，她應(yīng)當(dāng)不受力，然而她確受到了重力作用。這闡明：在相對地面做變速運(yùn)動參照系里，牛頓運(yùn)動定律不再成立。分析問題3：如果火車向前加速運(yùn)動，以火車為參照系，在車廂里將觀測到：小球向后加速運(yùn)動，而小球并沒有受到其她物體作用力，所受合力仍為零。這也進(jìn)一步表白：在相對地面做變速運(yùn)動參照系里，牛頓運(yùn)動定律不再成立。相對地面做變速運(yùn)動參照系不是慣性參照系嚴(yán)格說來，地面參照系也不是慣性參照系。由于地球自轉(zhuǎn)，地面各點(diǎn)都在做圓周運(yùn)動，具備向心加速度(在曲線運(yùn)動中將學(xué)到)，它影響在地理學(xué)、氣象學(xué)中十分明顯。但是，對尋常所見大量運(yùn)動問題，在相稱高精度內(nèi)，地球是慣性系。在討論運(yùn)動學(xué)問題時，咱們可以按照以便與否自由地選取參照系，但是在動力學(xué)問題中，便沒有這種自由選取權(quán)利了。咱們只能在慣性系中運(yùn)用牛頓運(yùn)動定律。但是，有時以變速運(yùn)動物體做參照系來研究問題十分以便，為了使牛頓運(yùn)動定律在非慣性系中也能在形式上成立，物理學(xué)中引入了一種形式上力，叫做慣性力。?慣性力在問題3中：如圖，火車做勻加速運(yùn)動，以火車為參照系觀測，小球不受力卻以速度-a相對于車身運(yùn)動，這不符合牛頓定律；然而，以加速運(yùn)動車廂為參照系觀測小球運(yùn)動時，可以設(shè)想有一種力Fi作用在小球上，這個力方向與火車對地面加速度a方向相反，其大小等于小球質(zhì)量m與加速度a乘積，即Fi＝-ma，這個力叫做慣性力。1．慣性力：在做直線加速運(yùn)動非慣性系中，質(zhì)點(diǎn)所受慣性力Fi與非慣性系加速度a方向相反，且等于質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量m與非慣性系加速度大小a乘積，即：Fi＝-ma。這樣，對于非慣性系，依然可以沿用牛頓第二定律形式，即小球相對于車身加速度-a是慣性力Fi作用成果。分析問題2中同伴相對于你為什么是靜止？(當(dāng)你與同伴一起跳下平臺時，以你為參照系，是非慣性參系，加速度為g，同伴受到重力mg和慣性力-mg而相對你處在靜止。)又如：以加速上升電梯為參照系，咱們可以以為乘電梯人除了受到重力外還受到一種向下慣性力，重力和慣性力合力使人感受到了超重。問：慣性力反作用力在哪兒？慣性力不是物體間互相作用，不存在慣性力反作用力：2．注意事項(xiàng)：(1)慣性力不是物體間互相作用，不存在慣性力反作用力；(2)只有在非慣性系中才干觀測到慣性力；(3)Fi＝－ma是慣性力定義式，不是牛頓第二定律。3．應(yīng)用：例題：勻速行駛小車內(nèi)，高為h貨架上放有一種小球，如圖所示，小車突然以加速度a做勻加速運(yùn)動，求：小球落地點(diǎn)到貨架下端距離。(分別在慣性系和非慣性系中求解)1．在慣性系中：以地面為參照系，設(shè)勻速行駛時速度為v0。小車做勻加速直線運(yùn)動，位移為：小球做平拋運(yùn)動，水平方向：豎直方向：小球落地點(diǎn)到貨架下端距離：聯(lián)立方程組，解得：剛體運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)問題編者按中華人民共和國物理學(xué)會全國中學(xué)生物理競賽委員會年第十九次會議對《全國中學(xué)生物理競賽內(nèi)容提綱》作了某些調(diào)節(jié)和補(bǔ)充，并決定從年起在復(fù)賽題與決賽題中使用提綱中增補(bǔ)內(nèi)容．

一、競賽涉及關(guān)于剛體知識概要

1.剛體

在無論多大外力作用下，總保持其形狀和大小不變物體稱為剛體．剛體是一種抱負(fù)化模型，實(shí)際物體在外力作用下發(fā)生形變效應(yīng)不明顯可被忽視時，即可將其視為剛體，剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間距離保持不變是其重要模型特性．

2.剛體平動和轉(zhuǎn)動

剛體運(yùn)動時，其上各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)（速度、加速度、位移）總是相似，這種運(yùn)動叫做平動．研究剛體平動時，可選用剛體上任意一種質(zhì)點(diǎn)為研究對象．剛體運(yùn)動時，如果剛體各個質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動中都繞同始終線做圓周運(yùn)動，這種運(yùn)動叫做轉(zhuǎn)動，而所繞直線叫做轉(zhuǎn)軸．若轉(zhuǎn)軸是固定不動，剛體運(yùn)動就是定軸轉(zhuǎn)動．剛體任何一種復(fù)雜運(yùn)動總可看做平動與轉(zhuǎn)動疊加，剛體運(yùn)動同樣遵從運(yùn)動獨(dú)立性原理．

3.質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定律

質(zhì)心這是一種等效意義概念，即對于任何一種剛體（或質(zhì)點(diǎn)系），總可以找到一點(diǎn)Ｃ，它運(yùn)動就代表整個剛體（或質(zhì)點(diǎn)系）平動，它運(yùn)動規(guī)律就等效于將剛體（或質(zhì)點(diǎn)系）質(zhì)量集中在點(diǎn)Ｃ，剛體（或質(zhì)點(diǎn)系）所受外力也所有作用在點(diǎn)Ｃ時，這個點(diǎn)叫做質(zhì)心．當(dāng)外力作用線通過剛體質(zhì)心時，剛體僅做平動；當(dāng)外力作用線不通過質(zhì)心時，整個物體運(yùn)動是隨質(zhì)心平動及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動合成．

質(zhì)心運(yùn)動定律物體受外力F作用時，其質(zhì)心加速度為ａＣ，則必有Ｆ＝ｍａＣ，這就是質(zhì)心運(yùn)動定律，該定律表白：不論物體質(zhì)量如何分布，也不論外力作用點(diǎn)在物體哪個位置，質(zhì)心運(yùn)動總等效于物體質(zhì)量所有集中在此、外力亦作用于此點(diǎn)時應(yīng)有運(yùn)動．

4.剛體轉(zhuǎn)動慣量Ｊ

剛體轉(zhuǎn)動慣量是剛體在轉(zhuǎn)動中慣性大小量度，它等于剛體中每個質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量ｍｉ與該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離ｒｉ平方乘積總和，即

Ｊ＝ｍｉｒｉ2．

從轉(zhuǎn)動慣量定義式可知，剛體轉(zhuǎn)動慣量取決于剛體各某些質(zhì)量及對給定轉(zhuǎn)軸分布狀況．咱們可以運(yùn)用微元法求某些質(zhì)量均勻分布幾何體轉(zhuǎn)動慣量．

5.描述轉(zhuǎn)動狀態(tài)物理量

相應(yīng)于平動狀態(tài)參量速度ｖ、加速度ａ、動量ｐ＝ｍｖ、動能Ｅｋ＝（1／2）ｍｖ２；描述剛體定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)物理量有：

角速度ω角速度定義為ω＝Δθ／Δｔ．在垂直于轉(zhuǎn)軸、離轉(zhuǎn)軸距離ｒ處線速度與角速度之間關(guān)系為ｖ＝ｒω．

角加速度角加速度定義為α＝Δω／Δｔ．在垂直于轉(zhuǎn)軸、離轉(zhuǎn)軸距離ｒ處線加速度與角加速度關(guān)系為ａｔ＝ｒα．

角動量Ｌ角動量也叫做動量矩，物體對定軸轉(zhuǎn)動時，在垂直于轉(zhuǎn)軸、離轉(zhuǎn)軸距離ｒ處某質(zhì)量為ｍ質(zhì)點(diǎn)角動量大小是ｍｖｒ＝ｍｒ２ω，各質(zhì)點(diǎn)角動量總和即為物體角動量，即

Ｌ＝ｍｉｖｉｒｉ＝（ｍｉｒｉ2）ω＝Ｊω．

轉(zhuǎn)動動能Ｅｋ當(dāng)剛體做轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點(diǎn)具備共同角速度ω及不同線速度ｖ，若第ｉ個質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為ｍｉ，離轉(zhuǎn)軸垂直距離為ｒｉ，則其轉(zhuǎn)動動能為（1／2）ｍｉｖｉ２＝（1／2）ｍｉｒｉ2ω２，整個剛體因轉(zhuǎn)動而具備動能為所有質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動動能總和，即

Ｅｋ＝（1／2）（ｍｉｒｉ2）ω２＝（1／2）Ｊω２．

6.力矩Ｍ力矩功Ｗ沖量矩Ｉ

猶如力作用是使質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)變化、產(chǎn)生加速度因素同樣，力矩是變化剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)、使剛體獲得角加速度因素．力大小與力臂乘積稱為力對轉(zhuǎn)軸力矩，即

Ｍ＝Ｆｄ．

類似于力作用對位移累積叫做功，力矩作用對角位移累積叫做力矩功．恒力矩Ｍ作用使剛體轉(zhuǎn)過θ角時，力矩所做功為力矩和角位移乘積，即Ａ＝Ｍθ．

與沖量是力作用對時間累積相似，力矩作用對時間累積叫做沖量矩，沖量矩定義為力矩乘以力矩作用時間，即Ｉ＝ＭΔｔ．

7.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動基本規(guī)律

轉(zhuǎn)動定理剛體在合外力矩Ｍ作用下，所獲得角加速度與合外力矩大小成正比，與轉(zhuǎn)動慣量Ｊ成反比，即Ｍ＝Ｊα．猶如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動牛頓第二定律可表述為動量形式，轉(zhuǎn)動定理角動量表述形式是

Ｍ＝ΔＬ／Δｔ．

轉(zhuǎn)動動能定理合外力矩對剛體所做功等于剛體轉(zhuǎn)動動能增量，即

Ｗ＝（1／2）Ｊω１２－（1／2）ＪωO2．

該定理揭示了力矩作用對角位移積累效應(yīng)是變化剛體轉(zhuǎn)動動能．

角動量定理轉(zhuǎn)動物體所受沖量矩等于該物體在這段時間內(nèi)角動量增量，即

ＭΔｔ＝Ｌ１－Ｌ０＝Ｊωｔ－Ｊω０．

該定理體現(xiàn)了力矩作用時間積累效應(yīng)是變化剛體轉(zhuǎn)動中動量矩．

角動量守恒定律當(dāng)物體所受合外力矩等于零時，物體角動量保持不變，此即角動量守恒定律．該定律合用于物體、物體組或質(zhì)點(diǎn)系當(dāng)不受外力矩或所受合外力矩為零狀況．在運(yùn)用角動量守恒定律時，要注意擬定滿足守恒條件參照系．

如果將上述描述剛體物理量及剛體運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)規(guī)律與質(zhì)點(diǎn)相對照（如表1所示），可以發(fā)現(xiàn)它們極具平移對稱性，根據(jù)咱們對后者熟巧，一定可以不久把握剛體轉(zhuǎn)動問題規(guī)律．

表1質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動位移ｓ角位移θ速度ｖｖ＝Δｓ／Δｔ角速度ωω＝Δθ／Δｔ加速度ａａ＝Δｖ／Δｔ角加速度αα＝Δω／Δｔ勻速直線運(yùn)動ｓ＝ｖｔ勻角速轉(zhuǎn)動θ＝ωｔ勻變速直線運(yùn)動

ｖ１＝ｖ０＋ａｔ

ｓ＝ｖ０ｔ＋（1／2）ａｔ２

ｖｔ2－ｖ０２＝2ａｓ勻變速轉(zhuǎn)動

ω１＝ω０＋αｔ

θ＝ω０ｔ＋（1／2）αｔ２

ωt2－ωO2＝2αθ牛頓第二定律

Ｆ＝ｍａ轉(zhuǎn)動定理

Ｍ＝Ｊα動量定理

Ｆｔ＝ｍｖｔ－ｍｖ０（恒力）角動量定理

Ｍｔ＝Ｊωｔ－Ｊω０動能定理

Ｆｓ＝（1／2）ｍｖｔ2－（1／2）ｍｖ０２轉(zhuǎn)動動能定理

Ｍθ＝（1／2）Ｊωt2－（1／2）ＪωO2動量守恒定律

ｍｖ＝常量角動量守恒定律

Ｊω＝常量二、擬定物體轉(zhuǎn)動慣量辦法

物體轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化內(nèi)因，求解轉(zhuǎn)動剛體動力學(xué)問題，離不開轉(zhuǎn)動慣量擬定．?dāng)M定剛體轉(zhuǎn)動慣量途徑普通有：

1.從轉(zhuǎn)動慣量定義來擬定

對于某些質(zhì)量均勻分布、形狀規(guī)則幾何體，計(jì)算它們關(guān)于對稱軸轉(zhuǎn)動慣量，往往從定義出發(fā)，運(yùn)用微元集合法，只需要初等數(shù)學(xué)即可求得．

例1如圖1所示，正六角棱柱形狀剛體質(zhì)量為Ｍ，密度均勻，其橫截面六邊形邊長為ａ．試求該棱柱體相對于它中心對稱軸轉(zhuǎn)動慣量．圖1分析與解這里求是規(guī)則形狀幾何體關(guān)于它中心對稱軸轉(zhuǎn)動慣量．從轉(zhuǎn)動慣量定義出發(fā)，咱們可將棱柱沿截面徑向均勻分割成ｎ（ｎ→∞）個厚度均為（／2）·（ａ／ｎ）、棱長為ｌ六棱柱薄殼，擬定任意一種這樣薄殼對中心軸元轉(zhuǎn)動慣量Ｊｉ，然后求和即可，有

Ｊ＝Ｊｉ．圖2當(dāng)前，先給出一矩形薄板關(guān)于與板一條邊平行軸ＯＯ′轉(zhuǎn)動慣量．板尺寸標(biāo)注如圖2所示，質(zhì)量為ｍ且均勻分布，軸ＯＯ′與板距離為ｈ，沿長為ｂ邊將板無限切提成ｎ條長為ｌ、寬為ｂ／ｎ窄條，則有

Ｊ板＝ｌｉｍ（ｍ／ｂｌ）·（ｂ／ｎ）·ｌ［ｈ２＋（ｉｂ／ｎ）２］

＝ｍ［（ｈ２／ｎ）＋（ｉ２／ｎ３）ｂ２］

＝ｍ（ｈ２＋（ｂ２／3））．

回到先前六棱柱薄殼元上，如圖1所示，由對稱性可知其中第ｉ個薄殼元ｈｉ＝ｉａ／2ｎ，ｂ＝ｉａ／2ｎ．薄殼元對軸ＯＯ′轉(zhuǎn)動慣量是12Ｊ板，即

Ｊｉ=12ρｌ（ａ／2ｎ）（ｉａ／2ｎ）［（ｉａ／2ｎ）２＋（1／3）（ｉａ／2ｎ）２］．

式中，ρ是六棱柱體密度，即

ρ＝Ｍ／6×（1／2）·ａ２·（／2）ｌ＝2Ｍ／3ａ２ｌ．

則六棱柱體對中心對稱軸ＯＯ′轉(zhuǎn)動慣量為

Ｊ＝12ρｌ·（ａ／ｎ）·（／2）·（ｉａ／2ｎ）［（（ｉａ／ｎ）·（／2））２＋（1／3）（ｉａ／2ｎ）］

＝12ρｌ·（ａ４／4）·（ｉ３／ｎ４）·［3／4＋1／12］

＝（5Ma2／3）ｉ３／ｎ４

＝（5Ma2／3）（1／ｎ４）（1３＋2３＋…＋ｎ３）

＝（5Ma2／3）（1／ｎ４）·（ｎ２（ｎ＋1）２／4）

＝5Ma2／12．

2.借助于平行軸定理

在剛體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，需對過該點(diǎn)軸求轉(zhuǎn)動慣量，借助于平行軸定理，可以解決這樣問題：已知剛體對過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動慣量，如何求對不通過質(zhì)心但平行于過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸軸轉(zhuǎn)動慣量．

平行軸定理：設(shè)任意物體繞某固定軸Ｏ轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ，繞過質(zhì)心而平行于軸Ｏ轉(zhuǎn)動慣量為ＪＣ，則有Ｊ＝ＪＣ＋Ｍｄ２，式中d為兩軸之間距離，Ｍ為物體質(zhì)量．圖3證明：如圖3所示，Ｃ為過剛體質(zhì)心并與紙面垂直軸，Ｏ為與它平行另一軸，兩軸相距為ｄ，在與軸垂直平面內(nèi)以質(zhì)心Ｃ為原點(diǎn)，過ＣＯ直線為ｘ軸，建立ｘＣｙ坐標(biāo)系．Ｍｉ代表剛體上任一微元質(zhì)量，它與軸Ｃ及軸Ｏ距離依次為Ｒｉ和ｒｉ，微元與質(zhì)心連線與ｘ軸方向夾角為θｉ，由轉(zhuǎn)動慣量定義知，剛體對軸Ｏ轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)為

Ｊ＝ｍｉｒｉ2

＝ｍｉ（Ｒｉ２＋ｄ２－2ｄＲｉｃｏｓθ）

＝ｍｉＲｉ２＋ｍｉｄ２－2ｄｍｉＲｉｃｏｓθｉ．

上式中第一項(xiàng)即為剛體對質(zhì)心Ｃ轉(zhuǎn)動慣量ＪＣ；第二項(xiàng)Ｊ＝ｍｉｄ２＝ｄ２ｍｉ＝Ｍｄ２，Ｍ是剛體總質(zhì)量；而第三項(xiàng)中ｍｉＲｉｃｏｓθｉ＝ｍｉｘｉ，ｘｉ是質(zhì)量元在ｘＣｙ平面坐標(biāo)系內(nèi)ｘ坐標(biāo)，按質(zhì)心定義，有

ｍｉｘｉ＝0，因此Ｊ＝ＪＣ＋Ｍｄ２．

在上述例1中，咱們已求得正六棱柱關(guān)于其中心軸轉(zhuǎn)動慣量，運(yùn)用平行軸定理，咱們還可求得六棱柱相對于棱邊轉(zhuǎn)動慣量為

Ｊ′＝（5／12）Ma2＋Ma2＝（17／12）Ma2．3.運(yùn)用垂直軸定理

對任意剛體，任取直角三維坐標(biāo)系Ｏｘｙｚ，剛體對ｘ、ｙ、z軸轉(zhuǎn)動慣量分別為Ｊｘ、Ｊｙ、Ｊｚ，可以證明Ｊｘ＋Ｊｙ＋Ｊｚ＝2ｍｉｒｉ2，ｒｉ是質(zhì)元到坐標(biāo)原點(diǎn)距離．圖4證明：如圖4所示，質(zhì)元ｍｉ坐標(biāo)是ｘｉ、ｙｉ、ｚｉ，顯然，ｒｉ２＝ｘｉ２＋ｙｉ２＋ｚｉ２．而剛體對ｘ、ｙ、ｚ軸轉(zhuǎn)動慣量依次為

Ｊｘ＝ｍｉ（ｙｉ２＋ｚｉ２），Ｊｙ＝（ｘｉ２＋ｚｉ２），

Ｊｚ＝ｍｉ（ｘｉ２＋ｙｉ２）．

則Ｊｘ＋Ｊｙ＋Ｊｚ＝2ｍｉ（ｘｉ２＋ｙｉ２＋ｚｉ２）＝2ｍｉｒｉ2．

這個結(jié)論就是轉(zhuǎn)動慣量垂直軸定理，或稱正交軸定理．這個定理自身及其推導(dǎo)辦法對轉(zhuǎn)動慣量求解很有指引意義．

例2從一種均勻薄片剪出一種如圖5所示對稱等臂星．此星對Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ．求該星對Ｃ１軸轉(zhuǎn)動慣量．Ｃ和Ｃ１軸都位于圖示平面中，Ｒ和ｒ都可看做是已知量．圖5分析與解設(shè)星形薄片上任意一質(zhì)元到過中心Ｏ而與星平面垂直軸Ｏ距離為ｒｉ，則星對該軸轉(zhuǎn)動慣量為ｍｉｒｉ2=ＪＯ，由于對稱性，星對Ｃ軸及同平面內(nèi)與Ｃ軸垂直Ｄ軸轉(zhuǎn)動慣量相等，均為已知量Ｊ；同樣，星對Ｃ１軸及同平面內(nèi)與Ｃ１軸垂直Ｄ１軸轉(zhuǎn)動慣量亦相等，設(shè)為Ｊ１，等同于垂直軸定理推導(dǎo)，則

ＪＣ＋ＪＤ＝2Ｊ＝ＪＯ，ＪＣ１＋ＪＤ１＝2Ｊ１＝ＪＯ，

于是有2Ｊ＝2Ｊ１，即Ｊ１＝Ｊ．

4.巧用量綱分析法

依照轉(zhuǎn)動慣量定義Ｊ＝ｍｉｒｉ2，其量綱應(yīng)為［ＭＬ２］，轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式常體現(xiàn)為ｋｍａ2形式，ｍ是剛體質(zhì)量，ａ是剛體相應(yīng)幾何長度，只要擬定待定系數(shù)ｋ，轉(zhuǎn)動慣量問題便迎刃而解．

例3如圖6甲所示，求均勻薄方板對過其中心Ｏ且與ｘ軸形成α角軸Ｃ轉(zhuǎn)動慣量．圖6分析與解如圖6（甲所示為待求其轉(zhuǎn)動慣量正方形薄板，設(shè)其邊長為ｌ，總質(zhì)量為Ｍ，對Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ＝ｋＭｌ２，過中心Ｏ將板對稱分割成四個相似小正方形，各小正方形對過各自質(zhì)心且平行于Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量為

（ｋＭ／4）·（ｌ／2）２＝ｋＭｌ２／16．

如圖6乙所示，小正方形軸與Ｃ軸距離為Ｄ或ｄ，由平行軸定理，它們對Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)分別為（ｋＭｌ２／16）＋（Ｍ／4）Ｄ２（兩個質(zhì)心與Ｃ軸距離為Ｄ小正方形）或（ｋＭｌ２／16）＋（Ｍ／4）ｄ２（兩個質(zhì)心與Ｃ軸距離為ｄ小正方形），則有下列等式成立，即

ｋＭｌ２＝2（（ｋＭｌ２／16）＋（Ｍ／4）Ｄ２）＋2（（ｋＭｌ２／16）＋（Ｍ／4）Ｄ２）．

整頓可得（3／2）ｋｌ２＝（Ｄ２＋ｄ２）．

而由幾何關(guān)系，可得Ｄ＝（ｌ／2）·（／2）ｓｉｎ（π／4＋α），

ｄ＝（ｌ／2）·（／2）ｓｉｎ（π／4－α），

故有（3／2）ｋｌ２＝（ｌ２／8）［ｓｉｎ２（π／4＋α）＋ｓｉｎ２（π／4－α）］，

則ｋ＝1／12．

于是求得正方形木板對過其中心Ｏ軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ＝（1／12）Ｍｌ２，且與角α無關(guān)．

5．某些規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)動慣量

某些規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)動慣量如表2所示．

表2三、剛體運(yùn)動問題例析

依照今年將實(shí)行ＣＰｈＯ新提綱，剛體運(yùn)動問題應(yīng)當(dāng)規(guī)定運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動定理、角動量定理及角動量守恒定律等剛體基本運(yùn)動規(guī)律來求解剛體轉(zhuǎn)動動力學(xué)與運(yùn)動學(xué)問題．下面就此展示四個例題．

例4在平行水平軌道上有一種纏著繩子且質(zhì)量均勻滾輪，繩子末端固定著一種重錘．開始時，滾輪被按住，滾輪與重錘系統(tǒng)保持靜止．在某一瞬間，放開滾輪．過一定期間后，滾輪軸得到了固定加速度ａ，如圖7甲所示．假定滾輪沒有滑動，繩子質(zhì)量可以忽視．試擬定：

（1）重錘質(zhì)量ｍ和滾輪質(zhì)量Ｍ之比；

（2）滾輪對平面最小動摩擦因數(shù)．圖7分析與解與解決質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題同樣，解決剛體轉(zhuǎn)動力學(xué)問題，要清晰理解力矩與轉(zhuǎn)動慣量對剛體運(yùn)動制約關(guān)系．

（1）當(dāng)滾輪軸亦即滾輪質(zhì)心純滾動而達(dá)到恒定加速度ａ時，其角加速度為α＝ａ／Ｒ，Ｒ為滾輪半徑．滾輪可看做質(zhì)量均勻圓盤，其關(guān)于質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量為（1／2）ＭＲ２，分析滾輪受力狀況如圖7乙所示，可知以輪與水平軌道接觸點(diǎn)Ｃ為瞬時轉(zhuǎn)動軸考察將比較以便，由于接觸點(diǎn)處力對剛體這種轉(zhuǎn)動不產(chǎn)生影響．關(guān)于Ｃ軸，對滾輪形成轉(zhuǎn)動力矩只有繩子上張力Ｔ，張力Ｔ可以通過重錘運(yùn)動來擬定：相對于接觸點(diǎn)Ｃ，滾輪質(zhì)心水平加速度為ａ，重錘相對滾輪質(zhì)心線加速度也為ａ，且方向應(yīng)沿繩子向下，這兩個加速度是由重錘所受到重力與繩子拉力提供，重錘加速度為這兩個加速度矢量和．由牛頓第二定理，有

ｍｇｔａｎθ＝ｍａ，（ｍｇ／ｃｏｓθ）－Ｔ′＝ｍａ，

則Ｔ＝Ｔ′＝ｍ－ｍａ．

再研究滾輪，注意到Ｃ點(diǎn)到張力Ｔ作用線之距離幾何尺寸，滾輪對Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量可用平行軸定理轉(zhuǎn)換為（3／2）ＭＲ２，對滾輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律，有

（ｍ－ｍａ）（1－（ａ／））Ｒ＝（3／2）ＭＲ２·（ａ／Ｒ）．

解之得ｍ／Ｍ＝3ａ／2（－ａ）２．

（2）對滾輪應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理，滾輪質(zhì)心加速度為ａ，方向水平，則應(yīng)有

ｆ－Ｔｓｉｎθ＝Ｍａ，Ｎ－Ｔｃｏｓθ＝Ｍｇ，

其中ｓｉｎθ＝ａ／，ｃｏｓθ＝ｇ／，

那么，動摩擦因數(shù)滿足μ≥ｆ／Ｎ＝ａ／ｇ．

在上面解答中，擬定滾輪與重錘有關(guān)加速度是本題“題眼”所在．

例5如圖8甲所示，在光滑地面上靜止地放置著兩根質(zhì)量均為ｍ，長度均為ｌ均勻細(xì)桿，其中一桿由相等兩段構(gòu)成，中間用光滑鉸鏈連接起來，兩段在連接點(diǎn)可以彎折但不能分離．在兩桿一端，各施以相似垂直于桿水平?jīng)_量Ｉ．試求兩細(xì)桿所獲得動能之比．圖8分析與解本題求解方向是通過質(zhì)心動量定理與剛體角動量定理，求得桿質(zhì)心速度及繞質(zhì)心角速度，進(jìn)而求出桿由于這兩個速度所具備動能．

如圖8乙所示，設(shè)桿1在沖量Ｉ作用下，質(zhì)心獲得速度為ｖＣ，桿角速度為ω，由質(zhì)心動量定理，得

Ｉ＝ｍｖＣ，

由剛體角動量定理，得Ｉ·ｌ／2＝Ｊω＝（1／12）ｍｌ２ω．

則桿1動能為Ｅｋ1＝（1／2）ｍｖｃ２＋（1／2）Ｊω２

＝（1／2）ｍ（Ｉ／ｍ）２＋（1／2）Ｊ（Ｉｌ／2Ｊ）２

＝（Ｉ２／2ｍ）＋（3Ｉ２／2ｍ）＝2Ｉ２／ｍ．

如圖8丙所示為桿2左、右兩段受力狀況，當(dāng)在桿2左端作用沖量Ｉ時，在兩段連接處，有一對互相作用沖量Ｉ１與Ｉ１′，它們大小相等，方向相反．由于兩段受力狀況不同，各段質(zhì)心速度及角速度均不同，但在連接處，注意到“不分離”條件，左段右端與右段左端具備相似速度．現(xiàn)對兩段分別運(yùn)用動量定理和角動量定理，對桿2左段，有

Ｉ－Ｉ１＝（ｍ／2）ｖＣ１，（Ｉ＋Ｉ１）·（ｌ／4）＝（ｍｌ２／96）ω１，

對桿2右段，有

Ｉ１′＝（ｍ／2）ｖＣ2，Ｉ１′·ｌ／4＝（ｍｌ２／96）ω２．

由連接處“不分離”條件得左、右兩段速度與角速度關(guān)系是

ｖＣ1－ω１·（ｌ／4）＝ω２·（ｌ／4）＋ｖＣ2，

由以上各式，可得

ω１＝18Ｉ／ｍｌ，ω２＝－6Ｉ／ｍｌ，ｖＣ1＝5Ｉ／2ｍ，ｖＣ2＝Ｉ／2ｍ，

于是可計(jì)算桿2動能為

Ｅｋ2＝（1／2）·（ｍ／2）（ｖＣ1２＋ｖＣ2２）＋（1／2）·（Ｊ／2）（ω１２＋ω２２）

＝7Ｉ２／2ｍ．

易得1、2兩桿動能之比為Ｅ１∶Ｅ２＝4∶7．

本題求解中，抓住桿2左、右兩段連接處速度相似有關(guān)關(guān)系，全盤皆活．

例6形狀適當(dāng)金屬絲衣架能在如圖9所示平面里幾種平衡位置附近做小振幅擺動．在位置甲和位置乙里，長邊是水平，其他兩邊等長．三種狀況下振動周期都相等．試問衣架質(zhì)心位于何處？擺動周期是多少？（第13屆ＩＰｈＯ試題）圖9圖10分析與解本題涉及剛體做簡諧運(yùn)動問題，即復(fù)擺運(yùn)動規(guī)律．一種在重力作用下繞水平軸在豎直面內(nèi)做小角度擺動剛體稱為復(fù)擺或物理擺．咱們先來推導(dǎo)復(fù)擺周期公式．如圖10所示，設(shè)Ｏ為轉(zhuǎn)軸（懸點(diǎn)），質(zhì)心Ｃ與轉(zhuǎn)軸距離（等效擺長）為ｌ，質(zhì)量為ｍ，對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ，最大偏角θ＜5°．由機(jī)械能守恒定律，可得ｍｇｌ（1－ｃｏｓθ）＝（1／2）Ｊω′２．①

ω′是剛體質(zhì)心通過平衡位置時角速度．對擺長ｌ、質(zhì)量ｍ抱負(fù)單擺而言，有

ｍｇｌ（1－ｃｏｓθ）＝（1／2）ｍｖ２＝（1／2）ｍ（ｌω）２＝（1／2）ｍ（Ａω０）２．②

②式中ω０是擺球（質(zhì)點(diǎn)）通過平衡位置時角速度，Ａ是振幅（Ａ=ｌ），ω０是擺球振動圓頻率．可知

ω０＝．

將①式變形為

ｍｇｌ（1－ｃｏｓθ）＝（1／2）Ｊω′２＝（1／2）ｍ（ｌ·ω′）２

＝（1／2）ｍ（Ａω０′）２，

比較②式，即對復(fù)擺與單擺作等效變換，可得復(fù)擺小幅振動（亦為諧振）圓頻率為

ω０′＝ω０＝，

那么復(fù)擺周期公式為Ｔ＝2π．圖11由題設(shè)條件擬定衣架質(zhì)心位置及轉(zhuǎn)動慣量，根據(jù)復(fù)擺周期公式，即可擬定三種狀況下相似擺動周期Ｔ．如圖11所示，質(zhì)心Ｏ到轉(zhuǎn)軸Ａ、Ｂ、Ｃ距離設(shè)為ａ、ｂ、ｃ，由圖9甲所示衣架平衡位置可知，質(zhì)心Ｏ必在衣架長邊中垂線ＡＢ上，在三種狀況下衣架對轉(zhuǎn)軸Ａ、Ｂ、Ｃ轉(zhuǎn)動慣量依次為

ＪＡ＝ＪＯ＋ｍａ2，ＪＢ＝ＪＯ＋ｍｂ２，ＪＣ＝ＪＯ＋ｍｃ２．

式中ＪＯ為所設(shè)衣架對質(zhì)心Ｏ轉(zhuǎn)動慣量，ｍ是衣架總質(zhì)量．由于三種狀況下周期相似，故有

（ＪＯ＋ｍａ2）／ｍｇａ＝（ＪＯ＋ｍｃ２）／ｍｇｃ，

即（ＪＯ－ｍａｃ）（ｃ－ａ）＝0，

顯然ｃ≠ａ，則可知ＪＯ＝ｍａｃ；

又有（ＪＯ＋ｍａ2）／ｍｇａ＝（ＪＯ＋ｍｂ２）／ｍｇｂ，

即（ＪＯ－ｍａｂ）（ｂ－ａ）＝0，

此式中因ｃ＞ｂ，故（ＪＯ-ｍａｂ）≠0，

則必有ａ＝ｂ，即質(zhì)心位于ＡＢ之中點(diǎn)．衣架周期為

Ｔ=2π＝2π．

依照圖9標(biāo)注尺寸可知

ａ＝5ｃｍ，ｃ＝ｃｍ≈21．6ｃｍ，

代入后得Ｔ≈1.03ｓ．

本題是國際物理奧林匹克一道賽題，題意簡潔，解答辦法也諸多，筆者給出這種解法應(yīng)當(dāng)說比較嚴(yán)密且巧妙．

最后，咱們再嘗試解答此外一道比較繁難國際物理奧林匹克競賽試題，該題涉及動量矩守恒定律運(yùn)用．

例7如圖12所示，一種質(zhì)量為ｍ，半徑為ＲＡ均勻圓盤Ａ在光滑水平面ｘＯｙ內(nèi)以速度ｖ沿ｘ軸方向平動，圓盤中心至ｘ軸垂直距離為ｂ．圓盤Ａ與另一靜止、其中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ均勻圓盤Ｂ相碰．圓盤Ｂ質(zhì)量與Ａ相似，半徑為ＲＢ．假定碰撞后兩圓盤接觸處切向速度分量（垂直于連心線方向速度）相等，并假設(shè)碰撞先后兩圓盤沿連心線方向相對速度大小不變．在發(fā)生碰撞狀況下，試求：

（1）碰后兩圓盤質(zhì)心速度ｘ分量和ｙ分量，成果要以給定參量ｍ、ＲＡ、ＲＢ、ｖ和ｂ表達(dá)；

（2）碰后兩圓盤動能，成果要以給定參量ｍ、ＲＡ、ＲＢ、ｖ和ｂ表達(dá)．（第24屆ＩＰｈＯ試題）

分析與解（1）本題情景是質(zhì)量相似運(yùn)動圓盤Ａ與靜止圓盤Ｂ在水平面上發(fā)生非彈性斜碰．碰撞先后，質(zhì)心動量守恒——系統(tǒng)不受外力；對Ｏ點(diǎn)角動量守恒——外力沖量矩為零；動能不守恒——碰撞后兩圓盤接觸處切向速度分量相等，必有摩擦力存在，動能有損失．本題給出諸多附加條件，除了依照動量守恒與角動量守恒列出基本方程外，還必要依照附加條件給出足夠補(bǔ)充方程，并恰當(dāng)選用速度分量，方可最后得解．圖12圖13如圖13所示，設(shè)碰撞時兩盤質(zhì)心連線與ｘ軸成θ角，由幾何關(guān)系可知

ｂ=（ＲＡ+ＲＢ）ｓｉｎθ．

對系統(tǒng)，在法向與切向動量均守恒，即

ｍｖｓｉｎθ＝ｍｖＡｔ＋ｍｖＢｔ，

ｍｖｃｏｓθ＝ｍｖＡｎ＋ｍｖＢｎ，

式中，ｖＡｔ、ｖＢｔ、ｖＡｎ、ｖＢｎ是Ａ、Ｂ盤碰撞后沿切向與徑向質(zhì)心速度；系統(tǒng)對Ｏ點(diǎn)角動量守恒即

ｍｖｂ＝ＪＡωＡ＋ｍｖＡｔ（ＲＡ＋ＲＢ）＋ＪＢωＢ，

該式中，ＪＡ＝（1／2）ｍＲＡ2，ＪＢ＝（1／2）ｍＲＢ2，ωＡ、ωＢ為兩盤碰撞后角速度（待定）．注意碰撞后Ａ盤既有轉(zhuǎn)動又有平動，對Ｏ點(diǎn)角動量由兩部分構(gòu)成，而Ｂ盤質(zhì)心在Ｏ點(diǎn)，故角動量僅為ＪＢωＢ．上述三個方程涉及六個未知量，需列出補(bǔ)充方程．依照兩盤接觸處切向速度相似有

ｖＡｔ－ωＡＲＡ＝ｖＢｔ＋ωＢＲＢ，

依照兩盤法向相對速度不變有

ｖｃｏｓθ＝ｖＢｎ－ｖＡｎ．

對Ｂ盤，由動量定理和角動量定理，摩擦力ｆ作用是

ｆ·Δｔ＝ｍｖＢｔ，ｆ·ＲＢ·Δｔ＝ＪＢωＢ，

即ｍｖＢｔＲＢ＝ＪＢωＢ．

由上述六個方程，解得

ωＡ＝ｖｓｉｎθ／3ＲＡ，ωＢ＝ｖｓｉｎθ／3ＲＢ，

ｖＡｔ＝（5／6）ｖｓｉｎθ，ωＢｔ＝（1／6）ｖｓｉｎθ，

ｖＡｎ＝0，ｖＢｎ＝ｖｃｏｓθ．

碰后兩盤質(zhì)心速度ｘ分量分別為

ｖＡｘ＝ｖＡｔｓｉｎθ＋ｖＡｎｃｏｓθ＝（5／6）ｖｓｉｎ２θ，

ｖＢｘ＝ｖＢｔｓｉｎθ＋ｖＢｎｃｏｓθ＝（1／6）ｖｓｉｎ２θ＋ｖｃｏｓ２θ，

碰后兩盤質(zhì)心速度ｙ分量分別為

ｖＡｙ＝ｖＡｔｃｏｓθ－ｖＡｎｓｉｎθ＝（5／6）ｖｓｉｎθｃｏｓθ，

ｖＢｙ＝ｖＢｔｃｏｓθ－ｖＢｎｓｉｎθ＝－（5／6）ｖｓｉｎθｃｏｓθ，

其中ｓｉｎθ＝ｂ／（ＲＡ＋ＲＢ），ｃｏｓθ＝／（ＲＡ＋ＲＢ）．

（2）各圓盤動能是各盤質(zhì)心平動動能與圓盤轉(zhuǎn)動動能之和，這里不再贅述，答案是

ＥＡ＝3ｍｖ２ｂ２／8（ＲＡ＋ＲＢ），ＥＢ＝（1／2）ｍｖ２（1－（11ｂ２／12（ＲＡ＋ＲＢ）２））．

四、ＣＰｈＯ競賽訓(xùn)練題

1．如圖14所示，質(zhì)量為ｍ均勻圓柱體截面半徑為Ｒ，長為2Ｒ．試求圓柱體繞通過質(zhì)心及兩底面邊沿轉(zhuǎn)軸（如圖中Ｚ１、Ｚ２軸）轉(zhuǎn)動慣量Ｊ．圖14圖152．如圖15所示，勻質(zhì)立方體邊長為ａ，質(zhì)量為ｍ．試求該立方體繞對角線軸ＰＱ轉(zhuǎn)動慣量Ｊ．

3．橢圓細(xì)環(huán)半長軸為Ａ，半短軸為Ｂ，質(zhì)量為ｍ（未必勻質(zhì)），已知該環(huán)繞長軸轉(zhuǎn)動慣量為ＪＡ，試求該環(huán)繞短軸轉(zhuǎn)動慣量ＪＢ．

4．在一根固定、豎直螺桿上有一種螺帽，螺距為ｓ，螺帽轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ，質(zhì)量為ｍ．假定螺帽與螺桿間動摩擦因數(shù)為零，螺帽以初速度ｖ０向下移動，螺帽豎直移動速度與時間有什么關(guān)系？這是什么樣運(yùn)動？重力加速度為g．

5．如圖16所示，兩個質(zhì)量和半徑均相似實(shí)心圓柱輪，它們質(zhì)心軸互相平行，并用一輕桿相連，軸與軸承間摩擦忽視不計(jì)．兩輪先以共同初速度ｖ０沿水平方向運(yùn)動，兩輪初角速度為零，如圖16甲所示．然后同步輕輕地與地面相接觸，如圖16乙所示，設(shè)兩輪與地面之間動摩擦因數(shù)分別為μ１和μ２（μ１＞μ２）．試求兩輪均變?yōu)榧儩L動所需時間及純滾動后平動速度大?。畧D16圖176．如圖17所示，光滑水平地面上靜止地放著質(zhì)量為Ｍ、長為ｌ均勻細(xì)桿．質(zhì)量為ｍ質(zhì)點(diǎn)以垂直于桿水平初速度ｖ０與桿一端發(fā)生完全非彈性碰撞．試求：（1）碰后系統(tǒng)質(zhì)心速度及繞質(zhì)心角速度；（2）實(shí)際轉(zhuǎn)軸（即靜止點(diǎn)）位于何處？

7．如圖18所示，實(shí)心圓柱體從高度為ｈ斜坡上由靜止做純滾動到達(dá)水平地面上，且繼續(xù)做純滾動，與光滑豎直墻發(fā)生完全彈性碰撞后返回，經(jīng)足夠長水平距離后重新做純滾動，并純滾動地爬上斜坡．設(shè)地面與圓柱體之間動摩擦因數(shù)為μ，試求圓柱體爬坡所能達(dá)到高度ｈ′．圖18圖198．如圖19所示，半徑為Ｒ乒乓球繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ＝（2／3）ｍＲ2，ｍ為乒乓球質(zhì)量．乒乓球以一定初始條件在粗糙水平面上運(yùn)動，開始時球質(zhì)心速度為ｖＣ０，初角速度為ω０，兩者方向如圖18所示．已知乒乓球與地面間動摩擦因數(shù)為μ．試求乒乓球開始做純滾動所需時間及純滾動時質(zhì)心速度．

9．一種均勻薄方板質(zhì)量為Ｍ，邊長為ａ，固定它一種角點(diǎn)，使板豎直懸掛，板在自身重力作用下，在方板所在豎直平面內(nèi)擺動．在通過板固定點(diǎn)對角線上距固定點(diǎn)什么位置（除去轉(zhuǎn)動軸處之外），粘上一種質(zhì)量為ｍ質(zhì)點(diǎn)，板運(yùn)動不會發(fā)生變化？已知對穿過板中心而垂直于板軸，方板轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ＝（1／6）Ma2．圖2010．如圖20所示，一種剛性固體正六角棱柱，形狀就像普通鉛筆，棱柱質(zhì)量為Ｍ，密度均勻．橫截面呈六邊形且每邊長為ａ．六角棱柱相對于它中心軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ＝（5／12）Ma2，相對于棱邊轉(zhuǎn)動慣量是Ｊ′＝（17／12）Ma2．現(xiàn)令棱柱開始不均勻地滾下斜面．假設(shè)摩擦力足以制止任何滑動，并且始終接觸斜面．某一棱剛碰上斜面之前角速度為ωｉ，碰后瞬間角速度為ωｆ，在碰撞先后瞬間動能記為Ｅｋｉ和Ｅｋｆ，試證明：ωｆ＝ｓωｉ，Ｅｋｆ＝ｒＥｋｉ，并求出系數(shù)ｓ和ｒ值．（第29屆ＩＰｈＯ試題）

五、訓(xùn)練題簡答圖21圖221．解：如圖21所示，對圖所示Ｚ１、Ｚ２、Ｚ坐標(biāo)系與Ｚ３、Ｚ４、Ｚ坐標(biāo)系運(yùn)用正交軸定理，有

Ｊ１＋Ｊ２＋Ｊ５＝Ｊ３＋Ｊ４＋Ｊ５，

Ｊ３＝（1／2）ｍＲ2，Ｊ４＝（7／12）ｍＲ2，Ｊ１＝Ｊ２，

則Ｊ１＝Ｊ２＝（13／24）ｍＲ2．

2．解：將立方體等分為邊長為ａ／2八個小立方體，依照本文例3分析法用量綱求解，有

ｋｍａ2＝2·ｋ（ｍ／8）（ａ／2）２＋6·［ｋ（ｍ／8）（ａ／2）２

＋（ｍ／8）（ａ／）２］，

則ｋ＝1／6，Ｊ＝（1／6）ｍａ2．

3．解：由正交軸定理ＪＡ＋ＪＢ＝ｍｉ（ｘｉ２＋ｙｉ２）及橢圓方程（ｘ２／Ａ2）＋（ｙ２／Ｂ2）＝1，得

ＪＢ＝ｍＡ2－（Ａ2／Ｂ2）ＪＡ．

4．解：由機(jī)械能守恒，得

ｍｇｓ＝（1／2）Ｊ（ωt2－ωO2）＋（1／2）ｍ（ｖｔ2－ｖ０２），

又ωｔ／ｖｔ＝ω０／ｖ０＝2π／ｓ，

可得ｖｔ2－ｖ０２＝2ｍ／（（4π2Ｊ／ｓ2）＋ｍ）ｇ＝2ｇ′ｓ．

故螺帽沿螺桿豎直向下做勻加速直線運(yùn)動，有

ｖｔ＝ｖ０＋ｇ′ｔ，ｇ′＝ｍ／（（4π2Ｊ／ｓ2）＋ｍ）．

5．解：兩輪相對于地面動量守恒，由于μ１＞μ２，輪1先做純滾動，輪2做純滾動所需時間為ｔ，則系統(tǒng)從觸地到均做純滾動時對地面角動量守恒，得

2ｍｖ０Ｒ＝2ｍｖｔＲ＋2·（1／2）ｍＲ2ω，

又ｖｔ＝ωＲ，解得

ｖｔ＝（2／3）ｖ０，ω＝2ｖ０／3Ｒ，ｔ＝ω／α２＝ωＲ／2μ２ｇ＝ｖ０／3μ２ｇ．

6．解：碰后系統(tǒng)質(zhì)心位置從桿中點(diǎn)右移為

Δｘ＝（ｍ／（Ｍ＋ｍ））·（ｌ／2）．

剛體運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)問題編者按中華人民共和國物理學(xué)會全國中學(xué)生物理競賽委員會年第十九次會議對《全國中學(xué)生物理競賽內(nèi)容提綱》作了某些調(diào)節(jié)和補(bǔ)充，并決定從年起在復(fù)賽題與決賽題中使用提綱中增補(bǔ)內(nèi)容．

一、競賽涉及關(guān)于剛體知識概要

1.剛體

在無論多大外力作用下，總保持其形狀和大小不變物體稱為剛體．剛體是一種抱負(fù)化模型，實(shí)際物體在外力作用下發(fā)生形變效應(yīng)不明顯可被忽視時，即可將其視為剛體，剛體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間距離保持不變是其重要模型特性．

2.剛體平動和轉(zhuǎn)動

剛體運(yùn)動時，其上各質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)（速度、加速度、位移）總是相似，這種運(yùn)動叫做平動．研究剛體平動時，可選用剛體上任意一種質(zhì)點(diǎn)為研究對象．剛體運(yùn)動時，如果剛體各個質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動中都繞同始終線做圓周運(yùn)動，這種運(yùn)動叫做轉(zhuǎn)動，而所繞直線叫做轉(zhuǎn)軸．若轉(zhuǎn)軸是固定不動，剛體運(yùn)動就是定軸轉(zhuǎn)動．剛體任何一種復(fù)雜運(yùn)動總可看做平動與轉(zhuǎn)動疊加，剛體運(yùn)動同樣遵從運(yùn)動獨(dú)立性原理．

3.質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定律

質(zhì)心這是一種等效意義概念，即對于任何一種剛體（或質(zhì)點(diǎn)系），總可以找到一點(diǎn)Ｃ，它運(yùn)動就代表整個剛體（或質(zhì)點(diǎn)系）平動，它運(yùn)動規(guī)律就等效于將剛體（或質(zhì)點(diǎn)系）質(zhì)量集中在點(diǎn)Ｃ，剛體（或質(zhì)點(diǎn)系）所受外力也所有作用在點(diǎn)Ｃ時，這個點(diǎn)叫做質(zhì)心．當(dāng)外力作用線通過剛體質(zhì)心時，剛體僅做平動；當(dāng)外力作用線不通過質(zhì)心時，整個物體運(yùn)動是隨質(zhì)心平動及繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動合成．

質(zhì)心運(yùn)動定律物體受外力F作用時，其質(zhì)心加速度為ａＣ，則必有Ｆ＝ｍａＣ，這就是質(zhì)心運(yùn)動定律，該定律表白：不論物體質(zhì)量如何分布，也不論外力作用點(diǎn)在物體哪個位置，質(zhì)心運(yùn)動總等效于物體質(zhì)量所有集中在此、外力亦作用于此點(diǎn)時應(yīng)有運(yùn)動．

4.剛體轉(zhuǎn)動慣量Ｊ

剛體轉(zhuǎn)動慣量是剛體在轉(zhuǎn)動中慣性大小量度，它等于剛體中每個質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量ｍｉ與該質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離ｒｉ平方乘積總和，即

Ｊ＝ｍｉｒｉ2．

從轉(zhuǎn)動慣量定義式可知，剛體轉(zhuǎn)動慣量取決于剛體各某些質(zhì)量及對給定轉(zhuǎn)軸分布狀況．咱們可以運(yùn)用微元法求某些質(zhì)量均勻分布幾何體轉(zhuǎn)動慣量．

5.描述轉(zhuǎn)動狀態(tài)物理量

相應(yīng)于平動狀態(tài)參量速度ｖ、加速度ａ、動量ｐ＝ｍｖ、動能Ｅｋ＝（1／2）ｍｖ２；描述剛體定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)物理量有：

角速度ω角速度定義為ω＝Δθ／Δｔ．在垂直于轉(zhuǎn)軸、離轉(zhuǎn)軸距離ｒ處線速度與角速度之間關(guān)系為ｖ＝ｒω．

角加速度角加速度定義為α＝Δω／Δｔ．在垂直于轉(zhuǎn)軸、離轉(zhuǎn)軸距離ｒ處線加速度與角加速度關(guān)系為ａｔ＝ｒα．

角動量Ｌ角動量也叫做動量矩，物體對定軸轉(zhuǎn)動時，在垂直于轉(zhuǎn)軸、離轉(zhuǎn)軸距離ｒ處某質(zhì)量為ｍ質(zhì)點(diǎn)角動量大小是ｍｖｒ＝ｍｒ２ω，各質(zhì)點(diǎn)角動量總和即為物體角動量，即

Ｌ＝ｍｉｖｉｒｉ＝（ｍｉｒｉ2）ω＝Ｊω．

轉(zhuǎn)動動能Ｅｋ當(dāng)剛體做轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)點(diǎn)具備共同角速度ω及不同線速度ｖ，若第ｉ個質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為ｍｉ，離轉(zhuǎn)軸垂直距離為ｒｉ，則其轉(zhuǎn)動動能為（1／2）ｍｉｖｉ２＝（1／2）ｍｉｒｉ2ω２，整個剛體因轉(zhuǎn)動而具備動能為所有質(zhì)點(diǎn)轉(zhuǎn)動動能總和，即

Ｅｋ＝（1／2）（ｍｉｒｉ2）ω２＝（1／2）Ｊω２．

6.力矩Ｍ力矩功Ｗ沖量矩Ｉ

猶如力作用是使質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)變化、產(chǎn)生加速度因素同樣，力矩是變化剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)、使剛體獲得角加速度因素．力大小與力臂乘積稱為力對轉(zhuǎn)軸力矩，即

Ｍ＝Ｆｄ．

類似于力作用對位移累積叫做功，力矩作用對角位移累積叫做力矩功．恒力矩Ｍ作用使剛體轉(zhuǎn)過θ角時，力矩所做功為力矩和角位移乘積，即Ａ＝Ｍθ．

與沖量是力作用對時間累積相似，力矩作用對時間累積叫做沖量矩，沖量矩定義為力矩乘以力矩作用時間，即Ｉ＝ＭΔｔ．

7.剛體繞定軸轉(zhuǎn)動基本規(guī)律

轉(zhuǎn)動定理剛體在合外力矩Ｍ作用下，所獲得角加速度與合外力矩大小成正比，與轉(zhuǎn)動慣量Ｊ成反比，即Ｍ＝Ｊα．猶如質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動牛頓第二定律可表述為動量形式，轉(zhuǎn)動定理角動量表述形式是

Ｍ＝ΔＬ／Δｔ．

轉(zhuǎn)動動能定理合外力矩對剛體所做功等于剛體轉(zhuǎn)動動能增量，即

Ｗ＝（1／2）Ｊω１２－（1／2）ＪωO2．

該定理揭示了力矩作用對角位移積累效應(yīng)是變化剛體轉(zhuǎn)動動能．

角動量定理轉(zhuǎn)動物體所受沖量矩等于該物體在這段時間內(nèi)角動量增量，即

ＭΔｔ＝Ｌ１－Ｌ０＝Ｊωｔ－Ｊω０．

該定理體現(xiàn)了力矩作用時間積累效應(yīng)是變化剛體轉(zhuǎn)動中動量矩．

角動量守恒定律當(dāng)物體所受合外力矩等于零時，物體角動量保持不變，此即角動量守恒定律．該定律合用于物體、物體組或質(zhì)點(diǎn)系當(dāng)不受外力矩或所受合外力矩為零狀況．在運(yùn)用角動量守恒定律時，要注意擬定滿足守恒條件參照系．

如果將上述描述剛體物理量及剛體運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)規(guī)律與質(zhì)點(diǎn)相對照（如表1所示），可以發(fā)現(xiàn)它們極具平移對稱性，根據(jù)咱們對后者熟巧，一定可以不久把握剛體轉(zhuǎn)動問題規(guī)律．

表1質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動剛體定軸轉(zhuǎn)動位移ｓ角位移θ速度ｖｖ＝Δｓ／Δｔ角速度ωω＝Δθ／Δｔ加速度ａａ＝Δｖ／Δｔ角加速度αα＝Δω／Δｔ勻速直線運(yùn)動ｓ＝ｖｔ勻角速轉(zhuǎn)動θ＝ωｔ勻變速直線運(yùn)動

ｖ１＝ｖ０＋ａｔ

ｓ＝ｖ０ｔ＋（1／2）ａｔ２

ｖｔ2－ｖ０２＝2ａｓ勻變速轉(zhuǎn)動

ω１＝ω０＋αｔ

θ＝ω０ｔ＋（1／2）αｔ２

ωt2－ωO2＝2αθ牛頓第二定律

Ｆ＝ｍａ轉(zhuǎn)動定理

Ｍ＝Ｊα動量定理

Ｆｔ＝ｍｖｔ－ｍｖ０（恒力）角動量定理

Ｍｔ＝Ｊωｔ－Ｊω０動能定理

Ｆｓ＝（1／2）ｍｖｔ2－（1／2）ｍｖ０２轉(zhuǎn)動動能定理

Ｍθ＝（1／2）Ｊωt2－（1／2）ＪωO2動量守恒定律

ｍｖ＝常量角動量守恒定律

Ｊω＝常量二、擬定物體轉(zhuǎn)動慣量辦法

物體轉(zhuǎn)動慣量是剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化內(nèi)因，求解轉(zhuǎn)動剛體動力學(xué)問題，離不開轉(zhuǎn)動慣量擬定．?dāng)M定剛體轉(zhuǎn)動慣量途徑普通有：

1.從轉(zhuǎn)動慣量定義來擬定

對于某些質(zhì)量均勻分布、形狀規(guī)則幾何體，計(jì)算它們關(guān)于對稱軸轉(zhuǎn)動慣量，往往從定義出發(fā)，運(yùn)用微元集合法，只需要初等數(shù)學(xué)即可求得．

例1如圖1所示，正六角棱柱形狀剛體質(zhì)量為Ｍ，密度均勻，其橫截面六邊形邊長為ａ．試求該棱柱體相對于它中心對稱軸轉(zhuǎn)動慣量．圖1分析與解這里求是規(guī)則形狀幾何體關(guān)于它中心對稱軸轉(zhuǎn)動慣量．從轉(zhuǎn)動慣量定義出發(fā)，咱們可將棱柱沿截面徑向均勻分割成ｎ（ｎ→∞）個厚度均為（／2）·（ａ／ｎ）、棱長為ｌ六棱柱薄殼，擬定任意一種這樣薄殼對中心軸元轉(zhuǎn)動慣量Ｊｉ，然后求和即可，有

Ｊ＝Ｊｉ．圖2當(dāng)前，先給出一矩形薄板關(guān)于與板一條邊平行軸ＯＯ′轉(zhuǎn)動慣量．板尺寸標(biāo)注如圖2所示，質(zhì)量為ｍ且均勻分布，軸ＯＯ′與板距離為ｈ，沿長為ｂ邊將板無限切提成ｎ條長為ｌ、寬為ｂ／ｎ窄條，則有

Ｊ板＝ｌｉｍ（ｍ／ｂｌ）·（ｂ／ｎ）·ｌ［ｈ２＋（ｉｂ／ｎ）２］

＝ｍ［（ｈ２／ｎ）＋（ｉ２／ｎ３）ｂ２］

＝ｍ（ｈ２＋（ｂ２／3））．

回到先前六棱柱薄殼元上，如圖1所示，由對稱性可知其中第ｉ個薄殼元ｈｉ＝ｉａ／2ｎ，ｂ＝ｉａ／2ｎ．薄殼元對軸ＯＯ′轉(zhuǎn)動慣量是12Ｊ板，即

Ｊｉ=12ρｌ（ａ／2ｎ）（ｉａ／2ｎ）［（ｉａ／2ｎ）２＋（1／3）（ｉａ／2ｎ）２］．

式中，ρ是六棱柱體密度，即

ρ＝Ｍ／6×（1／2）·ａ２·（／2）ｌ＝2Ｍ／3ａ２ｌ．

則六棱柱體對中心對稱軸ＯＯ′轉(zhuǎn)動慣量為

Ｊ＝12ρｌ·（ａ／ｎ）·（／2）·（ｉａ／2ｎ）［（（ｉａ／ｎ）·（／2））２＋（1／3）（ｉａ／2ｎ）］

＝12ρｌ·（ａ４／4）·（ｉ３／ｎ４）·［3／4＋1／12］

＝（5Ma2／3）ｉ３／ｎ４

＝（5Ma2／3）（1／ｎ４）（1３＋2３＋…＋ｎ３）

＝（5Ma2／3）（1／ｎ４）·（ｎ２（ｎ＋1）２／4）

＝5Ma2／12．

2.借助于平行軸定理

在剛體繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，需對過該點(diǎn)軸求轉(zhuǎn)動慣量，借助于平行軸定理，可以解決這樣問題：已知剛體對過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動慣量，如何求對不通過質(zhì)心但平行于過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸軸轉(zhuǎn)動慣量．

平行軸定理：設(shè)任意物體繞某固定軸Ｏ轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ，繞過質(zhì)心而平行于軸Ｏ轉(zhuǎn)動慣量為ＪＣ，則有Ｊ＝ＪＣ＋Ｍｄ２，式中d為兩軸之間距離，Ｍ為物體質(zhì)量．圖3證明：如圖3所示，Ｃ為過剛體質(zhì)心并與紙面垂直軸，Ｏ為與它平行另一軸，兩軸相距為ｄ，在與軸垂直平面內(nèi)以質(zhì)心Ｃ為原點(diǎn)，過ＣＯ直線為ｘ軸，建立ｘＣｙ坐標(biāo)系．Ｍｉ代表剛體上任一微元質(zhì)量，它與軸Ｃ及軸Ｏ距離依次為Ｒｉ和ｒｉ，微元與質(zhì)心連線與ｘ軸方向夾角為θｉ，由轉(zhuǎn)動慣量定義知，剛體對軸Ｏ轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)為

Ｊ＝ｍｉｒｉ2

＝ｍｉ（Ｒｉ２＋ｄ２－2ｄＲｉｃｏｓθ）

＝ｍｉＲｉ２＋ｍｉｄ２－2ｄｍｉＲｉｃｏｓθｉ．

上式中第一項(xiàng)即為剛體對質(zhì)心Ｃ轉(zhuǎn)動慣量ＪＣ；第二項(xiàng)Ｊ＝ｍｉｄ２＝ｄ２ｍｉ＝Ｍｄ２，Ｍ是剛體總質(zhì)量；而第三項(xiàng)中ｍｉＲｉｃｏｓθｉ＝ｍｉｘｉ，ｘｉ是質(zhì)量元在ｘＣｙ平面坐標(biāo)系內(nèi)ｘ坐標(biāo)，按質(zhì)心定義，有

ｍｉｘｉ＝0，因此Ｊ＝ＪＣ＋Ｍｄ２．

在上述例1中，咱們已求得正六棱柱關(guān)于其中心軸轉(zhuǎn)動慣量，運(yùn)用平行軸定理，咱們還可求得六棱柱相對于棱邊轉(zhuǎn)動慣量為

Ｊ′＝（5／12）Ma2＋Ma2＝（17／12）Ma2．3.運(yùn)用垂直軸定理

對任意剛體，任取直角三維坐標(biāo)系Ｏｘｙｚ，剛體對ｘ、ｙ、z軸轉(zhuǎn)動慣量分別為Ｊｘ、Ｊｙ、Ｊｚ，可以證明Ｊｘ＋Ｊｙ＋Ｊｚ＝2ｍｉｒｉ2，ｒｉ是質(zhì)元到坐標(biāo)原點(diǎn)距離．圖4證明：如圖4所示，質(zhì)元ｍｉ坐標(biāo)是ｘｉ、ｙｉ、ｚｉ，顯然，ｒｉ２＝ｘｉ２＋ｙｉ２＋ｚｉ２．而剛體對ｘ、ｙ、ｚ軸轉(zhuǎn)動慣量依次為

Ｊｘ＝ｍｉ（ｙｉ２＋ｚｉ２），Ｊｙ＝（ｘｉ２＋ｚｉ２），

Ｊｚ＝ｍｉ（ｘｉ２＋ｙｉ２）．

則Ｊｘ＋Ｊｙ＋Ｊｚ＝2ｍｉ（ｘｉ２＋ｙｉ２＋ｚｉ２）＝2ｍｉｒｉ2．

這個結(jié)論就是轉(zhuǎn)動慣量垂直軸定理，或稱正交軸定理．這個定理自身及其推導(dǎo)辦法對轉(zhuǎn)動慣量求解很有指引意義．

例2從一種均勻薄片剪出一種如圖5所示對稱等臂星．此星對Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ．求該星對Ｃ１軸轉(zhuǎn)動慣量．Ｃ和Ｃ１軸都位于圖示平面中，Ｒ和ｒ都可看做是已知量．圖5分析與解設(shè)星形薄片上任意一質(zhì)元到過中心Ｏ而與星平面垂直軸Ｏ距離為ｒｉ，則星對該軸轉(zhuǎn)動慣量為ｍｉｒｉ2=ＪＯ，由于對稱性，星對Ｃ軸及同平面內(nèi)與Ｃ軸垂直Ｄ軸轉(zhuǎn)動慣量相等，均為已知量Ｊ；同樣，星對Ｃ１軸及同平面內(nèi)與Ｃ１軸垂直Ｄ１軸轉(zhuǎn)動慣量亦相等，設(shè)為Ｊ１，等同于垂直軸定理推導(dǎo)，則

ＪＣ＋ＪＤ＝2Ｊ＝ＪＯ，ＪＣ１＋ＪＤ１＝2Ｊ１＝ＪＯ，

于是有2Ｊ＝2Ｊ１，即Ｊ１＝Ｊ．

4.巧用量綱分析法

依照轉(zhuǎn)動慣量定義Ｊ＝ｍｉｒｉ2，其量綱應(yīng)為［ＭＬ２］，轉(zhuǎn)動慣量表達(dá)式常體現(xiàn)為ｋｍａ2形式，ｍ是剛體質(zhì)量，ａ是剛體相應(yīng)幾何長度，只要擬定待定系數(shù)ｋ，轉(zhuǎn)動慣量問題便迎刃而解．

例3如圖6甲所示，求均勻薄方板對過其中心Ｏ且與ｘ軸形成α角軸Ｃ轉(zhuǎn)動慣量．圖6分析與解如圖6（甲所示為待求其轉(zhuǎn)動慣量正方形薄板，設(shè)其邊長為ｌ，總質(zhì)量為Ｍ，對Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ＝ｋＭｌ２，過中心Ｏ將板對稱分割成四個相似小正方形，各小正方形對過各自質(zhì)心且平行于Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量為

（ｋＭ／4）·（ｌ／2）２＝ｋＭｌ２／16．

如圖6乙所示，小正方形軸與Ｃ軸距離為Ｄ或ｄ，由平行軸定理，它們對Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)分別為（ｋＭｌ２／16）＋（Ｍ／4）Ｄ２（兩個質(zhì)心與Ｃ軸距離為Ｄ小正方形）或（ｋＭｌ２／16）＋（Ｍ／4）ｄ２（兩個質(zhì)心與Ｃ軸距離為ｄ小正方形），則有下列等式成立，即

ｋＭｌ２＝2（（ｋＭｌ２／16）＋（Ｍ／4）Ｄ２）＋2（（ｋＭｌ２／16）＋（Ｍ／4）Ｄ２）．

整頓可得（3／2）ｋｌ２＝（Ｄ２＋ｄ２）．

而由幾何關(guān)系，可得Ｄ＝（ｌ／2）·（／2）ｓｉｎ（π／4＋α），

ｄ＝（ｌ／2）·（／2）ｓｉｎ（π／4－α），

故有（3／2）ｋｌ２＝（ｌ２／8）［ｓｉｎ２（π／4＋α）＋ｓｉｎ２（π／4－α）］，

則ｋ＝1／12．

于是求得正方形木板對過其中心Ｏ軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ＝（1／12）Ｍｌ２，且與角α無關(guān)．

5．某些規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)動慣量

某些規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)動慣量如表2所示．

表2三、剛體運(yùn)動問題例析

依照今年將實(shí)行ＣＰｈＯ新提綱，剛體運(yùn)動問題應(yīng)當(dāng)規(guī)定運(yùn)用質(zhì)心運(yùn)動定理、角動量定理及角動量守恒定律等剛體基本運(yùn)動規(guī)律來求解剛體轉(zhuǎn)動動力學(xué)與運(yùn)動學(xué)問題．下面就此展示四個例題．

例4在平行水平軌道上有一種纏著繩子且質(zhì)量均勻滾輪，繩子末端固定著一種重錘．開始時，滾輪被按住，滾輪與重錘系統(tǒng)保持靜止．在某一瞬間，放開滾輪．過一定期間后，滾輪軸得到了固定加速度ａ，如圖7甲所示．假定滾輪沒有滑動，繩子質(zhì)量可以忽視．試擬定：

（1）重錘質(zhì)量ｍ和滾輪質(zhì)量Ｍ之比；

（2）滾輪對平面最小動摩擦因數(shù)．圖7分析與解與解決質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題同樣，解決剛體轉(zhuǎn)動力學(xué)問題，要清晰理解力矩與轉(zhuǎn)動慣量對剛體運(yùn)動制約關(guān)系．

（1）當(dāng)滾輪軸亦即滾輪質(zhì)心純滾動而達(dá)到恒定加速度ａ時，其角加速度為α＝ａ／Ｒ，Ｒ為滾輪半徑．滾輪可看做質(zhì)量均勻圓盤，其關(guān)于質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量為（1／2）ＭＲ２，分析滾輪受力狀況如圖7乙所示，可知以輪與水平軌道接觸點(diǎn)Ｃ為瞬時轉(zhuǎn)動軸考察將比較以便，由于接觸點(diǎn)處力對剛體這種轉(zhuǎn)動不產(chǎn)生影響．關(guān)于Ｃ軸，對滾輪形成轉(zhuǎn)動力矩只有繩子上張力Ｔ，張力Ｔ可以通過重錘運(yùn)動來擬定：相對于接觸點(diǎn)Ｃ，滾輪質(zhì)心水平加速度為ａ，重錘相對滾輪質(zhì)心線加速度也為ａ，且方向應(yīng)沿繩子向下，這兩個加速度是由重錘所受到重力與繩子拉力提供，重錘加速度為這兩個加速度矢量和．由牛頓第二定理，有

ｍｇｔａｎθ＝ｍａ，（ｍｇ／ｃｏｓθ）－Ｔ′＝ｍａ，

則Ｔ＝Ｔ′＝ｍ－ｍａ．

再研究滾輪，注意到Ｃ點(diǎn)到張力Ｔ作用線之距離幾何尺寸，滾輪對Ｃ軸轉(zhuǎn)動慣量可用平行軸定理轉(zhuǎn)換為（3／2）ＭＲ２，對滾輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律，有

（ｍ－ｍａ）（1－（ａ／））Ｒ＝（3／2）ＭＲ２·（ａ／Ｒ）．

解之得ｍ／Ｍ＝3ａ／2（－ａ）２．

（2）對滾輪應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理，滾輪質(zhì)心加速度為ａ，方向水平，則應(yīng)有

ｆ－Ｔｓｉｎθ＝Ｍａ，Ｎ－Ｔｃｏｓθ＝Ｍｇ，

其中ｓｉｎθ＝ａ／，ｃｏｓθ＝ｇ／，

那么，動摩擦因數(shù)滿足μ≥ｆ／Ｎ＝ａ／ｇ．

在上面解答中，擬定滾輪與重錘有關(guān)加速度是本題“題眼”所在．

例5如圖8甲所示，在光滑地面上靜止地放置著兩根質(zhì)量均為ｍ，長度均為ｌ均勻細(xì)桿，其中一桿由相等兩段構(gòu)成，中間用光滑鉸鏈連接起來，兩段在連接點(diǎn)可以彎折但不能分離．在兩桿一端，各施以相似垂直于桿水平?jīng)_量Ｉ．試求兩細(xì)桿所獲得動能之比．圖8分析與解本題求解方向是通過質(zhì)心動量定理與剛體角動量定理，求得桿質(zhì)心速度及繞質(zhì)心角速度，進(jìn)而求出桿由于這兩個速度所具備動能．

如圖8乙所示，設(shè)桿1在沖量Ｉ作用下，質(zhì)心獲得速度為ｖＣ，桿角速度為ω，由質(zhì)心動量定理，得

Ｉ＝ｍｖＣ，

由剛體角動量定理，得Ｉ·ｌ／2＝Ｊω＝（1／12）ｍｌ２ω．

則桿1動能為Ｅｋ1＝（1／2）ｍｖｃ２＋（1／2）Ｊω２

＝（1／2）ｍ（Ｉ／ｍ）２＋（1／2）Ｊ（Ｉｌ／2Ｊ）２

＝（Ｉ２／2ｍ）＋（3Ｉ２／2ｍ）＝2Ｉ２／ｍ．

如圖8丙所示為桿2左、右兩段受力狀況，當(dāng)在桿2左端作用沖量Ｉ時，在兩段連接處，有一對互相作用沖量Ｉ１與Ｉ１′，它們大小相等，方向相反．由于兩段受力狀況不同，各段質(zhì)心速度及角速度均不同，但在連接處，注意到“不分離”條件，左段右端與右段左端具備相似速度．現(xiàn)對兩段分別運(yùn)用動量定理和角動量定理，對桿2左段，有

Ｉ－Ｉ１＝（ｍ／2）ｖＣ１，（Ｉ＋Ｉ１）·（ｌ／4）＝（ｍｌ２／96）ω１，

對桿2右段，有

Ｉ１′＝（ｍ／2）ｖＣ2，Ｉ１′·ｌ／4＝（ｍｌ２／96）ω２．

由連接處“不分離”條件得左、右兩段速度與角速度關(guān)系是

ｖＣ1－ω１·（ｌ／4）＝ω２·（ｌ／4）＋ｖＣ2，

由以上各式，可得

ω１＝18Ｉ／ｍｌ，ω２＝－6Ｉ／ｍｌ，ｖＣ1＝5Ｉ／2ｍ，ｖＣ2＝Ｉ／2ｍ，

于是可計(jì)算桿2動能為

Ｅｋ2＝（1／2）·（ｍ／2）（ｖＣ1２＋ｖＣ2２）＋（1／2）·（Ｊ／2）（ω１２＋ω２２）

＝7Ｉ２／2ｍ．

易得1、2兩桿動能之比為Ｅ１∶Ｅ２＝4∶7．

本題求解中，抓住桿2左、右兩段連接處速度相似有關(guān)關(guān)系，全盤皆活．

例6形狀適當(dāng)金屬絲衣架能在如圖9所示平面里幾種平衡位置附近做小振幅擺動．在位置甲和位置乙里，長邊是水平，其他兩邊等長．三種狀況下振動周期都相等．試問衣架質(zhì)心位于何處？擺動周期是多少？（第13屆ＩＰｈＯ試題）圖9圖10分析與解本題涉及剛體做簡諧運(yùn)動問題，即復(fù)擺運(yùn)動規(guī)律．一種在重力作用下繞水平軸在豎直面內(nèi)做小角度擺動剛體稱為復(fù)擺或物理擺．咱們先來推導(dǎo)復(fù)擺周期公式．如圖10所示，設(shè)Ｏ為轉(zhuǎn)軸（懸點(diǎn)），質(zhì)心Ｃ與轉(zhuǎn)軸距離（等效擺長）為ｌ，質(zhì)量為ｍ，對轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量為Ｊ，最大偏角θ＜5°．由機(jī)械能守恒定律，可得ｍｇｌ（1－ｃｏｓθ）＝（1／2）Ｊω′２．①

ω′是剛體質(zhì)心通過平衡位置時角速度．對擺長ｌ、質(zhì)量ｍ抱負(fù)單擺而言，有

ｍｇｌ（1－ｃｏｓθ）＝（1／2）ｍｖ２＝（1／2）ｍ（ｌω）２＝（1／2）ｍ（Ａω０）２．②

②式中ω０是擺球（質(zhì)點(diǎn)）通過平衡位置時角速度，Ａ是振幅（Ａ=ｌ），ω０是擺球振動圓頻率．可知

ω０＝．

將①式變形為

ｍｇｌ（1－ｃｏｓθ）＝（1／2）Ｊω′２＝（1／2）ｍ（ｌ·ω′）２

＝（1／2）ｍ（Ａω０′）２，

比較②式，即對復(fù)擺與單擺作等效變換，可得復(fù)擺小幅振動（亦為諧振）圓頻率為

ω０′＝ω０＝，

那么復(fù)擺周期公式為Ｔ＝2π．圖11由題設(shè)條件擬定衣架質(zhì)心位置及轉(zhuǎn)動慣量，根據(jù)復(fù)擺周期公式，即可擬定三種狀況下相似擺動周期Ｔ．如圖11所示，質(zhì)心Ｏ到轉(zhuǎn)軸Ａ、Ｂ、Ｃ距離設(shè)為ａ、ｂ、ｃ，由圖9甲所示衣架平衡位置可知，質(zhì)心Ｏ必在衣架長邊中垂線ＡＢ上，在三種狀況下衣架對轉(zhuǎn)軸Ａ、Ｂ、Ｃ轉(zhuǎn)動慣量依次為

ＪＡ＝ＪＯ＋ｍａ2，ＪＢ＝ＪＯ＋ｍｂ２，ＪＣ＝ＪＯ＋ｍｃ２．

式中ＪＯ為所設(shè)衣架對質(zhì)心Ｏ轉(zhuǎn)動慣量，ｍ是衣架總質(zhì)量．由于三種狀況下周期相似，故有

（ＪＯ＋ｍａ2）／ｍｇａ＝（ＪＯ＋ｍｃ２）／ｍｇｃ，

即（ＪＯ－ｍａｃ）（ｃ－ａ）＝0，

顯然ｃ≠ａ，則可知ＪＯ＝ｍａｃ；

又有（ＪＯ＋ｍａ2）／ｍｇａ＝（ＪＯ＋ｍｂ２）／ｍｇｂ，

即（ＪＯ－ｍａｂ）（ｂ－ａ）＝0，

此式中因ｃ＞ｂ，故（ＪＯ-ｍａｂ）≠0，

則必有ａ＝ｂ，即質(zhì)心位于ＡＢ之中點(diǎn)．衣架周期為

Ｔ=2π＝2π．

依照圖9標(biāo)注尺寸可知

ａ＝5ｃｍ，ｃ＝ｃｍ≈21．6ｃｍ，

代入后得Ｔ≈1.03ｓ．

本題是國際物理奧林匹克一道賽題，題意簡潔，解答辦法也諸多，筆者給出這種解法應(yīng)當(dāng)說比較嚴(yán)密且巧妙．

最后，咱們再嘗試解答此外一道比較繁難國際物理奧林匹克競賽試題，該題涉及動量矩守恒定律運(yùn)用．

例7如圖12所示，一種質(zhì)量為ｍ，半徑為ＲＡ均勻圓盤Ａ在光滑水平面ｘＯｙ內(nèi)以速度ｖ沿ｘ軸方向平動，圓盤中心至ｘ軸垂直距離為ｂ．圓盤Ａ與另一靜止、其中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ均勻圓盤Ｂ相碰．圓盤Ｂ質(zhì)量與Ａ相似，半徑為ＲＢ．假定碰撞后兩圓盤接觸處切向速度分量（垂直于連心線方向速度）相等，并假設(shè)碰撞先后兩圓盤沿連心線方向相對速度大小不變．在發(fā)生碰撞狀況下，試求：

（1）碰后兩圓盤質(zhì)心速度ｘ分量和ｙ分量，成果要以給定參量ｍ、ＲＡ、ＲＢ、ｖ和ｂ表達(dá)；

（2）碰后兩圓盤動能，成果要以給定參量ｍ、ＲＡ、ＲＢ、ｖ和ｂ表達(dá)．（第24屆ＩＰｈＯ試題）

分析與解（1）本題情景是質(zhì)量相似運(yùn)動圓盤Ａ與靜止圓盤Ｂ在水平面上發(fā)生非彈性斜碰．碰撞先后，質(zhì)心動量守恒——系統(tǒng)不受外力；對Ｏ點(diǎn)角動量守恒——外力沖量矩為零；動能不守恒——碰撞后兩圓盤接觸處切向速度分量相等，必有摩擦力存在，動能有損失．本題給出諸多附加條件，除了依照動量守恒與角動量守恒列出基本方程外，還必要依照附加條件給出足夠補(bǔ)充方程，并恰當(dāng)選用速度分量，方可最后得解．圖12圖13如圖13所示，設(shè)碰撞時兩盤質(zhì)心連線與ｘ軸成θ角，由幾何關(guān)系可知

ｂ=（ＲＡ+ＲＢ）ｓｉｎθ．

對系統(tǒng)，在法向與切向動量均守恒，即

ｍｖｓｉｎθ＝ｍｖＡｔ＋ｍｖＢｔ，

ｍｖｃｏｓθ＝ｍｖＡｎ＋ｍｖＢｎ，

式中，ｖＡｔ、ｖＢｔ、ｖＡｎ、ｖＢｎ是Ａ、Ｂ盤碰撞后沿切向與徑向質(zhì)心速度；系統(tǒng)對Ｏ點(diǎn)角動量守恒即

ｍｖｂ＝ＪＡωＡ＋ｍｖＡｔ（ＲＡ＋ＲＢ）＋ＪＢωＢ，

該式中，ＪＡ＝（1／2）ｍＲＡ2，ＪＢ＝（1／2）ｍＲＢ2，ωＡ、ωＢ為兩盤碰撞后角速度（待定）．注意碰撞后Ａ盤既有轉(zhuǎn)動又有平動，對Ｏ點(diǎn)角動量由兩部分構(gòu)成，而Ｂ盤質(zhì)心在Ｏ點(diǎn)，故角動量僅為ＪＢωＢ．上述三個方程涉及六個未知量，需列出補(bǔ)充方程．依照兩盤接觸處切向速度相似有

ｖＡｔ－ωＡＲＡ＝ｖＢｔ＋ωＢＲＢ，

依照兩盤法向相對速度不變有

ｖｃｏｓθ＝ｖＢｎ－ｖＡｎ．

對Ｂ盤，由動量定理和角動量定理，摩擦力ｆ作用是

ｆ·Δｔ＝ｍｖＢｔ，ｆ·ＲＢ·Δｔ＝ＪＢωＢ，

即ｍｖＢｔＲＢ＝ＪＢωＢ．

由上述六個方程，解得

ωＡ＝ｖｓｉｎθ／3ＲＡ，ωＢ＝ｖｓｉｎθ／3ＲＢ，

ｖＡｔ＝（5／6）ｖｓｉｎθ，ωＢｔ＝（1／6）ｖｓｉｎθ，

ｖＡｎ＝0，ｖＢｎ＝ｖｃｏｓθ．

碰后兩盤質(zhì)心速度ｘ分量分別為

ｖＡｘ＝ｖＡｔｓｉｎθ＋ｖＡｎｃｏｓθ＝（5／6）ｖｓｉｎ２θ，

ｖＢｘ＝ｖＢｔｓｉｎθ＋ｖＢｎｃｏｓθ＝（1／6）ｖｓｉｎ２θ＋ｖｃｏｓ２θ，

碰后兩盤質(zhì)心速度ｙ分量分別為

ｖＡｙ＝ｖＡｔｃｏｓθ－ｖＡｎｓｉｎθ＝（5／6）ｖｓｉｎθｃｏｓθ，

ｖＢｙ＝ｖＢｔｃｏｓθ－ｖＢｎｓｉｎθ＝－（5／6）ｖｓｉ