湖南省衡陽市衡陽縣第四中學2023-2024學年高一下學期第一次月考數(shù)學試題(含答案)

衡陽縣四中2023-2024學年下學期高一第一次月考卷數(shù)學注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1．已知，集合，，若，且的所有元素和為，則（）A． B． C． D．2．“”是“”的（）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．關于實數(shù)，下列結論正確的有（）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么4．若實數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．5．函數(shù)的零點所在區(qū)間是（）A． B． C． D．6．已知二次函數(shù)在區(qū)間內是單調函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．7．已知，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)在上單調遞減，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9．函數(shù)滿足：對任意實數(shù)都有，且當時，，則（）A． B．關于對稱 C． D．為減函數(shù)10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（）A． B．C．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心 D．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸11．已知函數(shù)則下列結論正確的有（）A．，B．函數(shù)有且僅有個零點C．方程有唯一解D．直線與的圖象有個交點第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．一個扇形的弧長為，面積為，則此扇形的圓心角為．（用弧度制表示）13．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則實數(shù)．14．已知，則的大小關系是.（用＞號連接）四、解答題（本題共5小題，共77分）15．（13分）已知：實數(shù)滿足：實數(shù)滿足.(1)若，且和至少有一個為真命題，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，且是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.16．（15分）已知函數(shù)，函數(shù).(1)求函數(shù)的解析式；(2)試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調性，并證明；(3)求函數(shù)的值域.17．（15分）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱軸方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．18.(17如圖，在四邊形ABCD中，AD＝4，AB＝2.（1）若△ABC為等邊三角形，且AD∥BC，E是CD的中點，求AE·BD；（2）若AC＝AB，cos∠CAB＝35，AC·BD＝45，求｜DC19．（17分）為落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，某市政部門招標一工程隊負責在山腳下修建一座水庫的土方施工任務.該工程隊有兩種型號的挖掘機，已知臺型和臺型挖掘機同時施工一小時挖土立方米；臺型和臺型挖掘機同時施工一小時挖土立方米.每臺型挖掘機一小時的施工費用為元，每臺型挖掘機一小時的施工費用為元.(1)分別求每臺型，型挖掘機一小時挖土多少立方米？(2)若不同數(shù)量的型和前型挖掘機共臺同時施工小時，至少完成立方米的挖土量，且總費用不超過元.問施工時有哪幾種調配方案，并指出哪種調配方案的施工費用最低，最低費用是多少元？答案及解析1．【答案】A【解析】先確定集合中可能的元素，根據(jù)兩集合中元素的和求出的值，再根據(jù)集合中元素的互異性取值.集合中的元素可能為：，因為，.若，則，，則，元素和不為；若，則，，則，元素和不為；當時，，因為中所有的元素和為，所以，解得或（舍去）.綜上：.故選：A.2．【答案】A解一元一次不等式結合必要不充分條件的定義即可得解.由題意，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：A.3．【答案】B結合不等式的基本性質逐項判斷即可得.對A：當時，有，故A錯誤；對B：如果，那么，故B正確；對C：當時，有，故C錯誤；對D：如果，則，故，即，故D錯誤.故選：B.4．【答案】D通過求出，代入所求式消元，運用基本不等式求解即得.由可知，則，代入得：，當時等號成立，即當時，取得最小值.故選：D.5．【答案】D根據(jù)函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理，即可判斷選項.在上單調遞增，也是單調遞增函數(shù)，所以在上單調遞增，當時，，，所以，則在上無零點.因為，，，，所以，則根據(jù)零點存在性定理可知，在上有零點.故選：D.6．【答案】A根據(jù)二次函數(shù)的性質求解.二次函數(shù)的對稱軸為，欲使得時是單調的，則對稱軸必須在區(qū)間之外，即或者.故選：A.7．【答案】A由正切二倍角公式及，求出，結合二倍角公式和齊次化化弦為切，代入求值即可.，故，解得或，因為，所以，故，.故選：A.8．【答案】A要使函數(shù)在上單調遞減，則需時函數(shù)單調遞減，時函數(shù)單調遞減，且，然后求解即可.因為函數(shù)在上單調遞減，所以在上單調遞減，在上單調遞減，且，所以，解得.故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分）9．【答案】A、B、C利用賦值法，結合函數(shù)單調性的定義、對稱性的性質逐一判斷即可.【詳解】由對于任意實數(shù)，令，則，即,故A正確；令，則，即，故B正確；令，，則，即，故C正確；對于任意，則設，當時，，則，即，所以單調遞增，故D錯誤．故選：ABC.10．【答案】A、B、D結合圖象即可求出三角函數(shù)的解析式，則AB可解；將代入函數(shù)的解析式即可驗證C選項；將代入函數(shù)的解析式即可驗證D選項.根據(jù)圖象和題目條件可知，，所以，解得，A正確；將代入，可得，解得，B正確；所以，令得，，C錯誤，令得，，故是函數(shù)的一條對稱軸，D正確，故選：ABD．11．【答案】A、B、DA項，作出函數(shù)圖象即可得出結論；B項，將零點問題轉化為與的交點，作出函數(shù)即可得出零點個數(shù)；C項，根據(jù)函數(shù)得出函數(shù)的表達式，作出兩函數(shù)圖象即可得出方程的解的個數(shù)；D項，作出直線與兩函數(shù)圖象即可得出交點個數(shù).由題意，A項，在中，作出函數(shù)圖象如下圖所示，

由上圖可知，，故正確；B項，在中，當時，，即與的交點，作出函數(shù)圖象如下，

可知函數(shù)有且僅有個零點，B正確；C項，在中，作出兩函數(shù)的圖象如下圖所示，

∴兩函數(shù)有個交點，方程有解，∴方程不止有唯一解，故C錯誤；D項，

由圖可知，直線與的圖象有個交點，D正確；故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．【答案】利用扇形弧長公式，面積公式列方程求解即可.【詳解】設圓心角為，扇形半徑為，依題可得，，解得，.故答案為：.13．【答案】由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，由特殊值，即可求值.由于函數(shù)的圖象關于直線對稱，且，得：，其中，，得：．故答案為：．14．【答案】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調性，即可比較的大小關系，即得答案.由題意知，而在上單調遞減，故，故.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分）15．【解析】（1）根據(jù)題意解一元二次不等式得命題，結合命題真假確定取值范圍；（2）利用充分條件、必要條件的定義解不等式即可.【詳解】（1）：實數(shù)滿足，解得.當時，，解得，∵和至少有一個為真命題，∴，∴實數(shù)的取值范圍為.（2）∵，∴由，解得，即，∵是的充分不必要條件，∴（等號不同時?。?，∴，又，故實數(shù)的取值范圍為.16．【分析】（1）用換元法先求出，再代入已知求出的解析式即可.（2）用函數(shù)單調性的定義證明即可，設，作差通分計算即可.（3）分和時用基本不等式求出結果即可，注意取等號的條件.（1）令，則，∴，∴，即，∴.（2）函數(shù)在區(qū)間上單調遞增.證明：任取，則，又，∴，即，∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（3）當時，，當且僅當時，等號成立.當時，，當且僅當時，等號成立.∴的值域為.17．【解析】（1）利用三角恒等變換得到，利用求出最小正周期，整體法求出函數(shù)的對稱軸方程；（2）整體法求出函數(shù)的最值.（1）因為，所以函數(shù)的最小正周期，令，解得故圖象的對稱軸方程為．（2）因為，所以，所以當，即時，取最大值，當，即時，取最小值．18.解：（1）因為△ABC為等邊三角形，且AD∥BC，所以∠DAB＝120°.又AD＝2AB，所以AD＝2BC，所以AD＝2BC.因為E是CD的中點，所以AE＝12（AD＋AC）＝12（AD＋AB＋BC）＝34又BD＝AD－AB，所以AE·BD＝（34AD＋12AB）·（AD－AB）＝34AD2－12AB2－14AD·AB＝34×16－1（2）因為AC＝AB，AB＝2，所以AC＝2.因為AC·BD＝45，所以AC·（AD－AB）＝AC·AD－AC·AB＝4又AC·AB＝｜AC｜｜AB｜cos∠CAB＝2×2×35＝12所以AC·AD＝45＋AC·AB＝16所以｜DC｜2＝｜AC－AD｜2＝4＋16－2×165＝68故｜DC｜＝28519．【解析】（1）設每臺型，型挖據(jù)機一小時分別挖土立方米和立方米，根據(jù)題意列出方程組，解答即可；（2）利用總費用不超過元求出方案數(shù)量，再利用一次函數(shù)增減性求出最低費用．（1）設每臺型，型挖掘機一小時分別挖土立方米和立方米，根據(jù)題意，得，解得.所以，每臺型挖