廣東汕頭市2023-2024學年高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題含解析

廣東汕頭市2023-2024學年高三適應性調(diào)研考試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設非零向量，，，滿足，，且與的夾角為，則“”是“”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．函數(shù)在的圖像大致為A． B． C． D．3．已知向量，滿足||＝1，||＝2，且與的夾角為120°，則＝（）A． B． C． D．4．已知復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．5．在中所對的邊分別是，若，則（）A．37 B．13 C． D．6．袋中裝有標號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a(chǎn) D．-a8．雙曲線的左右焦點為，一條漸近線方程為，過點且與垂直的直線分別交雙曲線的左支及右支于，滿足，則該雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．29．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現(xiàn)了增長C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D．去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元10．若實數(shù)滿足的約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．11．復數(shù)的實部與虛部相等，其中為虛部單位，則實數(shù)()A．3 B． C． D．12．1777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對邊分別為，，.若；且，則周長的范圍為__________.14．（5分）已知，且，則的值是____________．15．設函數(shù)，，其中．若存在唯一的整數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍是_____．16．設為偶函數(shù)，且當時，；當時，．關于函數(shù)的零點，有下列三個命題：①當時，存在實數(shù)m，使函數(shù)恰有5個不同的零點；②若，函數(shù)的零點不超過4個，則；③對，，函數(shù)恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數(shù)列．其中，正確命題的序號是_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，坐標原點為，.（1）求拋物線的方程；（2）當以為直徑的圓與軸相切時，求直線的方程.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，討論函數(shù)的零點個數(shù)；（2）若在上單調(diào)遞增，且求c的最大值.19．（12分）已知在中，角、、的對邊分別為，，，，.（1）若，求的值；（2）若，求的面積.20．（12分）已知橢圓C的中心在坐標原點，其短半軸長為1，一個焦點坐標為，點在橢圓上，點在直線上，且．（1）證明：直線與圓相切；（2）設與橢圓的另一個交點為，當?shù)拿娣e最小時，求的長．21．（12分）已知數(shù)列滿足：對一切成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）如圖，在矩形中，，，點是邊上一點，且，點是的中點，將沿著折起，使點運動到點處，且滿足.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用數(shù)量積的定義可得，即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：，，，解得，，，解得，“”是“”的充分必要條件．故選：C．【點睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應用，考查推理能力與計算能力，屬于基礎題．2、B【解析】

由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設，則，所以是奇函數(shù)，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．3、D【解析】

先計算，然后將進行平方，，可得結(jié)果.【詳解】由題意可得：∴∴則.故選：D.【點睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運算和模的計算，屬基礎題。4、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的運算法則，可得，然后利用復數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【點睛】本題主要考查復數(shù)的運算，考驗計算，屬基礎題.5、D【解析】

直接根據(jù)余弦定理求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，屬于基礎題．6、C【解析】

先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，根據(jù)每一次發(fā)生的概率，利用獨立重復試驗的公式得到結(jié)果．【詳解】從6個球中摸出2個，共有種結(jié)果，兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有摸一次中獎的概率是，5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是，有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是，故選：．【點睛】本題主要考查了次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率，考查獨立重復試驗的概率，解題時主要是看清摸獎5次，相當于做了5次獨立重復試驗，利用公式做出結(jié)果，屬于中檔題．7、A【解析】

令xex=t，構造g(x)=xex，要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x2,【詳解】令xex=t，構造g(x)=xex，求導得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減，且x<0時，g(x)<0，x>0時，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數(shù)g(x)的圖象（見下圖），要使函數(shù)f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1故選A.【點睛】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.8、A【解析】

設，直線的方程為，聯(lián)立方程得到，，根據(jù)向量關系化簡到，得到離心率.【詳解】設，直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因為，所以為線段的中點，所以，，整理得，故該雙曲線的離心率.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.9、D【解析】

根據(jù)折線圖、柱形圖的性質(zhì)，對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確；.故D項不正確.故選：D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別，考查學生的閱讀能力、數(shù)據(jù)處理能力，屬于中檔題.10、B【解析】

根據(jù)所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數(shù)滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標函數(shù)化為，則將平移，平移后結(jié)合圖像可知，當經(jīng)過原點時截距最小，；當經(jīng)過時，截距最大值，，所以線性目標函數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應用，線性目標函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎題.11、B【解析】

利用乘法運算化簡復數(shù)即可得到答案.【詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【點睛】本題考查復數(shù)的概念及復數(shù)的乘法運算，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.12、D【解析】

根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求角，再用余弦定理找到邊的關系，再用基本不等式求的范圍即可.【詳解】解：所以三角形周長故答案為：【點睛】考查正余弦定理、基本不等式的應用以及三條線段構成三角形的條件；基礎題.14、【解析】

由于，且，則，得，則．15、【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式畫出圖像,再根據(jù)存在唯一的整數(shù)使得數(shù)形結(jié)合列出臨界條件滿足的關系式求解即可.【詳解】解：函數(shù),且畫出的圖象如下：因為,且存在唯一的整數(shù)使得,故與在時無交點,,得；又,過定點又由圖像可知,若存在唯一的整數(shù)使得時,所以,存在唯一的整數(shù)使得所以.根據(jù)圖像可知,當時,恒成立.綜上所述,存在唯一的整數(shù)使得,此時故答案為：【點睛】本題主要考查了數(shù)形結(jié)合分析參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意分別分析定點右邊的整數(shù)點中為滿足條件的唯一整數(shù),再數(shù)形結(jié)合列出時的不等式求的范圍.屬于難題.16、①②③【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關于軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對各個選項進行判斷即可.【詳解】解：當時又因為為偶函數(shù)可畫出的圖象，如下所示：可知當時有5個不同的零點；故①正確；若，函數(shù)的零點不超過4個，即，與的交點不超過4個，時恒成立又當時，在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點不超過個，則，故②正確；對，偶函數(shù)的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個不同的交點點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③【點睛】本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題等基礎知識，同時考查考生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想.第一問，設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到y(tǒng)1＋y2，y1y2，，代入到中解出P的值；第二問，結(jié)合第一問的過程，利用兩種方法求出的長，聯(lián)立解出m的值，從而得到直線的方程.試題解析：（Ⅰ）設l：x＝my－2，代入y2＝2px，得y2－2pmy＋4p＝1．（*）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝4p，則．因為，所以x1x2＋y1y2＝12，即4＋4p＝12，得p＝2，拋物線的方程為y2＝4x．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）（*）化為y2－4my＋2＝1．y1＋y2＝4m，y1y2＝2．…6分設AB的中點為M，則|AB|＝2xm＝x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝4m2－4，①又，②由①②得(1＋m2)(16m2－32)＝(4m2－4)2，解得m2＝3，．所以，直線l的方程為，或．…12分考點：拋物線的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與圓相切問題.18、（1）見解析（2）2【解析】

（1）將代入可得,令,則,設,則轉(zhuǎn)化問題為與的交點問題,利用導函數(shù)判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在上恒成立,設,利用導函數(shù)可得,則,即,再設,利用導函數(shù)求得的最小值,則,進而求解.【詳解】（1）當時,,定義域為,由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當時,；當時,,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當時,直線和函數(shù)的圖象有兩個交點,即函數(shù)有兩個零點；當或,即或時,直線和函數(shù)的圖象有一個交點,即函數(shù)有一個零點；當即時,直線與函數(shù)的象沒有交點,即函數(shù)無零點.（2）因為在上單調(diào)遞增,即在上恒成立,設,則,①若,則,則在上單調(diào)遞減,顯然,在上不恒成立；②若,則,在上單調(diào)遞減,當時,,故,單調(diào)遞減,不符合題意；③若,當時,,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增,所以,由,得,設,則,當時,,單調(diào)遞減；當時,,單調(diào)遞增,所以,所以,又,所以,即c的最大值為2.【點睛】本題考查利用導函數(shù)研究函數(shù)的零點問題,考查利用導函數(shù)求最值,考查運算能力與分類討論思想.19、（1）7（2）14【解析】

（1）在中，，可得，結(jié)合正弦定理，即可求得答案；（2）根據(jù)余弦定理和三角形面積公式，即可求得答案.【詳解】（1）在中，，，，，，.（2），，，解得，.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形，解題關鍵是掌握正弦定理邊化角，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.20、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）分斜率為0，斜率不存在，斜率不為0三種情況討論，設的方程為，可求解得到，，可得到的距離為1，即得證；（2）表示的面積為，利用均值不等式，即得解.【詳解】（1）由題意，橢圓的焦點在x軸上，且，所以．所以橢圓的方程為．由點在直線上，且知的斜率必定存在，當?shù)男甭蕿?時，，，于是，到的距離為1，直線與圓相切．當?shù)男甭什粸?時，設的方程為，與聯(lián)立得，所以，，從而．而，故的方程為，而在上，故，從而，于是．此時，到的距離為1，直線與圓相切．綜上，直線與圓相切．（2）由（1）知，的面積為，上式中，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以面積的最小值為1．此時，點在橢圓的長軸端點，為．不妨設為長軸左端點，則直線的方程為，代入橢圓的方程解得，即，，所以．【點睛】本題考查了直線和橢圓綜合，考查了直線和