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上海第二工業(yè)大學(xué)附屬龔路中學(xué)2024年高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)滿足,則復(fù)數(shù)等于()A. B. C.2 D.-22.若函數(shù)(其中,圖象的一個對稱中心為,,其相鄰一條對稱軸方程為,該對稱軸處所對應(yīng)的函數(shù)值為,為了得到的圖象,則只要將的圖象()A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度3.給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作,每項工作至少一人,每人做且僅做一項工作,甲不能安排木工工作,則不同的安排方法共有()A.12種 B.18種 C.24種 D.64種4.已知定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)滿足(且),若,則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A. B. C. D.5.已知函數(shù),若函數(shù)有三個零點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.6.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則等于()A.3 B.C.2 D.7.一袋中裝有個紅球和個黑球(除顏色外無區(qū)別),任取球,記其中黑球數(shù)為,則為()A. B. C. D.8.已知七人排成一排拍照,其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰,甲、丁兩人必須相鄰,則滿足要求的排隊方法數(shù)為().A.432 B.576 C.696 D.9609.已知,若對任意,關(guān)于x的不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))至少有2個正整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.10.三棱錐的各個頂點都在求的表面上,且是等邊三角形,底面,,,若點在線段上,且,則過點的平面截球所得截面的最小面積為()A. B. C. D.11.已知函數(shù)的定義域為,且,當(dāng)時,.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.812.若是定義域為的奇函數(shù),且,則A.的值域為 B.為周期函數(shù),且6為其一個周期C.的圖像關(guān)于對稱 D.函數(shù)的零點有無窮多個二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知不等式組所表示的平面區(qū)域為,則區(qū)域的外接圓的面積為______.14.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度,得到一個偶函數(shù)圖象,則________.15.設(shè)等差數(shù)列的前項和為,若,,則______,的最大值是______.16.由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊,某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響,承受了一定的經(jīng)濟損失,現(xiàn)將地區(qū)200家實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失統(tǒng)計如圖所示,估算月經(jīng)濟損失的平均數(shù)為,中位數(shù)為n,則_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點.(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程;(2)若點P的極坐標(biāo)為,,求的值.18.(12分)已知數(shù)列和滿足:.(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;(2)求數(shù)列的前項和.19.(12分)過點P(-4,0)的動直線l與拋物線相交于D、E兩點,已知當(dāng)l的斜率為時,.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)的中垂線在軸上的截距為,求的取值范圍.20.(12分)2019年安慶市在大力推進城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中,居民生活垃圾分類逐漸形成意識.有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識,面向該市市民進行了一次“垃圾分類知識"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查,每位市民僅有一次參與機會,通過抽樣,得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù),其頻率分布直方圖如圖:(1)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布,近似為這1000人得分的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表),利用該正態(tài)分布,求P();(2)在(1)的條件下,有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案:(i)得分不低于可獲贈2次隨機話費,得分低于則只有1次:(ii)每次贈送的隨機話費和對應(yīng)概率如下:贈送話費(單位:元)1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查,記X(單位:元)為該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費,求X的分布列.附:,若,則,.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為:.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)若直線與曲線交于,兩點,與曲線交于,兩點,求取得最大值時直線的直角坐標(biāo)方程.22.(10分)已知函數(shù).(1)設(shè),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明函數(shù)有唯一零點.(2)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
通過復(fù)數(shù)的模以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式混合運算,化簡求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)滿足,∴,故選B.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的基本運算,復(fù)數(shù)模長的概念,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A,由周期求出,由五點法作圖求出的值,可得的解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導(dǎo)公式,得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中,的圖象過點,,可得,,解得:.再根據(jù)五點法作圖可得,可得:,可得函數(shù)解析式為:故把的圖象向左平移個單位長度,可得的圖象,故選B.【點睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式,由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A,由周期求出,由五點法作圖求出的值,函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)題意,分2步進行分析:①,將4人分成3組,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,由分步計數(shù)原理計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,分2步進行分析:①,將4人分成3組,有種分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一組只能安排給泥工或油漆,有2種情況,將剩下的2組全排列,安排其他的2項工作,有種情況,此時有種情況,則有種不同的安排方法;故選:C.【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出的解析式,進而求出,再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,即可求出結(jié)論.【詳解】依題意有,①,②①②得,又因為,所以,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選:D.【點睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì),要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法,屬于中檔題.5、B【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式,畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像,分段討論函數(shù)的零點情況:易知為的一個零點;對于當(dāng)時,由代入解析式解方程可求得零點,結(jié)合即可求得的范圍;對于當(dāng)時,結(jié)合導(dǎo)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意,畫出函數(shù)圖像如下圖所示:函數(shù)的零點,即.由圖像可知,,所以是的一個零點,當(dāng)時,,若,則,即,所以,解得;當(dāng)時,,則,且若在時有一個零點,則,綜上可得,故選:B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法,函數(shù)零點定義及應(yīng)用,根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用,屬于中檔題.6、D【解析】
利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,從而求得,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】,所以,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題,涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運算,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題目.7、A【解析】
由題意可知,隨機變量的可能取值有、、、,計算出隨機變量在不同取值下的概率,進而可求得隨機變量的數(shù)學(xué)期望值.【詳解】由題意可知,隨機變量的可能取值有、、、,則,,,.因此,隨機變量的數(shù)學(xué)期望為.故選:A.【點睛】本題考查隨機變量數(shù)學(xué)期望的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】
先把沒有要求的3人排好,再分如下兩種情況討論:1.甲、丁兩者一起,與乙、丙都不相鄰,2.甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰.【詳解】首先將除甲、乙、丙、丁外的其余3人排好,共有種不同排列方式,甲、丁排在一起共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙都不相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;若甲、丁一起與乙、丙二者之一相鄰,插入余下三人產(chǎn)生的空檔中,共有種不同方式;根據(jù)分類加法、分步乘法原理,得滿足要求的排隊方法數(shù)為種.故選:B.【點睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,在分類時,要注意不重不漏的原則,本題是一道中檔題.9、B【解析】
構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個正整數(shù)x,使得成立,設(shè),,則,當(dāng)時,單調(diào)遞增;當(dāng)時,單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.10、A【解析】
由題意畫出圖形,求出三棱錐S-ABC的外接球的半徑,再求出外接球球心到D的距離,利用勾股定理求得過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑,則答案可求.【詳解】如圖,設(shè)三角形ABC外接圓的圓心為G,則外接圓半徑AG=,設(shè)三棱錐S-ABC的外接球的球心為O,則外接球的半徑R=取SA中點E,由SA=4,AD=3SD,得DE=1,所以O(shè)D=.則過點D的平面截球O所得截面圓的最小半徑為所以過點D的平面截球O所得截面的最小面積為故選:A【點睛】本題考查三棱錐的外接球問題,還考查了求截面的最小面積,屬于較難題.11、A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點睛】本題考查了指數(shù)冪的運算及化簡,利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.12、D【解析】
運用函數(shù)的奇偶性定義,周期性定義,根據(jù)表達式判斷即可.【詳解】是定義域為的奇函數(shù),則,,又,,即是以4為周期的函數(shù),,所以函數(shù)的零點有無窮多個;因為,,令,則,即,所以的圖象關(guān)于對稱,由題意無法求出的值域,所以本題答案為D.【點睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),主要是抽象函數(shù)的性質(zhì),運用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先作可行域,根據(jù)解三角形得外接圓半徑,最后根據(jù)圓面積公式得結(jié)果.【詳解】由題意作出區(qū)域,如圖中陰影部分所示,易知,故,又,設(shè)的外接圓的半徑為,則由正弦定理得,即,故所求外接圓的面積為.【點睛】線性規(guī)劃問題,首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線,其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離、可行域面積、可行域外接圓等等,最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.14、【解析】
根據(jù)平移后關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱,進而利用特殊值構(gòu)造方程,從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)圖象,即關(guān)于軸對稱關(guān)于對稱即:本題正確結(jié)果:【點睛】本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸,進而利用特殊值的方式來進行求解.15、【解析】
利用等差數(shù)列前項和公式,列出方程組,求出首項和公差的值,利用等差數(shù)列的通項公式可求出數(shù)列的通項公式,可求出的表達式,然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,解得,所以,數(shù)列的通項公式為;(2),,令,則且,,由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)在時單調(diào)遞減,在時單調(diào)遞增,當(dāng)或時,取得最大值為.故答案為:;.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是中檔題.16、360【解析】
先計算第一塊小矩形的面積,第二塊小矩形的面積,,面積和超過0.5,所以中位數(shù)在第二塊求解,然后再求得平均數(shù)作差即可.【詳解】第一塊小矩形的面積,第二塊小矩形的面積,故;而,故.故答案為:360.【點睛】本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征,考查運算求解能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)2.【解析】
(1)由得,求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,韋達定理得,點在直線上,則,即可求出的值.【詳解】(1)由可得,即,即,曲線的直角坐標(biāo)方程為,由直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),消去得,即直線的普通方程為.(Ⅱ)點的直角坐標(biāo)為,則點在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式(為參數(shù)),代入曲線的直角坐標(biāo)方程,整理得,直線與曲線交于兩點,,即.設(shè)點所對應(yīng)的參數(shù)分別為,由韋達定理可得,.點在直線上,,.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)見解析(2)【解析】
(1)根據(jù)題目所給遞推關(guān)系式得到,由此證得數(shù)列為等比數(shù)列.(2)由(1)求得數(shù)列的通項公式,判斷出,由此利用裂項求和法求得數(shù)列的前項和.【詳解】(1)所以數(shù)列是以3為首項,以3為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)知,∴為常數(shù)列,且,∴,∴∴【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查裂項求和法,屬于中檔題.19、;【解析】
根據(jù)題意,求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達定理,結(jié)合,即可求出拋物線C的方程;設(shè),的中點為,把直線l方程與拋物線方程聯(lián)立,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達定理求出,進而求出的中垂線方程,即可求得在軸上的截距的表達式,然后根據(jù)的取值范圍求解即可.【詳解】由題意可知,直線l的方程為,與拋物線方程方程聯(lián)立可得,,設(shè),由韋達定理可得,,因為,,所以,解得,所以拋物線C的方程為;設(shè),的中點為,由,消去可得,所以判別式,解得或,由韋達定理可得,,所以的中垂線方程為,令則,因為或,所以即為所求.【點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系,考查向量知識的運用;考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力;屬于中檔題.20、(1)(2)詳見解析【解析】
(1)利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點橫坐標(biāo)之和,再利用正態(tài)分布的對稱性進行求解.(2)寫出隨機變量的所有可能取值,利用互斥事件和相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式,再列表得到其分布列.【詳解】解:(1)從這1000人問卷調(diào)查得到的平均值為∵由于得分Z服從正態(tài)分布,(2)設(shè)得分不低于分的概率為p,(或由頻率分布直方圖知)法一:X的取值為10,20,30,40;;;;所以X的分布列為X10203040P法二:2次隨機贈送的話費及對應(yīng)概率如下2次話費總和2
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