考研數(shù)學(xué)三-244-真題(含答案與解析)-交互

考研數(shù)學(xué)三-244(總分150,做題時間90分鐘)一、選擇題

下列每題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的1.

設(shè)f(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f(0)=0，f'(0)=0，f"(x)≠0，并且在曲線y=f(x)上任意一點(diǎn)(x，f(x))(x≠0)作此曲線的切線，此切線在x軸上的截距為μ，則______．

A．

B．1

C．

D．2A

B

C

D

分值:4答案:D[考點(diǎn)]未定式極限與導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

[解析]根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，求出截距，再求未完成極限．

解：經(jīng)過曲線上點(diǎn)(x，f(x))的切線斜率為y'=f'(x)，切線方程為Y=f(x)+f'(x)(X-x)，其中(X，Y)為切線上的動點(diǎn)．

由于f"(x)≠0且連續(xù)，則f"(0)≠0，不妨設(shè)f"(0)＞0，則存在0的鄰域Uδ(0)，當(dāng)x∈Uδ(0)時，f"(x)＞0，即f'(x)單調(diào)遞增，又f'(0)=0，則當(dāng)時，f'(0)≠0．

在切線方程Y=f(x)+f'(x)(X-x)中令Y=0，得x軸上的截距于是

由洛必達(dá)法則

所以

故應(yīng)選D．2.

設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，f(1)≠0，在閉區(qū)間[0，1]上______．A.必定沒有零點(diǎn)

B.有且僅有一個零點(diǎn)

C.至少有兩個零點(diǎn)

D.有無零點(diǎn)無法確定A

B

C

D

分值:4答案:C[考點(diǎn)]羅爾中值定理的應(yīng)用．

[解析]構(gòu)造輔助函數(shù)，利用羅爾中值定理即可得結(jié)論．

解：易見，Φ(0)=0．不選A．

令則F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且并且F(0)-F(1)=0，由羅爾中值定理知，存在ξ∈(0，1)，使得F'(ξ)=0，即可見，x=ξ∈(0，1)是Φ(x)的零點(diǎn)．

故應(yīng)選C．3.

下列反常積分發(fā)散的是______．

A．

B．

C．

D．A

B

C

D

分值:4答案:B[考點(diǎn)]反常積分的斂散性．

[解析]可通過排除法排除錯誤選項(xiàng)．

解：選項(xiàng)A：

選項(xiàng)C：

選項(xiàng)D：

以上都收斂，故應(yīng)選B．

事實(shí)上，

而，故發(fā)散．

故應(yīng)選B．4.

設(shè)y=y(x)是微分方程滿足初值y(1)=0的特解，則______．

A．

B．

C．

D．A

B

C

D

分值:4答案:B[考點(diǎn)]定積分的計算與一階微分方程．

[解析]通過解一階微分方程得到函數(shù)，再求定積分．

解：本題中的方程是齊次微分方程，令=μ，則y=xμ，故可得dy=xdμ+μdx，代入原方程化簡得，分離變量得，兩邊同時積分得，即，則原方程的通解為

由y(1)=0得C=1．故特解為，整理化簡得y(x)=(x2-1)．

所以，

故應(yīng)選B．5.

設(shè)向量組α1，α2，…，αm和向量組β1，β2，…，βt的秩相同，則正確結(jié)論的個數(shù)是______．

①兩向量組等價．

②兩向量組不等價．

③若t=m，則兩向量組等價．

④若兩向量組等價，則t=m．

⑤若α1，α2，…，αm可由β1，β2，…，βt線性表示，則兩向量組等價．

⑥若β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αm線性表示，則兩向量組等價．**

**

**

**A

B

C

D

分值:4答案:D[考點(diǎn)]向量組的等價．

[解析]利用向量組等價的定義和常用結(jié)論．

解：若兩個兩向量組等價，則秩相同，但反之，未必成立．

反例：向量組(Ⅰ)只含一個向量，

向量組(Ⅱ)只含一個向量．

則顯然(Ⅰ)和(Ⅱ)的秩均為1，但不等價．若在秩相同的條件下，一個向量組可由另一個線性表示，則兩個向量組等價，故⑤、⑥正確．

故應(yīng)選D．6.

α1，α2，α3是四元非齊次線性方程組Ax=b的三個解向量，且r(A)=3，α1=(1，2，3，4)T，α2+α3=(0，1，2，3)T．c表示任意常數(shù)，則線性方程組Ax=b的通解x=______．

A．

B．

C．

D．A

B

C

D

分值:4答案:C[考點(diǎn)]非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)．

[解析]根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，依次求出其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系和自身的一個特解即可．

解：根據(jù)線性方程組解的性質(zhì)，可知2α1-(α2+α3)=(α1-α2)+(α1-α3)是非齊次線性方程組Ax=b導(dǎo)出組Ax=0的一個解．因?yàn)閞(A)=3，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系含4-3=1個解向量，而2α1-(α2+α3)=(2，3，4，5)T≠0，故是Ax=0的一個基礎(chǔ)解系．因此Ax=b的通解為α1+k(2α1-α2-α3)=(1，2，3，4)T+k(2，3，4，5)T，k∈R

即C正確．

對于其他幾個選項(xiàng)，A中(1，1，1，1)T=α1-(α2+α3)，

B中(0，1，2，3)T=α2+α3，

D中(3，4，5，6)T=3α1-2(α2+α3)，

都不是Ax=b的導(dǎo)出組的解．所以A、B、D均不正確．

故應(yīng)選C．

本題常見錯誤是未能準(zhǔn)確求出Ax=0的基礎(chǔ)解系，主要原因是錯將α2+α3當(dāng)作Ax=b的解，從而導(dǎo)致錯誤．7.

設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，記U=X-Y，V=X+Y，則隨機(jī)變量U與V必然______．A.不獨(dú)立

B.獨(dú)立

C.相關(guān)系數(shù)不為零

D.相關(guān)系數(shù)為零A

B

C

D

分值:4答案:D[考點(diǎn)]考查不相關(guān)．

[解析]利用協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的公式得出結(jié)論．

解：Cov(U，V)=Cov(X-Y，X+Y)

=Cov(X，X)+Cov(X，Y)-Cov(Y，X)-Cov(Y，Y)

=D(X)-D(Y)=0．

所以ρXY=0．

故應(yīng)選D．8.

設(shè)X1，X2，X3，X4為來自總體N(0，σ2)(σ＞0)的簡單隨機(jī)樣本，則統(tǒng)計量的分布為______．**(0，2)

**(2)

C.χ2(2)

**(2，2)A

B

C

D

分值:4答案:B[考點(diǎn)]考查抽樣分布判斷．

[解析]利用t分布定義得到結(jié)論．

解：因?yàn)閄1～N(0，σ2)，所以X1-X2～N(0，2σ2)，即

而，由t分布定義可知：

故應(yīng)選B．二、填空題1.

設(shè)則f[f(x)]=______．

分值:4答案:[考點(diǎn)]分段函數(shù)的復(fù)合．

[解析]根據(jù)分段函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算即可得結(jié)果．

解：由f(x)的表達(dá)式，有

故應(yīng)填2.

=______．

分值:4答案:[考點(diǎn)]未定式的極限．

[解析]首先將“1∞”型未定式指數(shù)化，再求指數(shù)上的極限即可得．

解：根據(jù)sinx的周期性知

從而

而

所以

故應(yīng)填．3.

設(shè)函數(shù)z=f(x，y)(xy≠0)滿足，則dz=______．

分值:4答案:(2x-y)dx-xdy[考點(diǎn)]多元函數(shù)的全微分．

[解析]先求函數(shù)f(x，y)表達(dá)式，再求其全微分．

解：令xy=μ，，則，y2=μv，于是有

所以，f(x，y)=x2-xy．故dz=(2x-y)dx-xdy．

故應(yīng)填(2x-y)dx-xdy．4.

設(shè)f(μ)為連續(xù)函數(shù)，且=______．

分值:4答案:[考點(diǎn)]變限積分方程與定積分．

[解析]利用換元積分法化簡變限積分方程，兩端對z求導(dǎo)即得積分結(jié)果．

解：令2x-t=μ，則

原方程化為

兩邊對x求導(dǎo)得

令x=1，得，而f(1)=1，所以

故應(yīng)填．5.

設(shè)A為3階方陣，如果A-1的特征值是1，2，3，則|A|的代數(shù)余子式A11+A22+A33=______．

分值:4答案:1[考點(diǎn)]代數(shù)余子式，屬難點(diǎn)題型．

[解析]注意到A11+A22+A33恰為伴隨矩陣A*的主對角線元素之和，即A*的跡，再由結(jié)論：方陣的跡等于特征值的和，只需求出A*的特征值即可．

解：因?yàn)锳-1的特征值為1，2，3，所以|A-1|=1×2×3=6，從而

又因?yàn)椋?/p>

故A*的特征值為

所以

故應(yīng)填1．

本題常見錯誤有二．一是沒能應(yīng)用結(jié)論：方陣的跡等于特征值之和，從而不能找到正確的解題思路；二是有關(guān)伴隨矩陣的定義和公式不夠熟練，導(dǎo)致錯誤．6.

設(shè)A和B獨(dú)立，P(A)=0.5，P(B)=0.6，則=______．

分值:4答案:[考點(diǎn)]考查隨機(jī)事件的概率．

[解析]利用條件概率公式、概率基本性質(zhì)以及事件的獨(dú)立性計算結(jié)果．

解：

故應(yīng)填．三、解答題1.

求極限

分值:10答案:

解法一：

又因?yàn)?，則cos(sinx)-cosx=

所以，

解法二：[考點(diǎn)]未定式的極限．

[解析]本題可以利用洛必達(dá)法則計算，但計算過于煩瑣，不容易求出答案且易出錯，因此，應(yīng)該想到利用泰勒展開的方法求極限．

在解法一中，當(dāng)x→0時，需用到無窮小的運(yùn)算法則：

①k·o(xn)=0(xn)；

②xn·o(xm)=o(n+m)；

③o(xn)±o(xn)=o(xn)．

有些同學(xué)在展開式整理中常出現(xiàn)問題．在解法二中，若在第二個等號后繼續(xù)用洛必達(dá)法則，則運(yùn)算過于煩瑣，有些同學(xué)往往出現(xiàn)符號錯誤或求導(dǎo)不徹底的錯誤．2.

就常數(shù)a的不同取值情況，討論方程xe-x=a(a＞0)的實(shí)根．

分值:10答案:

解：令f(x)=xe-x-a，則f'(x)=(1-x)e-x，f"(x)=(x-2)e-x．

令f'(x)=0，得駐點(diǎn)x=1．

由于當(dāng)x∈(-∞，1)時，f'(x)＞0，f(x)在(-∞，1)單調(diào)增加，

當(dāng)x∈(1，+∞)時，f'(x)＜0，f(x)在(1，+∞)內(nèi)單調(diào)減少，

所以f(x)在x=1處取得極大值，即最大值為f(1)=e-1-a．

則①當(dāng)e-1-a＜0時，即時，f(x)≤f(1)＜0，方程xe-x=a無實(shí)根．

②當(dāng)e-1-a=0，即時，只有f(1)=0，而當(dāng)x≠1時，f(x)＜f(1)=0，方程xe-x=a只有一個實(shí)根x=1．

③當(dāng)e-1-a＞0，即時，由于(xe-x-a)=-∞，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(-∞，1)內(nèi)單調(diào)增加，則f(x)=0在(-∞，1)內(nèi)只有一個實(shí)根．

又因(xe-x-a)=-a＜0，f(1)=e-1-a＞0，f(x)在(1，+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，則f(x)=0在(1，+∞)內(nèi)只有一個實(shí)根．

所以方程xe-x=a正好有兩個實(shí)根．[考點(diǎn)]方程的根與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．

[解析]先確定函數(shù)的極值(或最值)，然后利用函數(shù)的幾何性態(tài)討論確定方程根的個數(shù)情況．3.

設(shè)

求(x，y)dxdy,其中D={(x，y)|x2+y2≤2y}．

分值:10答案:

解：設(shè)D1={(x，y)|1≤x2+y2≤2y且x≥0}，如下圖所示，則

當(dāng)x≥0時，由

令x=rcosθ，y=rsinθ引入極坐標(biāo)系(r，θ)，則點(diǎn)M的極坐標(biāo)為，

從而，在極坐標(biāo)系下

故

[考點(diǎn)]二重積分．

[解析]首先畫出D的示意圖，根據(jù)D的形態(tài)并結(jié)合f(x，y)的表達(dá)式選擇坐標(biāo)系，進(jìn)而化為二次積分，即可求得結(jié)果．4.

討論函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處

(Ⅰ)是否連續(xù)．

(Ⅱ)偏導(dǎo)數(shù)是否存在．

(Ⅲ)是否可微．

(Ⅳ)偏導(dǎo)數(shù)是否連續(xù)．

分值:10答案:

解：(Ⅰ)當(dāng)(x，y)≠(0，0)時，|f(x，y)|≤x2+y2，故f(x，y)=0=f(0，0)，所以函數(shù)在(0，0)處連續(xù)．

(Ⅱ)在(0，0)處，

即f(x，y)在(0，0)處關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)存在，且(0，0)=0．

同理，(0，0)也存在，且(0，0)=0．

(Ⅲ)由(2)知，(0，0)=(0，0)=0，

函數(shù)在(0，0)處的全增量：

其中故

因?yàn)?，所?/p>

故函數(shù)f(x，y)在(0，0)處可微，且

(Ⅳ)當(dāng)(x，y)≠(0，0)時

由于

而

(只要取y=x即可說明，上述兩極限均為不存在)

故均不存在

所以在(0，0)處都不連續(xù)．[考點(diǎn)]多元函數(shù)的連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微的定義．

[解析]按照題目要求，逐個根據(jù)定義判定即可．5.

設(shè)有級數(shù)

(Ⅰ)求此級數(shù)的收斂域．

(Ⅱ)證明此級數(shù)的和函數(shù)y(x)滿足微分方程y"-y=-1．

(Ⅲ)求微分方程y"=-1的通解，并由此確定該級數(shù)的和函數(shù)y(x)．

分值:10答案:

解：(Ⅰ)對于任意x，有

所以收斂域?yàn)?-∞，+∞)．

(Ⅱ)應(yīng)用冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)證明：

則

于是有

即y(x)滿足微分方程y"-y=-1．

(Ⅲ)y"-y=0的特征方程r2-1=0的特征根為r=±1，于是對應(yīng)齊次方程的通解為Y=C1ex+C2e-x，又特解為y*=1，故y"-y=-1的通解為y=C1ex+C2e-x+1．

又冪級數(shù)的和函數(shù)y(x)滿足y"(x)-y(x)=-1，且y(0)=2，y'(0)=0，則y(x)即為微分方程y"-y=-1滿足初值條件y|x=0=2，y'|x=0=0的特解，即

所以和函數(shù)[考點(diǎn)]冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)、二階線性微分方程．

[解析]先求收斂域，進(jìn)而利用冪級數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)出微分方程，最后通過微分方程求解求得和函數(shù)．6.

設(shè)齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為α1=(1，3，0，2)T，α2=(1，2，-1，3)T．

Bx=0的基礎(chǔ)解系為β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，-3，1，a)T．

若Ax=0和Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．

分值:11答案:

解：設(shè)非零公共解為γ，則γ既可由α1和α2線性表示，也可由β1和β2線性表示．

設(shè)γ=x1α1+x2α2=-x3β1-x4β2，則x1β1+x2β2+x3β3+x4β2=0．

γ≠0x1，x2，x3，x4不全為零r(α1，α2，β1，β2)＜4a=0．

當(dāng)a=0時，

解得

則x1=2t，x2=-t，x3=-t，x4=t．

所以非零公共解為2tα1-tα2=t(1，4，1，1)T，其中t為非零常數(shù)．[考點(diǎn)]方程組的公共解．

[解析]設(shè)出公共解，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線性方程組的解．

本題主要錯誤在于沒出公共解，卻未能轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組的求解．7.

已知矩陣相似，求a，b及可逆矩陣P，使P-1AP=B．

分值:11答案:

解：因?yàn)锳，B相似，所以|A|=|B|，且tr(A)=tr(B)，

故A的兩個特征值為：-1，-1．

因此r(-E-A)=1，所以不能對角化．

設(shè)，滿足P-1AP=B，即有AP=PB，從而

整理得

解得

所以可令則有P-1AP=B．[考點(diǎn)]求可逆矩陣P，使P-1AP=B．

[解析]經(jīng)驗(yàn)證，A不能相似對角化，故使用待定系數(shù)法求P．

本題最常見錯誤即認(rèn)為P-1AP就是將A相似對角化．事實(shí)上，由|λE-A|=0，解得λ=-1，是A的二重特征值，但，故A只有一個線性無關(guān)的特征向量，即A不能相似對角化．8.

設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布在以點(diǎn)