控制系統(tǒng)穩(wěn)定性

學(xué)生經(jīng)典部分回顧及MATLAB實(shí)踐題目1、控制系統(tǒng)的校正及綜合設(shè)計(jì)（概念），2、定常線性系統(tǒng)的相位超前校正：3、SIMULINK的離散及混合系統(tǒng)的創(chuàng)建，4、SIMULINK的分析工具第4章控制系統(tǒng)穩(wěn)定性對(duì)于非線性、時(shí)變、多輸入多輸出控制系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題的研究，經(jīng)典控制理論無(wú)能為力。只有利用俄羅斯科學(xué)家李亞普諾夫（A.M.Lyapunov）的穩(wěn)定性理論來(lái)分析和研究。

A.M.Lyapunov于1892年出版專(zhuān)著《運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一般問(wèn)題》，使得Lyapunov穩(wěn)定性理論已經(jīng)成為控制理論的最重要的幾個(gè)柱石之一。本章的主要內(nèi)容為1.引言2.李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義3.李亞普諾夫第二法5.線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性6.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.1引言李亞普諾夫?qū)⒎€(wěn)定性問(wèn)題的研究歸納為兩種方法。第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息。對(duì)于非線性、時(shí)變、多輸入多輸出系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱(chēng)為直接法。這種方法是基于一種廣義能量函數(shù)及其隨時(shí)間變化的特性來(lái)研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的。以下通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。例4-1一個(gè)彈簧－質(zhì)量－阻尼器系統(tǒng)，如下圖示。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由如下微分方程描述。令（1）選取狀態(tài)變量則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（2）在任意時(shí)刻，系統(tǒng)的總能量（3）顯然，當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)而總能量隨時(shí)間的變化率為可見(jiàn)，只有在時(shí)，。在其他各處均有，這表明系統(tǒng)總能量是衰減的，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

Lyapunov第二法是研究系統(tǒng)平衡狀態(tài)穩(wěn)定性的。平衡狀態(tài)——一般地，系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其初始狀態(tài)為。系統(tǒng)的狀態(tài)軌線是隨時(shí)間而變化的。當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)t≥t0）,總有f(xe,t)=0,則稱(chēng)為系統(tǒng)平衡。如果不在坐標(biāo)原點(diǎn)，可以通過(guò)非奇異線性變換，使，因此，平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性問(wèn)題都可以歸結(jié)為原點(diǎn)的穩(wěn)定性問(wèn)題。ex4.2李亞普諾夫意義下穩(wěn)定性的定義4.2.1穩(wěn)定的定義則非線性時(shí)變系統(tǒng)（4）（6）（5）≤定義對(duì)于任意給定的實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)存在實(shí)數(shù)，使?jié)M足的任意初始狀態(tài)出發(fā)的軌線有≤ε

（對(duì)所有

t≥t0）成立，則稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov意義下是穩(wěn)定的?！硎厩髿W幾里德范數(shù)。（即：表示空間距離）Lyapunov意義下穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定4.2.2漸近穩(wěn)定如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。從平衡狀態(tài)的某個(gè)充分小的領(lǐng)域內(nèi)出發(fā)的狀態(tài)軌線，當(dāng)時(shí)，收斂于，則稱(chēng)為漸近穩(wěn)定。更精密的敘述如下(李亞晡若夫意義下的穩(wěn)定，一致穩(wěn)定，大范圍一致穩(wěn)定)如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，對(duì)于，存在和，當(dāng)時(shí)，從出發(fā)的，都有并且充分大時(shí)，就充分小。則稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov意義下漸近穩(wěn)定。當(dāng)與、無(wú)關(guān)時(shí)，則稱(chēng)為一致漸近穩(wěn)定。

大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定如果是整個(gè)狀態(tài)空間中任一點(diǎn)，并且都有則為大范圍漸近穩(wěn)定或稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov意義下全局漸近穩(wěn)定。當(dāng)穩(wěn)定性與的選擇無(wú)關(guān)時(shí)，稱(chēng)一致全局漸近穩(wěn)定。4.2.3大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定如果是整個(gè)狀態(tài)空間中任一點(diǎn)，并且都有則為大范圍漸近穩(wěn)定或稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov意義下全局漸近穩(wěn)定。當(dāng)穩(wěn)定性與的選擇無(wú)關(guān)時(shí)，稱(chēng)一致全局漸近穩(wěn)定。不穩(wěn)定4.2.4不穩(wěn)定對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，不論取的多么小，在滿足不等式的所有初始狀態(tài)中，至少存在一個(gè)初始狀態(tài)，由此出發(fā)的軌線，滿足稱(chēng)為L(zhǎng)yapunov意義下不穩(wěn)定4.3李亞普諾夫第二法定義如果標(biāo)量函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，；僅當(dāng)

時(shí)，；則稱(chēng)為正定的。除了以外，還有狀態(tài)使，稱(chēng)為半正定的?！?定義如果標(biāo)量函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，；僅當(dāng)

時(shí)，；則稱(chēng)為負(fù)定的。除了以外，還有狀態(tài)使，稱(chēng)為半負(fù)定的?！?（7）定理4-1

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1）為正定；2）為負(fù)定。

則為一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。例4-2

系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性。解而將狀態(tài)方程代入上式，化簡(jiǎn)后得選取Lyapunov函數(shù)，可見(jiàn)，是負(fù)定的，即滿足因此，是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。

當(dāng)，有，故系統(tǒng)是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。)(212122221)(21xxxxV+++=x顯然是正定的，即滿足定理4-2

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1）為正定；2）為半負(fù)定；3）除了平衡狀態(tài)外，還有的點(diǎn)，但是不會(huì)在整條狀態(tài)軌線上有則為一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。（注：本定理是將定理4-1的條件稍微放寬了一點(diǎn)）例4-3

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，a

為大于零的實(shí)數(shù)。判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿足而將狀態(tài)方程代入上式，化簡(jiǎn)后得可見(jiàn)，當(dāng)和任意的時(shí)，有，而和任意時(shí)，。又因?yàn)椋灰兓筒粸榱?，因此在整條狀態(tài)軌線上不會(huì)有。因此，是一致漸進(jìn)穩(wěn)定的。

當(dāng)，有，故系統(tǒng)是一致大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定的。定理4-3

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在平衡狀態(tài)的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1）為正定；2）為半負(fù)定；則為一致穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致穩(wěn)定的。（注：本定理只是比定理4-2少了第3個(gè)條件，不能保證漸近穩(wěn)定，只能保證一致穩(wěn)定。）例4-4

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中，k

為大于零的實(shí)數(shù)。分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-3可知，為L(zhǎng)yapunov意義下一致穩(wěn)定。定理4-4

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為在的某鄰域內(nèi)，標(biāo)量函數(shù)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足：1）為正定；2）為正定或半正定；則為不穩(wěn)定的。例4-5

系統(tǒng)的狀態(tài)方程為分析系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為選取Lyapunov函數(shù)：顯然它是正定的，即滿足而由定理4-4可知，是不穩(wěn)定的。應(yīng)該指出：到目前為止，人類(lèi)還沒(méi)有找到構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般方法。因?yàn)長(zhǎng)yapunov第二法給出的結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件。因此，對(duì)于某個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，找不到合適的Lyapunov函數(shù)，既不能說(shuō)系統(tǒng)穩(wěn)定，也不能說(shuō)系統(tǒng)不穩(wěn)定，只能說(shuō)無(wú)法提供有關(guān)該系統(tǒng)穩(wěn)定性的信息（即：inconclusive—沒(méi)有得出結(jié)論）。4.4線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)，其相應(yīng)的齊次狀態(tài)方程為由第2章介紹的方法求出其解為由此可判別齊次以及非齊次系統(tǒng)的穩(wěn)定性，如果收斂則都穩(wěn)定；如果發(fā)散，則都不穩(wěn)定。首先介紹矩陣正定性的定義：對(duì)于方陣當(dāng)它的所有主子式均大于零時(shí)，則Q是正定的。即：對(duì)線性定常系統(tǒng)，可以用Lyapunov第二法。如果方陣Q是正定的，則－Q

就是負(fù)定的。負(fù)定的矩陣主子式負(fù)正相間。Lyapunov函數(shù)為狀態(tài)變量的二次型函數(shù)，即如果P為維正定的對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣，則為正定的。令，其中Q為正定實(shí)數(shù)矩陣，且滿足如果給定Q陣，能夠推出P

為正定的，則系統(tǒng)在為穩(wěn)定的。并且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。（注：線性定常系統(tǒng)，可以判斷A的特征值是否全部具有負(fù)實(shí)部，既可以判別其穩(wěn)定性。）例4-6

線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得有可見(jiàn)，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。4.5線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為（8）系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為假設(shè)G

為維非奇異常數(shù)陣，是唯一的平衡狀態(tài)。選取Lyapunov函數(shù)（9）式中，P

為正定的對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣，因此是正定的。的差分為若要在處漸近穩(wěn)定，要求為負(fù)定的。所以其中Q為正定。給定一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)常數(shù)陣Q，求P

陣，并驗(yàn)證其正定性。（10）([)]kVx例4-7

線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下，試判別其穩(wěn)定性。解系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，可以令Q

陣為單位矩陣I。解得P的各階主子式均大于零，即可見(jiàn)，P為正定的矩陣，故為大范圍一致漸近穩(wěn)定的。學(xué)生經(jīng)典部分回顧及MATLAB實(shí)踐題目1、MATLAB可視化功能內(nèi)核——句柄圖形體系及對(duì)象屬性的獲取和設(shè)置2、【第二章線性控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分析】的MATLAB實(shí)踐4、【第1章線性控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述】的MATLAB實(shí)踐小結(jié)1、控制系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李亞晡若夫意義下的穩(wěn)定，一致穩(wěn)定，大范圍一致穩(wěn)定(見(jiàn)第10幀)2、李亞晡若夫（廣義能量）函數(shù)的正定性及負(fù)定性（第12幀）3、線性定常系統(tǒng)中的應(yīng)用：Lyapunov函數(shù)為狀態(tài)變量的二次型函數(shù)，即令，其中Q為正定實(shí)數(shù)矩陣，且滿足如果給定Q陣，能夠推出P

為正定的，則系統(tǒng)在為穩(wěn)定的。并且線性定常系統(tǒng)為穩(wěn)定，就一定是大范圍一致漸近穩(wěn)定。4.6非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析用Lyapunov第二法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性到目前為止，尚沒(méi)有構(gòu)造Lyapunov函數(shù)的一般性方法。往往都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。1.克拉索夫斯基法（12）非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為其中和均為n維向量。為非線性多元函數(shù)，對(duì)各都具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)。構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下（13）其中

W

為正定對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣（14）而（15）其中稱(chēng)為雅可比矩陣（16）在向量微積分中，雅可比矩陣是一階偏導(dǎo)數(shù)以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱(chēng)為雅可比行列式。雅可比矩陣的重要性在于它體現(xiàn)了一個(gè)可微方程與給出點(diǎn)的最優(yōu)線性逼近。其中（17）如果是負(fù)定的，則是負(fù)定的。而是正定的，故是一致漸近穩(wěn)定的。如果，，則是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。為簡(jiǎn)便，通常取，這時(shí)例4-10

非線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為試分析的穩(wěn)定性。解雅可比矩陣選擇W=I

則檢驗(yàn)的各階主子式：并且時(shí)，有顯然，是負(fù)定的，故是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。在向量微積分中，標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)向量場(chǎng)。標(biāo)量場(chǎng)中某一點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場(chǎng)增長(zhǎng)最快的方向，梯度的長(zhǎng)度是這個(gè)最大的變化率。梯度是雅戈比矩陣的一個(gè)特殊情況。2.變量梯度法提出：即如果找到一個(gè)特定的李氏函數(shù)V（x）,能夠證明所給系統(tǒng)的平衡狀態(tài)為漸進(jìn)穩(wěn)定的，那么，這個(gè)李氏函數(shù)的梯度gradV(x)必定存在且唯一。于是V(x)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可表示為例：使用變量梯度法確定下列非線性系統(tǒng)對(duì)于這個(gè)例子，可以知道：在確定李氏函數(shù)的過(guò)程中，參數(shù)的選擇不是唯一的，所以李氏函數(shù)也不是唯一的。4.6.2用Lyapunov第一近似理論分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性非線性定常系統(tǒng)方程為如果當(dāng)，有，則為高階無(wú)窮小項(xiàng)。（18）設(shè)在的鄰域內(nèi)，可以展開(kāi)成臺(tái)勞級(jí)數(shù)：（19）忽略高階無(wú)窮小，得到非線性系統(tǒng)的線性化模型（20）其中