遼寧省撫順市六校高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2021屆遼寧省撫順市六校高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由一元二次不等式求出集合或，再利用集合交集的定義求出即可.【詳解】在集合中，由，解得或，所以或，且集合，.故選：B2．若復(fù)數(shù)滿足.則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點的軌跡為（）A．直線 B．橢圓 C．圓 D．拋物線【答案】C【分析】設(shè)出，然后利用求模公式求解即可.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，由題意可得，則，故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點的軌跡為圓.故選：C.3．函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求函數(shù)定義域的基本原則可得出關(guān)于的不等式組，解出的取值范圍，即為所求.【詳解】由題意可得，解得或．因此，函數(shù)定義域為.故選：B.4．已知向量，且的夾角為，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知，利用數(shù)量積公式求出向量的模，再根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零列方程求解即可.【詳解】由題意可得，因為的夾角為，所以.因為，所以，所以，解得.故選：A.5．已知雙曲線的右焦點為是雙曲線的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點，，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得雙曲線的漸近線方程，結(jié)合向量垂直的條件和直角三角形的性質(zhì)，可得，，結(jié)合，，，的關(guān)系，計算雙曲線的離心率即可．【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為，因為，是雙曲線的一條漸近線上關(guān)于原點對稱的兩點，，所以，所以，所以，所以，所以，故選：．6．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖巧妙地證明了勾股定理，弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）.如果內(nèi)部小正方形的內(nèi)切圓面積為，外部大正方形的外接圓半徑為，直角三角形中較大的銳角為，那么（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出大正方形與小正方形的邊長，利用勾股定理求出直角三角形的直角邊，再求的正弦值與余弦值，然后根據(jù)商的關(guān)系與二倍角公式可得答案.【詳解】因為小正方形的內(nèi)切圓面積為，所以內(nèi)切圓半徑為，小正方形的邊長為1；因為大正方形的外接圓半徑為，所以大正方形的對角線長為，其邊長為5，設(shè)直角三角形短的直角邊為，則長的直角邊為.由勾股定理得，解得，所以，則.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出直角三角形的直角邊，從而求出的正弦值與余弦值，再根據(jù)三角函數(shù)恒等變換解答.7．已知都是正實數(shù)，則“”是“”的（）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的大小關(guān)系，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的大小關(guān)系，利用充要條件判斷出結(jié)論.【詳解】由，得則，從而，即，由，得，因為所以，所以.即.故“”是“”的充要條件.故選：A.8．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且對任意實數(shù)x都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則．因為，所以，所以,故在R上單調(diào)遞增．因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，所以不等式可化為，即，又在R上單調(diào)遞增．所以，所以不等式的解集為.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性是解題關(guān)鍵.9．在新冠疫情的持續(xù)影響下，全國各地電影院等密閉式文娛場所停業(yè)近半年，電影行業(yè)面臨巨大損失．2011～2020年上半年的票房走勢如下圖所示，則下列說法正確的是（）A．自2011年以來，每年上半年的票房收入逐年增加B．自2011年以來，每年上半年的票房收入增速為負的有5年C．2018年上半年的票房收入增速最大D．2020年上半年的票房收入增速最小【答案】D【分析】根據(jù)圖表，對A、B、C、D四個選項一一驗證即可.【詳解】由圖易知自2011年以來，每年上半年的票房收入相比前一年有增有減，增速為負的有3年，故A，B錯誤；2017年上半年的票房收入增速最大，故C錯誤；2020年上半年的票房收入增速最小，故D正確．故選：D二、多選題10．已知橢圓的離心率是，則的值可能是（）A． B． C． D．【答案】BC【分析】分兩種情況討論，分別求出半長軸與半焦距，利用離心率的值列方程求解即可.【詳解】當時，則解得，當時，，則，解得.故選：BC11．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，若，則（）A． B．C．m的值可能是4 D．m的值可能是6【答案】AD【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱求得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性解不等式，求得的取值范圍.【詳解】由題意可得，則．所以A選項正確.的定義域為，因為是偶函數(shù)，所以．當時，單調(diào)遞增．因為是偶函數(shù)，所以當時，單調(diào)遞減．因為，所以，所以，或，解得或．所以D選項符合.故選：AD12．如圖，在正方體中，點E在棱上，且是線段上一動點，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．存在一點F使得C．三棱錐的體積與點F的位置無關(guān)D．直線與平面所成角的正弦值的最小值為【答案】ABC【分析】連接，推出，判斷A；在上取一點，使得，連接，轉(zhuǎn)化證明，判斷B；設(shè)，通過三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，推出三棱錐的體積與正方體的棱長有關(guān)，與點的位置無關(guān)，判斷C；建立如圖所示的空間直角坐標系，用夾角向量坐標公式即可判斷D．【詳解】如圖，連接.易證平面，則，故A正確；在上取一點H，使得，連接，易證四邊形為平行四邊形，則，若，易證四邊形為平行四邊形，則，從而，故四邊形為平行四邊形，于是，故B正確；設(shè)，三棱錐的體積與三棱錐的體積相等，則，即三棱錐的體積與正方體的棱長有關(guān)，與點F的位置無關(guān)，故C正確；以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，從而，，設(shè)平面的法向量，則令，得，從而，即直線與平面所成角的正弦值為，因為，所以，所以，故D錯誤．故選：ABC【點睛】求直線與平面所成的角的一般步驟：（1）、①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解；（2）、用空間向量坐標公式求解.三、填空題13．展開式中的系數(shù)是_______．【答案】【分析】由二項式定理得到展開式通項，令，求得后代入通項即可求得結(jié)果.【詳解】展開式的通項為：，令，解得：，則，展開式中的系數(shù)是.故答案為：.14．將一個斜邊長為4的等腰直角三角形以其一直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為_________.【答案】【分析】先求出等腰直角三角形的直角邊長，進而求出旋轉(zhuǎn)體圓錐的底面半徑和母線，再利用圓錐的表面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】因為等腰直角三角形的斜邊長為4，所以直角邊長為，由題意可知所得幾何體是圓錐，其底面圓的半徑，母線長，則其表面積為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題考查的是有關(guān)圓錐的表面積的問題，正確解題的關(guān)鍵點是：（1）要確定旋轉(zhuǎn)后所得到的幾何體是圓錐；（2）要明確圓錐的各個量：底面圓的半徑以及母線長；（3）要熟練掌握圓錐的表面積公式.15．已知，且，則的最小值是________．【答案】【分析】利用，展開后利用基本不等式求解即可.【詳解】，當且僅當時，等號成立.故答案為：.16．2020年10月11日，全國第七次人口普查拉開帷幕，某統(tǒng)計部門安排六名工作人員到四個不同的區(qū)市縣開展工作.每個地方至少需安排一名工作人員，其中安排到同一區(qū)市縣工作，不能安排在同一區(qū)市縣工作，則不同的分配方法總數(shù)為_______種.【答案】216【分析】分兩步完成，第一步將6名工作人員分成4組，要求同一組，不在同一組，共種分組方法，第二步在將分的四組分配到四個區(qū)市縣有種，進而得總的分配方法有種【詳解】第一步，將6名工作人員分成4組，要求同一組，不在同一組.若分為3，1，1，1的四組，必須在3人組，則只需在中選一人和同一組，故有種分組方法，若分為2，2，1，1的四組，必須在2人組，故只需在中選兩人構(gòu)成一組，同時減去在同一組的情況，故有種分組方法，則一共有種分組方法；第二步，將分好的四組全排列，分配到四個區(qū)市縣，有種.故總的分配方法有種.故答案為：.【點睛】本題考查分組分配問題，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意，分兩步完成，先將6名工作人員分成4組使其滿足條件，再分配到四個縣區(qū)，考查運算求解能力，是中檔題.四、解答題17．設(shè)數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由題可得，結(jié)合可證明；（2）利用等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】（1）因為成等差數(shù)列，所以，當時,，則，即，即.因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，則（或），則，故.18．第31屆世界大學(xué)生夏季運動會定于2021年8月18日—29日在成都舉行，成都某機構(gòu)隨機走訪調(diào)查80天中的天氣狀況和當天到體育館打乒乓球人次，整理數(shù)據(jù)如下表(單位：天)：打乒乓球人次天氣狀況晴天21320陰天4610雨天645雪天820（1）若用樣本頻率作為總體概率，隨機調(diào)查本市4天，設(shè)這4天中陰天的天數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）假設(shè)陰天和晴天稱為“天氣好”，雨天和雪天稱為“天氣不好”完成下面的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為一天中到體育館打兵乓球的人次與該市當天的天氣有關(guān)？人次人次天氣好天氣不好參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）列聯(lián)表答案見解析，有99%的把握認為一天中到體育館打兵乓球的人次與該市當天的天氣有關(guān).【分析】（1）由題意先求得隨機變量X的可能取值，再得出.由此可求得分布列和分布列的期望；（2）由已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，由公式計算出，判斷可得結(jié)論.【詳解】解：（1）由題意可知隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，4.設(shè)一天為陰天的概率為P，則，故.，，，，，則X的分布列為X01234P故.（2）人次人次天氣好2530天氣不好205則.因為，所以有99%的把握認為一天中到體育館打兵乓球的人次與該市當天的天氣有關(guān).【點睛】求隨機變量概率分布列的步驟：(1)找出隨機變量的所有可能取值；(2)求出取各值時的概率；(3)列成表格；(4)檢驗分布列.注意分析隨機變量是否滿足特殊的分布列，如：兩點分布，超幾何分布，二項分布，正態(tài)分布.19．在如圖所示的四棱錐中，，，，，，，分別為，的中點，平面平面．（1）證明：平面．（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由中位線性質(zhì)知，由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）取的中點，由面面垂直性質(zhì)可知平面，則以為坐標原點建立空間直角坐標系，利用二面角的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）分別為的中點，，平面，平面，平面；（2）取的中點，連接.，，平面平面，平面平面，平面，平面.過點在平面內(nèi)作的垂線，則兩兩垂直.以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，即，令，則，，，又平面的一個法向量為，由圖象可知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.【點睛】方法點睛：空間向量法求解二面角的基本步驟是：（1）建立空間直角坐標系，利用坐標表示出所需的點和向量；（2）分別求得二面角的兩個半平面的法向量，根據(jù)向量夾角公式求得法向量的夾角；（3）根據(jù)圖形或法向量的方向確定所求角為二面角的大小或二面角補角的大小.20．在①且，②，③的面積這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并作答.問題：在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且______.（1）求；（2）若，且的面積為，求的周長.【答案】選擇見解析；（1）；（2）.【分析】（1）若選①②，利用正弦定理進行邊角互化，結(jié)合余弦定理求解；若選③，利用三角形面積公式以及余弦定理進行求解；（2）由（1）得，根據(jù)三角形面積求得，解出，再利用余弦定理求，從而求得三角形周長.【詳解】解：（1）若選①，，.，，，，若選②，，，，，故.若選③，，，，，，，故.（2）的面積為，，，，，，即故的周長為.【點睛】解三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1)閱讀理解題意，弄清問題的實際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系．(2)根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型．(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解．(4)將三角形問題還原為實際問題，注意實際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等.21．已知動點到點的距離比它到直線的距離小（1）求動點的軌跡的方程（2）過點作斜率為的直線與軌跡交于點、，線段的垂直平分線交軸于點，證明：為定值【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）本題首先可根據(jù)題意得出動點到點的距離與到直線距離相等，然后根據(jù)拋物線的定義即可得出結(jié)果；（2）本題可設(shè)直線的方程為，，，為線段的中點，然后通過聯(lián)立直線方程與拋物線方程得出，并求出點坐標，再然后寫出線段的垂直平分線的方程，并寫出點坐標，最后求出、以及，即可證得結(jié)論.【詳解】（1）因為動點到點的距離比它到直線的距離小，所以動點到點的距離與到直線距離相等，由拋物線的定義可知，軌跡是以為焦點、以直線為準線的拋物線，故點的軌跡的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，設(shè)、，為線段的中點，則，，，線段的垂直平分線的方程為，，，，，故為定值.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查動點的軌跡方程以及拋物線與直線的相關(guān)問題的求解，考查拋物線的定義以及韋達定理的應(yīng)用，能否求出點坐標是解決本題的關(guān)鍵，考查直線方程的求法，考查中點坐標的相關(guān)性質(zhì)，考查計算能力，是中檔題.22．已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若不等式對恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，分，討論單調(diào)區(qū)間即可.（2）構(gòu)造函數(shù)，求出其導(dǎo)函數(shù)，討論導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性得到分析的