蘇教版選擇性7.4.1二項(xiàng)式定理(1)課件（27張）

二項(xiàng)式定理(1)——二項(xiàng)式展開式的應(yīng)用

問題情境情境1：若今天是星期一，再過83天后的那一天是星期幾？法一：83＝512，512÷7＝73···1，所以是星期二；法二：83＝(7＋1)3＝73＋3×72×1＋3×7×12＋13，

所以是星期二。依據(jù)：(a＋b)3＝

a3＋3a2b＋3ab2＋b3的展開式。情境2：若今天是星期一，再過8100天后的那一天是星期幾？法一：8100＝?法二：8100＝(7＋1)100＝?提出問題：能否利用的(a＋b)n展開式？情境3：多項(xiàng)式(a＋b)(x＋y＋z

)展開式共有多少項(xiàng)？怎么

展開？能否寫出它的每一項(xiàng)？

數(shù)學(xué)探究我們都知道：問題1：

(a＋b)n如何展開？(a＋b)3＝

a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)1＝

a＋b(a＋b)2＝

a2＋2ab＋b2(a＋b)4＝

a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4那么，(a＋b)5＝(a＋b)6＝······(a＋b)n＝這里有什么規(guī)律嗎？我們能探求這些規(guī)律嗎？

數(shù)學(xué)探究對(a＋b)3展開式進(jìn)行分析：因?yàn)?a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)，展開時(shí)，每個(gè)括號要么取a，要么取b，且只能取一個(gè)來相乘得項(xiàng)，所以展開后其項(xiàng)的形式有：a3，a2b，ab2，b3最后結(jié)果要合并同類項(xiàng)，所以項(xiàng)的系數(shù)就是該項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)，可計(jì)算如下：因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有

種，所以a3的系數(shù)為；因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以a2b

的系數(shù)為；因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以ab2的系數(shù)為；因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以b3的系數(shù)為。故(a＋b)3＝即(a＋b)3＝

數(shù)學(xué)探究對(a＋b)4展開式進(jìn)行分析：因?yàn)?a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)，展開時(shí)，每個(gè)括號要么取a，要么取b，且只能取一個(gè)來相乘得項(xiàng)，所以展開后其項(xiàng)的形式有：a4，a3b，a2b2，ab3，b4最后結(jié)果要合并同類項(xiàng)，所以項(xiàng)的系數(shù)就是該項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)，可計(jì)算如下：因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以a4的系數(shù)為；因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以a3b

的系數(shù)為；因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以a2b2的系數(shù)為；因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以ab3的系數(shù)為；故(a＋b)4＝即(a＋b)4＝因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以b4的系數(shù)為。

數(shù)學(xué)探究對(a＋b)n展開式進(jìn)行分析：(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)···(a＋b)提出問題，小組討論：(1)(a＋b)n展開后各項(xiàng)形式分別是什么？an，an－1b，an－2b2，

···，abn－1，bn(2)展開式各項(xiàng)前面的系數(shù)代表著什么？各項(xiàng)前的系數(shù)，就是在n個(gè)括號中選幾個(gè)括號取b的方法種數(shù)。(3)你能分析并寫出展開式各項(xiàng)前面的系數(shù)嗎？

數(shù)學(xué)探究對(a＋b)n展開式進(jìn)行分析：各項(xiàng)的系數(shù)就是該項(xiàng)在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)，可計(jì)算如下：因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以an的系數(shù)為；因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以an-1b

的系數(shù)為；因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以an-2b2的系數(shù)為；因?yàn)榍∮?個(gè)括號取b的情況有種，所以an-3b3的系數(shù)為；故(a＋b)n＝即(a＋b)n＝因?yàn)榍∮衝個(gè)括號取b的情況有種，所以bn的系數(shù)為。(a＋b)n＝(a＋b)(a＋b)···(a＋b)······

數(shù)學(xué)建構(gòu)1、二項(xiàng)式定理一般地，對于n∈N*，有這個(gè)公式叫作二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫作(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，它一共有n＋1項(xiàng)，其中叫作二項(xiàng)展開式的第r＋1項(xiàng)(也稱通項(xiàng))，用Tr＋1表示，即(r＝0，1，2，···，n)叫作二項(xiàng)式系數(shù)。

數(shù)學(xué)建構(gòu)2、二項(xiàng)式展開式特點(diǎn)①項(xiàng)數(shù)：共n＋1項(xiàng)；②指數(shù)：a按降冪排列，b按升冪排列，每一項(xiàng)中a，b

的指數(shù)和為n；③系數(shù)：第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為。

數(shù)學(xué)探究問題3：

(a－b)n如何展開？問題2：對于(a＋b)n，在合并同類項(xiàng)之前，其展開式共有

多少項(xiàng)？2n項(xiàng)。數(shù)學(xué)應(yīng)用類型一二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例1、利用二項(xiàng)式定理展開下列各式：(1)(a－b)6；(2)；(3)(1＋2x)5；(4)(1－2x)5。數(shù)學(xué)練習(xí)利用二項(xiàng)式定理展開下列各式：(1)(1－x)4；(2)。數(shù)學(xué)應(yīng)用例2、在(1＋2x)7的展開式中，求：(1)第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2)含x3的項(xiàng)的系數(shù)。類型二利用展開式通項(xiàng)求指定項(xiàng)(或系數(shù))數(shù)學(xué)練習(xí)2、求(x＋a)12的展開式中的倒數(shù)第4項(xiàng)。1、寫出的第6項(xiàng)。解:T6=T5+1數(shù)學(xué)應(yīng)用例3、(1)求的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)；(2)求(1－2x)6的二項(xiàng)展開式中含x2的項(xiàng)；(3)求的二項(xiàng)展開式中x4的項(xiàng)和中間項(xiàng)。點(diǎn)評：在利用二項(xiàng)式定理求展開式中的指定項(xiàng)時(shí)，

通常利用其通項(xiàng)求解，即數(shù)學(xué)練習(xí)求的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)和中間項(xiàng)。數(shù)學(xué)應(yīng)用例4、在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等

差數(shù)列，求展開式中的有理項(xiàng)和整式項(xiàng)。

數(shù)學(xué)建構(gòu)3、有理項(xiàng)和整式項(xiàng)的定義(1)有理項(xiàng)：未知量(x)的指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)；(2)整式項(xiàng)：未知量(x)的指數(shù)為非負(fù)整數(shù)的項(xiàng)。變式拓展在二項(xiàng)式的展開式中有有理項(xiàng)嗎？如果有，請求出所有有理項(xiàng)；如果沒有，說明理由。數(shù)學(xué)應(yīng)用例5、在二項(xiàng)式定理證明：9910－1能被1000整除。類型三利用二項(xiàng)展開式研究整除(或余數(shù))問題題后反思整除性問題，余數(shù)問題，主要根據(jù)二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)，進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)，湊成整除的結(jié)構(gòu)，展開后觀察前幾項(xiàng)或后幾項(xiàng)，再分析整除性或余數(shù)，這是解決此類問題的最常用技巧，余數(shù)必須為正整數(shù)。數(shù)學(xué)練習(xí)1、證明：1110－1能被100整除。2、求9192被100除的余數(shù)。3、若今天是星期一，再過8100天后的那一天是星期幾？所以是星期二。數(shù)學(xué)應(yīng)用例6、求5精確到的近似值。類型四利用二項(xiàng)展開式求近似值問題數(shù)學(xué)練習(xí)1、計(jì)算3的近似值(精確到0.001)。2、計(jì)算6的近似值(精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)。課堂檢測

課本第77頁練習(xí)第1、2、3、4、5、6題。

1、二項(xiàng)式定理一般地，對于n∈N*，有這個(gè)公式叫作二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫作(a＋b)n的二項(xiàng)展開式，它一共有n＋1項(xiàng)，其中叫作二項(xiàng)展開式的第r＋1項(xiàng)(也稱通項(xiàng))，用Tr＋1表示，即(r＝0，1，2，···，n)叫作二項(xiàng)式系數(shù)。課堂小結(jié)

2、二項(xiàng)式