小學(xué)數(shù)學(xué)百分?jǐn)?shù)“統(tǒng)計意義”的認(rèn)知與思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將百分?jǐn)?shù)從“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域調(diào)整至“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域，將百分?jǐn)?shù)作為“統(tǒng)計量”進(jìn)行教學(xué)，意在使學(xué)生著重感悟百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，發(fā)展數(shù)據(jù)意識。統(tǒng)計側(cè)重于研究不確定性事件，研究的基礎(chǔ)是隨機(jī)數(shù)據(jù)，重點是感悟數(shù)據(jù)的隨機(jī)性，通過數(shù)據(jù)來推斷產(chǎn)生數(shù)據(jù)的背景，并能進(jìn)行分析和說理。在教學(xué)“統(tǒng)計意義”時，要幫助學(xué)生：感受隨機(jī)現(xiàn)象在現(xiàn)實世界中普遍存在，要想研究它們，就要通過調(diào)查得到數(shù)據(jù)；結(jié)合情境理解數(shù)據(jù)推斷的結(jié)果具有“不確定性”，即使是相同的數(shù)據(jù)，得出的結(jié)論也可能不一樣；體會隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小是可以預(yù)測的。【教學(xué)目標(biāo)】1.結(jié)合生活素材，探索百分?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)意義，感悟隨機(jī)數(shù)據(jù)中蘊含的信息，體會百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義。2.在交流、對比、分析、判斷、預(yù)測等活動中，進(jìn)一步體會百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義，發(fā)展數(shù)據(jù)意識、應(yīng)用意識和實踐能力。3.在真實情境中，感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，發(fā)展用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)與交流的能力，初步形成講道理、有條理的思維品質(zhì)。【教學(xué)重點】明確生活中常見百分?jǐn)?shù)的具體含義；感受百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計意義。【教學(xué)難點】能根據(jù)由隨機(jī)數(shù)據(jù)得到的百分?jǐn)?shù)做判斷和決策，增強(qiáng)數(shù)據(jù)意識?！窘虒W(xué)過程】一、聯(lián)系生活：理解百分?jǐn)?shù)表達(dá)確定數(shù)據(jù)（一）在生活中找百分?jǐn)?shù)，并解釋含義師：課前，老師讓大家收集了一些生活中的百分?jǐn)?shù)，誰來說一說你收集到的百分?jǐn)?shù)，并解釋一下它的含義？生：我找的是果汁含量30%。果汁飲料的總量是單位“1”，平均分成100份，果汁含量占其中的30份，還可以說果汁含量是果汁飲料總量的30%。生：我找的是衣服羊絨含量13.5%，表示羊絨含量是衣服總成分的13.5%。師：你能換個說法來表示嗎？生：如果把衣服總成分看成1000份，羊絨含量占其中的135份。生：我找的例子是電腦中的下載進(jìn)度條16%。需要下載的總量是單位“1”，平均分成100份，已下載的占其中的16份，還可以說已下載的進(jìn)度是總?cè)蝿?wù)的16%。（二）借助圖形，明確百分?jǐn)?shù)意義師：老師也收集了一些百分?jǐn)?shù)，我們一起來看看它們各表示什么含義。教師出示：某汽車今年的銷售量比去年同期增長120%。生：表示今年的銷售量是去年的220%。生：將去年的銷售量看作單位“1”，今年的銷售量在去年的基礎(chǔ)上增長了120%，也可以理解為今年的銷售量是去年銷售量的2.2倍（如圖1）。師：上學(xué)期我們班期末數(shù)學(xué)考試的優(yōu)良率達(dá)到了85%（70～79分為良好，80～100分為優(yōu)秀）。這句話你們怎么理解？生：優(yōu)秀和良好的人數(shù)是總?cè)藬?shù)的85%。（三）梳理百分?jǐn)?shù)的意義師：通過剛才的討論，你覺得什么是百分?jǐn)?shù)？生：百分?jǐn)?shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。師：百分?jǐn)?shù)表示的是兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，也叫百分率或百分比。設(shè)計思考：百分?jǐn)?shù)表示兩個量的倍數(shù)關(guān)系。對于學(xué)生來說，這是一個新的概念。雖然學(xué)生有一些生活經(jīng)驗，但他們所認(rèn)知的百分?jǐn)?shù)大多是“部分與整體的倍數(shù)關(guān)系”。因此，需要用不同學(xué)習(xí)材料進(jìn)一步豐富學(xué)生的認(rèn)知，讓他們知道百分?jǐn)?shù)是可以超過100%的，并在辨析中不斷豐富百分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵，擴(kuò)大百分?jǐn)?shù)的外延，感受百分?jǐn)?shù)給生活帶來的便利性，也為百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計意義的學(xué)習(xí)做好鋪墊。二、初步體會：運用百分?jǐn)?shù)做推斷具有不確定性◆活動一：體質(zhì)健康優(yōu)良率教師出示學(xué)習(xí)材料：國家中小學(xué)生體質(zhì)健康監(jiān)測由50米跑、坐位體前屈、跳繩、肺活量等項目組成，再綜合年齡、身高、體重等因素，根據(jù)學(xué)生學(xué)年總分評定等級：90.0分及以上為優(yōu)秀，80.0～89.9分為良好，60.0～79.9分為及格，59.9分及以下為不及格。教育部公布：2022年我國中小學(xué)生體質(zhì)健康優(yōu)良率達(dá)33%，學(xué)生健康素養(yǎng)和健康水平得到進(jìn)一步提高。師：從這則材料中，你得到了哪些信息？讓學(xué)生進(jìn)行小組討論：（1）你怎樣理解2022年我國中小學(xué)生體質(zhì)健康優(yōu)良率達(dá)33%？（2）你知道33%的結(jié)論是調(diào)查了哪些對象得出的嗎？（3）你覺得我們學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康優(yōu)良率也是33%嗎？（4）要想知道我們學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康優(yōu)良率，需要怎么做？教師組織全班匯報。生：體質(zhì)健康優(yōu)良率達(dá)33%，表示體質(zhì)健康良好的人數(shù)加優(yōu)秀的人數(shù)，一共占參加監(jiān)測學(xué)生總數(shù)的33%。生：33%是調(diào)查了全國所有的高中生、初中生和小學(xué)生后，通過計算得出的結(jié)論。生：我們學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康優(yōu)良率，可能比全國中小學(xué)生體質(zhì)健康優(yōu)良率高，也可能比全國中小學(xué)生體質(zhì)健康優(yōu)良率低。生：讓全校學(xué)生都參加體質(zhì)健康監(jiān)測，統(tǒng)計出優(yōu)秀和良好的人數(shù)，再除以我們學(xué)校的總?cè)藬?shù)，就可以求出我們學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康優(yōu)良率。師：那我們學(xué)校學(xué)生2022年的體質(zhì)健康數(shù)據(jù)到底是多少呢？教師出示：光谷七小2022年學(xué)生體質(zhì)健康優(yōu)良率為33.78%。師：看到這個數(shù)據(jù)，你們有什么想說的？生：我們學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康優(yōu)良率高于全國學(xué)生。師：為什么我們學(xué)校學(xué)生的體質(zhì)健康優(yōu)良率會高于全國中小學(xué)生體質(zhì)健康優(yōu)良率？師：33%是調(diào)查了全國的中小學(xué)生得出的，涉及人數(shù)較多。我們國家雖然已經(jīng)全面脫貧，但地區(qū)之間的經(jīng)濟(jì)情況仍然有差異。有些地區(qū)學(xué)生的體質(zhì)情況不佳，拉低了優(yōu)良率；而我們學(xué)校學(xué)生都很愛鍛煉，營養(yǎng)也很好，所以體質(zhì)健康優(yōu)良的學(xué)生占比相對來說多一些。師：那是不是武漢所有學(xué)校都和我們學(xué)校一樣是33.78%呢？生：武漢各個地區(qū)之間也有差異，每個學(xué)校學(xué)生的情況都不一樣，所以不一定都是33.78%。◆活動二：學(xué)生近視率教師出示學(xué)習(xí)材料：2021年我國中小學(xué)生總體近視率為53.6%，光谷七小2021年學(xué)生近視率為35.37%。師：誰來解釋一下這兩個數(shù)據(jù)各表示什么意思？生：全國中小學(xué)學(xué)生近視人數(shù)占總?cè)藬?shù)的53.6%。生：我校近視人數(shù)占學(xué)?？?cè)藬?shù)的35.37%。師：比較這兩個數(shù)據(jù)，你有什么想法？生：我校學(xué)生近視情況比全國學(xué)生近視情況好一些。生：53.6%是調(diào)查了全國的高中生、初中生和小學(xué)生得到的數(shù)據(jù)，而35.37%是只調(diào)查了我們學(xué)校的小學(xué)生得到的數(shù)據(jù)。師：你覺得是什么原因造成了全國近視率高于我校近視率？生：相對來說，高中生和初中生學(xué)習(xí)時間比較長，近視率會更高，導(dǎo)致全國的近視率要高于我校的近視率。師：通過前面的研究，我們不僅知道了百分?jǐn)?shù)可以表示像果汁含量30%、衣服羊絨含量13.5%這樣確定的結(jié)果，還知道了可以由全國的體質(zhì)健康優(yōu)良率，大致推斷出我校的體質(zhì)健康優(yōu)良率，但結(jié)果并不準(zhǔn)確。由此發(fā)現(xiàn)，百分?jǐn)?shù)不但可以表示確定的結(jié)果，還能幫助人們依據(jù)數(shù)據(jù)背景推斷可能的結(jié)果，但結(jié)果不是百分之百準(zhǔn)確。因此，運用百分?jǐn)?shù)進(jìn)行推斷還具有不確定性，此時，它發(fā)揮著統(tǒng)計量的作用。設(shè)計思考：學(xué)生在學(xué)校每年都要參與體質(zhì)健康測試及視力健康檢查，本環(huán)節(jié)呈現(xiàn)的兩則學(xué)習(xí)材料非常貼近學(xué)生生活，讓學(xué)生對百分?jǐn)?shù)從“數(shù)的認(rèn)識”逐漸上升到“統(tǒng)計量”的認(rèn)識。學(xué)生基于真實背景，在比較中明確百分?jǐn)?shù)是通過對事物的調(diào)查統(tǒng)計而產(chǎn)生的，初步感受隨機(jī)數(shù)據(jù)，以及運用百分?jǐn)?shù)做推斷具有不確定性。學(xué)生由此明白，要想推斷的結(jié)果盡可能正確，就要了解數(shù)據(jù)的來源背景。在描述、比較、歸納的過程中，學(xué)生逐步發(fā)展數(shù)據(jù)意識。三、判斷決策：感悟百分?jǐn)?shù)表達(dá)隨機(jī)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計意義師：既然運用百分?jǐn)?shù)做推斷具有不確定性，那推斷的結(jié)果是不是就沒有意義呢？◆活動三：航班準(zhǔn)點率教師出示學(xué)習(xí)材料：準(zhǔn)點率，又稱正點率，指航空旅客運輸部門在執(zhí)行運輸計劃時，航班實際到達(dá)時間和計劃到達(dá)時間較為一致的航班數(shù)量與全部航班數(shù)量的比率。計算方法：用最近30天內(nèi)出現(xiàn)延誤情況的航班數(shù)，除以30天內(nèi)所有的航班數(shù)量，得出延誤率。準(zhǔn)點率=100%-延誤率。師：現(xiàn)實生活中有沒有運用準(zhǔn)點率來做決定的事呢？明天（5月24日），老師要從武漢出發(fā)前往北京出差。因為行程安排，要保證在上午11點前抵達(dá)北京。有三趟航班（如表1）符合老師的出行時間要求，請你為老師選擇一趟出行的航班。生：選擇南方航空。師：那我們來研究下南方航空這趟班機(jī)。教師先出示南方航空這趟班機(jī)4月24日—5月23日飛行準(zhǔn)點情況，接著出示4月22日和4月23日的情況（如表2）。師：現(xiàn)在你有什么想說的？生：這趟飛機(jī)并不是一直準(zhǔn)點的。師：如果老師明天乘坐這趟航班，一定能準(zhǔn)點到達(dá)嗎？生：不一定。雖然近30天的準(zhǔn)點率是100%，但這是已經(jīng)發(fā)生了的數(shù)據(jù)。師：那這三趟航班中，老師是否依然選擇南方航空？生：雖然明天這趟航班可能準(zhǔn)點也可能不準(zhǔn)點，但根據(jù)以往的數(shù)據(jù)，在這三趟航班中，南方航空的準(zhǔn)點率是最高的，所以依然要選擇它。設(shè)計思考：飛機(jī)的“準(zhǔn)點率”是一個典型的隨機(jī)數(shù)據(jù)統(tǒng)計量，要求學(xué)生由已經(jīng)發(fā)生的事件來推斷未發(fā)生的事件。因此，對已經(jīng)掌握的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、推理顯得尤為重要。受限于學(xué)生的年齡特征與認(rèn)知水平，與上述兩則學(xué)習(xí)材料中的數(shù)據(jù)描述相比，分析與解釋飛機(jī)準(zhǔn)點率數(shù)據(jù)對學(xué)生而言更具有挑戰(zhàn)性，也更能增強(qiáng)他們的數(shù)據(jù)意識。學(xué)生圍繞數(shù)據(jù)來源背景對數(shù)據(jù)進(jìn)行深入分析，能進(jìn)一步感受百分?jǐn)?shù)的“統(tǒng)計意義”：百分?jǐn)?shù)是對隨機(jī)數(shù)據(jù)的刻畫，現(xiàn)實生活中有很多事件無法確定具體的結(jié)果，但能根據(jù)已有的數(shù)據(jù)找到事物發(fā)展的規(guī)律，以此作出推斷，而推斷過程的本質(zhì)是根據(jù)得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行推理，沒有對錯之分?！窘虒W(xué)反思】本內(nèi)容的教學(xué)在第一個環(huán)節(jié)讓學(xué)生收集相關(guān)信息，解釋生活中的百分?jǐn)?shù)，并用圖形對百分?jǐn)?shù)進(jìn)行表征，意在幫助學(xué)生建立百分?jǐn)?shù)的“數(shù)學(xué)意義”，并引導(dǎo)學(xué)生思考：離開了這些生活中的情境，百分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是表示兩個量的倍數(shù)關(guān)系。在學(xué)生理解像果汁含量、羊絨含量這樣確定的數(shù)據(jù)之后，教師再讓學(xué)生通過探究體質(zhì)健康優(yōu)良率、近視率、準(zhǔn)點率這三個活動，進(jìn)一步感受百分?jǐn)?shù)既可以表示確定數(shù)據(jù)中兩個量的倍數(shù)關(guān)系，也可以表示隨機(jī)數(shù)據(jù)中兩個量的倍數(shù)關(guān)系，且用百分?jǐn)?shù)描述隨機(jī)數(shù)據(jù)的倍數(shù)關(guān)系時，百分?jǐn)?shù)具有“統(tǒng)計意義”。通過三個活動的探究，學(xué)生明白現(xiàn)實世界中隨機(jī)現(xiàn)象是普遍存在的，感受“可能發(fā)生”與“可能不發(fā)生”或者發(fā)生的程度是怎樣的，體會作為統(tǒng)計量的百分?jǐn)?shù)在預(yù)測和判斷事件發(fā)生的可能性時起著重要的作用；感悟生活中用已經(jīng)掌握的數(shù)據(jù)去推斷未發(fā)生過的事件，能推測出結(jié)果可能的水平。在探究中逐步養(yǎng)成用統(tǒng)計的思維思考的習(xí)慣，學(xué)會用統(tǒng)計的眼光看待現(xiàn)實世界中的隨機(jī)現(xiàn)象。本設(shè)計試圖突破過往教學(xué)中過于側(cè)重百分?jǐn)?shù)的“數(shù)學(xué)意義”，而忽視滲透數(shù)據(jù)意識和感悟隨機(jī)現(xiàn)象的困境。教師以貼近學(xué)生生活經(jīng)驗的體質(zhì)健康優(yōu)良率、近視率、準(zhǔn)點率這些隨機(jī)